第１３卷第６期
Ｎ０・６
型竺！！旦
丝些竺些竖型燮—————』坠竺一
长春大学学报
Ⅷ・１３
文章编号：１００９—３９０７（２００３）０６一００３６—０４
逆微分算子的分解与常系数高阶线性微分方程的求解
贡韶红
（江阴职业技术学院基础部，江苏江阴２１４４３１）
摘要：讨论了微分算子度其逆算子的可分解性，给出求常系数高阶线性微分方程通解的逆算子
方程，根据逆算子ｚ杀万的复合及分解可直接积分求出微分方程五（Ｄ）ｙ＝“＃）的通解。
关键词：线性微分方程；逆算子法；算子分解；通解中图分类号：０１７５．３
文献标识码：Ａ
Ｌ（Ｄ）ｙ＝“＃）
（２）
而方程（１）对应的特征方程为
解非齐次常系数ｎ阶线性微分方程
￡（ｒ）＝ｒｎ＋ｐｌ，一１＋Ｐ２，一２＋……＋ｈ一１ｒ＋ｈ：Ｏ．Ｙ”’＋ＰｌＹ胪１＋ｐ２广＿ｚ＋……＋Ｐ∥＝，【茸），（１）显然，如果￡（ｒ）＝（，一７１）（ｒ一’２）……（ｒ—ｒｎ），则￡（Ｄ）＝（Ｄ—ｒ１）（Ｄ—ｒ２）……（Ｄ—ｈ）．
定义￡（Ｄ）的逆算子为ｉ尚，即ｙ＝丽１
｝，（＃）｝应为方程（２）的通解。易知：
击｛，（，）｝－ｊ，（＊）出，
。
，‘
百１｜，（＊）｝＝Ｊ“＊）甜
：ｆ［ｆ［……Ｊｆ（ｘ）ｄ。］……］ｄ；］ｄ，，
ｋ７ｒ税付
同时￡（Ｄ）及其逆算予豇ｂ均为实函数集上的线
性算子。
定义算子运算
（１）【南＋南】Ｉｆ（＊）｝＿志删＋
南ｆ“＊）｝，
引入线性微分算子
￡（Ｄ）＝矿＋ｐＩ矿一１＋ｐｚＤ４—２＋・…・＋ｍ一１Ｄ＋“
（２）【丽ｋ】Ｉｆ（＊）｝＿☆。志｛“＊）Ｊ，（３）［丽１・南】Ｉｆ（＊）ｆ＝志｛南｛“州．
），女，扛苏省江阴市人．江阴职业技术学院讲师，硕士，主要从事函数论和常微分方程的研究。
万方数据
０引言
国内教材中常用的方法是待定系数法和常数变量法。［“２］待定系数法须分两步走，可处理的方程也仅“＊）＝Ｐ『。（＊）ｅ“类型，常数变易法适用范围宽，但牵涉到高阶线性方程组求解和逐个积分，当方程的阶数较高时，就运算而言两种方法都很烦杂。此外这两种方法建立的基础都是猜试法，其完备性值得怀疑。文献［３］、［４］针对高阶线性微分方程漂亮地引入了微分算子及其逆算子的记号，引入逆算子求解法，但对高阶逆微分算子的复合性与线性可分解性探讨不深入。本文通过分析逆微分算子的复合性，简单而令人信服地给出ｎ阶线性微分方程的直接积分公式，同时证明不仅ｎ阶微分算子可分解，而且其逆算子更可分解为最简单的逆算子的线性组台，从而为求解常系数高阶线性齐次微分方程的特征方程法提供了理论依据，更使高阶线性非齐次微分方程的求解问题变得透明。
１预备知识
其中ｊＤ＝忑ｄ，驴＝砑ｄｋ（Ｉ＝ｌ，２，……）
则ｎ阶线性微分方程（１）可记为
收稿日期：２００３．０８．２５作者简介：贡韶红（１９６８一
２袭苎雪法求解常系数ｎ阶线性微嫠噩。嚣曩捌‘：嘉ｊ：爻５磊未为
分方程
苎！塑
重塑竺！堂堂坌苎王竺坌塑皇堂墨塑壹堕些堡堂坌查堡竺查竺————————！：一
……”。■“…“…～。”…………
定理ｌ设￡（Ｄ）、ｓ（Ｄ）是任意两个微分多项式算子，则
１
１
１
￡（Ｄ）Ｓ（Ｄ）一Ｓ（Ｄ）Ｌ（ｏ）。Ｌ（Ｄ）Ｓ（Ｄ）’１——一！——一
证明对于微分方程Ｌ（Ｄ）ｓ（ｏ）ｙ＝“ｘ），（３）
显然上式中Ｌ（Ｄ）与Ｓ（Ｄ）可交换，令ｓ（ｏ）ｙ＝＝，
（４）则方程（３）降阶为Ｓ（Ｄ）ｚ＝“＊），
（５）
解方程（５）得＝＝丽蜀ｔｆ（ｚ）｝・由（４）得方程（３）通解
ｙ２豇蜀１＝Ｉ。豇蜀。
｛南５ｔｆ（州＝【南・南］Ｉｆ（圳．
类似地，首次变换中若令Ｓ（Ｏ）ｙ＝：则可证方程（３）通解为
，＝南｛南｛，（州＝【南・南ｍ）｜．
故方程（３）通解
ｙ：币南ｉｆ（圳：【南。…＇－－，１
Ｉ／（ｘ）ｌ
＝【南。南】Ｉｆ（ｘ）ｌ，
由，（ｗ）的任意性知算子运算满足交换律
１
１
１
１
】
可两。可可。可两’可剪。可可可可‘
定理２一阶线性微分方程（Ｄ—ｒ）ｙ＝“＊）的通解为
Ｙ＝去Ｉｆ（ｘ）｝＝ｅ“Ｊ“＊）ｅ－“ｄｘ・
１
ｆ
（６）
证明（Ｄ—ｒ）ｙ＝ｆ（Ⅳ）即一阶线性微分方程Ｙ’一吖＝“Ⅳ），显然其通解为（６）式。
定理３设ｒ１、７２……ｒｎ是特征方程￡（ｒ）＝０的ｎ个特征根，则ｎ阶线性微分方程Ｌ（Ｄ）Ｙ＝ｆ（ｚ）的通解为
，２商Ｉｆ（ｘ）ｌ
２面＝币面＝南＝可万习｛“ｚ）｝：。ｒ—Ｊｃ。一“—。ｒ。一ｔｘｊｃ。一ｒ。一，ｘ。“一：＊ｊ．．．．．．ｊ
［。一。；。”ｆ“。）ｅ一＊如］出……也］如］如．
证明由７ｔ、ｒ２……、ｈ是特征方程Ｌ（ｒ）＝０的ｎ个特征根，知
￡（ｒ）＝（ｒ—ｒ・）（ｒ—ｒ２）……（ｒ—ｈ），
万方数据
ｙ。研与ｊＩｆ（＊’｝
＝面＝币面＝与＝可矿习｛“。）｝
ｉ一ｏ
！流案Ｉ：壶Ｄ－
：ｒｌ
Ｄ
一
ｒ２
．
．
＝ｅ”ｆ［ｅ一”ｅ，＾。。Ｊ［ｅ１“５ｅ“２’Ｊ＿…一Ｊ
Ｄ鬻！…』
ｈｊ
ｕ、？¨
［ｅ－ｒ２ｘｏ，ｌｘ
Ｉｆ（ｘ）ｅ－ｆｉｘｄ。］ｄｘ．…．．ｄ』］ｄ。］ｄ＊．
推论矗矛Ｉｆ（＊）ｌ＿－－ｅ“１“＊）ｄ≯・
根据定理３，只要自由项“ｘ）连续，则ｎ阶线
性微分方程Ｌ（川ｙ＝“＊）从理论上是可解的，其求
解过程即为计算ｙ
２可知Ｉｆ（ｘ）｝的过程，所以需
要对逆算子南的运算性质进行进一步探讨。
