／／／／ｌ
■刘颖谢萌丁勇
其中，ｌｙ．一Ｙｉｌ表示任何一对样本的收入差的绝对值，ｎ是样本数量，ｐ，是收入
／
一、基尼系数的概念
意大利统计学家Ｃ．基尼在其１９１２年发表的一书中，首次提出了一种不均等指数及其计算方法。此后，英国收入分配专家达尔顿（Ｈ．Ｄａｌｔｏｎ）在１９２０年的《收入不均等的测量》一文中首次在英文文献中介绍基尼的不均等指数，并把它称之为平均差指数，而且认为该指数可以用来研究收入分配问题。从此以后，基尼的不均等指数逐步受到更多人的重视，被后人称为基尼系数，并且成为反映社会分配不平等程度、一国国民收入分配差距的重要指标。基尼系数对评估宏观经济形式、调整政策、调节社会关系，具有重要的“决策依据”价值。
（一）几何意义
美国统计学家Ｍ．Ｏ．洛伦兹在１９０７年提出了著名的洛伦兹曲线。洛伦兹首先将一国总人口按收入由低到高排队，然后考虑收入最低的任意人口百分比所得到的收入百分比，最后将这样得到的人口累积百分比和收入累积百分比的对应关系描绘在图形上，即得到洛伦兹曲线（如图１）。横轴表示人口（按收入由低到高分组）的累积百分比。纵轴表示收入的累积百分比。洛伦兹曲线的弯曲程度反映了收入分配的不平等程度。洛伦兹曲线越向横轴凸出，与完全平等线之间的面积就越大，收入分配程度越不平等。
因此，可以将洛伦兹曲线与４５度线之闻的部分Ａ叫做“不平等面积”；Ａ＋Ｂ就是“完全不平等面积”。不平等面积与完全不平等面积之比，称为基尼系数，
Ｄ
均值。经过后人的改造，现在常用的基尼系数即相对基尼系数的一般计算公式可
．
，
厶
，
ｒ
ｊ、｜
Ｂ
Ｉ
Ｏ
以表示如下：Ｇ＝≠一＝生且三｛—一，其上ｈ
２ｎ‘ｍ
∑∑ｌｙ；－ｙｊＩ
工２
Ｆ
／
只
厶
／
中，ｌｙ；一ｙＩｌ表示任何一对样本的收入差的绝对值，ｎ是样本数量，队是收入均值。
二、基尼系数计算方法
现在，经济学家已经掌握了多种计算基尼系数的方法，例如：几何法（Ｇｅｏ－ｍｅｔｒｉｃａｐｐｒｏａｃｈ）、基尼平均差法（Ｇｉｎｉ＂ｓ
／
ｏ
／
Ａ
／
圈２
只
Ｋｅｎｄａｌｌ和Ｓｔｕａｒｔ（１９５８年）在他们的（ＡｄｖａｎｃｅｄＴｈｅｏｒｙｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ）一书中提出基尼系数等于基尼相对平均差的一半，这一个重要结论使基尼系数的计算方法又向前迈进了一步。基尼绝对平均
／
／
，／
／／
／／，／／
◇
Ｐ
Ｉ
差（离散分布）表达式为：△：乓∑∑Ｉ
ｎ
ｉ＝ｉｊ＝１
Ａ
．／
Ｂ
／／
ｏ
／
Ｙｌ—ｙｊｌ，连续分布表达式为：Ａ＝Ｅｌｙｉ＿ｙｊｌ，其中ｌｙ；－ｙｊｌ表示任何一对样本的收入差的绝对值，ｎ是样本数量。基尼相对平均差
表达式为垒，所以基尼系数为：Ｇ＝拿一＝
ｌｌ，
‘“，
