函数零点的求法及零点的个数
题型1：求函数的零点。
32
y =x -2x -x +2的零点. [例1] 求函数
3232
y =x -2x -x +2x -2x -x +2=0的根 [解题思路]求函数的零点就是求方程32
[解析]令 x -2x -x +2=0，∴x (x -2) -(x -2) =0
[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数y =f (x )在区间[-1, 1]上有零点寻找关
2x 于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为的系数，故要对a 进行讨论
[解析] 若a =0 , f (x ) =2x -3 ,显然在[-1, 1]上没有零点, 所以 a ≠0.
2
令
∆=4+8a (3+a )=8a +24a +4=0
2
, 解得
a =
∴(x -2)(x -1)(x +1) =0，∴x =-1或x =1或x =2 即函数y =x -2x -x +2的零点为-1，1，2。
[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数y =f (x ) 的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
题型2：确定函数零点的个数。
[例2] 求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数.
[解题思路]求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数
[解析]方法一：易证f(x)= lnx＋2x －6在定义域(0,+∞) 上连续单调递增， 又有f (1)⋅f (4)
方法二：求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数
3
2
①当
a =
-3-y =f (x )-1,1]2时, 恰有一个零点在[上;
y =f (x )[-1,1] ②当f (-1)⋅f (1)=(a -1)(a -5)y =f (x )
在[
-1,1]
上有两个零点时, 则
a >0⎧
⎪∆=8a 2+24a +4>0⎪⎪1
-1
2a ⎪
f (1)≥0⎪
⎪
f (-1)≥0⎩
a
或
a
⎪∆=8a 2+24a +4>0⎪⎪1
-1
2a ⎪
f (1)≤0⎪
⎪
f (-1)≤0⎩
⎧y =ln x
⎨
即求⎩y =6-2x 的交点的个数。画图可知只有一个。
[反思归纳]求函数y =f (x ) 的零点是高考的热点，有两种常用方法：
①（代数法）求方程f (x ) =0的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f (x ) 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围
2
()f x =2ax +2x -3-a , 如果函数y =f (x )在区[例3] (2007·广东) 已知a 是实数, 函数
解得a ≥
5或
a ≤
综上所求实数a 的取值范围是 a >1 或
。
[反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高
考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.
②二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。 考点3 根的分布问题
[例5] 已知函数f (x ) =mx 2+(m -3) x +1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围
[解题思路]由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论
间[-1, 1]上有零点，求a 的取值范围。
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[解析]（1）若m=0，则f （x ）=－3x+1，显然满足要求. （2）若m ≠0，有两种情况：
⎧Δ=(m -3) 2-4m >0⎪
⇒⎨1
x x =
m 原点的两侧各有一个，则⎩m ＜0；
[解析] B；依题意得（1）
⎧m >0
⎪2
⎨∆=(-2) -4m >0⎪f (0)
或（2）
⎧m
⎨∆=(-2) -4m >0⎪f (0) >0⎩
或
⎧
⎪Δ=(m -3) 2-4m ≥0, ⎪
3-m ⎪
>0, ⎨x 1+x 2=2m ⎪
1⎪x x =>0, 12⎪m ⎩都在原点右侧，则解得0＜m ≤1，综上可得m ∈（－∞，1］。
⎧m ≠0
⎨2∆=(-2) -4m =0显然（1）无解；解（2）得m
又当m =0时f (x ) =-2x +1，它显然有一个正实数的零点，所以应选B 。
-x 22+x =3的实数解的个数为 _______ 。 2、方程
[反思归纳]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程
ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的分布有关的结论：
①方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f （r ）＜0.
⎧Δ=b 2-4ac >0,
⎪⎪b ⇔⎨->r , ⎪2a
⎪a ⋅f (r ) >0.
②二次方程f （x ）=0的两根都大于r ⎩
⎧Δ=b 2-4ac >0,
⎪
b ⎪
⇔⎨2a ⎪a ⋅f (q ) >0, ⎪⎪⎩a ⋅f (p ) >0.