３逆微分算子的可分解性
由定理１，逆微分算子可进行复合分解。这里
我们将进一步证明任意逆算子ｚ南可分解为最简
单的逆算子的线性组合。
７丢１：＿Ｌ上＋上上，而
设ｒ。≠ｒ２＇对于有理分式分解，我们有
（ｒ—ｒ１）（，一７２）一ｒｌ—ｒ２
ｒ—ｒｌ’ｒ２—７ｌ
ｒ一‘２“…
对于逆算子运算也有相似结果。
定理４
设ｒ－≠ｒ：・则可Ｆｊ了１再ｉ习２
ｉｉ而ｉ＋ｉｉ面五。
证明对于微分方程（Ｄ—ｒ１）（Ｄ—ｒ２）ｙ＝“ｚ），其通解为
ｙ
２面了汉１面ｊ．Ｉｆ（ｚ）｝
＝ｒｇｘ
甜，』［『川ｅ－ｔｌ＊ｄｘ，ａ（嚣），ｊ［ｅ。ｎ５ｅｋＪ“＊）ｅ一，ｔ。如］如
ｅ一。筹虮点ｅＶ甜，并』ｆ（ｘ）ｅ．”¨∥ｊ㈩ｒ１一ｒ２ｒｌ—ｒ２
ｊｆ（ｘ）ｅ－”叭
。
｝ｉｅ”ｊ“＊）ｅ－ｒ２ｘｄｘ，
“点志＋点一Ｉｆ（ｏ－，；Ｊ２【７五而：＋ｉｉ
Ｉｆ（训．。儿
由ｆ（ｚ）的任意性知，
万ｊ柄＝忐而１ｉ＋去×
—』一
Ｄ一７２＋
且耻一ｌｉｒａ耕（ｉ＝５＋小＋２，…’，ｍ），４＃２丽，，护【１万厂Ｊ¨“’岛妒丁南一护ｄ］－Ｉｌｉｍ［％学】（…，２，
立，于是有理真分式南可分解为部分分式的和：
根据定理１的结论可推知。当小ｒ２、ｒ３均为
特征单根时
ｌ
（８）……．ｓ；ｊ＝１，２，…，趣）．
证明在复数域中，任一多项式都可唯一地分
解为一次因式的乘积，故（７）式从形式上普遍成
（Ｄ
ｌ
ｒ１）（Ｄ一７２）（Ｄ—ｒ３）
—Ｄ—ｒｌ
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．！．．．．．．．．一
（Ｄ一１＂２）（Ｄ—ｎ）
＝击・【击南＋点志】，
＝去【＿ＬｒＩ－ｒ２瓦１＋上ｒ２－ｒｌ志１＋＿Ｌｒ３－ｒ２×【忐击＋去ｒ３］，Ｉｉ鬲而；＋ｉｉ
’
＋≠缸＋南。堡！！＋¨…＋且，
ｒ一‘＋２
ｒ一７“
丽２百可ｉ＋了可”…＋一一＋南＝尚＋若知一…＋业ｒ－ｒＩ＋
（９）
再１：＋Ｅｊ柄×矗葛．面ｊ赢
面对于出现重根的情形，我们有
１
２五＝习瓦＝币而；＋而）（ｒ２一。＝五＝方矗习亡暑＋五ｊ：辆ｒ３）×
。——’【ｉ五万：＋ｊＦｉ一一ｒ２＝一１Ｄ－ｒｌ・［志南＋击击Ｄ】，
１
１
式（９）两端同乘（ｒ—ｒｉ）（ｓ＋１ｓ１曼ｍ），令ｒ—ｒｆ，两端取极限，有
耻粤哥（㈦“Ⅲ，…’，毗
类似地，式（９）两端同乘（ｒ—ｒｉ）々（１ｓｉ≤ｓ），再逐次求导，令ｒ—ｎ，两端取极限，有
Ｊ’
—
……，５；ｊ＝ｌ，２，……，‰），
铲旷ｌ一川，ｌｈｎ。黔【错】（ｉ＝１’，，
根据ｚ南分解过程与有理分式ｚ南的分解过
推论
设ｒｌ、ｒ２……、ｈ各不相同，则
２ｉｉ面ｊ了＋ｉｉ—（Ｄ－—ｒ１）（Ｄ－ｒ２一）’
１
２—ｒＩ－—ｒ２面ｊ≯一瓦＝掰万ｒ－＋
一
一
！
！！
！一＋
程的对应性，知定理结果成立。
（７２—１＂１）”Ｄ—ｒ２‘
上一０
１．上
Ｌ（Ｄ）一岛．照．（”ｑ）Ｄ—ｑ
递推可知，任意微分逆算子ｉ为两均可分解，
４应用举例
因为微分逆算子的线性可分解性。高阶线性微分方程求解问题变得透明。
对于ｎ阶线性齐次微分方程Ｌ（Ｄ）ｙ＝０，（１０）若其对应的特征多项式Ｌ（ｒ）＝（ｒ—ｎ）‘・（ｒ—ｒ２）屯……（ｒ一，Ｊ）‘・（ｒ—Ｌ＋１）（ｒ—ｏ＋２）……（ｒ一‰），
其分解过程与有理分式南的分解过程完全相同。
于是我们有结果：
定理５设￡（ｒ）＝（ｒ—ｒ１）‘－（ｒ—ｒ２）‘：……（ｒ—ｎ）ｔ（ｒ一‘＋１）（ｒ—ｒｓ＋２）……（ｒ—ｒｍ），
（７）
其中ｍｒ２……、ｈ各不相同，则
面一…＋研＋面可＋正ｉ＋而１Ｄ＝方Ｄ‰ｒｌ＋南＋．…＋而ＡｌｋＩ＋”…＋考每＋南＋惫＋惫Ｄｒｊ＋惫Ｄ＋”…＋Ｄ鑫，瓦Ａｌｋｌ＋．．…＋考靠＋南＋去＋瓦＋……＋ｉｉｉ丽＋ｉ面ｉ二ｉ刀＋瓦＋
其中ｍｒ２……、ｈ各不相同，则由定理５，
三（）一（
一
’
可可２面ｊ两＋面ｉ：伊”…。
１
Ａｌｌ
Ａ１２
一‘＋２‘
）‘－’（Ｄ一７１）‘ｔ一１’
一十ｌ‘
一‰’
其中所有Ａ。Ｉ≠０（ｉ＝１，２，……。ｓ），Ｂｉ≠Ｏ（ｉ＝ｓ＋１，ｓ＋２，……，ｍ）。
悲＋惫Ｄ＋．…＋Ｄ击，
口一Ｌ＋ｌ’
一Ｌ＋２。
一ｒｍ’
万方数据
第６期贡韶红：逆微分算子的分解与常系数高阶线性微分方程的求解
３９
其中所硐Ａａ≠Ｏ【ｉ＝１，２，……，ｓ），Ｂｉ≠ｕｔ１＝
ｓ＋１，ｓ＋２，……，ｍ），
●
‘●
则方程（Ｉｏ）通解为
Ｙ
２可两｛０１１２笛裔
面寺币｛ｏ｝＋薹，忐｜０１．
下面我们对其中的各部分算式的运算进行探讨
（１）当ｒ为实数时，设下面式中Ａ≠０，Ｂ≠击Ｉｏｔ对Ｊｏ．ｅ‰－ｃｅ“，
万舞Ｉｏｔ＝舻Ｊ‘Ｏ．ｅ－４以＝ｅ８（ｃ・＋ｃ２ｚ
＋……＋∞‘一１）．
（２）当ｒ＝ａ＋坍是Ｌ（ｒ）＝０的☆重特征根时，由多项式分解性质知ｉ＝ａ一坍必是其々重根，由
（口～口一妒）‘＋（一口一班）‘一１＋……＋
面告诃＋面Ｄ知一…＋
一Ⅱ一沪＋（Ｄ—ｄ＋驷）‘＋（
一ａ＋秽）‘一１＋……
＋Ｄ—－ａ—＋ｉｐ‘
风
忙南粤，黔【斜】，Ｂｉ＝南磐。筹［掣】
（ｉ；１，２……ｋ），
［黼＋击蓊】Ｉｆ（圳＝２Ｒｅｘｆ热＋尚Ⅲ
ｈｋ
ｉ＋１ｅ（ａ＋叫０ｄ∥）
ｒ
Ｊｌ一１
，
万方数据
＝Ｒｅ｛∥（ｃｏｓ肚＋ｊｓｉｎ胁）［Ｃｌ＋Ｃ２ｘ＋……＋ｃ∥。