田１洛化兹一线
ｍ艘ｌｌｔ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ
ａｐｐｒｏａｃｈ）、协方差法
一
—１而广一一———ｉ—一一
生！ｊ！！
＝竺ｉ！！ｊ！！
ＥＥｌｙｉ－ｙｊｌ丁１∑∑ｍａｘ（Ｏ，ｙ，－ｙｊ）
（Ｃｏｖａｒｉａｎｃｅａｐｐｒｏａｃｈ）和矩阵法（Ｍａｔｒｉｘ
ｆｏｒｍ
ａｐｐｒｏａｃｈ）。每一种方法都有它们各自的优点和适用范围，而且它们是相互统一和相互一致的。
（一）几何法
如果收入的分布为离散型分布，那么洛伦兹曲线以下部分即：Ｂ区域的面
－一ｌ
（离散分布），Ｇ＝舍＝号篆吐＝ｌ—ｉ１Ｊｏ！
Ｚ也
Ｚ“
啦７
（１一Ｆ劬）毡（连续分布）。
（三）协方差法
Ｓｔｕａｒｔ（１９５４）提出基尼绝对平均差可以表示为变量值ｙｊ和序号＊（按收人大小从低到高排列，最贫穷的单位赋值为Ｔｙ＝１，最富裕的单位赋值为＊＝Ｎ）的协方差的函数，但是把这个关系与计算基尼系数联系在一起还是由后来Ａｎａｎｄ提出的。
Ｇ＝≠彳２Ａ＝２（｝一Ｂ）＝ｌ－２Ｂ。当Ａ－－０时，
＾十Ｄ
Ｚ
积可以表示为：Ｂ＝下１∑假＋。棚ａｋ。＋ｕ，
厶；＝０
基尼系数为０，表示收入分配绝对平等；当Ｂ－－Ｏ时，基尼系数为１，表示收入分配绝对不平等。基尼系数是０－１之间的数值，基尼系数越大，不均等程度越高；基尼系数越小，收入分配越平等。衡量收人差距的一般标准为：基尼系数在０．２以下表示高度平均；Ｏ．２－ｏ．３之问表示相对平均；０．３－０．４之间表示较为合理；０．４—０．５之间表示差距偏大；０．５以上为差距悬殊。
（二）计算公式
根据新帕雷格拉夫经济学辞典，基尼系数的原始计算公式是：
ｎ
其中Ｐ，是人口累积百分比，当收入Ｙ＝Ｙｉ的概率为皓上，则ｐ产上；Ｌ是收入累积ｎｎ
离散分布：Ｇ：堡型趔是由
ｍｕ，
’
百分比，如果收入的平均数为ｕ产上∑
ＩＩ
ｉ；ｌ
Ａｎａｎｄ于１９８３年提出，因为ｉ：上∑ｉ：
ｎｉ＝ｉ
ｙｉ，那么【Ｆｊ一乞Ｙｉ。ｉ为第ｉ个样本，且
ｎｕｔｉ｝Ｉ
１’一
ｉ＝ｌ＇２，…ｎ。所以基尼系数，Ｇ＝Ｉ一乞ａ■一
ｉ＝０
，ａ一－Ｉ
半，ｃｏｖ（ｙ一，）－｝＿ｙ广里乒Ｉｌ，，所以可
以写成Ｇ＝丝盘盟：妻∑，，ｙｌ＿
ＩＩ
ｎｕｙ
ｕｔ
ｉ＝１。
瑚（ｋ－＋Ｕ。
如果收入分布是连续型的，则Ｂ＝
，Ｉ
ｒ
型生，基尼系数为任意收入与其序号的协方差的函数。
连续分布：Ｌｅｒｍａｎ和Ｙｉｔｚｈａｋｉ于１９８４年提出了关于连续分布的计算公
１
＇１ｎ’ｎ
Ｊ
Ｌ（Ｐ）ｌｔｐ，基尼系数＝１—２０
（二）基尼平均差法
Ｊ
１２ｐ）ｄ９。
Ｏ
△＝—≠—ｗ三二ｌｙｉ—ｙｊＩ，０＜Ａ＜２０，
１５
鼍甘鼻决簟
２００４年第９期（总第１７７期）
式：因为在连续分布中基尼绝对平均差
