数学解题小技巧

高中数学解题小技巧

一、代入法

若动点P (x , y ) 依赖于另一动点Q (x 0, y 0) 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式x 0=f (x ) ，y 0=g (x ) ，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：y =x 2与直线l ：

x -y +2=0交于两点A (x A , y A ) 和B (x B , y B ) ，且x A

C 在

点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D . 设点P (s , t ) 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合. 若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；【巧解】联立y =x 2与y =x +2得x A =-1, x B =2，则AB 中点Q (

, ) ， 22

15+s +t 设线段PQ 的中点M 坐标为(x , y ) ，则x =， , y =22

即s =2x -, t =2y -，又点P 在曲线C 上，

225111

∴2y -=(2x -) 2化简可得y =x 2-x +，又点P 是L 上的任一

228

点，

115

∴中点M 的轨迹方程为y =x 2-x +（-

844

且不与点A 和点B 重合，则-1

【例2】（2008年，江西卷）设P (x 0, y 0) 在直线x =m (y ≠±m , 0

定点M (m 过点A 作直线x -y =0的垂线，垂足为N ，试求∆AMN , 0) 。

的重心G 所在的曲线方程。

【巧解】设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由已知得到y 1y 2≠0，且x 12-y 12=1，

（1）垂线AN 的方程为：y -y 1=-x +x 1， x 2-y 2=1，

⎧y -y 1=-x +x 1x +y x +y

由⎨得垂足N (11, 11) ，设重心G (x , y )

22⎩x -y =03⎧

9x -3y -⎪11x 1+y 1⎧x =(x ++) x =⎪11⎪⎪3m 24

所以⎪ 解得⎨⎨

1⎪⎪y =1(y +0+x 1+y 1) 9y -3x +1

⎪⎪y =32⎩

1⎪⎩4

由x 12-y 12=1 可得(3x -3y -1)(3x +3y -1) =2

m m

即(x -1) 2-y 2=2为重心G 所在曲线方程

3m 9

巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线C :y =x 2的焦点为F ，动点P 在直线l :x -y -2=0上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. ，求△APB 的重心G 的轨迹方程.

巧练二：（2006年，全国I 卷）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F 1(0, -3) 和F 2(0, 3) 为焦点、离心率为

的椭圆，设椭圆在第一

象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM =OA +OB ，求点M 的轨迹方程

二、直接法

直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。

【例1（】2009年高考全国II

x 2y 2

卷）已知双曲线C :2-2=1(a >0, b >0)

a b

的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点。若

=4，则

C 的离心率为（）

（B ）

（A ）

（C ）

F (c , 0)

（D ），由=4，得

y +c ，

【巧解】设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，(c -x 1, -y 1) =4(x 2-c , y 2)

∴y 1=-4y 2，设过F 点斜率为3的直线方程为x =

y ⎧

x =+c b 22b 2c ⎪22

由⎨消去x 得：(-a ) y +y +b 4=0， 3222222⎪⎩b x -a y -a b =0

⎧⎧6b 2c 6b 2c y +y 2=--3y 2=-⎪⎪2222⎪1⎪(b -3a ) (b -3a ) ∴⎨ ，将代入得y =-4y ⎨12

3b 43b 42⎪⎪y 1y 2=2-4y 2=2

2⎪⎪b -3a b -3a 2⎩⎩

化简得

⎧2b 2c

⎪y 2=⎪(b 2-3a 2) ⎨4

3b 2⎪y =-

2⎪4(b 2-3a 2) ⎩

4b 4c 23b 4

，∴2， =-

3(b -3a 2) 24(b 2-3a 2)

化简得：16c 2=9(3a 2-b 2) =9(3a 2-c 2+a 2) ，∴25c 2即e =。

=36a 2，e 2=

3625

，

故本题选（A ）【例2】（2008年，四川卷）设定义在R 上的函数f (x ) ⋅f (x +2) =13，若

f (1) =2，则f (99) =（）

（A ）13

（B ）2

（C ）

13 2

f (x )

满足

（D ）

2 13

【巧解】∵f (x +2) =

131313

==f (x ) ，∴f (x +4) =

13f (x +2) f (x )

f (x )

T =4

∴函数

f (x )

为周期函数，且

1313

= f (1) 2

，∴

f (99) =f (4⨯24+3) =f (3) =

故选（C ）

巧练一：（2008年，湖北卷）若f (x ) =-减函数，则b 的取值范围是（）

A ．[-1, +∞)

B ．(-1, +∞)

C ．(-∞, -1]

D ．(-∞, -1)

x +b ln(x +2) 在(-1, +∞) 上是2

巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA 1=1，则顶点A 、B 间的球面距离是（）

A ．22π

B ．2π

C ．

2π

D ．

2π4

三、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线径、准线、离心定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。

【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线y 2=2px (p >0) 的焦

点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则p = ．

p 【巧解】依题意直线AB 的方程为y =x -

p ⎧

⎪y =x -，由⎨ 2消去y 得：2

⎪⎩y =2px

p 2

x -3px +=0，设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，∴x 1+x 2=3p ，根据抛物线

的定义。

|BF |=x 2+

p p

，|AF |=x 1+，∴|AB |=x 1+x 2+p =4p =8，∴p =2， 22

故本题应填2。

【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C 1的离心率为

，焦13

点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）

x 2y 2

（A ）2-2=1

43x 2y 2

（C ）2-2=1

x 2y 2

（B ）2-2=1

135x 2y 2

（D ）2-2=1

1312

【巧解】由题意椭圆的半焦距为c =5，双曲线C 2上的点P 满足

||PF 1|-|PF 2||=8

∴点P 的轨迹是双曲线，其中c =5，a =4，

x 2y 2

∴b =3，故双曲线方程为2-2=1，∴选（A ）

巧练一：（2008

x 2y 2

年，陕西卷）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右

a b

焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）

A ．6

B ．

C ．2

D ．

巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个

动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

四、向量坐标法

向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。

【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD

交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点（A ）

（B ）3 （C ）5 （D ）

F . 若AC =a ，BD =b ，则AF =（）

A ．a +b B ．a +b C ．a +b D ．

a +b

[1**********]412【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形

则B (2, 0) ，C (2, 2) ，D (0, 2) ，O (1, 1) ，E (, ) ，

∴直线AE ∴

⎧y =3x 2

的方程为y =3x ，联立⎨得F (, 2)

3⎩y =2

=(, 2)

，设

=x +y ，则

=x (2, 2) +y (-2, 2) =(2x -2y , 2x +2y )

2⎧212121⎪2x -2y =

∴⎨3解之得x =，y =，∴AF =AC +BD =a +b ，故333333⎪⎩2x +2y =2

本题选B

【例2】已知点O 为∆ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0，则∆AOB 、

∆AOC 、∆BOC 的面积之比等于（） A ．9：4：1 B ．1：4：9 C ．3：2：1 D ．1：2：3

【巧解】不妨设∆ABC 为等腰三角形，∠B =900

AB =BC =3，建立如图所示的直角坐标系，则点B (0, A (0, 3) ，C (3, 0) ，设O (x , y ) ，

∵OA +2OB +3OC =0，即(-x , 3-y ) +2(-x , -y ) +3(3-x , -y ) =(∴⎨

⎧6x =93

解之得x =

2⎩6y =3

，y =，即O (

231

, ) ，又直线AC 22

的方程为

x +y -3=0

，则点

到直线

S ∆AOB =

的距离

，

31+-3|

2h ==22+12

|S ∆BOC =

，∵，

|AC |=32

S ∆AOC =

，因此

|AB |⋅|x |=2413

|BC |⋅|y |=24

|AC |⋅h =，故选22

巧练一：（2008年，湖南卷）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC =2BD , CE =2EA , AF =2FB , 则AD +BE +CF 与BC （）

A ．反向平行 B ．同向平行 C ．互相垂直 D ．既不平行也不

垂直

O B 与∆AOC 巧练二：设O 是∆ABC 内部一点，且OA +OC =-2OB ，则∆A

面积之比是 .

五、查字典法

查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“２”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。以免考虑不全而出错。

【例1】（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没

有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）

（A ）288个（B ）240个（C ）144个

（D ）126个

【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，① 个位为0，即

⨯⨯⨯⨯0

型，首位是2，3，4，5中的任一个，此时个数为A 4 ②A 4；

个位为2，即⨯⨯⨯⨯2，此种情况考虑到万位上不为0，则万

13位上只能排3，4，5，所以个数为A 3③个位为4， A 4；

⨯⨯⨯⨯4

型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，

1313135，所以个数为A 3 A 4；故共有A 4A 4+2A 3A 4=240个。故选（B ）

【例2】（2004年全国II 卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有

没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）

A ．56个

B ．57个

C ．58个

D ．60个

【巧解】（1）查首位：只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种

情况：即3⨯⨯⨯⨯型，此特点只需其它数进行全排列即可。有A 44种，

（2）查前２位：只考虑前“２”位中比３既大又小的数，有4种情况：

24⨯⨯⨯，25⨯⨯⨯，41⨯⨯⨯，42⨯⨯⨯型，而每种情况均有A 3种满足

条件，故共有4A 33种。

（3）查前３位：只考虑前“3”位中既比１大又小于5的数，有4种情况：

2234⨯⨯，235⨯⨯，431⨯⨯，432⨯⨯型，而每种情况均有A 2种满足条

件，故共有4A 22种。

（3）查前4位：只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此

种情况只有

23154和43512两种情况满足条件。故共有A 44+4A 33+4A 22+2=58个，故选C

巧练一：用数字0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（）

A ．110种

B ．109种

C ．108种

D ．107种

巧练二：（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复

数字, 并且比20000大的五位偶数共有（）

（A ）48个（B ）36个（C ）24个（D ）18个

六、挡板模型法

挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。

【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个

箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有

A ．8种

B ．10种

（） C ．12种

D ．16种

【巧解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排成一排为：OOOOOO ，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：OO |OO |OO ，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为C 52=10种. 故选B

【例2】两个实数集A ={a 1, a 2, , a 50}，B ={b 1, b 2, b 25}，若从A 到B

的映射

f (1a )≥

24A ．A 50

使得B 中每个元素都有原象，且

≥(

≥ (f )2a f )5，则这样的映射共有（0a

C ．C 50

）个

B ．C 49 25

D ．A 49

【巧解】不妨设A 和B 两个集合中的数都是从小到大排列，将集合

A 的

OOOOOOO OO ，50个数视为50个相同的小球排成一排为：

然后在50个小球的49个空位中插入24块木板，每一种插法对应着一种满足条件f (a 1)≥f (a 2)≥ ≥f (a 50)对应方法，故共有不同映

射共有C 49种. 故选 B

巧练一：两个实数集合A={a 1, a 2, a 3, …, a 15}与B={b1, b2, b3, …, b10}，若从A 到B 的是映射f 使B 中的每一个元素都有原象，且f (a 1) ≤

f (a 2) ≤…≤f (a 10)