一ｉ（ｃ’ｌ＋ｃ’２ｚ＋……＋Ｃ’一一１）｝，
＝ｅ甜ｃ０８皿（Ｃｌ＋Ｃ２＊＋……＋ｃ一一１）＋ｅ＝ｓｉｎ／ｋ（Ｃ’ｌ＋Ｃ’２ｊ＋・…”＋Ｃ’∥卜１）．
由上可知，高阶线性常系数齐次微分方程通解完全由其特征方程根的情况决定，逆算子的分解为特征方程法提供了理论依据。
对于非齐次高阶线性常系数微分方程，逆算子法大大丰富了可求解方程类型，而算子分解又使运算更加简明。
例１求微分方程ｙ（耵＋，＝ｓｅｃ２＊的通解。解：这里Ｌ（Ｄ）＝Ｄ２（Ｄ＋ｉ）（Ｄ—ｉ），由定理５
知
１
ｎ
ｂ
ｃ
ｄ
豇面。矛＋百＋万ｉ＋ｉ再，
易知口＝１，ｃ＝专，ｄ＝一音，而ｂ：ｌｉｒａ兰‘
‘
ｍ
ｄｒ
【南］＝蚜导［南】－ｏ＇
敢原方程通解为
ｙ＝南｛黜２ｓ
ｏ
＝［击＋号击一号矗】耐ｚ｝５【面＋ｉ万ｊ—ｉ万再Ｊ｛＊一ｚｆ
＝Ｊ［Ｊ甜地ｋ＋２Ｒｅ｛－÷击｛８ｅＣ２＊Ｉ）
＝山№ｘＩ＋ｃ”ｃ：＋２Ｒｅ｛号ｅ“Ｊｅ一矗础）
：一ｌｎｌ
ｃ∞＃ｆ＋ｃｌ＊＋ｃ２＋ｃｏｓ＃ｆ矗∞．ｍｇｄ。一
ｓｉ。。Ｊ。。ｃ２。。∞。
＝一ＩｎＩｃ０Ｂ￡Ｉ—ｓｉｎｘｌｎＩｓｅｅｘ＋培＊Ｉ＋Ｃｔｘ＋Ｃ２＋Ｃ３ｃｏｓ＊＋Ｃ４ｓｉｎｘ．
例２求微分方程ｙ‘”一２ｙ‘３）一，４－２ｙ’＝＃＋解：这里Ｌ（Ｄ）＝Ｄ（Ｄ２—１）（Ｄ一２），由定理５玎而２一Ｄ＋万ｊ＋南＋万ｊ，
—』一一口．Ｏ
ｃ
ａｔ
ｎ＝而【钿＝吉，类似地，６＝一吉，ｃ
１
，
１
。一ｉ，ｄ２ｉ，（下转第４２页）
０。则
定理５，ｚ南的分解式中应含有如下部分项
Ｄ考与＋南＋矿Ｄ毫矛＋．．…
而其中Ａ１≠Ｏ，Ｂｌ≠Ｏ，且
显然，Ａｉ＝或（ｉ＝１，２，……≈），于是算子
石Ｄ—！专兰匆与ｎＤ—！毫ｉ．４茂－矛相互共轭，从而（一ａ一啦）ｏ（一ｇ骝）‘～““’…”。
｛考警蓊ｔｆ（圳）（ｊ＝・，２＇…㈣．
设也一…≠Ｏ，有
＝：＆｛考瀚｛叫
；２Ｒｅｅ。的通解。
推论知
其中
故原方程通解为
＝Ｒｅ｛ｅ‘４＋。’。Ｊ（Ｃｏ—ｉＣｏ）ｄ＊‘一１），
，＝可裔｛ｚ＋ｅ。ｊ
４２
。
兰童查兰兰塑
苎！！堂
凡＝０．８９
Ｒ２２０・９４
容广泛、理论性强，学生完全掌握是比较困难的。相关系数Ｒｌ＞０、Ｒ２＞０接近１，说明它们之另一方面，新生刚进入大学后还不适应大学教学方间呈正相关关系，线性代数、概率统计成绩随高等式，成绩低是可以理解的。但是高等数学成绩太低数学成绩呈正比例近似线性变化。这进一步说明高（尤其在４０分以下），对今后课程成绩的影响是非等数学成绩对线性代数、概率统计成绩的影响是非常明显的。这主要是由于成绩太低，使学生产生了常显著的。
大学学习太难的心理障碍，对学习失去了信心，这对学生的大学时期的学习将产生不利的影响。因此３结束语
在保证教学质量的前提下，在教学中做到由易到众所周知，成绩的好坏是受多种随机因素的影难、循序渐进，适当降低考题难度，使大部分学生响。这里只想说明这样一个问题，由于高等数学是都获得较好成绩。这样可消除学生的大学学习非常大学生人学接触到的第一门基础课，它学时长、内
难的心理障碍，提高学生对学习的自信心，顺利地完成大学的学习，以一名合格的大学生进人社会。
Ｔａｌｋｉｎｇａｂｏｕｔｉｎｔｅｒｒｅｌａｔｉｖｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
ｏｎ
ｒｅｐｏｒｔｏｆｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
舢Ｇ
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（Ａｐｐｌｉｅｄ
Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｃｏｌｌｅｇｅ，ＣｈａｎｇｃｈｕｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｎａｇｃｈｕｎ１３００２２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｄｖａｎｃｅｄｔｈｅ蜘ｅｄｕｃａｔ／ｄｎ．１ｈｅｙ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ⅸ哂蒯１１９
ｒｎａｔｈｅａｌＢ【ｉｃｓ，ｅｓｐｅｃｉａ】１ｙ１ｂｌｅａｒ
ｄ咖。ｐｘｘ“ｂｉｌｉｔｙ
ａｎｄｓｍｉｓｆｉｃｓａ∞ｔｈｅｍａｉｎｂａｓｉｃ
ｃｏｕｌｓｅｓ
ｉｎ
ａｒｅ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｃｕｒｒｉｅｕｌｕｎ＊．Ｔｂｅｙｈａｖｅａ
ｃｌｏｓｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ．Ｂｙｃｏｍｐｅｒｌｓｉｏｎｏｆｓｃｂｅｏｌｍｐａｒｔｓ．ｔｉｌｅｐａｐｅｒ
ｔｒｉｅｓｔｏ
ｓｂｅｗｔｈｅ北ｌａｔｌｏｎａｎｄｉ棚惋ｎｏｅ
ｋ船帆ｅｄｗ－，啪ｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄ州他ｅ【ｉｎｇｍ毗ｂｅｍａ垃髑ａｎｄｇｌｗ