1
y =() x 2
y =-x +3的图象，发现它们有两个交2[解析] 2；在同一个坐标系中作函数及
点
-x 2
故方程2+x =3的实数解的个数为2。
3、已知二次函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1, 若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c, 使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_________。
3
[解析] (－3，2） 只需f (1)=-2p 2-2p +9>0或f (-1) =-2p 2+p +1>0 313
即－3＜p ＜2或－2＜p ＜1. ∴p ∈(－3, 2) 。
③二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根
④二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f （p ）·f （q ）＜0，或f （p ）=0，另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.
⎧a ⋅f (p )
⑤方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）⎩a ⋅f (q ) >0. （二）、强化巩固训练 1、函数A ．(
1
4、设函数y =x 3与y =() x -2的图象的交点为(x 0, y 0) ，则x 0所在的区间是（ ）。
2
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案B 。
5、若方程x 2+(k -2) x +2k -1=0的两根中, 一根在0和1之间, 另一根在1和2之间, 求实数k 的取值范围。
f (x )=mx 2-2x +1；B ．(
有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是（ ）。
-∞,1]-∞,0]
{1}；C ．(-∞,0)(0,1]；D ．(-∞,1)
12
f (x ) =x +(k -2) x +2k -1，则依题意得 23[解析] ；令
⎧f (0) >0
⎪
⎨f (1) 0⎩
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，即
⎧2k -1>0⎪
⎨1+k -2+2k -10⎩
12
3。 ，解得2
（三）、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 。 补充题：1、定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：
(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是（ )。 A． 1; B. 2; C. 3; D. 4。
[解析] B；由图可知，f (x ) ∈[-a ，a ]，g (x ) ∈[-a ，a ]，由左图及f[g(x)]=0得
a a a
g (x ) =x 1∈[-a ，-]g (x ) =x 2∈[-，0]g (x ) =
2，2，2，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有a
f (x ) =x 0∈(，a )
2三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]=0得，由左图知方程a f (x ) =x 1∈[-a ，-]
2，g[f(x)]=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]=0得
a a
f (x ) =x 2∈[-，0]f (x ) =
2，2，又由左图得到方程f[f(x)]=0最多有三个解，故(3)错a
g (x ) =x 0∈(，a )
2误；由右图及g[g(x)]=0得，由右图知方程g[g(x)]=0有且仅有一
(1，2) 内，画出示意图，得
1⎧
m
m ∈R , ⎪f (-1) =2>0, ⎪⎪⎪⇒⎨1⎨
f (1) =4m +20⎩
⎪m >-551
-
(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1) 内，列不等式组
1⎧
m >-, ⎪2⎪
⎧f (0) >0, ⎪m >-1,
⇒⎪f (1) >0, ⎨2⎪⎪⎨
⎪m ≥1+2或m ≤1-2, ⎪∆≥0,
⎪-1
过)
即解得-
1⎛1
m ∈ -,1．
2⎝2个解，即(4)正确，所以应选择B
2、已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0。
(1)若方程有两根, 其中一根在区间(－1，0) 内，另一根在区间(1，2) 内，求m 的范围。
(2)若方程两根均在区间(0，1) 内，求m 的范围。
[解析](1)条件说明抛物线f (x ) =x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0) 和
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函数零点的求法及零点的个数
题型1：求函数的零点。
32
y =x -2x -x +2的零点. [例1] 求函数
3232
y =x -2x -x +2x -2x -x +2=0的根 [解题思路]求函数的零点就是求方程32
[解析]令 x -2x -x +2=0，∴x (x -2) -(x -2) =0
[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数y =f (x )在区间[-1, 1]上有零点寻找关
2x 于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为的系数，故要对a 进行讨论
[解析] 若a =0 , f (x ) =2x -3 ,显然在[-1, 1]上没有零点, 所以 a ≠0.
2
令
∆=4+8a (3+a )=8a +24a +4=0
2
, 解得
a =
∴(x -2)(x -1)(x +1) =0，∴x =-1或x =1或x =2 即函数y =x -2x -x +2的零点为-1，1，2。
[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数y =f (x ) 的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
题型2：确定函数零点的个数。
[例2] 求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数.