ｒｂ
ｆｂ
有ｐ（ｙ．，１。）＝ｌ，Ｏ＇ｙ＝ｂｆｆｒｙ，
可以表达为：Ａ＝Ｅｌｙ．一Ｙ，｜＿』
，ｌ，
ｌｙ—ｘｌｆ（ｘ）ｆ（ｙ）
蝌慨：归≯
ｄｘｄｙ＝２
Ｆ（ｘ）【ｌ—Ｆ（ｘ）ｌｄｘ，其中Ｆ为绝对
ｂ
平均数的分布。经过部分积分和变量替
ｆ
１
可舳，＝旦案
、／ＩＺ
（７）（８）
换后可以写成Ａ＝４
ｙ（Ｆ（ｙ）－丁１）ｆ（ｙ）ｄｙ，二
又。．¨＝ａ＋ｂ彳ｙ＿ａ＋ｂ×旦争
由（７）、（８）联立可得
令ｆ（ｙ）ｄｙ＝Ｆ（ｙ），变积分区域【ｈ，ａ】为【０，ｌ】，
ｒ
原式变为Ａ＝４
ｏ¨
ｆ．ｙ（Ｆ）（Ｆ—ｉ１）ｄＦ。Ｆ是一个
二
二
尘Ｌ：！篁塑：二！￡塑互：
ｈ
ａ＋ｂｘ（Ｎ＋１）／２
，——ｒ一
ｈ俪。
２ｖ＇ｘ（ａ＋ｂ—Ｎ厂＋Ｉ）
图３：Ｐｅｎ’ｓｐａｒａｄｅ（列队分布）４
５
占占
乞Ｅ（ｇａｉｎＩｉ—＋ｊ）ｐｒ（ｉ—＋ｊ），ｐｒ（ｉ－－，ｊ）＝ｐ．ｐｊ，己
Ｊ＝ｌ
ｉ＝１
在【ｏ，ｌ】之间的分布，其均值为＿三一，所以
Ａ－－４ｃｏｖ（ｙ，Ｆ（ｙ））。由第二种方法定义基尼
系数Ｇ：叁…：地！（！必。
Ｚ．Ｕｙ
Ｉｌｙ
Ａｎａｎｄ（１９８３）和Ｙｉｔｚｈａｋ（１９８４）用不
同的方法得到了一致的结果。协方差法已经被编写成程序，可以直接用统计软件包来计算基尼系数。
基于协方差法，下面介绍一种计算基尼系数的简单方法。
ｂ何２ｖｒｒ（ａ＋ｂ－Ｎ２丛）一ｂ何一诉百
若令ａ显著小，则简化为：
鲤：
ｈ
Ｐｉ＝ｌ，Ｅ是由Ｅｉ组成的ｋｘｋ矩阵，Ｅ，，＝Ｅ（ｇａｉｎｌｉ－－＊ｊ）；ｐ＝（ｐｔ，Ｐ２＇…，曲７为由Ｐ．组成的ｋｘｌ矩阵，ｍ＝（ｍ．，ｍ。…，ｍｋ）’为每一组收入的均值组成的ｋｘｌ矩阵。所以ｍ，ｐ＝
三
乞ｍｉｐ．＝ｕ，，Ｐ’ＥＰ为总的收入差距，基尼
ｉ＝１
２订（ｂ掣一）ＶＴ（Ｍ）
、／丁（Ｎ＋１）、／丁Ｖ
、／３
（９）
系数可表示为Ｇ＝（ｍ－ｐ）。１Ｐ，ＥＰ。其中的Ｅ可以进行各种分解以得到我们所需分析的对象。由此看来，若要对基尼系数进行分解，则可以使用矩阵法。
三、结论１．第一种方法几何法简单明了，具有很强的直观性，除了本文中介绍的方法外，还有拟合曲线法，对洛伦茨曲线拟合曲线方程进而求得基尼系数；以及弓形面积法，根据弓形面积法的计算公式直接计算基尼系数。总的来说，用几何法计算基尼系数的精度比较低，只有通过细化分组来解决，分组越细，准确性越高，当组数趋于无穷大时，误差趋于零。
２．第二种方法基尼平均差法是协方差法的基础，虽然用这种方法计算基尼系数也很繁琐，但是它的思想和本质使得基尼系数不仅用于反映收入分配的不平等程度，还可以用于一切分配问题和均衡程度的分析，尤其可以用于描述财产、资本、资源、产品、市场等资源分配的均衡程度，大大地拓展了基尼系数本身的内涵。