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ｔｅ∞ｈｉＩＩｇ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｄｖａｎｃｅｄｍａｌｌｉｃｍａｆｉｃ８；ｌｉｎｅａｒ
ｄ目Ｂｈ；ｐｅ８ＢｉｂｔＵｔｙ
ｔｂｅｏｔ７ｓａｄｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ
（上接第３９页）
参考文献：
＝叫ｉ一一一——一一面订＋ｉ百ｊＪ【｛一１一１—ＤＬ－１一１百ｂ＋ｉ１百与】Ｉｘ＋ｅｑＤ
６２
，’
［１］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等：｛』ｃ。＋，，如。吉矿』ｈ＋，）。一＊出一｛。一ｘ
教育出版社，１９８８．
［２】
王高雄，周之锗等．常微分方程［Ｍ】．北京：高等Ｊ（。＋，）ｒ出＋告护Ｊ。＋酽）。一“山
教育出版社，１９８３：１０１—１４６．
［３］叶彦谦．常微分方程讲义［Ｍ］．北京：人民教育出＝｛≯＋｛＊一吉ｚ∥＋ｃｔ＋ｃ矿＋ｃ３矿＋ｃ４≯．
版社．１９９７．１６１—１９６．
［４］
彭如海，求解高阶常系数线性方程的直接积分法［Ｊ］．
华东船舶工业学院学报，砌，１４（２）：３５—３９，
Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｉｎｖｅｒｓｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆ
ｈｉｇｈ－ｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ
ＧＯＮＧＳｈａｏ－ｈｏｎｇ
（Ｄｉｖｉｓｉｏｎ
ｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｉｓｅｓ，ＪｉａｎｇｙｌｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＣｏｌｌｅｇｅ．Ｊｉａｎｇｙｉｎ２１４４００。Ｃｈｉｎａ）
Ａｌ蝌珊ｄ：Ｔｈｅ
０ｚｃｏｍｐ础ｉｏ．ｏｆ
ｌｌｉ咖ｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｔｈｆｆｅｒｅｎｔｌａｌｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄ鲫他甲柚ｉｎｇ
ｃｏｎｔｒａ－ｏｐｅｒａｔｏｒｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ
ｇｉｖｅｎ
ｉｎｖｅｒｓｅ
ｄｉｆｆｅｎ！ｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｍｅｔｈｏｄ
ｃｄＩＩ
ｅｑｕａｔｉｍ－１ｗｉｔｈｃｏ．ｒａｎｔｃｏｅｆｆｉｄｅｎｔｓ
Ｌ（Ｄ）
ｙ＝ｆ（ｘ）０ｎ“Ⅲｓ
ｏｆｔｌｌｅ哪‰ａｎｄ州ｄｏｌ｜０ｆ慨ｍ般州正咖南．
ｂｅｕｓｅｄｔｏｄｅｃｉｄｅｔｈｅｇｅｎｅｎｄｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｈｉｇｈ－ｏａｈｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｘｅｍｉｎｌＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｍｌｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｖｅｒｓｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｏｐｅｒａｔｏｒ
ｍｅｔｈｏｄ；ｄｅｃａｎｌｘ＾ｉｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒ；ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｍａ
万方数据
逆微分算子的分解与常系数高阶线性微分方程的求解
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
贡韶红
江阴职业技术学院,基础部,江苏,江阴,214431长春大学学报
JOURNAL OF CHANG CHUN UNIVERSITY2003，13(6)1次
参考文献(4条)
1.同济大学数学教研室 高等数学 19882.王高雄.周之铭 常微分方程 19833.叶彦谦 常微分方程讲义 1997
4.彭如海 求解高阶常系数线性方程的直接积分法[期刊论文]-华东船舶工业学院学报(自然科学版) 2000(02)
引证文献(1条)
1.李大林 用无限阶Toeplitz矩阵求常系数微分方程的级数解[期刊论文]-大学数学 2007(3)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_ccdxxb200306013.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：4774bedb-55fa-41ae-84b9-9dcb015f987b
