三角函数的广泛应用
摘要：
三角函数在历史长河的沉淀中，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，更是我们实际生活中不可缺少的元素。我从三角函数的发展以及生活实际应用举例两方面来研究三角函数与实际生活的紧密联系，突出三角函数应用的广泛性。
关键词：三角函数 三角函数的应用
经过数学历史的长河的沉淀，科学研究的进步，实际生活的操作。三角函数的实际应用在生活中有着不可取代的地位。三角函数可以计算三角形（通常为直角三角形）中未知长度的边和未知的角度，在导航系统，工程学以及物理学方面都有广泛的用途；有许多周期现象可以用三角函数来模拟如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。
一、 三角函数的形成与发展
三角学由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久的发展，现今使用的三角函数发展于欧洲的中世纪时期。在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学。随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。欧拉的《无穷微量解析入门》（Introduction in Analysis Infinite ）（1748年）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin 、cos. 、tang. 、cot. 、sec. 和cosec. 。
二、 三角函数与生活
通讯电缆铺设问题
如图，一条河宽km ，两岸各有一座城市
A 和B ，A 与B 的直线距离是4km ，今需铺设一条电A
缆连A 与B ，已知地下电缆的修建费是2万元
/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸
是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可
使总施工费用达到最少？
分析：设电缆为AD +DB 时费用最少，因为
河宽AC 为定值，为了表示AD 和BD 的长，不妨
设∠CAD =θ. C D B
（0
∴总费用为
4
-2sin θ+cos θy =4 secθ－2tan θ+=
问题转化为求u =4-2sin θ的最小值及相应的θ值，cos θ
sin θ-2（0，2）（cos θ,sin θ）而u =－2∙表示点P 与点Q cos θ
（0
切于点Q 时，u
取到最小值。此时K PQ
电缆应从距B 城（－
23+2（万元）。 1单位圆周上运动，当直线PQ 与圆弧4π=，∴
u min = θ=。 即水下63）km 处向A 城铺设，图三因此此时总费用达最小值3
注：本题在求u 的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。
测量问题
情景一：
如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量
者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C 测出A 、C 的距离是
55m, ∠BAC=51°∠ACB=75°，球A 、B 两点的距离。
分析：这是关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间
的距离的情景问题，情景中条件告诉了边AB 的对角AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得
AB AC =sin ∠ACB sin ∠ABC
AC sin ∠ACB 55sin ∠ACB = sin ∠ABC sin ∠ABC
55sin 75 55sin 75 ==≈65. 7(m ) sin(180 -51 -75 ) sin 54
AB =
所以A,B 两点间的距离为65.7米。
情景二：
某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了测量，如图2，他们先在A 处测得塔顶C 的仰角为30°；再向塔的方向直行80步到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为60°，请用以上数据计算塔高。（学生的身高忽略不计，1步=0.8m，结果精确到1m ）
C
D B
图2
分析：要求塔高CD ，在Rt △BDC 中求，∠CBD=60°，需求BD 或BC ，因为∠DBC= ∠A+∠BCA, 所以∠BCA=30°，所以BC=AB=80
解：过C 作CD ⊥AB 于点D
则∠CDA=90°，∠A=30°，∠CBD=60°
∵∠CBD=∠A+∠ACB
∴∠A=∠ACB=30°
∵AB=80步，1步=0.8m
∴BC=AB=80步=64m
在Rt △BCD 中，CD=BC×sin ∠CBD=64×
所以，文宣塔高约为54 m。 A ≈54（m ） 2
航海危险区域预测问题
一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？
分析：此情景如图例3可先找出小岛C 与航向(直线AB ) 的距离，再与10海里进行比较得出结论． 北北解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D
AD BC ∵cot 300=，cot 600= CD CD
0600 ∴AD =CD ⋅cot 30，BD =CD ⋅cot 600
西 ∴AD -BD =CD (cot300-cot 600) =20 A
南南20= ∴CD =例3图 33-3 ∵10＞10
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域． C D 东
足球射门问题