３．协方差法是应用得最多，计算最简单的方法，由于它的优良品质，大部分统计软件以它的原理来编程－ｉ十算基尼系数。
４．矩阵法为基尼系数的分解提供了便利，在计算出基尼系数值后，为了进一步研究收入分配差距的构成和成因，可以将基尼系数进一步分解。利用基尼系数分解法，分析各项收入来源在总收入中的份额、不均等程度及其对总差距的贡献；也可以利用此方法，分析收入差距的地区构成、行业构成和人员构成。基尼系数的分解方法属于前沿理论和方法，掌握矩阵法是把握基尼系数分解的前提。
（作者单位／中央财经大学经济学院，
上海金融学院）（责任编辑／李友平）
：义（坠！）（盥＝！！：—Ｌ，／Ｎ－１一Ｎ＋Ｉ一—ｂ
联立（９）和（５）：
ｃ一％渺。
因为ｃｏｖ（ｙｉ，¨＝ｑ吖ｙｐ（ｙｔ，¨
㈩
（２）
仃，是个体收入标准差，盯ｒｙ是个体序号的标准差，ｐ（ｙ。，妨是Ｙｉ和Ｙ，相关系数。
％：摩琴
型牡渊Ｎ
：盟ｆ堕兰！）
Ｇ＝击告洮ｍ）鸨土＝古×古×、／器、／孚＝｝
尘丛。上Ｎ３
结论：若Ｐｅｎ＇ｓ
Ｐａｒａｄｅ为线性，基
尼系数＝导（当Ｎ足够大）
初看此结论可能很奇怪，假如有２个这样的序列，（１，２，３，４，５）和（１００，２００，３００，４００，５００），但这两个序列却具有相同的基尼系数值。这是因为尽管两者离散程度差异很大，但组（２）的每个数都是组（１）的１００倍，也就是说组中的每个数与均值的相对程度是一样的，组（２）仅是组（１）按一定比例的扩大。
Ｐａｒａｄｅ在现实中是凸然而Ｐｅｎ＂ｓ的（见图３中的Ｂ曲线），即收入开始增长很慢，然后收入的绝对数逐渐增加，最
后收人增长速度也不断增快，Ｂ比Ａ分配更加不公平。
（四）矩阵法
（３）
其中，∑ｆｉ－等！一）．∑（ｉ２－ｉ（Ｎ＋１）＋
Ｍ蚤半）
Ｚ
＝删生６蜒№乳ＮＮ娅２ＩＬ＋巡４盟
．‘．ｃ：一２Ｃ矿ｏｖ（ｙｉ，１）一掣挚＝
击昔毗１≯ｙ骼
如果Ｎ足够大，型嚆』一一ｌ：
（５）
ｑ：、／亭
所以，盼击＝－普ｐ（‰训
（６）
矩阵法是Ｐｙａｔｔ（１９７６）提出的，他定义基尼系数的表达式为两项的比率，即：
基尼系数可以分解为：常数Ｘ收入的标准差系数３×收入与序号的相关系数，ｏｒ，斗ｙｐ都十分好计算，甚至可以手算得出结果。
假如Ｙ和１有如下线性关系即列队分布曲线呈线形（见图３中的Ａ直线），那么可以表示为：ｙ＝ａ＋ｂｒｖ
Ｇ＿｛等。（ａ）ｇｎｌ－－Ｔ。；；荟ｍ麟（ｏ，ｙｉ一曲，称为
“平均收入差距”，如果每个个体可将他的收入与另一个体进行比较，当ｙｉ＞ｙｉ时，则ｍａｘ（０，Ｙ．一曲的值取Ｙｉ－ｙｊ，否则取零；㈣是收入的平均数Ｕ，。如果对人口分成Ｋ组，第ｉ组人口占总人口比率为Ｐ。，
所以可以将平均收入差距定义为：乞
１６
缝计与凌簟
三
／／／／ｌ
■刘颖谢萌丁勇
其中，ｌｙ．一Ｙｉｌ表示任何一对样本的收入差的绝对值，ｎ是样本数量，ｐ，是收入