下载时间：2010年8月7日
第１３卷第６期
Ｎ０・６
型竺！！旦
丝些竺些竖型燮—————』坠竺一
长春大学学报
Ⅷ・１３
文章编号：１００９—３９０７（２００３）０６一００３６—０４
逆微分算子的分解与常系数高阶线性微分方程的求解
贡韶红
（江阴职业技术学院基础部，江苏江阴２１４４３１）
摘要：讨论了微分算子度其逆算子的可分解性，给出求常系数高阶线性微分方程通解的逆算子
方程，根据逆算子ｚ杀万的复合及分解可直接积分求出微分方程五（Ｄ）ｙ＝“＃）的通解。
关键词：线性微分方程；逆算子法；算子分解；通解中图分类号：０１７５．３
文献标识码：Ａ
Ｌ（Ｄ）ｙ＝“＃）
（２）
而方程（１）对应的特征方程为
解非齐次常系数ｎ阶线性微分方程
￡（ｒ）＝ｒｎ＋ｐｌ，一１＋Ｐ２，一２＋……＋ｈ一１ｒ＋ｈ：Ｏ．Ｙ”’＋ＰｌＹ胪１＋ｐ２广＿ｚ＋……＋Ｐ∥＝，【茸），（１）显然，如果￡（ｒ）＝（，一７１）（ｒ一’２）……（ｒ—ｒｎ），则￡（Ｄ）＝（Ｄ—ｒ１）（Ｄ—ｒ２）……（Ｄ—ｈ）．
定义￡（Ｄ）的逆算子为ｉ尚，即ｙ＝丽１
｝，（＃）｝应为方程（２）的通解。易知：
击｛，（，）｝－ｊ，（＊）出，
。
，‘
百１｜，（＊）｝＝Ｊ“＊）甜
：ｆ［ｆ［……Ｊｆ（ｘ）ｄ。］……］ｄ；］ｄ，，
ｋ７ｒ税付
同时￡（Ｄ）及其逆算予豇ｂ均为实函数集上的线
性算子。
定义算子运算
（１）【南＋南】Ｉｆ（＊）｝＿志删＋
南ｆ“＊）｝，
引入线性微分算子
￡（Ｄ）＝矿＋ｐＩ矿一１＋ｐｚＤ４—２＋・…・＋ｍ一１Ｄ＋“
（２）【丽ｋ】Ｉｆ（＊）｝＿☆。志｛“＊）Ｊ，（３）［丽１・南】Ｉｆ（＊）ｆ＝志｛南｛“州．
），女，扛苏省江阴市人．江阴职业技术学院讲师，硕士，主要从事函数论和常微分方程的研究。
万方数据
０引言
国内教材中常用的方法是待定系数法和常数变量法。［“２］待定系数法须分两步走，可处理的方程也仅“＊）＝Ｐ『。（＊）ｅ“类型，常数变易法适用范围宽，但牵涉到高阶线性方程组求解和逐个积分，当方程的阶数较高时，就运算而言两种方法都很烦杂。此外这两种方法建立的基础都是猜试法，其完备性值得怀疑。文献［３］、［４］针对高阶线性微分方程漂亮地引入了微分算子及其逆算子的记号，引入逆算子求解法，但对高阶逆微分算子的复合性与线性可分解性探讨不深入。本文通过分析逆微分算子的复合性，简单而令人信服地给出ｎ阶线性微分方程的直接积分公式，同时证明不仅ｎ阶微分算子可分解，而且其逆算子更可分解为最简单的逆算子的线性组台，从而为求解常系数高阶线性齐次微分方程的特征方程法提供了理论依据，更使高阶线性非齐次微分方程的求解问题变得透明。
１预备知识
其中ｊＤ＝忑ｄ，驴＝砑ｄｋ（Ｉ＝ｌ，２，……）
则ｎ阶线性微分方程（１）可记为
收稿日期：２００３．０８．２５作者简介：贡韶红（１９６８一
２袭苎雪法求解常系数ｎ阶线性微嫠噩。嚣曩捌‘：嘉ｊ：爻５磊未为
分方程
苎！塑
重塑竺！堂堂坌苎王竺坌塑皇堂墨塑壹堕些堡堂坌查堡竺查竺————————！：一
……”。■“…“…～。”…………
定理ｌ设￡（Ｄ）、ｓ（Ｄ）是任意两个微分多项式算子，则
１
１
１
￡（Ｄ）Ｓ（Ｄ）一Ｓ（Ｄ）Ｌ（ｏ）。Ｌ（Ｄ）Ｓ（Ｄ）’１——一！——一
证明对于微分方程Ｌ（Ｄ）ｓ（ｏ）ｙ＝“ｘ），（３）
显然上式中Ｌ（Ｄ）与Ｓ（Ｄ）可交换，令ｓ（ｏ）ｙ＝＝，
（４）则方程（３）降阶为Ｓ（Ｄ）ｚ＝“＊），
（５）
解方程（５）得＝＝丽蜀ｔｆ（ｚ）｝・由（４）得方程（３）通解
ｙ２豇蜀１＝Ｉ。豇蜀。
｛南５ｔｆ（州＝【南・南］Ｉｆ（圳．
类似地，首次变换中若令Ｓ（Ｏ）ｙ＝：则可证方程（３）通解为
，＝南｛南｛，（州＝【南・南ｍ）｜．
故方程（３）通解
ｙ：币南ｉｆ（圳：【南。…＇－－，１
Ｉ／（ｘ）ｌ
＝【南。南】Ｉｆ（ｘ）ｌ，
由，（ｗ）的任意性知算子运算满足交换律
１
１
１
１
】
可两。可可。可两’可剪。可可可可‘
定理２一阶线性微分方程（Ｄ—ｒ）ｙ＝“＊）的通解为
Ｙ＝去Ｉｆ（ｘ）｝＝ｅ“Ｊ“＊）ｅ－“ｄｘ・
１
ｆ
（６）
证明（Ｄ—ｒ）ｙ＝ｆ（Ⅳ）即一阶线性微分方程Ｙ’一吖＝“Ⅳ），显然其通解为（６）式。
定理３设ｒ１、７２……ｒｎ是特征方程￡（ｒ）＝０的ｎ个特征根，则ｎ阶线性微分方程Ｌ（Ｄ）Ｙ＝ｆ（ｚ）的通解为
，２商Ｉｆ（ｘ）ｌ
２面＝币面＝南＝可万习｛“ｚ）｝：。ｒ—Ｊｃ。一“—。ｒ。一ｔｘｊｃ。一ｒ。一，ｘ。“一：＊ｊ．．．．．．ｊ
［。一。；。”ｆ“。）ｅ一＊如］出……也］如］如．
证明由７ｔ、ｒ２……、ｈ是特征方程Ｌ（ｒ）＝０的ｎ个特征根，知
￡（ｒ）＝（ｒ—ｒ・）（ｒ—ｒ２）……（ｒ—ｈ），
万方数据
ｙ。研与ｊＩｆ（＊’｝
＝面＝币面＝与＝可矿习｛“。）｝
ｉ一ｏ
！流案Ｉ：壶Ｄ－
：ｒｌ
Ｄ
一
ｒ２
．
．
＝ｅ”ｆ［ｅ一”ｅ，＾。。Ｊ［ｅ１“５ｅ“２’Ｊ＿…一Ｊ
Ｄ鬻！…』
ｈｊ
ｕ、？¨
［ｅ－ｒ２ｘｏ，ｌｘ
Ｉｆ（ｘ）ｅ－ｆｉｘｄ。］ｄｘ．…．．ｄ』］ｄ。］ｄ＊．