A ．C 10个

（） B ．C 94个

C ．1015个

D ．510⋅A 15

巧练二：10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空的放法有（）种 A ．24

B ．84

C ．120

D ．96

七、等差中项法

等差中项法是根据题目的题设条件（或隐含）的特征，联想到等差数列中的等差中项，构造等差中项，从而可使问题得到快速解决，从而使解题过程变得简捷流畅，令人赏心悦目。【例1】（2008年，浙江卷）已知a ≥0, b ≥0, 且a +b =2，则（）

（A ）ab ≤

（B ）ab ≥

（C ）a 2+b 2≥2

（D ）

a 2+b 2≤3

1为a 与b 的【巧解】根据a +b =2特征，可得a , 1, b 成等差数列，

等差中项。可设

a =1-x ，b =1+x ，其中-1≤x ≤1；则ab =1-x 2，a 2+b 2=2+2x 2，

又0≤x 2≤1，故0≤ab ≤1，2≤a 2+b 2≤4，由选项知应选（C ）【例2】（2008年，重庆卷）已知函数y =-x +x +3的最大值为

M , 最小值为m , 则m 的值为（）

（A ）1

（B ）1

（C

（D

【巧解】由y =-x +x +3为-x 与x +3的等差中项，

令

-x =

y y y

+t ，x +3=-t ，其中|t |≤222

，

，又|t |≤，则

y y y 2222

则(+t ) +(-t ) =1-x +x +3=4，即t =2-

224

y 20≤t ≤

2y 2y 2

，故0≤2-≤

，解之得2≤y ≤22，即M =22，

m =2

∴m =2=2，故选（C ）

巧练：（2008年，江苏卷）值 .

y 2

x , y , z ∈R *,x -2y +3z =0,

的最小

八、逆向化法

逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是解题重要的信息。逆向化策略是

把四个选项作为首先考虑的信息，解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析，考查，验证，推断进行否定或肯定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，找到所要选择的，符合题目要求的选项。

【例1】（2008年，湖北卷）函数f (x ) =的

定义域为（）

A ．(-∞, -4] [2, +∞) B ．(-4, 0) (0, 1)

C ．[-4, 0) (0, 1] D ．[-4, 0) (0, 1)

ln(x 2-3x +2+-x 2-3x +4) x

【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可，取x =1，出现函数的真数为0，不满足，排含有1的答案C ，取x =-4代入计算解析式有意义，排不含有-4的答案B ，取x =2出现二次根式被开方数为负，不满足，排含有2的答案A ，故选D

评析：求函数的定义域只需使函数解析式有意义，凡是考查具体函数的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。【例

年，江西卷）已知函数

若对于任一实数x , f (x ) 与g (x ) f (x ) =2mx 2-2(4-m ) x +1, g (x ) =mx ，

的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（） A ．（0，2） B ．（0，8） C ．（2，8） D ．（-∞，0）

2】（2008

【巧解】观察四个选项中有三个答案不含2，那么就取m =2代入

验证是否符合题意即可，

取m =2，则有 f (x ) =4x 2-4x +1=(2x -1) 2，这个二次函数的函数值

f (x ) >0

对

x ∈R 且x ≠

11恒成立，现只需考虑g (x ) =2x 当x =22

时函数值是否为

正数即可。这显然

为正数。故m =2符合题意，排除不含m =2的选项A 、C 、D 。所

以选B

巧练一：（2007

2x +1

年，湖北卷）函数y =x x

2-1

）

A. y =log 2x +1（x

x -1

B. D.

y =log 2

x +1

（x >1） x -1

x -1

（x >1） x +1

C. y =log 2x -1（x

x +1

巧练二：（2004年，重庆卷）不等式x +

A．(-1,0) (1,+∞)

>2的解集是（ x +1

）

B ．(-∞, -1) (0,1)

D ．(-∞, -1) (1,+∞)

C ．(-1,0) (0,1)

九、极限化法

极限化法是在解选择题时, 有一些任意选取或者变化的元素, 我们对这些元素的变化趋势进行研究, 分析它们的极限情况或者极端位臵, 并进行估算, 以此来判断选择的结果. 这种通过动态变化, 或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法.

【例1】正三棱锥A -BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使

AE CF

==λ(λ>0) ， EB FD

设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则α+β的值是（）

A ．

π 6

B ．

π4

C ．

π3

D ．

π2

【巧解】当λ→0时，E →A ，且F →C ，从而EF →AC 。因为

AC ⊥BD ，排除选择支A , B , C 故选

D （或λ→+∞时的情况，同样

可排除A , B , C ），所以选D

2】若a =() , b =x 2, c =log 2x ，当x ＞1

【例

时，a , b , c 的大小关系是

（）

A ．a 【巧解】当x →0时，a →，b →1，c →0，故c

, 则2x 与3sin x 的大小关系

（）

A ．2x >3sin x B ．2x

巧练二：对于任意的锐角α, β，下列不等关系式中正确的是（）（A ）sin(α+β) >sin α+sin β （B ）sin(α+β) >cos α+cos β （C ）cos(α+β) >sin α+sin β （D ）

cos(α+β)

十、整体化法

整体化法是在解选择题时, 有时并不需要把题目精解出来, 而是从题目的整体去观察, 分析和把握, 通过整体反映的性质或者对整体情况的估算, 确定具体问题的结果, 例如, 对函数问题, 有时只需要研究它的定义域, 值域, 而不一定关心它的解析示式, 对函数图象, 有时可以从它的整体变化趋势去观察, 而不一定思考具体的对应关系, 或者对4个选项进行比较以得出结论, 或者从整体, 从全局进行估算, 而忽略具体的细节等等, 都可以缩短解题过程, 这是一种从整体出发进行解题的方法.

【例1】已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ+cos θ可能取到的值是（）

A ．

B ．

2sin(θ+

C ．

4) ，又θ

D ．

是锐角，∴0

【巧解】∵sin θ+cos θ=

3π4

，∴

π2π

424

【例2】(2002年, 全国卷) 据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》指出“2001年国内生产总值达到95933亿元, 比上一年增长7.3%.”如果“十〃五”期间(2001-2005年) 每年的国内生产总值按此年增长率增长, 那么, 到“十〃五”末, 我国国内生产总值约为（）

（A ）115000亿元 (B)120000亿元 (C) 127000亿元 (D)135000亿元【巧解】注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001年国内生产总值达到95933亿元, 精确到亿元, 而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元, 即后三位都是0, 因此, 可以从整体上看问题, 忽略一些局部的细节.

把95933亿元近似地视为96000亿元, 又把0.0732近似地视为0.005, 这样一来, 就有

95933⨯(1+7.3%)≈96000(1+4⨯0.073+6⨯0.0732)

≈9600⨯0+(10. +29⨯260=. 005) ≈126

巧练一：如图所示为三角函数y =A sin(ωx +ϕ) ，（|ϕ|

A ． 4π C ．π

B ．2π D ．

11π

, A >0) 的图

巧练二：（全国卷）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD

是边长为3的正方形，EF ∥AB ，2，

则该多面体的体积为（）（A ）9 （B ）5

（C ）6 （D ）15

十一、参数法

在解题过程中，适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，以此作为媒介，在进行分析和综合，然后对新变量求出结果，从而解决问题的方法叫参数法。【例1】（2008

x 2y 2

年，安徽卷）设椭圆C :2+2=1(a >b >

0) 过点M ，

a b

且左焦点为F 1( （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A , B 时，在线段AB 上取点Q ，满足线上。

⎧c 2=2

⎪

【巧解】(1)由题意：⎪⎨2+2=1

⎪a b 222⎪c =a -b ⎩

AP ⋅QB =AQ ⋅PB

，证明：点Q 总在某定直

，解得a 2=4, b 2=2，所求椭圆方

程为

x 2y 2

+=1 42

(2) 由

AP ⋅QB =AQ ⋅PB

坐标分别为(x , y ),(x 1, y 1),(x 2, y 2) 。由题设知

AP AQ

零，记λ==, 则λ>0且λ≠1，又

PB QB

从而AP =-λPB , AQ =λQB ，

AP , , , 均不为

设点Q 、A 、B 的

A ，P ，B ，Q 四点共线，

于是

x 1-λx 21-λ

， 1=

y 1-λy 21-λ

，

x =

x 1+λx 21+λ

，

y =

y 1+λy 21+λ

从而

x 12-λ2x 22

=4x ， ① 1-λ2y 12-λ2y 22

=y ， ② 1-λ2

又点A 、B 在椭圆C 上，即

x 12+2y 12=4, ③ x 2+2y 2=4, ④

①+②⨯2并结合③，④得4x +2y =4, 即点Q (x , y ) 总在定直线

2x +y -2=0上。

【例2】（2004

y 2

年，辽宁卷）设椭圆方程为x +=1，过点

M （0，

1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足

(+) ，点2

N 的坐标为(

, ) ，当22

l 绕点M 旋转时，求动

点P 的轨迹方程；

【巧解】直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y =kx +1.

记A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2), 由题设可得点A 、B 的坐标(x 1, y 1) 、

(x 2, y 2) 是方程组

⎧y =kx +1① ⎪2 ⎨2y

=1② ⎪x +4⎩

的解.