／
一、基尼系数的概念
意大利统计学家Ｃ．基尼在其１９１２年发表的一书中，首次提出了一种不均等指数及其计算方法。此后，英国收入分配专家达尔顿（Ｈ．Ｄａｌｔｏｎ）在１９２０年的《收入不均等的测量》一文中首次在英文文献中介绍基尼的不均等指数，并把它称之为平均差指数，而且认为该指数可以用来研究收入分配问题。从此以后，基尼的不均等指数逐步受到更多人的重视，被后人称为基尼系数，并且成为反映社会分配不平等程度、一国国民收入分配差距的重要指标。基尼系数对评估宏观经济形式、调整政策、调节社会关系，具有重要的“决策依据”价值。
（一）几何意义
美国统计学家Ｍ．Ｏ．洛伦兹在１９０７年提出了著名的洛伦兹曲线。洛伦兹首先将一国总人口按收入由低到高排队，然后考虑收入最低的任意人口百分比所得到的收入百分比，最后将这样得到的人口累积百分比和收入累积百分比的对应关系描绘在图形上，即得到洛伦兹曲线（如图１）。横轴表示人口（按收入由低到高分组）的累积百分比。纵轴表示收入的累积百分比。洛伦兹曲线的弯曲程度反映了收入分配的不平等程度。洛伦兹曲线越向横轴凸出，与完全平等线之间的面积就越大，收入分配程度越不平等。
因此，可以将洛伦兹曲线与４５度线之闻的部分Ａ叫做“不平等面积”；Ａ＋Ｂ就是“完全不平等面积”。不平等面积与完全不平等面积之比，称为基尼系数，
Ｄ
均值。经过后人的改造，现在常用的基尼系数即相对基尼系数的一般计算公式可
．
，
厶
，
ｒ
ｊ、｜
Ｂ
Ｉ
Ｏ
以表示如下：Ｇ＝≠一＝生且三｛—一，其上ｈ
２ｎ‘ｍ
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工２
Ｆ
／
只
厶
／
中，ｌｙ；一ｙＩｌ表示任何一对样本的收入差的绝对值，ｎ是样本数量，队是收入均值。
二、基尼系数计算方法
现在，经济学家已经掌握了多种计算基尼系数的方法，例如：几何法（Ｇｅｏ－ｍｅｔｒｉｃａｐｐｒｏａｃｈ）、基尼平均差法（Ｇｉｎｉ＂ｓ
／
ｏ
／
Ａ
／
圈２
只
Ｋｅｎｄａｌｌ和Ｓｔｕａｒｔ（１９５８年）在他们的（ＡｄｖａｎｃｅｄＴｈｅｏｒｙｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ）一书中提出基尼系数等于基尼相对平均差的一半，这一个重要结论使基尼系数的计算方法又向前迈进了一步。基尼绝对平均
／
／
，／
／／
／／，／／
◇
Ｐ
Ｉ
差（离散分布）表达式为：△：乓∑∑Ｉ
ｎ
ｉ＝ｉｊ＝１
Ａ
．／
Ｂ
／／
ｏ
／
Ｙｌ—ｙｊｌ，连续分布表达式为：Ａ＝Ｅｌｙｉ＿ｙｊｌ，其中ｌｙ；－ｙｊｌ表示任何一对样本的收入差的绝对值，ｎ是样本数量。基尼相对平均差
表达式为垒，所以基尼系数为：Ｇ＝拿一＝
ｌｌ，
‘“，