推论矗矛Ｉｆ（＊）ｌ＿－－ｅ“１“＊）ｄ≯・
根据定理３，只要自由项“ｘ）连续，则ｎ阶线
性微分方程Ｌ（川ｙ＝“＊）从理论上是可解的，其求
解过程即为计算ｙ
２可知Ｉｆ（ｘ）｝的过程，所以需
要对逆算子南的运算性质进行进一步探讨。
３逆微分算子的可分解性
由定理１，逆微分算子可进行复合分解。这里
我们将进一步证明任意逆算子ｚ南可分解为最简
单的逆算子的线性组合。
７丢１：＿Ｌ上＋上上，而
设ｒ。≠ｒ２＇对于有理分式分解，我们有
（ｒ—ｒ１）（，一７２）一ｒｌ—ｒ２
ｒ—ｒｌ’ｒ２—７ｌ
ｒ一‘２“…
对于逆算子运算也有相似结果。
定理４
设ｒ－≠ｒ：・则可Ｆｊ了１再ｉ习２
ｉｉ而ｉ＋ｉｉ面五。
证明对于微分方程（Ｄ—ｒ１）（Ｄ—ｒ２）ｙ＝“ｚ），其通解为
ｙ
２面了汉１面ｊ．Ｉｆ（ｚ）｝
＝ｒｇｘ
甜，』［『川ｅ－ｔｌ＊ｄｘ，ａ（嚣），ｊ［ｅ。ｎ５ｅｋＪ“＊）ｅ一，ｔ。如］如
ｅ一。筹虮点ｅＶ甜，并』ｆ（ｘ）ｅ．”¨∥ｊ㈩ｒ１一ｒ２ｒｌ—ｒ２
ｊｆ（ｘ）ｅ－”叭
。
｝ｉｅ”ｊ“＊）ｅ－ｒ２ｘｄｘ，
“点志＋点一Ｉｆ（ｏ－，；Ｊ２【７五而：＋ｉｉ
Ｉｆ（训．。儿
由ｆ（ｚ）的任意性知，
万ｊ柄＝忐而１ｉ＋去×
—』一
Ｄ一７２＋
且耻一ｌｉｒａ耕（ｉ＝５＋小＋２，…’，ｍ），４＃２丽，，护【１万厂Ｊ¨“’岛妒丁南一护ｄ］－Ｉｌｉｍ［％学】（…，２，
立，于是有理真分式南可分解为部分分式的和：
根据定理１的结论可推知。当小ｒ２、ｒ３均为
特征单根时
ｌ
（８）……．ｓ；ｊ＝１，２，…，趣）．
证明在复数域中，任一多项式都可唯一地分
解为一次因式的乘积，故（７）式从形式上普遍成
（Ｄ
ｌ
ｒ１）（Ｄ一７２）（Ｄ—ｒ３）
—Ｄ—ｒｌ
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．！．．．．．．．．一
（Ｄ一１＂２）（Ｄ—ｎ）
＝击・【击南＋点志】，
＝去【＿ＬｒＩ－ｒ２瓦１＋上ｒ２－ｒｌ志１＋＿Ｌｒ３－ｒ２×【忐击＋去ｒ３］，Ｉｉ鬲而；＋ｉｉ
’
＋≠缸＋南。堡！！＋¨…＋且，
ｒ一‘＋２
ｒ一７“
丽２百可ｉ＋了可”…＋一一＋南＝尚＋若知一…＋业ｒ－ｒＩ＋
（９）
再１：＋Ｅｊ柄×矗葛．面ｊ赢
面对于出现重根的情形，我们有
１
２五＝习瓦＝币而；＋而）（ｒ２一。＝五＝方矗习亡暑＋五ｊ：辆ｒ３）×
。——’【ｉ五万：＋ｊＦｉ一一ｒ２＝一１Ｄ－ｒｌ・［志南＋击击Ｄ】，
１
１
式（９）两端同乘（ｒ—ｒｉ）（ｓ＋１ｓ１曼ｍ），令ｒ—ｒｆ，两端取极限，有
耻粤哥（㈦“Ⅲ，…’，毗
类似地，式（９）两端同乘（ｒ—ｒｉ）々（１ｓｉ≤ｓ），再逐次求导，令ｒ—ｎ，两端取极限，有
Ｊ’
—
……，５；ｊ＝ｌ，２，……，‰），
铲旷ｌ一川，ｌｈｎ。黔【错】（ｉ＝１’，，
根据ｚ南分解过程与有理分式ｚ南的分解过
推论
设ｒｌ、ｒ２……、ｈ各不相同，则
２ｉｉ面ｊ了＋ｉｉ—（Ｄ－—ｒ１）（Ｄ－ｒ２一）’
１
２—ｒＩ－—ｒ２面ｊ≯一瓦＝掰万ｒ－＋
一
一
！
！！
！一＋
程的对应性，知定理结果成立。
（７２—１＂１）”Ｄ—ｒ２‘
上一０
１．上
Ｌ（Ｄ）一岛．照．（”ｑ）Ｄ—ｑ
递推可知，任意微分逆算子ｉ为两均可分解，
４应用举例
因为微分逆算子的线性可分解性。高阶线性微分方程求解问题变得透明。
对于ｎ阶线性齐次微分方程Ｌ（Ｄ）ｙ＝０，（１０）若其对应的特征多项式Ｌ（ｒ）＝（ｒ—ｎ）‘・（ｒ—ｒ２）屯……（ｒ一，Ｊ）‘・（ｒ—Ｌ＋１）（ｒ—ｏ＋２）……（ｒ一‰），
其分解过程与有理分式南的分解过程完全相同。
于是我们有结果：
定理５设￡（ｒ）＝（ｒ—ｒ１）‘－（ｒ—ｒ２）‘：……（ｒ—ｎ）ｔ（ｒ一‘＋１）（ｒ—ｒｓ＋２）……（ｒ—ｒｍ），
（７）
其中ｍｒ２……、ｈ各不相同，则
面一…＋研＋面可＋正ｉ＋而１Ｄ＝方Ｄ‰ｒｌ＋南＋．…＋而ＡｌｋＩ＋”…＋考每＋南＋惫＋惫Ｄｒｊ＋惫Ｄ＋”…＋Ｄ鑫，瓦Ａｌｋｌ＋．．…＋考靠＋南＋去＋瓦＋……＋ｉｉｉ丽＋ｉ面ｉ二ｉ刀＋瓦＋
其中ｍｒ２……、ｈ各不相同，则由定理５，
三（）一（
一
’
可可２面ｊ两＋面ｉ：伊”…。
１
Ａｌｌ
Ａ１２
一‘＋２‘
）‘－’（Ｄ一７１）‘ｔ一１’
一十ｌ‘
一‰’
其中所有Ａ。Ｉ≠０（ｉ＝１，２，……。ｓ），Ｂｉ≠Ｏ（ｉ＝ｓ＋１，ｓ＋２，……，ｍ）。
悲＋惫Ｄ＋．…＋Ｄ击，
口一Ｌ＋ｌ’
一Ｌ＋２。
一ｒｍ’
万方数据
第６期贡韶红：逆微分算子的分解与常系数高阶线性微分方程的求解
３９
其中所硐Ａａ≠Ｏ【ｉ＝１，２，……，ｓ），Ｂｉ≠ｕｔ１＝
ｓ＋１，ｓ＋２，……，ｍ），
●
‘●
则方程（Ｉｏ）通解为
Ｙ
２可两｛０１１２笛裔
面寺币｛ｏ｝＋薹，忐｜０１．
下面我们对其中的各部分算式的运算进行探讨
（１）当ｒ为实数时，设下面式中Ａ≠０，Ｂ≠击Ｉｏｔ对Ｊｏ．ｅ‰－ｃｅ“，
万舞Ｉｏｔ＝舻Ｊ‘Ｏ．ｅ－４以＝ｅ８（ｃ・＋ｃ２ｚ
＋……＋∞‘一１）．
（２）当ｒ＝ａ＋坍是Ｌ（ｒ）＝０的☆重特征根时，由多项式分解性质知ｉ＝ａ一坍必是其々重根，由
（口～口一妒）‘＋（一口一班）‘一１＋……＋
面告诃＋面Ｄ知一…＋
一Ⅱ一沪＋（Ｄ—ｄ＋驷）‘＋（
一ａ＋秽）‘一１＋……
＋Ｄ—－ａ—＋ｉｐ‘
风