将①代入②并化简得，(4+k 2) x 2+2kx -3=0，所以

2k ⎧x +x =-, 122⎪⎪4+k

于是 ⎨

⎪y +y =8. 12⎪4+k 2⎩OP =

x +x 2y 1+y 21-k 4

(OA +OB ) =(1, ) =(, ). 2224+k 24+k 2

设点P 的坐标为(x , y ), 则

-k ⎧x =, 2⎪⎪4+k

消去参数⎨

⎪y =4. ⎪4+k 2⎩

k 得4x 2+y 2-y =0 ③

当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足

方程③，所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0. 巧练一：（2008年，全国I 卷）直线则有

（）

a 2+b 2≥1

x y

+=1通过点M (cosα, sin α) ，a b

A ．a 2+b 2≤1 B ． D ．

11+≤1 22a b

C ．

+≥1 a 2b 2

巧练二：如图，已知直线l 与抛物线x 2=4y 相切于点P (2，1) ，

且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为（2，0）. （I ）若动点M 满足AB ⋅BM +2|AM |=0，求点M 的轨迹C ；（II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨

迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

十二、交轨法

如果所求轨迹是两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般方法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程，所以交轨法是参数法的一种特殊情况。【例1】已知椭圆

y x C ：2+2=1 (a >b >0) 6, 短轴一个端点

3a b

到右焦点F 的距离为. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 经过椭圆的焦点F 交椭圆C 交于A 、B 两点,

分别过A 、B 作椭圆的两条切线，A 、B 为切点，求两条切线的交点P 的轨迹方程。

⎧c ⎪=

【巧解】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c

，依题意⎨a 3解之得c =2

⎪a =⎩

x 2

∴b =1，∴所求椭圆方程为+y 2=1．

（Ⅱ）由（I ）知F (2, 0) ，设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，P (x 0, y 0) ，对椭圆

x 2

+y 2=1 3

求导：

y -y 1=-

2x x +2y y '=0，即y '=-33y

，则过A 点的切线方程PA 为

x 1

(x -x 1) 3y 1

整理得x 1x +3y 1y =3 ① 同理过B 点的切线

方程PB 为x 2x +3y 2y =3 ②，又P (x 0, y 0) 在两切线PA 、PB 上，∴

x 1x 0+3y 1y 0=3

x 2x 0+3y 2y 0=3，因此，A (x 1, y 1) x 0x +3y 0y =3上，

，B (x 2, y 2) 两点在均在直线

又∵F (2, 0) 在直线x 0x +3y 0y =3上，∴x 02+3y 0⨯0=3，即x 0=

交点P 的轨迹方程 322为

【例2】过抛物线C ：y =x 2上两点M ，N 的直线l 交y 轴于点P （0，

b ）.

（Ⅰ）若∠MON 是钝角（O 为坐标原点），求实数b 的取值

范围；

（Ⅱ）若b=2，曲线C 在点M ，N 处的切线的交点为Q. 证明：

点Q 必在一条定直线上

运动.

【巧解】（Ⅰ）设点M ，N 坐标分别为

方程为22(x 1, x 12), (x 2, x 2)(x 1≠x 2), 则=(x 1, x 12), =(x 2, x 2). 由题意可设直线l

⎧∆=k 2+4b >0y =x ⎪y=kx+b,由⎧ 消去y 得x 2-kx -b =0, ∴⎨x 1+x 2=k ⎨⎩y =kx +b ⎪x ⋅x =-b ⎩122

∠MON 是钝角, ∴cos ∠MON

2由OM ⋅ON =x 1x 2+x 12x 2=-b +b 2

此时O , M , N 三点不共势, cos ∠MON =-1不成立.

∴b 的取值范围是(0, 1). 6分

x 1+x 2=k , （Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知⎧⎨⎩x 1⋅x 2=-b =-2,

∵函数y=x2的导数y ′=2x，

2抛物线在M (x 1, x 12), N (x 2, x 2) 两点处切线的斜率分别为

k M =2x 1, k N =2x 2, ∴在点M ，N 处的切线方程分别为

l M :y -x 12=2x 1(x -x 1),

2l N :y -x 2=2x 2(x -x 2).

2⎧⎪y -x 1=2x 1(x -x 1), 由⎨(x 1≠x 2), 解得交点Q 的坐标(x , y ) 满足2⎪y -x =2x (x -x ) 222⎩

x 1+x 2⎧k ⎧, ⎪x =, ⎪x =2即⎨2⎨⎪⎩y =-2, ⎩y =x 1⋅x 2, ⎪

∴Q 点在定直线y =-2上运动.

巧练一：已知定点A （1，0）和定直线x =-1上的两个动点E 、F ，满足AE ⊥AF ，动点P 满足EP //OA , FO //OP O 为坐标原点）. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 经过点M (1, 0) 与轨迹C 交于A 、B 两点, 分别过

A 、B 作轨迹C 的两条切线，A 、B 为切点，求两条切

线的交点P 的轨迹方程。

巧练二：如图，在以点O 为圆心，|AB |=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB =30°. 曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；

（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 分别过E 、F . 作轨迹C 的两条切线，E 、F . 为切点，

求两条切线的交点Q 的轨迹方程。

十三、几何法

利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。

【例1】(2008年，浙江卷) 已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a -c ) ⋅(b -c ) =0, 则|c | 的最大值是（）

（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2

【巧解】不妨设以a b 所在直线为x 轴，y 轴，且

a =

，c =(x , y ) 由已知(a -c ) ⋅(b -c ) =0得a ⋅b -(a +b ) ⋅c +|c |2=0整理得x 2+y 2-x -y =0

即(x -

2121111) +(y -) 2=，所以向量的坐标是以(, ) 为圆心， 22222为半径的一个圆且过原点，故|c |的最大值即为圆的直径为2，故本题选（C ）

【例2】（2008年，江苏卷）若AB=2，AC=2BC , 则S ∆ABC 的最大

值 .

【巧解】建立如图平面直角坐标系，设C (x , y ) ，A (0, 0) ，B (2, 0) ，由AC =2BC

即|AC |=2|BC |，∴x 2+y 2=2(x -2) 2+y 2，化简得x 2-8x +y 2+8=0

配方得(x -4) +y =8，所以C 点轨迹是以D (4, 0) 22，所以当C 点纵坐22为半径的一个圆（除去与x 轴的两个交点）

标绝对值为22，即|y |=22时，S ∆ABC 有最大值为

以答案为22

巧练一：已知A (m +

为 .

巧练二：已知实数x 、y 满足

的最大值等于 .

2⨯22=22，所211, m -) ，B (1, 0) ，其中m

十四、弦中点轨迹法

有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦重点轨迹。“点差法”解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率。

【例1】（2009年高考海南、宁夏卷）已知抛物线C 的顶点在坐标

原点，焦点为F (1, 0) ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两

点，若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为 .

【巧解】由F (1, 0) 知抛物线C 的方程为y 2=4x ，设A (x 1, y 1) ，

2B (x 2, y 2) ，代入抛物线方程则有：y 12=4x 1，y 2=4x 2，两式相减有

2y 12-y 2=4(x 1-x 2) ，即y 1-y 2(y 1+y 2) =4⇒k (y 1+y 2) =4，又x 1-x 2y 1+y 2=4，∴4k =4，即

k =1。

故l AB ：y -2=x -2，即y =x ，∴本题应填y =x

【例2】椭圆ax 2+by 2=1与直线y =1-x 交于A 、B 两点，若过原点与线段

（）

（A ） 4AB 中点的直线的倾斜角为300，则a b 的值为（B ）

AB 3 3（C ） 2（D ）3 【巧解】设

x 1+x 2=2x 0 的中点为M (x 0, y 0) ，A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则

⎧ax 12+by 12=1，两式相减，得 y 1+y 2=2y 0，又⎨22⎩ax 2+by 2=1

a (x 1+x 2)(x 1-x 2) +b (y 1+y 2)(y 1-y 2) =0，

即2ax 0(x 1-x 2) +2by 0(y 1-y 2) =0，∴

∴

ax y 1-y 2=-0=-1 x 1-x 2by 0ax 0y a ，∴=，故选（B ） =1，又0=tan 300=b 3by 0x 03

巧练一：若椭圆mx 2+ny 2=1与直线x +y -1=0交于A 、B 两点，过原点与线段

为 .

x 2y 2巧练二：若椭圆+=1的弦被点P (4, 2) 平分，则此弦所在直369AB 中点的直线的斜率为22，则n m 的值

线的斜率是为 .

十五、比较法

现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。两个可以比较大小的量a 和b ，若a -b =0，a -b >0，a -b b ，a 1或

a >b ，a

比较法之一（作差法0步骤：作差——变形——定号——结论

（1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

（2）变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”

化成“积”。

（3）定号：就是确定是大于0，还是等于0，还是小于0，最后下结论。

概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。

【例1】已知数列{a n }中，a 1=1，且点P (a n , a n +1)(n ∈N *) 在直线x -y +1=0上

（1）求{a n }的通项公式；

（2）若函数f (n ) =

的最小值.

【巧解】（1）点P (a n , a n +1) 在直线x -y -1=0上，即a n +1-a n =1且a 1=1 ∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列

∴a n =1+(n -1) ⋅1=n

∴a n =n 111求函数f (n ) ++... +(n ∈N , n ≥2) ，n +a 1n +a 2n +a n

（2） f (n ) =

111++ +， n +1n +22n 11111f (n +1) =++ +++ n +2n +32n 2n +12n +2111111∴f (n +1) -f (n ) =+->+-=0 2n +12n +2n +12n +22n +2n +17∴f (n ) 是单调递增的，故f (n ) 的最小值是f (2) = 12

【例2】（Ⅰ）已知函数f (x ) =-3x 2+6x -2. S n 是数列{a n }的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N*），在曲线y =

f (x ) +2上，求a n .

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若b n a ⋅b 1=() n -1, c n =n n

26，且T n 是数列{cn }

的前n 项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值，若不存在，请说明理由.

【巧解】（Ⅰ）点（n ，S n ）在曲线y =f (x ) +2上，所以s n =-3n 2+6n .

当n =1时，a 1= S1=3，当n ≥2时，a n = Sn - Sn -1=9-6n ，

∴a n =9-6n . （Ⅱ） b 1n -1, c 19-6n 1n -11

n =() n =a n b n =() =(3-2n )() n

26622,

∴T c +c 1121

n =1+c 1+ n =-(2) + +(3-2n )(2) n

2. 利用错位相减法，∴T =(2n +1)(1

n 2) n -1.

T n +1)(1

2) n >0, T n +3)(1

n +1=(2n +1+1=(22) n +1>0,

T +1(2n +1)(n

)

T =>1,

n +1+1(2n +3)() n +1

∴T n +1+1

∴T T 1 n +1

存在最大值T 1

1=2.

巧练一：（2005年，全国卷）若a =ln 2

2, b =ln 3

3, c =ln 5

5，则

（）

A ．a D ．b

巧练二：已知函数f (x ) =a ⋅2x +b 的图象过点A (1, 3

2), B (2, 5

2).

（Ⅰ）求函数y =f (x ) 的反函数y =f -1(x ) 的解析式；

（Ⅱ）记a 1(n )

n =2f -(n ∈N *)，是否存在正数k ，

使得(1+111)(1+) (1+) ≥k 2n +1对n ∈N *均成立. 若存在，求a 1a 2a n

出k 的最

大值；若不存在，请说明理由.