田１洛化兹一线
ｍ艘ｌｌｔ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ
ａｐｐｒｏａｃｈ）、协方差法
一
—１而广一一———ｉ—一一
生！ｊ！！
＝竺ｉ！！ｊ！！
ＥＥｌｙｉ－ｙｊｌ丁１∑∑ｍａｘ（Ｏ，ｙ，－ｙｊ）
（Ｃｏｖａｒｉａｎｃｅａｐｐｒｏａｃｈ）和矩阵法（Ｍａｔｒｉｘ
ｆｏｒｍ
ａｐｐｒｏａｃｈ）。每一种方法都有它们各自的优点和适用范围，而且它们是相互统一和相互一致的。
（一）几何法
如果收入的分布为离散型分布，那么洛伦兹曲线以下部分即：Ｂ区域的面
－一ｌ
（离散分布），Ｇ＝舍＝号篆吐＝ｌ—ｉ１Ｊｏ！
Ｚ也
Ｚ“
啦７
（１一Ｆ劬）毡（连续分布）。
（三）协方差法
Ｓｔｕａｒｔ（１９５４）提出基尼绝对平均差可以表示为变量值ｙｊ和序号＊（按收人大小从低到高排列，最贫穷的单位赋值为Ｔｙ＝１，最富裕的单位赋值为＊＝Ｎ）的协方差的函数，但是把这个关系与计算基尼系数联系在一起还是由后来Ａｎａｎｄ提出的。
Ｇ＝≠彳２Ａ＝２（｝一Ｂ）＝ｌ－２Ｂ。当Ａ－－０时，
＾十Ｄ
Ｚ
积可以表示为：Ｂ＝下１∑假＋。棚ａｋ。＋ｕ，
厶；＝０
基尼系数为０，表示收入分配绝对平等；当Ｂ－－Ｏ时，基尼系数为１，表示收入分配绝对不平等。基尼系数是０－１之间的数值，基尼系数越大，不均等程度越高；基尼系数越小，收入分配越平等。衡量收人差距的一般标准为：基尼系数在０．２以下表示高度平均；Ｏ．２－ｏ．３之问表示相对平均；０．３－０．４之间表示较为合理；０．４—０．５之间表示差距偏大；０．５以上为差距悬殊。
（二）计算公式
根据新帕雷格拉夫经济学辞典，基尼系数的原始计算公式是：
ｎ
其中Ｐ，是人口累积百分比，当收入Ｙ＝Ｙｉ的概率为皓上，则ｐ产上；Ｌ是收入累积ｎｎ
离散分布：Ｇ：堡型趔是由
ｍｕ，
’
百分比，如果收入的平均数为ｕ产上∑
ＩＩ
ｉ；ｌ
Ａｎａｎｄ于１９８３年提出，因为ｉ：上∑ｉ：
ｎｉ＝ｉ
ｙｉ，那么【Ｆｊ一乞Ｙｉ。ｉ为第ｉ个样本，且
ｎｕｔｉ｝Ｉ
１’一
ｉ＝ｌ＇２，…ｎ。所以基尼系数，Ｇ＝Ｉ一乞ａ■一
ｉ＝０
，ａ一－Ｉ
半，ｃｏｖ（ｙ一，）－｝＿ｙ广里乒Ｉｌ，，所以可
以写成Ｇ＝丝盘盟：妻∑，，ｙｌ＿
ＩＩ
ｎｕｙ
ｕｔ
ｉ＝１。
瑚（ｋ－＋Ｕ。
如果收入分布是连续型的，则Ｂ＝
，Ｉ
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型生，基尼系数为任意收入与其序号的协方差的函数。
连续分布：Ｌｅｒｍａｎ和Ｙｉｔｚｈａｋｉ于１９８４年提出了关于连续分布的计算公
１
＇１ｎ’ｎ
Ｊ
Ｌ（Ｐ）ｌｔｐ，基尼系数＝１—２０
（二）基尼平均差法
Ｊ
１２ｐ）ｄ９。
Ｏ
△＝—≠—ｗ三二ｌｙｉ—ｙｊＩ，０＜Ａ＜２０，