在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC 的直线EF 助攻到前场（如图，设球门宽AB =a 米，球门柱B 到FE 的距离BF =b 米），那么你推进到距底线CD 多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角∠APB 最大时为射门的最佳位置）？请你帮助左前锋回答上述问题。 分析：情景中要求射门的最佳位置，即只要当射门角最大时为最佳位置。所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。
若直接在非特殊APB 中利用边来求∠APB 的F G
最值，显得比较繁琐，注意到∠APB =∠APF －∠BPF ，而后两者都在Rt 中，故可应用直角三角形的性质求解。
解：如图，设FP =x ，∠APB =α，∠BPF =β（α、β为锐角），则∠APF =α+β，tg (α+β) =tg α= tg [(α+β) －β]=a +b x , tg β= b x , tg (α+β) -tg β=1+tg (α+β) ⋅tg β(a +b ) ⋅b a 。若令y =x +，(a +b ) ⋅b x x +x
则y ≥2x ⋅(a +b ) ⋅b (a +b ) ⋅b =2(a +b ) ⋅b ，当
x =, 即x 时，y 取到x x
最小值2(a +b ) ⋅b
，从而可知x
时，tg α取得最大值，即tg α=时，α有最大值。故当P 点距底线CD 为(a +b ) ⋅b 米时，为射门的最佳位置。
依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行
冲浪运动。
通过生活中的例子我们可以体会到三角函数在生活中应用之大。历经历史长河的沉淀，三角函数不仅是科学研究的重要组成部分，还是实际生活应用中不可缺少的。通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，也可以体会到三角函数在生活中应用之大。在设“角”求解的生活情景中一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。
参考文献：
[1].陈上太. 三角函数最小正周期的求法. 数学教学研究[J],1999,(1):26-28.
[2].董志立. 三角函数求最值问题类型解法透析. 希望月报
[J],2007,(8):110-111.
[3].刘丽英. 三角形中一类极值问题的解题基本思路及方法. 中国科教创新导刊
[J],2009,(15):80-85.
[4].曾广述. 三角形中的三角函数问题求解策略. 中等职业教育
[J],2007,(35):56-58.
[5].祝全力. 三角函数的最值问题探索. 中国科教创新导刊[J],2009,(3):72-77.
[6].李尚志．从数学中享受快乐．数学通报，2004，12
[7]. 张顺燕．数学教育与数学文化．数学通报，2005，2
三角函数的广泛应用
摘要：
三角函数在历史长河的沉淀中，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，更是我们实际生活中不可缺少的元素。我从三角函数的发展以及生活实际应用举例两方面来研究三角函数与实际生活的紧密联系，突出三角函数应用的广泛性。
关键词：三角函数 三角函数的应用
经过数学历史的长河的沉淀，科学研究的进步，实际生活的操作。三角函数的实际应用在生活中有着不可取代的地位。三角函数可以计算三角形（通常为直角三角形）中未知长度的边和未知的角度，在导航系统，工程学以及物理学方面都有广泛的用途；有许多周期现象可以用三角函数来模拟如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。
一、 三角函数的形成与发展
三角学由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久的发展，现今使用的三角函数发展于欧洲的中世纪时期。在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学。随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。欧拉的《无穷微量解析入门》（Introduction in Analysis Infinite ）（1748年）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin 、cos. 、tang. 、cot. 、sec. 和cosec. 。
二、 三角函数与生活
通讯电缆铺设问题
如图，一条河宽km ，两岸各有一座城市
A 和B ，A 与B 的直线距离是4km ，今需铺设一条电A
缆连A 与B ，已知地下电缆的修建费是2万元
/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸
是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可
使总施工费用达到最少？
分析：设电缆为AD +DB 时费用最少，因为
河宽AC 为定值，为了表示AD 和BD 的长，不妨
设∠CAD =θ. C D B
（0
∴总费用为
4
-2sin θ+cos θy =4 secθ－2tan θ+=
问题转化为求u =4-2sin θ的最小值及相应的θ值，cos θ
sin θ-2（0，2）（cos θ,sin θ）而u =－2∙表示点P 与点Q cos θ
（0
切于点Q 时，u
取到最小值。此时K PQ
电缆应从距B 城（－
23+2（万元）。 1单位圆周上运动，当直线PQ 与圆弧4π=，∴
u min = θ=。 即水下63）km 处向A 城铺设，图三因此此时总费用达最小值3
注：本题在求u 的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。