十六、基本不等式法

借助基本不等式证明不等式或求某些函数最值的方法叫基本不等式。常用的基本不等式有下面几种形式：①若a 、b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab ，（当且仅当a =b 时取等号），反之

也成立，②若a >0、b >0，则a +b ≥2ab ，（当且

a +b 2) 也成立。③若a 、b 、c 2a 2+b 2ab ≤2仅当a =b 时取等号），反之ab ≤(

都是正数，则a 3+b 3+c 3≥3abc ，（当且仅当a =b =c 时取等号），a 3+b 3+c 3反之abc ≤2也成立。④若a 、b 、c 都是正数，则

a =b =c a +b +c ≥3abc

abc ≤(a +b +c 3) 2，（当且仅当时取等号），反之a 2+b 2≥2ab 也成立。对于公式及公式a +b ≥2ab 的理解，应注意以下几点：

①两个公式成立的条件是不同的，前者只要求a 、b 是实数，而后者强调a 、b 必须是正数。②要对两个公式的等号及“当且仅当a =b 时取等号”的含义要有透彻的理解并会在函数、三角函数、解析几何等知识中灵活应用。

解题功能及技巧是：①二、三元不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。②在创设应用不等式的使用条件时，合理拆分项或配凑因式

是常用的解题技巧。③“和定积最大，积定和最小”，即n 个(n =2, 3) 正数的和为定值，则可求积的最大值，积为定值，则可求和的最小值。应用此结论求某些函数最值要注意三个条件：就是“一正——各项都是正数；二定——积或和是定值；三等——等号能否取到”，求最值时，若忽略了上述三个条件，就会出现错误，导致解题失败。必要时要做适当的变形或换元，以满足上述条件。

【例1】（2008年，重庆卷）函数f （x ）

的值域是（）

11, ] 44

11（C ）[－, ] 22（0≤x ≤2π）（A ）[－

sin x 11, ] 3322（D ）[－, ] 33（B ）[－【巧解】∵f (x ) =+4cos x ，∴sin 2x -cos 2x +1f (x ) == 5+4cos x 5+4cos x 2

令t =5+4cos x ，∵0≤x ≤2π，-1≤cos x ≤1，∴t >0 ∴cos x =

≤-t -5，∴-cos x +1=45+4cos x 2-(5-t 2) +119=-(t +-10) t 16t 9191(2t ⋅-10) =，当且仅当t =，即t =3时取等号，此t 16t 4

时cos x =-，即x =

故2π4π或3311f (x ) 的值域为[－, ] 2212，∴f 2(x ) ≤，因而-1411≤f (x ) ≤，22

【例2】（20082sin 2x +1年，辽宁卷）设x ∈(0, ), 则函数y =的最小2sin 2x π值为 .

【巧解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得：

2sin 2x +12sin 2x +13sin 2x +cos 2x 3tan 2x +1y ====sin 2x 2sin x cos x 2sin x cos x 2tan x =31tan x +， 22tan x

∵x ∈(0,

且仅当

tan 2x =π2), ∴tan x >0，利用均值定理，y ≥231tan x ⋅=3，当22tan x 1时取“=”，∴y min =，所以应填. 3

x 2+x +1(x >0) 的最小值是巧练一：函数y =2x +2x +1 。

巧练二：求函数y =x 2(1-5x )(0≤x ≤1) 的最大值。 5

十七、综合法

利用某些已知证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。

【例1】已知a , b 是正数，且

x +y ≥2 a b +=1x y ，x , y ∈(0,+∞) ，求证

：

【巧证】

左=x +y =(x +y ) ⋅(a b bx ay +) =a +b ++≥a +b +=2 x y y x

ay bx x 2a 当且仅当=，即2=时，取“＝”号，

故x +y ≥2。 =右，x y y b

111++≥9 a b c

111a +b +c a +b +c a +b +c b a c a c b ++=3+(+) +(+) +(+) 【巧证++=a b c a b c a b a c b c

1≥3+2+2+2=9，当且仅当a =b =c =时取“＝”号。 3

1巧练一：已知函数f (x ) =x 2+ln x ．设g (x ) =f '(x ) ， 2【例2】已知a , b , c 是正数，且a +b +c =1，求证：

求证：[g (x )]n -g (x n ) ≥2n -2(n ∈N *) ．

巧练二：已知a , b , c , d 都是实数，且a 2+b 2=1，c 2+d 2=1，求证：

|ac +bd |≤1

十八、分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法通常叫分析法。

注意：①分析法是“执果索因”，步步寻求不等式成立的充分条件，可以简单写成

B ⇐B 1⇐B 2⇐ B n ⇐A ，②分析法与综合法是对立统一的两

种方法。综合法是“由因导果”；③分析法论证“若A 则B ”这个命题的证明模式（步骤）是：

欲证明命题B 成立，只须证明命题B 1成立，，从而有，只须证明命题B 2成立，从而又有，只须证明命题A 成立，而已知A 成立，故B 必成立。④用分析法证明问题时，一定要恰当用好“要证”，“只须证”，“即证”，“也即证”等词语。【例1】求证3+7

【巧证】∵3+7>0，2+6>0，要证3+7

也即证21

3+7

【例2】设a >0，b >0，且2c >a +b ，证明c -c 2-ab

【巧证】要证c -c 2-ab

只须证-c 2-ab

两边平方得：a 2-2ac +c 20且

2c >a +b

∴a 2+ab

巧练二：已知a >0，b >0，a +b =1，试证明：(a +

十九、放缩法

欲证A ≥B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B ≤B 1，B 1≤B 2，。。。B i ≤A 或A ≥A 1，A 1≥A 2，。。。A i ≥B ，在利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫放缩法。放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩否则是达不到目的，此方法在数列与函数、不等式综合问题中证明大小关系是常用方法。

放缩法的方法有：（1）添加或舍去一些项，如：a 2+1>|a |；

n (n +1) >n

1125

)(b +) ≥a b 4

（2）将分子或分母放大（或缩小）（3）利用基本不等式，如：（4）利用常用结论：①②③

1111

n (n +1)

n +(n +1)

k +1-k =

1k +1+k

12k

；

1111>=-（程度大） 2

k (k +1) k k +1k

144411

(2k -1)(2k +1) 2k -12k +1k 4k 4k -1

2k 2k 2k -111④k 2

(2-1) (2-1)(2-2) (2-1)(2-1) 2-12-1

【例1】已知数列{a n }中, a 1=2, a n a n +1+a n +1=2a n (n ∈N *). （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n

=a n (a n -1)(n ∈N *),S n 是数列{b n }的前n 项和, 证明:

【巧解】由a 12

n a n +1+a n +1=2a n , 得1+a =

n a n +1

即

1a -1=12(1a -1). ∴1-1=-1⋅(1) n -1=-1

2n n , ∴a n =n

. n +1

n a n 222

2-1（2）当n=1时，S 1=a 1(a 1-1) =2,

∴34

1n =a n (a n -1) =2n -1(2n -1-1) =(2n

-1) 2

2n 2n -1

-1

, ∴S n

) =3-

2n -1

n =(2n -1) 2=(2n -1) 2=12n -1+1(2n -1) 2

1[(1-(1) n ]1[1-(1) n >12(1]

n ) 2∴S n >+n +1-11

21-4

=1-(12) n +13[1-(14) n ]

=43-(12) n -13⋅(14) n ≥43-12-13⋅14=34

. ∴当n ∈N *时, 都有3

例

2】已知数列{a n }的各项均为正数S n 为其前n 项和, 对于任意n ∈N *, 满足关系

【，

S n =2a n -2

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n

任意正整数n ，总有T n

【巧解】（Ⅰ）解： S n =2a n -2(n ∈N *), ①

∴S n -1=2a n -1-2(n ≥2, n ∈N *)

(log2a n ) 2

，求证：对

②

①—②，得a n =2a n -2a n -1. (n ≥2, n ∈N *)

a n ≠0, ∴

a n

=2. a n -1

(n ≥2, n ∈N *)

即数列{a n }是等比数列. a 1=S 1,

∴a 1=2a 1-2, 即a 1=2. ∴a n =2n .(n ∈N *)

(log2a n ) 2n 2

（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n ，总有b n

∴T n =

111111++ +≤1+++ + 222

1⋅22⋅3(n -1) n 12n

111111

+-+ +-=2-

巧练一：已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为S n ，且a n 是S n 与

=1+1-

的等差中项；数

列{b n }中，b 1=1, 点P （b n ，b n +1）在直线x -y +2=0上，（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n ；（Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较

111++ +B 1B 2B n

与2的大小；

巧练二：已知数列{a n }和{b n },{a n }的前n 项和为S n , a 2=0，且对任意

n ∈N *，都有2S n =n (a n -1), 点列P n (a n , b n ) 都在直线y =2x +2上.

（1）求数列{a n }的通项公式；

（212+

13+ +

(n ≥2, n ∈N *) 5

二十、反证法

从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、公理、定理、法则或已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。基本证明模式是：要证明M >N ，先假设M ≤N ，由已知及性质推出矛盾，从而肯定M >N ，适用范围：①否定性命题；②唯一性命题；③含有“至多”、“至少”问题。④根据问题条件和结论，情况复杂难于入手，可考虑试用反证法。反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：否定结论⇒推导出矛盾⇒肯定结论成立，应用反证法证明的主要三步是：第一步，反设——作出与求证结论相反的假设；第二步——归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步——肯定结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

【例1】若0

(2-b ) +c

>1 2

(2-a ) b ，(2-b ) c ，(2-c ) a

⎧(2-a ) b >1

(2-a ) +b ⎪

≥(2-a ) b >1⎨(2-b ) c >1，那么2⎪(2-c ) a >1

⎩

；同理

(2-c ) +a

>1，上述三式相加得3>3，矛盾，故假设不成立，原2

命题成立

【例2】求证：y =sin |x |不是周期函数

【巧证】假设函数y =sin |x |是周期函数，T 是它的一个周期

(T >0) ，即对任意x ∈R

都有s i n |x +T |=s i n |x |成立，令x =0，得

sin |T |=sin |0|,即sin |T |=0，∴T =n π(n ∈N ∙) ，分两种情况讨论：

（1）若n =2k (k ∈N +) ，则sin |x +2k π|=sin |x |对任意x ∈R 都成立，取x =-

3π2

，

3π3π3π3π+2k π|=sin |-|=sin =-1，即sin(2k π-) =-1， 22223π3π3π

而sin(2k π-) =sin(-) =-sin =1，∴T =2k π(n ∈N ∙) 不是该函数

222

有sin |-

的周期。

（2）若n =2k +1(k ∈N +) ，则有sin |x +(2k +1) π|=sin |x |对任意x ∈R 都成立，

取x =，有有sin |

ππ

2223π3π

而sin(2k π+) =sin() =-1，∴T =(2k +1) π(n ∈N ∙) 不是该函数的周

+(2k +1) π|=sin |

|=sin

=1，即sin(2k π+

3π

) =1， 2

期。

由（1）和（2）说明T =n π(n ∈N ∙) 不是该函数的周期。故假设不成立，从而命题得证。

巧练一：设f (x ) =x 2+ax +b ，求证|f (1) |、|f (2) |、|f (3) |之中至少有一个不小于

巧练二：若下列方程：x 2+4ax -4a +3=0，x 2+(a -1) x +a 2=0，

x 2+2ax -2a =0至少有一个方程有实根。试求实数a 的取值范围。

二十一、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有：（1）局部换元，局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式