１５
鼍甘鼻决簟
２００４年第９期（总第１７７期）
式：因为在连续分布中基尼绝对平均差
ｒｂ
ｆｂ
有ｐ（ｙ．，１。）＝ｌ，Ｏ＇ｙ＝ｂｆｆｒｙ，
可以表达为：Ａ＝Ｅｌｙ．一Ｙ，｜＿』
，ｌ，
ｌｙ—ｘｌｆ（ｘ）ｆ（ｙ）
蝌慨：归≯
ｄｘｄｙ＝２
Ｆ（ｘ）【ｌ—Ｆ（ｘ）ｌｄｘ，其中Ｆ为绝对
ｂ
平均数的分布。经过部分积分和变量替
ｆ
１
可舳，＝旦案
、／ＩＺ
（７）（８）
换后可以写成Ａ＝４
ｙ（Ｆ（ｙ）－丁１）ｆ（ｙ）ｄｙ，二
又。．¨＝ａ＋ｂ彳ｙ＿ａ＋ｂ×旦争
由（７）、（８）联立可得
令ｆ（ｙ）ｄｙ＝Ｆ（ｙ），变积分区域【ｈ，ａ】为【０，ｌ】，
ｒ
原式变为Ａ＝４
ｏ¨
ｆ．ｙ（Ｆ）（Ｆ—ｉ１）ｄＦ。Ｆ是一个
二
二
尘Ｌ：！篁塑：二！￡塑互：
ｈ
ａ＋ｂｘ（Ｎ＋１）／２
，——ｒ一
ｈ俪。
２ｖ＇ｘ（ａ＋ｂ—Ｎ厂＋Ｉ）
图３：Ｐｅｎ’ｓｐａｒａｄｅ（列队分布）４
５
占占
乞Ｅ（ｇａｉｎＩｉ—＋ｊ）ｐｒ（ｉ—＋ｊ），ｐｒ（ｉ－－，ｊ）＝ｐ．ｐｊ，己
Ｊ＝ｌ
ｉ＝１
在【ｏ，ｌ】之间的分布，其均值为＿三一，所以
Ａ－－４ｃｏｖ（ｙ，Ｆ（ｙ））。由第二种方法定义基尼
系数Ｇ：叁…：地！（！必。
Ｚ．Ｕｙ
Ｉｌｙ
Ａｎａｎｄ（１９８３）和Ｙｉｔｚｈａｋ（１９８４）用不
同的方法得到了一致的结果。协方差法已经被编写成程序，可以直接用统计软件包来计算基尼系数。
基于协方差法，下面介绍一种计算基尼系数的简单方法。
ｂ何２ｖｒｒ（ａ＋ｂ－Ｎ２丛）一ｂ何一诉百
若令ａ显著小，则简化为：
鲤：
ｈ
Ｐｉ＝ｌ，Ｅ是由Ｅｉ组成的ｋｘｋ矩阵，Ｅ，，＝Ｅ（ｇａｉｎｌｉ－－＊ｊ）；ｐ＝（ｐｔ，Ｐ２＇…，曲７为由Ｐ．组成的ｋｘｌ矩阵，ｍ＝（ｍ．，ｍ。…，ｍｋ）’为每一组收入的均值组成的ｋｘｌ矩阵。所以ｍ，ｐ＝
三
乞ｍｉｐ．＝ｕ，，Ｐ’ＥＰ为总的收入差距，基尼
ｉ＝１
２订（ｂ掣一）ＶＴ（Ｍ）
、／丁（Ｎ＋１）、／丁Ｖ
、／３
（９）
系数可表示为Ｇ＝（ｍ－ｐ）。１Ｐ，ＥＰ。其中的Ｅ可以进行各种分解以得到我们所需分析的对象。由此看来，若要对基尼系数进行分解，则可以使用矩阵法。
三、结论１．第一种方法几何法简单明了，具有很强的直观性，除了本文中介绍的方法外，还有拟合曲线法，对洛伦茨曲线拟合曲线方程进而求得基尼系数；以及弓形面积法，根据弓形面积法的计算公式直接计算基尼系数。总的来说，用几何法计算基尼系数的精度比较低，只有通过细化分组来解决，分组越细，准确性越高，当组数趋于无穷大时，误差趋于零。
２．第二种方法基尼平均差法是协方差法的基础，虽然用这种方法计算基尼系数也很繁琐，但是它的思想和本质使得基尼系数不仅用于反映收入分配的不平等程度，还可以用于一切分配问题和均衡程度的分析，尤其可以用于描述财产、资本、资源、产品、市场等资源分配的均衡程度，大大地拓展了基尼系数本身的内涵。