忙南粤，黔【斜】，Ｂｉ＝南磐。筹［掣】
（ｉ；１，２……ｋ），
［黼＋击蓊】Ｉｆ（圳＝２Ｒｅｘｆ热＋尚Ⅲ
ｈｋ
ｉ＋１ｅ（ａ＋叫０ｄ∥）
ｒ
Ｊｌ一１
，
万方数据
＝Ｒｅ｛∥（ｃｏｓ肚＋ｊｓｉｎ胁）［Ｃｌ＋Ｃ２ｘ＋……＋ｃ∥。
一ｉ（ｃ’ｌ＋ｃ’２ｚ＋……＋Ｃ’一一１）｝，
＝ｅ甜ｃ０８皿（Ｃｌ＋Ｃ２＊＋……＋ｃ一一１）＋ｅ＝ｓｉｎ／ｋ（Ｃ’ｌ＋Ｃ’２ｊ＋・…”＋Ｃ’∥卜１）．
由上可知，高阶线性常系数齐次微分方程通解完全由其特征方程根的情况决定，逆算子的分解为特征方程法提供了理论依据。
对于非齐次高阶线性常系数微分方程，逆算子法大大丰富了可求解方程类型，而算子分解又使运算更加简明。
例１求微分方程ｙ（耵＋，＝ｓｅｃ２＊的通解。解：这里Ｌ（Ｄ）＝Ｄ２（Ｄ＋ｉ）（Ｄ—ｉ），由定理５
知
１
ｎ
ｂ
ｃ
ｄ
豇面。矛＋百＋万ｉ＋ｉ再，
易知口＝１，ｃ＝专，ｄ＝一音，而ｂ：ｌｉｒａ兰‘
‘
ｍ
ｄｒ
【南］＝蚜导［南】－ｏ＇
敢原方程通解为
ｙ＝南｛黜２ｓ
ｏ
＝［击＋号击一号矗】耐ｚ｝５【面＋ｉ万ｊ—ｉ万再Ｊ｛＊一ｚｆ
＝Ｊ［Ｊ甜地ｋ＋２Ｒｅ｛－÷击｛８ｅＣ２＊Ｉ）
＝山№ｘＩ＋ｃ”ｃ：＋２Ｒｅ｛号ｅ“Ｊｅ一矗础）
：一ｌｎｌ
ｃ∞＃ｆ＋ｃｌ＊＋ｃ２＋ｃｏｓ＃ｆ矗∞．ｍｇｄ。一
ｓｉ。。Ｊ。。ｃ２。。∞。
＝一ＩｎＩｃ０Ｂ￡Ｉ—ｓｉｎｘｌｎＩｓｅｅｘ＋培＊Ｉ＋Ｃｔｘ＋Ｃ２＋Ｃ３ｃｏｓ＊＋Ｃ４ｓｉｎｘ．
例２求微分方程ｙ‘”一２ｙ‘３）一，４－２ｙ’＝＃＋解：这里Ｌ（Ｄ）＝Ｄ（Ｄ２—１）（Ｄ一２），由定理５玎而２一Ｄ＋万ｊ＋南＋万ｊ，
—』一一口．Ｏ
ｃ
ａｔ
ｎ＝而【钿＝吉，类似地，６＝一吉，ｃ
１
，
１
。一ｉ，ｄ２ｉ，（下转第４２页）
０。则
定理５，ｚ南的分解式中应含有如下部分项
Ｄ考与＋南＋矿Ｄ毫矛＋．．…
而其中Ａ１≠Ｏ，Ｂｌ≠Ｏ，且
显然，Ａｉ＝或（ｉ＝１，２，……≈），于是算子
石Ｄ—！专兰匆与ｎＤ—！毫ｉ．４茂－矛相互共轭，从而（一ａ一啦）ｏ（一ｇ骝）‘～““’…”。
｛考警蓊ｔｆ（圳）（ｊ＝・，２＇…㈣．
设也一…≠Ｏ，有
＝：＆｛考瀚｛叫
；２Ｒｅｅ。的通解。
推论知
其中
故原方程通解为
＝Ｒｅ｛ｅ‘４＋。’。Ｊ（Ｃｏ—ｉＣｏ）ｄ＊‘一１），
，＝可裔｛ｚ＋ｅ。ｊ
４２
。
兰童查兰兰塑
苎！！堂
凡＝０．８９
Ｒ２２０・９４
容广泛、理论性强，学生完全掌握是比较困难的。相关系数Ｒｌ＞０、Ｒ２＞０接近１，说明它们之另一方面，新生刚进入大学后还不适应大学教学方间呈正相关关系，线性代数、概率统计成绩随高等式，成绩低是可以理解的。但是高等数学成绩太低数学成绩呈正比例近似线性变化。这进一步说明高（尤其在４０分以下），对今后课程成绩的影响是非等数学成绩对线性代数、概率统计成绩的影响是非常明显的。这主要是由于成绩太低，使学生产生了常显著的。
大学学习太难的心理障碍，对学习失去了信心，这对学生的大学时期的学习将产生不利的影响。因此３结束语
在保证教学质量的前提下，在教学中做到由易到众所周知，成绩的好坏是受多种随机因素的影难、循序渐进，适当降低考题难度，使大部分学生响。这里只想说明这样一个问题，由于高等数学是都获得较好成绩。这样可消除学生的大学学习非常大学生人学接触到的第一门基础课，它学时长、内
难的心理障碍，提高学生对学习的自信心，顺利地完成大学的学习，以一名合格的大学生进人社会。
Ｔａｌｋｉｎｇａｂｏｕｔｉｎｔｅｒｒｅｌａｔｉｖｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
ｏｎ
ｒｅｐｏｒｔｏｆｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
舢Ｇ
ＷＨ
（Ａｐｐｌｉｅｄ
Ｓｃｉｅｎｃｅ
Ｃｏｌｌｅｇｅ，ＣｈａｎｇｃｈｕｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｎａｇｃｈｕｎ１３００２２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｄｖａｎｃｅｄｔｈｅ蜘ｅｄｕｃａｔ／ｄｎ．１ｈｅｙ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ⅸ哂蒯１１９
ｒｎａｔｈｅａｌＢ【ｉｃｓ，ｅｓｐｅｃｉａ】１ｙ１ｂｌｅａｒ
ｄ咖。ｐｘｘ“ｂｉｌｉｔｙ
ａｎｄｓｍｉｓｆｉｃｓａ∞ｔｈｅｍａｉｎｂａｓｉｃ
ｃｏｕｌｓｅｓ
ｉｎ
ａｒｅ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｃｕｒｒｉｅｕｌｕｎ＊．Ｔｂｅｙｈａｖｅａ
ｃｌｏｓｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ．Ｂｙｃｏｍｐｅｒｌｓｉｏｎｏｆｓｃｂｅｏｌｍｐａｒｔｓ．ｔｉｌｅｐａｐｅｒ
ｔｒｉｅｓｔｏ
ｓｂｅｗｔｈｅ北ｌａｔｌｏｎａｎｄｉ棚惋ｎｏｅ
ｋ船帆ｅｄｗ－，啪ｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄ州他ｅ【ｉｎｇｍ毗ｂｅｍａ垃髑ａｎｄｇｌｗ