4x +22-2≥0

，先变形为设

t =2x (t >0) ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的

问题。（2）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y =x +-x 的值域时，易发现x ∈[0, 1]设x =sin 2α，

α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到

如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如：已知x 2+y 2=a 2 ，可设x =a cos θ，y =a sin θ已知x 2+y 2≤1 ，可设x =r cos θ，y =r sin θ

(0≤θ

x 2y 2

已知2+2=1，可设x =a cos θ，y =b sin θ(0≤θ

a b x 2y 2

已知2-2=1，可设x =a sec θ，y =b tan θ

a b

（3）均值换元，如遇到x +y =S 形式时，设x =等。

S S

+t y =-t 等22

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。【例1】（2008年，江西卷）若函数y =

F (x ) =f (x ) +

f (x )

f (x ) 的值域是[, 3]，则函数

的值域是（）

10] 3

A ．[

1, 3] 2

B ．[2, C ．[

510, ] 23

D ．

[3,

10] 3

t ∈[【巧解】令f (x ) =t ，

111

, 3]，问题转化为求函数y =t +在t ∈[, 3]的2t 2

值域，于是由函数y =t +在[, 1]上为减函数，在[1, 3]上为增

t 2

函数，得y ∈[2, ]，故本题选B

【例2】（2008年，重庆卷）函数f (x ) =的值域是（）

sin x -1-2cos x -2sin x

(0≤θ≤2π)

（A ）[

－

] 2

sin x -1

（B ）[－1,0] （D ）[

]

sin x -1

sin x +cos x -2cos x -2sin x +2

（C ）[

]

3-2cos x -2sin x

【巧解】f (x ) = =原式=-

sin x -1

(sinx -1) +(cosx -1)

，当sin x ≠1时，

cos x -12

)

sin x -1

，令t =

cos x -1

，即t sin x -cos x =t -1， sin x -1

∴2+1sin(x -ϕ) =t -1，即s n i (x -ϕ) =又0≤θ≤2π，∴|sin(θ-ϕ) |≤1，即|

-1≤-

1+t

t -1t 2+1t -1

，其中tan ϕ=||，0

t +1

|≤1，解之得t ≥0，∴

[-1, 0]，故本题选B

（）

巧练一：函数f (x ) =4x +2x +1+2的值域是 A ．[1, +∞)

B ．(2, +∞)

C ．(3, +∞)

D ．[4, +∞)

巧练二：(2005年，福建卷) 设a , b ∈R , a 2+2b 2=6, 则a +b 的最小值是（）

A ．-22

B ．-

533

C ．－3 D ．-

高中数学解题小技巧

一、代入法

【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：y =x 2与直线l ：

x -y +2=0交于两点A (x A , y A ) 和B (x B , y B ) ，且x A

C 在

, ) ， 22

15+s +t 设线段PQ 的中点M 坐标为(x , y ) ，则x =， , y =22

即s =2x -, t =2y -，又点P 在曲线C 上，

225111

∴2y -=(2x -) 2化简可得y =x 2-x +，又点P 是L 上的任一

228

点，

115

∴中点M 的轨迹方程为y =x 2-x +（-

844

且不与点A 和点B 重合，则-1

【例2】（2008年，江西卷）设P (x 0, y 0) 在直线x =m (y ≠±m , 0

定点M (m 过点A 作直线x -y =0的垂线，垂足为N ，试求∆AMN , 0) 。

的重心G 所在的曲线方程。

【巧解】设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由已知得到y 1y 2≠0，且x 12-y 12=1，

（1）垂线AN 的方程为：y -y 1=-x +x 1， x 2-y 2=1，

⎧y -y 1=-x +x 1x +y x +y

由⎨得垂足N (11, 11) ，设重心G (x , y )

22⎩x -y =03⎧

9x -3y -⎪11x 1+y 1⎧x =(x ++) x =⎪11⎪⎪3m 24

所以⎪ 解得⎨⎨

1⎪⎪y =1(y +0+x 1+y 1) 9y -3x +1

⎪⎪y =32⎩

1⎪⎩4

由x 12-y 12=1 可得(3x -3y -1)(3x +3y -1) =2

m m

即(x -1) 2-y 2=2为重心G 所在曲线方程

3m 9

巧练二：（2006年，全国I 卷）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F 1(0, -3) 和F 2(0, 3) 为焦点、离心率为

的椭圆，设椭圆在第一

象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM =OA +OB ，求点M 的轨迹方程

二、直接法

【例1（】2009年高考全国II

x 2y 2

卷）已知双曲线C :2-2=1(a >0, b >0)

a b

的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点。若

=4，则

C 的离心率为（）

（B ）

（A ）

（C ）

F (c , 0)

（D ），由=4，得

y +c ，

【巧解】设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，(c -x 1, -y 1) =4(x 2-c , y 2)

∴y 1=-4y 2，设过F 点斜率为3的直线方程为x =

y ⎧

x =+c b 22b 2c ⎪22

由⎨消去x 得：(-a ) y +y +b 4=0， 3222222⎪⎩b x -a y -a b =0

⎧⎧6b 2c 6b 2c y +y 2=--3y 2=-⎪⎪2222⎪1⎪(b -3a ) (b -3a ) ∴⎨ ，将代入得y =-4y ⎨12

3b 43b 42⎪⎪y 1y 2=2-4y 2=2

2⎪⎪b -3a b -3a 2⎩⎩

化简得

⎧2b 2c

⎪y 2=⎪(b 2-3a 2) ⎨4

3b 2⎪y =-

2⎪4(b 2-3a 2) ⎩

4b 4c 23b 4

，∴2， =-

3(b -3a 2) 24(b 2-3a 2)

化简得：16c 2=9(3a 2-b 2) =9(3a 2-c 2+a 2) ，∴25c 2即e =。

=36a 2，e 2=

3625

，

故本题选（A ）【例2】（2008年，四川卷）设定义在R 上的函数f (x ) ⋅f (x +2) =13，若

f (1) =2，则f (99) =（）

（A ）13

（B ）2

（C ）

13 2

f (x )

满足

（D ）

2 13

【巧解】∵f (x +2) =

131313

==f (x ) ，∴f (x +4) =

13f (x +2) f (x )

f (x )

T =4

∴函数

f (x )

为周期函数，且

1313

= f (1) 2

，∴

f (99) =f (4⨯24+3) =f (3) =

故选（C ）

巧练一：（2008年，湖北卷）若f (x ) =-减函数，则b 的取值范围是（）

A ．[-1, +∞)

B ．(-1, +∞)

C ．(-∞, -1]

D ．(-∞, -1)

x +b ln(x +2) 在(-1, +∞) 上是2

巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA 1=1，则顶点A 、B 间的球面距离是（）

A ．22π

B ．2π

C ．

2π

D ．

2π4

三、定义法

【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线y 2=2px (p >0) 的焦

点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则p = ．

p 【巧解】依题意直线AB 的方程为y =x -

p ⎧

⎪y =x -，由⎨ 2消去y 得：2

⎪⎩y =2px

p 2

x -3px +=0，设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，∴x 1+x 2=3p ，根据抛物线

的定义。

|BF |=x 2+

p p

，|AF |=x 1+，∴|AB |=x 1+x 2+p =4p =8，∴p =2， 22

故本题应填2。

【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C 1的离心率为

，焦13

点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）

x 2y 2

（A ）2-2=1

43x 2y 2

（C ）2-2=1

x 2y 2

（B ）2-2=1

135x 2y 2

（D ）2-2=1

1312

【巧解】由题意椭圆的半焦距为c =5，双曲线C 2上的点P 满足

||PF 1|-|PF 2||=8

∴点P 的轨迹是双曲线，其中c =5，a =4，

x 2y 2

∴b =3，故双曲线方程为2-2=1，∴选（A ）

巧练一：（2008

x 2y 2

年，陕西卷）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右

a b

焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）

A ．6

B ．

C ．2

D ．

巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个

动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

四、向量坐标法

【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD

交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点（A ）

（B ）3 （C ）5 （D ）

F . 若AC =a ，BD =b ，则AF =（）

A ．a +b B ．a +b C ．a +b D ．

a +b

[1**********]412【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形

则B (2, 0) ，C (2, 2) ，D (0, 2) ，O (1, 1) ，E (, ) ，

∴直线AE ∴

⎧y =3x 2

的方程为y =3x ，联立⎨得F (, 2)

3⎩y =2

=(, 2)

，设

=x +y ，则

=x (2, 2) +y (-2, 2) =(2x -2y , 2x +2y )

2⎧212121⎪2x -2y =

∴⎨3解之得x =，y =，∴AF =AC +BD =a +b ，故333333⎪⎩2x +2y =2

本题选B

【例2】已知点O 为∆ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0，则∆AOB 、

∆AOC 、∆BOC 的面积之比等于（） A ．9：4：1 B ．1：4：9 C ．3：2：1 D ．1：2：3

【巧解】不妨设∆ABC 为等腰三角形，∠B =900

AB =BC =3，建立如图所示的直角坐标系，则点B (0, A (0, 3) ，C (3, 0) ，设O (x , y ) ，

∵OA +2OB +3OC =0，即(-x , 3-y ) +2(-x , -y ) +3(3-x , -y ) =(∴⎨

⎧6x =93

解之得x =

2⎩6y =3

，y =，即O (

231

, ) ，又直线AC 22

的方程为

x +y -3=0

，则点

到直线

S ∆AOB =

的距离

，

31+-3|

2h ==22+12

|S ∆BOC =

，∵，

|AC |=32

S ∆AOC =

，因此

|AB |⋅|x |=2413

|BC |⋅|y |=24

|AC |⋅h =，故选22

巧练一：（2008年，湖南卷）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC =2BD , CE =2EA , AF =2FB , 则AD +BE +CF 与BC （）

A ．反向平行 B ．同向平行 C ．互相垂直 D ．既不平行也不

垂直

O B 与∆AOC 巧练二：设O 是∆ABC 内部一点，且OA +OC =-2OB ，则∆A

面积之比是 .