测量问题
情景一：
如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量
者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C 测出A 、C 的距离是
55m, ∠BAC=51°∠ACB=75°，球A 、B 两点的距离。
分析：这是关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间
的距离的情景问题，情景中条件告诉了边AB 的对角AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得
AB AC =sin ∠ACB sin ∠ABC
AC sin ∠ACB 55sin ∠ACB = sin ∠ABC sin ∠ABC
55sin 75 55sin 75 ==≈65. 7(m ) sin(180 -51 -75 ) sin 54
AB =
所以A,B 两点间的距离为65.7米。
情景二：
某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了测量，如图2，他们先在A 处测得塔顶C 的仰角为30°；再向塔的方向直行80步到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为60°，请用以上数据计算塔高。（学生的身高忽略不计，1步=0.8m，结果精确到1m ）
C
D B
图2
分析：要求塔高CD ，在Rt △BDC 中求，∠CBD=60°，需求BD 或BC ，因为∠DBC= ∠A+∠BCA, 所以∠BCA=30°，所以BC=AB=80
解：过C 作CD ⊥AB 于点D
则∠CDA=90°，∠A=30°，∠CBD=60°
∵∠CBD=∠A+∠ACB
∴∠A=∠ACB=30°
∵AB=80步，1步=0.8m
∴BC=AB=80步=64m
在Rt △BCD 中，CD=BC×sin ∠CBD=64×
所以，文宣塔高约为54 m。 A ≈54（m ） 2
航海危险区域预测问题
一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？
分析：此情景如图例3可先找出小岛C 与航向(直线AB ) 的距离，再与10海里进行比较得出结论． 北北解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D
AD BC ∵cot 300=，cot 600= CD CD
0600 ∴AD =CD ⋅cot 30，BD =CD ⋅cot 600
西 ∴AD -BD =CD (cot300-cot 600) =20 A
南南20= ∴CD =例3图 33-3 ∵10＞10
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域． C D 东
足球射门问题
在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC 的直线EF 助攻到前场（如图，设球门宽AB =a 米，球门柱B 到FE 的距离BF =b 米），那么你推进到距底线CD 多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角∠APB 最大时为射门的最佳位置）？请你帮助左前锋回答上述问题。 分析：情景中要求射门的最佳位置，即只要当射门角最大时为最佳位置。所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。
若直接在非特殊APB 中利用边来求∠APB 的F G
最值，显得比较繁琐，注意到∠APB =∠APF －∠BPF ，而后两者都在Rt 中，故可应用直角三角形的性质求解。
解：如图，设FP =x ，∠APB =α，∠BPF =β（α、β为锐角），则∠APF =α+β，tg (α+β) =tg α= tg [(α+β) －β]=a +b x , tg β= b x , tg (α+β) -tg β=1+tg (α+β) ⋅tg β(a +b ) ⋅b a 。若令y =x +，(a +b ) ⋅b x x +x
则y ≥2x ⋅(a +b ) ⋅b (a +b ) ⋅b =2(a +b ) ⋅b ，当
x =, 即x 时，y 取到x x
最小值2(a +b ) ⋅b
，从而可知x
时，tg α取得最大值，即tg α=时，α有最大值。故当P 点距底线CD 为(a +b ) ⋅b 米时，为射门的最佳位置。
依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行
冲浪运动。
通过生活中的例子我们可以体会到三角函数在生活中应用之大。历经历史长河的沉淀，三角函数不仅是科学研究的重要组成部分，还是实际生活应用中不可缺少的。通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，也可以体会到三角函数在生活中应用之大。在设“角”求解的生活情景中一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。
参考文献：
[1].陈上太. 三角函数最小正周期的求法. 数学教学研究[J],1999,(1):26-28.
[2].董志立. 三角函数求最值问题类型解法透析. 希望月报
[J],2007,(8):110-111.
[3].刘丽英. 三角形中一类极值问题的解题基本思路及方法. 中国科教创新导刊
[J],2009,(15):80-85.
[4].曾广述. 三角形中的三角函数问题求解策略. 中等职业教育
[J],2007,(35):56-58.
[5].祝全力. 三角函数的最值问题探索. 中国科教创新导刊[J],2009,(3):72-77.
[6].李尚志．从数学中享受快乐．数学通报，2004，12
[7]. 张顺燕．数学教育与数学文化．数学通报，2005，2