ａ
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ｔｅ∞ｈｉＩＩｇ
ｗ．ｆｏｎｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｄｖａｎｃｅｄｍａｌｌｉｃｍａｆｉｃ８；ｌｉｎｅａｒ
ｄ目Ｂｈ；ｐｅ８ＢｉｂｔＵｔｙ
ｔｂｅｏｔ７ｓａｄｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ
（上接第３９页）
参考文献：
＝叫ｉ一一一——一一面订＋ｉ百ｊＪ【｛一１一１—ＤＬ－１一１百ｂ＋ｉ１百与】Ｉｘ＋ｅｑＤ
６２
，’
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教育出版社，１９８８．
［２】
王高雄，周之锗等．常微分方程［Ｍ】．北京：高等Ｊ（。＋，）ｒ出＋告护Ｊ。＋酽）。一“山
教育出版社，１９８３：１０１—１４６．
［３］叶彦谦．常微分方程讲义［Ｍ］．北京：人民教育出＝｛≯＋｛＊一吉ｚ∥＋ｃｔ＋ｃ矿＋ｃ３矿＋ｃ４≯．
版社．１９９７．１６１—１９６．
［４］
彭如海，求解高阶常系数线性方程的直接积分法［Ｊ］．
华东船舶工业学院学报，砌，１４（２）：３５—３９，
Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｉｎｖｅｒｓｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆ
ｈｉｇｈ－ｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ
ＧＯＮＧＳｈａｏ－ｈｏｎｇ
（Ｄｉｖｉｓｉｏｎ
ｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｉｓｅｓ，ＪｉａｎｇｙｌｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＣｏｌｌｅｇｅ．Ｊｉａｎｇｙｉｎ２１４４００。Ｃｈｉｎａ）
Ａｌ蝌珊ｄ：Ｔｈｅ
０ｚｃｏｍｐ础ｉｏ．ｏｆ
ｌｌｉ咖ｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｔｈｆｆｅｒｅｎｔｌａｌｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄ鲫他甲柚ｉｎｇ
ｃｏｎｔｒａ－ｏｐｅｒａｔｏｒｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ
ｇｉｖｅｎ
ｉｎｖｅｒｓｅ
ｄｉｆｆｅｎ！ｎｔｉａｌｏｐｅｒａｔｏｒｍｅｔｈｏｄ
ｃｄＩＩ
ｅｑｕａｔｉｍ－１ｗｉｔｈｃｏ．ｒａｎｔｃｏｅｆｆｉｄｅｎｔｓ
Ｌ（Ｄ）
ｙ＝ｆ（ｘ）０ｎ“Ⅲｓ
ｏｆｔｌｌｅ哪‰ａｎｄ州ｄｏｌ｜０ｆ慨ｍ般州正咖南．
ｂｅｕｓｅｄｔｏｄｅｃｉｄｅｔｈｅｇｅｎｅｎｄｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｈｉｇｈ－ｏａｈｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｘｅｍｉｎｌＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｍｌｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｖｅｒｓｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｏｐｅｒａｔｏｒ
ｍｅｔｈｏｄ；ｄｅｃａｎｌｘ＾ｉｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒ；ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｍａ
万方数据
逆微分算子的分解与常系数高阶线性微分方程的求解
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
贡韶红
江阴职业技术学院,基础部,江苏,江阴,214431长春大学学报
JOURNAL OF CHANG CHUN UNIVERSITY2003，13(6)1次
参考文献(4条)
1.同济大学数学教研室 高等数学 19882.王高雄.周之铭 常微分方程 19833.叶彦谦 常微分方程讲义 1997
4.彭如海 求解高阶常系数线性方程的直接积分法[期刊论文]-华东船舶工业学院学报(自然科学版) 2000(02)
引证文献(1条)
1.李大林 用无限阶Toeplitz矩阵求常系数微分方程的级数解[期刊论文]-大学数学 2007(3)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_ccdxxb200306013.aspx
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