五、查字典法

【例1】（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没

有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）

（A ）288个（B ）240个（C ）144个

（D ）126个

【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，① 个位为0，即

⨯⨯⨯⨯0

型，首位是2，3，4，5中的任一个，此时个数为A 4 ②A 4；

个位为2，即⨯⨯⨯⨯2，此种情况考虑到万位上不为0，则万

13位上只能排3，4，5，所以个数为A 3③个位为4， A 4；

⨯⨯⨯⨯4

型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，

1313135，所以个数为A 3 A 4；故共有A 4A 4+2A 3A 4=240个。故选（B ）

【例2】（2004年全国II 卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有

没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）

A ．56个

B ．57个

C ．58个

D ．60个

【巧解】（1）查首位：只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种

情况：即3⨯⨯⨯⨯型，此特点只需其它数进行全排列即可。有A 44种，

（2）查前２位：只考虑前“２”位中比３既大又小的数，有4种情况：

24⨯⨯⨯，25⨯⨯⨯，41⨯⨯⨯，42⨯⨯⨯型，而每种情况均有A 3种满足

条件，故共有4A 33种。

（3）查前３位：只考虑前“3”位中既比１大又小于5的数，有4种情况：

2234⨯⨯，235⨯⨯，431⨯⨯，432⨯⨯型，而每种情况均有A 2种满足条

件，故共有4A 22种。

（3）查前4位：只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此

种情况只有

23154和43512两种情况满足条件。故共有A 44+4A 33+4A 22+2=58个，故选C

巧练一：用数字0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（）

A ．110种

B ．109种

C ．108种

D ．107种

巧练二：（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复

数字, 并且比20000大的五位偶数共有（）

（A ）48个（B ）36个（C ）24个（D ）18个

六、挡板模型法

【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个

箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有

A ．8种

B ．10种

（） C ．12种

D ．16种

【例2】两个实数集A ={a 1, a 2, , a 50}，B ={b 1, b 2, b 25}，若从A 到B

的映射

f (1a )≥

24A ．A 50

使得B 中每个元素都有原象，且

≥(

≥ (f )2a f )5，则这样的映射共有（0a

C ．C 50

）个

B ．C 49 25

D ．A 49

【巧解】不妨设A 和B 两个集合中的数都是从小到大排列，将集合

A 的

OOOOOOO OO ，50个数视为50个相同的小球排成一排为：

然后在50个小球的49个空位中插入24块木板，每一种插法对应着一种满足条件f (a 1)≥f (a 2)≥ ≥f (a 50)对应方法，故共有不同映

射共有C 49种. 故选 B

巧练一：两个实数集合A={a 1, a 2, a 3, …, a 15}与B={b1, b2, b3, …, b10}，若从A 到B 的是映射f 使B 中的每一个元素都有原象，且f (a 1) ≤

f (a 2) ≤…≤f (a 10)

A ．C 10个

（） B ．C 94个

C ．1015个

D ．510⋅A 15

巧练二：10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空的放法有（）种 A ．24

B ．84

C ．120

D ．96

七、等差中项法

（A ）ab ≤

（B ）ab ≥

（C ）a 2+b 2≥2

（D ）

a 2+b 2≤3

1为a 与b 的【巧解】根据a +b =2特征，可得a , 1, b 成等差数列，

等差中项。可设

a =1-x ，b =1+x ，其中-1≤x ≤1；则ab =1-x 2，a 2+b 2=2+2x 2，

又0≤x 2≤1，故0≤ab ≤1，2≤a 2+b 2≤4，由选项知应选（C ）【例2】（2008年，重庆卷）已知函数y =-x +x +3的最大值为

M , 最小值为m , 则m 的值为（）

（A ）1

（B ）1

（C

（D

【巧解】由y =-x +x +3为-x 与x +3的等差中项，

令

-x =

y y y

+t ，x +3=-t ，其中|t |≤222

，

，又|t |≤，则

y y y 2222

则(+t ) +(-t ) =1-x +x +3=4，即t =2-

224

y 20≤t ≤

2y 2y 2

，故0≤2-≤

，解之得2≤y ≤22，即M =22，

m =2

∴m =2=2，故选（C ）

巧练：（2008年，江苏卷）值 .

y 2

x , y , z ∈R *,x -2y +3z =0,

的最小

八、逆向化法

逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是解题重要的信息。逆向化策略是

【例1】（2008年，湖北卷）函数f (x ) =的

定义域为（）

A ．(-∞, -4] [2, +∞) B ．(-4, 0) (0, 1)

C ．[-4, 0) (0, 1] D ．[-4, 0) (0, 1)

ln(x 2-3x +2+-x 2-3x +4) x

评析：求函数的定义域只需使函数解析式有意义，凡是考查具体函数的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。【例

年，江西卷）已知函数

若对于任一实数x , f (x ) 与g (x ) f (x ) =2mx 2-2(4-m ) x +1, g (x ) =mx ，

的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（） A ．（0，2） B ．（0，8） C ．（2，8） D ．（-∞，0）

2】（2008

【巧解】观察四个选项中有三个答案不含2，那么就取m =2代入

验证是否符合题意即可，

取m =2，则有 f (x ) =4x 2-4x +1=(2x -1) 2，这个二次函数的函数值

f (x ) >0

对

x ∈R 且x ≠

11恒成立，现只需考虑g (x ) =2x 当x =22

时函数值是否为

正数即可。这显然

为正数。故m =2符合题意，排除不含m =2的选项A 、C 、D 。所

以选B

巧练一：（2007

2x +1

年，湖北卷）函数y =x x

2-1

）

A. y =log 2x +1（x

x -1

B. D.

y =log 2

x +1

（x >1） x -1

x -1

（x >1） x +1

C. y =log 2x -1（x

x +1

巧练二：（2004年，重庆卷）不等式x +

A．(-1,0) (1,+∞)

>2的解集是（ x +1

）

B ．(-∞, -1) (0,1)

D ．(-∞, -1) (1,+∞)

C ．(-1,0) (0,1)

九、极限化法

【例1】正三棱锥A -BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使

AE CF

==λ(λ>0) ， EB FD

设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则α+β的值是（）

A ．

π 6

B ．

π4

C ．

π3

D ．

π2

【巧解】当λ→0时，E →A ，且F →C ，从而EF →AC 。因为

AC ⊥BD ，排除选择支A , B , C 故选

D （或λ→+∞时的情况，同样

可排除A , B , C ），所以选D

2】若a =() , b =x 2, c =log 2x ，当x ＞1

【例

时，a , b , c 的大小关系是

（）

A ．a 【巧解】当x →0时，a →，b →1，c →0，故c

, 则2x 与3sin x 的大小关系

（）

A ．2x >3sin x B ．2x

巧练二：对于任意的锐角α, β，下列不等关系式中正确的是（）（A ）sin(α+β) >sin α+sin β （B ）sin(α+β) >cos α+cos β （C ）cos(α+β) >sin α+sin β （D ）

cos(α+β)

十、整体化法

【例1】已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ+cos θ可能取到的值是（）

A ．

B ．

2sin(θ+

C ．

4) ，又θ

D ．

是锐角，∴0

【巧解】∵sin θ+cos θ=

3π4

，∴

π2π

424

把95933亿元近似地视为96000亿元, 又把0.0732近似地视为0.005, 这样一来, 就有

95933⨯(1+7.3%)≈96000(1+4⨯0.073+6⨯0.0732)

≈9600⨯0+(10. +29⨯260=. 005) ≈126

巧练一：如图所示为三角函数y =A sin(ωx +ϕ) ，（|ϕ|

A ． 4π C ．π

B ．2π D ．

11π

, A >0) 的图

巧练二：（全国卷）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD

是边长为3的正方形，EF ∥AB ，2，

则该多面体的体积为（）（A ）9 （B ）5

（C ）6 （D ）15

十一、参数法

x 2y 2

年，安徽卷）设椭圆C :2+2=1(a >b >

0) 过点M ，

a b

且左焦点为F 1( （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A , B 时，在线段AB 上取点Q ，满足线上。

⎧c 2=2

⎪

【巧解】(1)由题意：⎪⎨2+2=1

⎪a b 222⎪c =a -b ⎩

AP ⋅QB =AQ ⋅PB

，证明：点Q 总在某定直

，解得a 2=4, b 2=2，所求椭圆方

程为

x 2y 2

+=1 42

(2) 由

AP ⋅QB =AQ ⋅PB

坐标分别为(x , y ),(x 1, y 1),(x 2, y 2) 。由题设知

AP AQ

零，记λ==, 则λ>0且λ≠1，又

PB QB

从而AP =-λPB , AQ =λQB ，

AP , , , 均不为

设点Q 、A 、B 的

A ，P ，B ，Q 四点共线，

于是

x 1-λx 21-λ

， 1=

y 1-λy 21-λ

，

x =

x 1+λx 21+λ

，

y =

y 1+λy 21+λ

从而

x 12-λ2x 22

=4x ， ① 1-λ2y 12-λ2y 22

=y ， ② 1-λ2

又点A 、B 在椭圆C 上，即

x 12+2y 12=4, ③ x 2+2y 2=4, ④

①+②⨯2并结合③，④得4x +2y =4, 即点Q (x , y ) 总在定直线

2x +y -2=0上。

【例2】（2004

y 2

年，辽宁卷）设椭圆方程为x +=1，过点

M （0，

1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足

(+) ，点2

N 的坐标为(

, ) ，当22

l 绕点M 旋转时，求动

点P 的轨迹方程；

【巧解】直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y =kx +1.

记A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2), 由题设可得点A 、B 的坐标(x 1, y 1) 、

(x 2, y 2) 是方程组

⎧y =kx +1① ⎪2 ⎨2y

=1② ⎪x +4⎩

的解.

将①代入②并化简得，(4+k 2) x 2+2kx -3=0，所以

2k ⎧x +x =-, 122⎪⎪4+k

于是 ⎨

⎪y +y =8. 12⎪4+k 2⎩OP =

x +x 2y 1+y 21-k 4

(OA +OB ) =(1, ) =(, ). 2224+k 24+k 2

设点P 的坐标为(x , y ), 则

-k ⎧x =, 2⎪⎪4+k

消去参数⎨

⎪y =4. ⎪4+k 2⎩

k 得4x 2+y 2-y =0 ③

当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足

方程③，所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0. 巧练一：（2008年，全国I 卷）直线则有

（）

a 2+b 2≥1

x y

+=1通过点M (cosα, sin α) ，a b

A ．a 2+b 2≤1 B ． D ．

11+≤1 22a b

C ．

+≥1 a 2b 2

巧练二：如图，已知直线l 与抛物线x 2=4y 相切于点P (2，1) ，

迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

十二、交轨法

y x C ：2+2=1 (a >b >0) 6, 短轴一个端点

3a b

到右焦点F 的距离为. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 经过椭圆的焦点F 交椭圆C 交于A 、B 两点,

分别过A 、B 作椭圆的两条切线，A 、B 为切点，求两条切线的交点P 的轨迹方程。

⎧c ⎪=

【巧解】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c

，依题意⎨a 3解之得c =2

⎪a =⎩

x 2

∴b =1，∴所求椭圆方程为+y 2=1．

（Ⅱ）由（I ）知F (2, 0) ，设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，P (x 0, y 0) ，对椭圆

x 2

+y 2=1 3

求导：

y -y 1=-

2x x +2y y '=0，即y '=-33y

，则过A 点的切线方程PA 为

x 1

(x -x 1) 3y 1

整理得x 1x +3y 1y =3 ① 同理过B 点的切线

方程PB 为x 2x +3y 2y =3 ②，又P (x 0, y 0) 在两切线PA 、PB 上，∴

x 1x 0+3y 1y 0=3

x 2x 0+3y 2y 0=3，因此，A (x 1, y 1) x 0x +3y 0y =3上，

，B (x 2, y 2) 两点在均在直线

又∵F (2, 0) 在直线x 0x +3y 0y =3上，∴x 02+3y 0⨯0=3，即x 0=

交点P 的轨迹方程 322为

【例2】过抛物线C ：y =x 2上两点M ，N 的直线l 交y 轴于点P （0，

b ）.