３．协方差法是应用得最多，计算最简单的方法，由于它的优良品质，大部分统计软件以它的原理来编程－ｉ十算基尼系数。
４．矩阵法为基尼系数的分解提供了便利，在计算出基尼系数值后，为了进一步研究收入分配差距的构成和成因，可以将基尼系数进一步分解。利用基尼系数分解法，分析各项收入来源在总收入中的份额、不均等程度及其对总差距的贡献；也可以利用此方法，分析收入差距的地区构成、行业构成和人员构成。基尼系数的分解方法属于前沿理论和方法，掌握矩阵法是把握基尼系数分解的前提。
（作者单位／中央财经大学经济学院，
上海金融学院）（责任编辑／李友平）
：义（坠！）（盥＝！！：—Ｌ，／Ｎ－１一Ｎ＋Ｉ一—ｂ
联立（９）和（５）：
ｃ一％渺。
因为ｃｏｖ（ｙｉ，¨＝ｑ吖ｙｐ（ｙｔ，¨
㈩
（２）
仃，是个体收入标准差，盯ｒｙ是个体序号的标准差，ｐ（ｙ。，妨是Ｙｉ和Ｙ，相关系数。
％：摩琴
型牡渊Ｎ
：盟ｆ堕兰！）
Ｇ＝击告洮ｍ）鸨土＝古×古×、／器、／孚＝｝
尘丛。上Ｎ３
结论：若Ｐｅｎ＇ｓ
Ｐａｒａｄｅ为线性，基
尼系数＝导（当Ｎ足够大）
初看此结论可能很奇怪，假如有２个这样的序列，（１，２，３，４，５）和（１００，２００，３００，４００，５００），但这两个序列却具有相同的基尼系数值。这是因为尽管两者离散程度差异很大，但组（２）的每个数都是组（１）的１００倍，也就是说组中的每个数与均值的相对程度是一样的，组（２）仅是组（１）按一定比例的扩大。
Ｐａｒａｄｅ在现实中是凸然而Ｐｅｎ＂ｓ的（见图３中的Ｂ曲线），即收入开始增长很慢，然后收入的绝对数逐渐增加，最
后收人增长速度也不断增快，Ｂ比Ａ分配更加不公平。
（四）矩阵法
（３）
其中，∑ｆｉ－等！一）．∑（ｉ２－ｉ（Ｎ＋１）＋
Ｍ蚤半）
Ｚ
＝删生６蜒№乳ＮＮ娅２ＩＬ＋巡４盟
．‘．ｃ：一２Ｃ矿ｏｖ（ｙｉ，１）一掣挚＝
击昔毗１≯ｙ骼
如果Ｎ足够大，型嚆』一一ｌ：
（５）
ｑ：、／亭
所以，盼击＝－普ｐ（‰训
（６）
矩阵法是Ｐｙａｔｔ（１９７６）提出的，他定义基尼系数的表达式为两项的比率，即：
基尼系数可以分解为：常数Ｘ收入的标准差系数３×收入与序号的相关系数，ｏｒ，斗ｙｐ都十分好计算，甚至可以手算得出结果。
假如Ｙ和１有如下线性关系即列队分布曲线呈线形（见图３中的Ａ直线），那么可以表示为：ｙ＝ａ＋ｂｒｖ
Ｇ＿｛等。（ａ）ｇｎｌ－－Ｔ。；；荟ｍ麟（ｏ，ｙｉ一曲，称为
“平均收入差距”，如果每个个体可将他的收入与另一个体进行比较，当ｙｉ＞ｙｉ时，则ｍａｘ（０，Ｙ．一曲的值取Ｙｉ－ｙｊ，否则取零；㈣是收入的平均数Ｕ，。如果对人口分成Ｋ组，第ｉ组人口占总人口比率为Ｐ。，
所以可以将平均收入差距定义为：乞
１６
缝计与凌簟
三