（Ⅰ）若∠MON 是钝角（O 为坐标原点），求实数b 的取值

范围；

（Ⅱ）若b=2，曲线C 在点M ，N 处的切线的交点为Q. 证明：

点Q 必在一条定直线上

运动.

【巧解】（Ⅰ）设点M ，N 坐标分别为

方程为22(x 1, x 12), (x 2, x 2)(x 1≠x 2), 则=(x 1, x 12), =(x 2, x 2). 由题意可设直线l

⎧∆=k 2+4b >0y =x ⎪y=kx+b,由⎧ 消去y 得x 2-kx -b =0, ∴⎨x 1+x 2=k ⎨⎩y =kx +b ⎪x ⋅x =-b ⎩122

∠MON 是钝角, ∴cos ∠MON

2由OM ⋅ON =x 1x 2+x 12x 2=-b +b 2

此时O , M , N 三点不共势, cos ∠MON =-1不成立.

∴b 的取值范围是(0, 1). 6分

x 1+x 2=k , （Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知⎧⎨⎩x 1⋅x 2=-b =-2,

∵函数y=x2的导数y ′=2x，

2抛物线在M (x 1, x 12), N (x 2, x 2) 两点处切线的斜率分别为

k M =2x 1, k N =2x 2, ∴在点M ，N 处的切线方程分别为

l M :y -x 12=2x 1(x -x 1),

2l N :y -x 2=2x 2(x -x 2).

2⎧⎪y -x 1=2x 1(x -x 1), 由⎨(x 1≠x 2), 解得交点Q 的坐标(x , y ) 满足2⎪y -x =2x (x -x ) 222⎩

x 1+x 2⎧k ⎧, ⎪x =, ⎪x =2即⎨2⎨⎪⎩y =-2, ⎩y =x 1⋅x 2, ⎪

∴Q 点在定直线y =-2上运动.

（Ⅱ）设直线l 经过点M (1, 0) 与轨迹C 交于A 、B 两点, 分别过

A 、B 作轨迹C 的两条切线，A 、B 为切点，求两条切

线的交点P 的轨迹方程。

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；

（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 分别过E 、F . 作轨迹C 的两条切线，E 、F . 为切点，

求两条切线的交点Q 的轨迹方程。

十三、几何法

利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。

【例1】(2008年，浙江卷) 已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a -c ) ⋅(b -c ) =0, 则|c | 的最大值是（）

（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2

【巧解】不妨设以a b 所在直线为x 轴，y 轴，且

a =

，c =(x , y ) 由已知(a -c ) ⋅(b -c ) =0得a ⋅b -(a +b ) ⋅c +|c |2=0整理得x 2+y 2-x -y =0

即(x -

2121111) +(y -) 2=，所以向量的坐标是以(, ) 为圆心， 22222为半径的一个圆且过原点，故|c |的最大值即为圆的直径为2，故本题选（C ）

【例2】（2008年，江苏卷）若AB=2，AC=2BC , 则S ∆ABC 的最大

值 .

【巧解】建立如图平面直角坐标系，设C (x , y ) ，A (0, 0) ，B (2, 0) ，由AC =2BC

即|AC |=2|BC |，∴x 2+y 2=2(x -2) 2+y 2，化简得x 2-8x +y 2+8=0

配方得(x -4) +y =8，所以C 点轨迹是以D (4, 0) 22，所以当C 点纵坐22为半径的一个圆（除去与x 轴的两个交点）

标绝对值为22，即|y |=22时，S ∆ABC 有最大值为

以答案为22

巧练一：已知A (m +

为 .

巧练二：已知实数x 、y 满足

的最大值等于 .

2⨯22=22，所211, m -) ，B (1, 0) ，其中m

十四、弦中点轨迹法

【例1】（2009年高考海南、宁夏卷）已知抛物线C 的顶点在坐标

原点，焦点为F (1, 0) ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两

点，若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为 .

【巧解】由F (1, 0) 知抛物线C 的方程为y 2=4x ，设A (x 1, y 1) ，

2B (x 2, y 2) ，代入抛物线方程则有：y 12=4x 1，y 2=4x 2，两式相减有

2y 12-y 2=4(x 1-x 2) ，即y 1-y 2(y 1+y 2) =4⇒k (y 1+y 2) =4，又x 1-x 2y 1+y 2=4，∴4k =4，即

k =1。

故l AB ：y -2=x -2，即y =x ，∴本题应填y =x

【例2】椭圆ax 2+by 2=1与直线y =1-x 交于A 、B 两点，若过原点与线段

（）

（A ） 4AB 中点的直线的倾斜角为300，则a b 的值为（B ）

AB 3 3（C ） 2（D ）3 【巧解】设

x 1+x 2=2x 0 的中点为M (x 0, y 0) ，A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则

⎧ax 12+by 12=1，两式相减，得 y 1+y 2=2y 0，又⎨22⎩ax 2+by 2=1

a (x 1+x 2)(x 1-x 2) +b (y 1+y 2)(y 1-y 2) =0，

即2ax 0(x 1-x 2) +2by 0(y 1-y 2) =0，∴

∴

ax y 1-y 2=-0=-1 x 1-x 2by 0ax 0y a ，∴=，故选（B ） =1，又0=tan 300=b 3by 0x 03

巧练一：若椭圆mx 2+ny 2=1与直线x +y -1=0交于A 、B 两点，过原点与线段

为 .

x 2y 2巧练二：若椭圆+=1的弦被点P (4, 2) 平分，则此弦所在直369AB 中点的直线的斜率为22，则n m 的值

线的斜率是为 .

十五、比较法

现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。两个可以比较大小的量a 和b ，若a -b =0，a -b >0，a -b b ，a 1或

a >b ，a

比较法之一（作差法0步骤：作差——变形——定号——结论

（1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

（2）变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”

化成“积”。

（3）定号：就是确定是大于0，还是等于0，还是小于0，最后下结论。

概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。

【例1】已知数列{a n }中，a 1=1，且点P (a n , a n +1)(n ∈N *) 在直线x -y +1=0上

（1）求{a n }的通项公式；

（2）若函数f (n ) =

的最小值.

【巧解】（1）点P (a n , a n +1) 在直线x -y -1=0上，即a n +1-a n =1且a 1=1 ∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列

∴a n =1+(n -1) ⋅1=n

∴a n =n 111求函数f (n ) ++... +(n ∈N , n ≥2) ，n +a 1n +a 2n +a n

（2） f (n ) =

111++ +， n +1n +22n 11111f (n +1) =++ +++ n +2n +32n 2n +12n +2111111∴f (n +1) -f (n ) =+->+-=0 2n +12n +2n +12n +22n +2n +17∴f (n ) 是单调递增的，故f (n ) 的最小值是f (2) = 12

【例2】（Ⅰ）已知函数f (x ) =-3x 2+6x -2. S n 是数列{a n }的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N*），在曲线y =

f (x ) +2上，求a n .

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若b n a ⋅b 1=() n -1, c n =n n

26，且T n 是数列{cn }

的前n 项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值，若不存在，请说明理由.

【巧解】（Ⅰ）点（n ，S n ）在曲线y =f (x ) +2上，所以s n =-3n 2+6n .

当n =1时，a 1= S1=3，当n ≥2时，a n = Sn - Sn -1=9-6n ，

∴a n =9-6n . （Ⅱ） b 1n -1, c 19-6n 1n -11

n =() n =a n b n =() =(3-2n )() n

26622,

∴T c +c 1121

n =1+c 1+ n =-(2) + +(3-2n )(2) n

2. 利用错位相减法，∴T =(2n +1)(1

n 2) n -1.

T n +1)(1

2) n >0, T n +3)(1

n +1=(2n +1+1=(22) n +1>0,

T +1(2n +1)(n

)

T =>1,

n +1+1(2n +3)() n +1

∴T n +1+1

∴T T 1 n +1

存在最大值T 1

1=2.

巧练一：（2005年，全国卷）若a =ln 2

2, b =ln 3

3, c =ln 5

5，则

（）

A ．a D ．b

巧练二：已知函数f (x ) =a ⋅2x +b 的图象过点A (1, 3

2), B (2, 5

2).

（Ⅰ）求函数y =f (x ) 的反函数y =f -1(x ) 的解析式；

（Ⅱ）记a 1(n )

n =2f -(n ∈N *)，是否存在正数k ，

使得(1+111)(1+) (1+) ≥k 2n +1对n ∈N *均成立. 若存在，求a 1a 2a n

出k 的最

大值；若不存在，请说明理由.

十六、基本不等式法

也成立，②若a >0、b >0，则a +b ≥2ab ，（当且

a +b 2) 也成立。③若a 、b 、c 2a 2+b 2ab ≤2仅当a =b 时取等号），反之ab ≤(

都是正数，则a 3+b 3+c 3≥3abc ，（当且仅当a =b =c 时取等号），a 3+b 3+c 3反之abc ≤2也成立。④若a 、b 、c 都是正数，则

a =b =c a +b +c ≥3abc

abc ≤(a +b +c 3) 2，（当且仅当时取等号），反之a 2+b 2≥2ab 也成立。对于公式及公式a +b ≥2ab 的理解，应注意以下几点：

【例1】（2008年，重庆卷）函数f （x ）

的值域是（）

11, ] 44

11（C ）[－, ] 22（0≤x ≤2π）（A ）[－

sin x 11, ] 3322（D ）[－, ] 33（B ）[－【巧解】∵f (x ) =+4cos x ，∴sin 2x -cos 2x +1f (x ) == 5+4cos x 5+4cos x 2

令t =5+4cos x ，∵0≤x ≤2π，-1≤cos x ≤1，∴t >0 ∴cos x =

≤-t -5，∴-cos x +1=45+4cos x 2-(5-t 2) +119=-(t +-10) t 16t 9191(2t ⋅-10) =，当且仅当t =，即t =3时取等号，此t 16t 4

时cos x =-，即x =

故2π4π或3311f (x ) 的值域为[－, ] 2212，∴f 2(x ) ≤，因而-1411≤f (x ) ≤，22

【例2】（20082sin 2x +1年，辽宁卷）设x ∈(0, ), 则函数y =的最小2sin 2x π值为 .

【巧解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得：

2sin 2x +12sin 2x +13sin 2x +cos 2x 3tan 2x +1y ====sin 2x 2sin x cos x 2sin x cos x 2tan x =31tan x +， 22tan x

∵x ∈(0,

且仅当

tan 2x =π2), ∴tan x >0，利用均值定理，y ≥231tan x ⋅=3，当22tan x 1时取“=”，∴y min =，所以应填. 3

x 2+x +1(x >0) 的最小值是巧练一：函数y =2x +2x +1 。

巧练二：求函数y =x 2(1-5x )(0≤x ≤1) 的最大值。 5

十七、综合法

利用某些已知证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。

【例1】已知a , b 是正数，且

x +y ≥2 a b +=1x y ，x , y ∈(0,+∞) ，求证

：

【巧证】

左=x +y =(x +y ) ⋅(a b bx ay +) =a +b ++≥a +b +=2 x y y x

ay bx x 2a 当且仅当=，即2=时，取“＝”号，

故x +y ≥2。 =右，x y y b

111++≥9 a b c

111a +b +c a +b +c a +b +c b a c a c b ++=3+(+) +(+) +(+) 【巧证++=a b c a b c a b a c b c

1≥3+2+2+2=9，当且仅当a =b =c =时取“＝”号。 3

1巧练一：已知函数f (x ) =x 2+ln x ．设g (x ) =f '(x ) ， 2【例2】已知a , b , c 是正数，且a +b +c =1，求证：

求证：[g (x )]n -g (x n ) ≥2n -2(n ∈N *) ．

巧练二：已知a , b , c , d 都是实数，且a 2+b 2=1，c 2+d 2=1，求证：

|ac +bd |≤1

十八、分析法

注意：①分析法是“执果索因”，步步寻求不等式成立的充分条件，可以简单写成

B ⇐B 1⇐B 2⇐ B n ⇐A ，②分析法与综合法是对立统一的两

种方法。综合法是“由因导果”；③分析法论证“若A 则B ”这个命题的证明模式（步骤）是：

【巧证】∵3+7>0，2+6>0，要证3+7

也即证21

3+7

【例2】设a >0，b >0，且2c >a +b ，证明c -c 2-ab

【巧证】要证c -c 2-ab

只须证-c 2-ab

两边平方得：a 2-2ac +c 20且

2c >a +b

∴a 2+ab

巧练二：已知a >0，b >0，a +b =1，试证明：(a +

十九、放缩法

放缩法的方法有：（1）添加或舍去一些项，如：a 2+1>|a |；

n (n +1) >n

1125

)(b +) ≥a b 4

（2）将分子或分母放大（或缩小）（3）利用基本不等式，如：（4）利用常用结论：①②③

1111

n (n +1)

n +(n +1)

k +1-k =

1k +1+k

12k

；

1111>=-（程度大） 2

k (k +1) k k +1k

144411

(2k -1)(2k +1) 2k -12k +1k 4k 4k -1

2k 2k 2k -111④k 2

(2-1) (2-1)(2-2) (2-1)(2-1) 2-12-1

【例1】已知数列{a n }中, a 1=2, a n a n +1+a n +1=2a n (n ∈N *). （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n

=a n (a n -1)(n ∈N *),S n 是数列{b n }的前n 项和, 证明:

【巧解】由a 12

n a n +1+a n +1=2a n , 得1+a =

n a n +1

即

1a -1=12(1a -1). ∴1-1=-1⋅(1) n -1=-1

2n n , ∴a n =n

. n +1

n a n 222

2-1（2）当n=1时，S 1=a 1(a 1-1) =2,

∴34

1n =a n (a n -1) =2n -1(2n -1-1) =(2n

-1) 2

2n 2n -1

-1

, ∴S n

) =3-

2n -1

n =(2n -1) 2=(2n -1) 2=12n -1+1(2n -1) 2

1[(1-(1) n ]1[1-(1) n >12(1]

n ) 2∴S n >+n +1-11

21-4

=1-(12) n +13[1-(14) n ]

=43-(12) n -13⋅(14) n ≥43-12-13⋅14=34

. ∴当n ∈N *时, 都有3

例

2】已知数列{a n }的各项均为正数S n 为其前n 项和, 对于任意n ∈N *, 满足关系

【，

S n =2a n -2

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n

任意正整数n ，总有T n

【巧解】（Ⅰ）解： S n =2a n -2(n ∈N *), ①

∴S n -1=2a n -1-2(n ≥2, n ∈N *)

(log2a n ) 2

，求证：对

②

①—②，得a n =2a n -2a n -1. (n ≥2, n ∈N *)

a n ≠0, ∴

a n

=2. a n -1

(n ≥2, n ∈N *)

即数列{a n }是等比数列. a 1=S 1,

∴a 1=2a 1-2, 即a 1=2. ∴a n =2n .(n ∈N *)

(log2a n ) 2n 2

（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n ，总有b n

∴T n =

111111++ +≤1+++ + 222

1⋅22⋅3(n -1) n 12n

111111

+-+ +-=2-

巧练一：已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为S n ，且a n 是S n 与

=1+1-

的等差中项；数

列{b n }中，b 1=1, 点P （b n ，b n +1）在直线x -y +2=0上，（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n ；（Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较

111++ +B 1B 2B n

与2的大小；

巧练二：已知数列{a n }和{b n },{a n }的前n 项和为S n , a 2=0，且对任意

n ∈N *，都有2S n =n (a n -1), 点列P n (a n , b n ) 都在直线y =2x +2上.

（1）求数列{a n }的通项公式；

（212+

13+ +

(n ≥2, n ∈N *) 5

二十、反证法

【例1】若0

(2-b ) +c

>1 2

(2-a ) b ，(2-b ) c ，(2-c ) a

⎧(2-a ) b >1

(2-a ) +b ⎪

≥(2-a ) b >1⎨(2-b ) c >1，那么2⎪(2-c ) a >1

⎩

；同理

(2-c ) +a

>1，上述三式相加得3>3，矛盾，故假设不成立，原2

命题成立

【例2】求证：y =sin |x |不是周期函数

【巧证】假设函数y =sin |x |是周期函数，T 是它的一个周期

(T >0) ，即对任意x ∈R

都有s i n |x +T |=s i n |x |成立，令x =0，得

sin |T |=sin |0|,即sin |T |=0，∴T =n π(n ∈N ∙) ，分两种情况讨论：

（1）若n =2k (k ∈N +) ，则sin |x +2k π|=sin |x |对任意x ∈R 都成立，取x =-

3π2

，

3π3π3π3π+2k π|=sin |-|=sin =-1，即sin(2k π-) =-1， 22223π3π3π

而sin(2k π-) =sin(-) =-sin =1，∴T =2k π(n ∈N ∙) 不是该函数

222

有sin |-

的周期。

（2）若n =2k +1(k ∈N +) ，则有sin |x +(2k +1) π|=sin |x |对任意x ∈R 都成立，

取x =，有有sin |

ππ

2223π3π

而sin(2k π+) =sin() =-1，∴T =(2k +1) π(n ∈N ∙) 不是该函数的周

+(2k +1) π|=sin |

|=sin

=1，即sin(2k π+

3π

) =1， 2

期。

由（1）和（2）说明T =n π(n ∈N ∙) 不是该函数的周期。故假设不成立，从而命题得证。

巧练一：设f (x ) =x 2+ax +b ，求证|f (1) |、|f (2) |、|f (3) |之中至少有一个不小于

巧练二：若下列方程：x 2+4ax -4a +3=0，x 2+(a -1) x +a 2=0，

x 2+2ax -2a =0至少有一个方程有实根。试求实数a 的取值范围。

二十一、换元法

4x +22-2≥0

，先变形为设

t =2x (t >0) ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的

问题。（2）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y =x +-x 的值域时，易发现x ∈[0, 1]设x =sin 2α，

α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到

如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如：已知x 2+y 2=a 2 ，可设x =a cos θ，y =a sin θ已知x 2+y 2≤1 ，可设x =r cos θ，y =r sin θ

(0≤θ

x 2y 2

已知2+2=1，可设x =a cos θ，y =b sin θ(0≤θ

a b x 2y 2

已知2-2=1，可设x =a sec θ，y =b tan θ

a b

（3）均值换元，如遇到x +y =S 形式时，设x =等。

S S

+t y =-t 等22

F (x ) =f (x ) +

f (x )

f (x ) 的值域是[, 3]，则函数

的值域是（）

10] 3

A ．[

1, 3] 2

B ．[2, C ．[

510, ] 23

D ．

[3,

10] 3

t ∈[【巧解】令f (x ) =t ，

111

, 3]，问题转化为求函数y =t +在t ∈[, 3]的2t 2

值域，于是由函数y =t +在[, 1]上为减函数，在[1, 3]上为增

t 2

函数，得y ∈[2, ]，故本题选B

【例2】（2008年，重庆卷）函数f (x ) =的值域是（）

sin x -1-2cos x -2sin x

(0≤θ≤2π)

（A ）[

－

] 2

sin x -1

（B ）[－1,0] （D ）[

]

sin x -1

sin x +cos x -2cos x -2sin x +2

（C ）[

]

3-2cos x -2sin x

【巧解】f (x ) = =原式=-

sin x -1

(sinx -1) +(cosx -1)

，当sin x ≠1时，

cos x -12

)

sin x -1

，令t =

cos x -1

，即t sin x -cos x =t -1， sin x -1

∴2+1sin(x -ϕ) =t -1，即s n i (x -ϕ) =又0≤θ≤2π，∴|sin(θ-ϕ) |≤1，即|

-1≤-

1+t

t -1t 2+1t -1

，其中tan ϕ=||，0

t +1

|≤1，解之得t ≥0，∴

[-1, 0]，故本题选B

（）

巧练一：函数f (x ) =4x +2x +1+2的值域是 A ．[1, +∞)

B ．(2, +∞)

C ．(3, +∞)

D ．[4, +∞)

巧练二：(2005年，福建卷) 设a , b ∈R , a 2+2b 2=6, 则a +b 的最小值是（）

A ．-22

B ．-

533

C ．－3 D ．-

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