[解题思路]求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数
[解析]方法一：易证f(x)= lnx＋2x －6在定义域(0,+∞) 上连续单调递增， 又有f (1)⋅f (4)
方法二：求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数
3
2
①当
a =
-3-y =f (x )-1,1]2时, 恰有一个零点在[上;
y =f (x )[-1,1] ②当f (-1)⋅f (1)=(a -1)(a -5)y =f (x )
在[
-1,1]
上有两个零点时, 则
a >0⎧
⎪∆=8a 2+24a +4>0⎪⎪1
-1
2a ⎪
f (1)≥0⎪
⎪
f (-1)≥0⎩
a
或
a
⎪∆=8a 2+24a +4>0⎪⎪1
-1
2a ⎪
f (1)≤0⎪
⎪
f (-1)≤0⎩
⎧y =ln x
⎨
即求⎩y =6-2x 的交点的个数。画图可知只有一个。
[反思归纳]求函数y =f (x ) 的零点是高考的热点，有两种常用方法：
①（代数法）求方程f (x ) =0的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f (x ) 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围
2
()f x =2ax +2x -3-a , 如果函数y =f (x )在区[例3] (2007·广东) 已知a 是实数, 函数
解得a ≥
5或
a ≤
综上所求实数a 的取值范围是 a >1 或
。
[反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高
考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.
②二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。 考点3 根的分布问题
[例5] 已知函数f (x ) =mx 2+(m -3) x +1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围
[解题思路]由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论
间[-1, 1]上有零点，求a 的取值范围。
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[解析]（1）若m=0，则f （x ）=－3x+1，显然满足要求. （2）若m ≠0，有两种情况：
⎧Δ=(m -3) 2-4m >0⎪
⇒⎨1
x x =
m 原点的两侧各有一个，则⎩m ＜0；
[解析] B；依题意得（1）
⎧m >0
⎪2
⎨∆=(-2) -4m >0⎪f (0)
或（2）
⎧m
⎨∆=(-2) -4m >0⎪f (0) >0⎩
或
⎧
⎪Δ=(m -3) 2-4m ≥0, ⎪
3-m ⎪
>0, ⎨x 1+x 2=2m ⎪
1⎪x x =>0, 12⎪m ⎩都在原点右侧，则解得0＜m ≤1，综上可得m ∈（－∞，1］。
⎧m ≠0
⎨2∆=(-2) -4m =0显然（1）无解；解（2）得m
又当m =0时f (x ) =-2x +1，它显然有一个正实数的零点，所以应选B 。
-x 22+x =3的实数解的个数为 _______ 。 2、方程
[反思归纳]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程
ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的分布有关的结论：
①方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f （r ）＜0.
⎧Δ=b 2-4ac >0,
⎪⎪b ⇔⎨->r , ⎪2a
⎪a ⋅f (r ) >0.
②二次方程f （x ）=0的两根都大于r ⎩
⎧Δ=b 2-4ac >0,
⎪
b ⎪
⇔⎨2a ⎪a ⋅f (q ) >0, ⎪⎪⎩a ⋅f (p ) >0.
1
y =() x 2
y =-x +3的图象，发现它们有两个交2[解析] 2；在同一个坐标系中作函数及
点
-x 2
故方程2+x =3的实数解的个数为2。
3、已知二次函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1, 若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c, 使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_________。
3
[解析] (－3，2） 只需f (1)=-2p 2-2p +9>0或f (-1) =-2p 2+p +1>0 313
即－3＜p ＜2或－2＜p ＜1. ∴p ∈(－3, 2) 。
③二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根
④二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f （p ）·f （q ）＜0，或f （p ）=0，另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.
⎧a ⋅f (p )
⑤方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）⎩a ⋅f (q ) >0. （二）、强化巩固训练 1、函数A ．(
1
4、设函数y =x 3与y =() x -2的图象的交点为(x 0, y 0) ，则x 0所在的区间是（ ）。
2
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案B 。
5、若方程x 2+(k -2) x +2k -1=0的两根中, 一根在0和1之间, 另一根在1和2之间, 求实数k 的取值范围。
f (x )=mx 2-2x +1；B ．(
有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是（ ）。
-∞,1]-∞,0]
{1}；C ．(-∞,0)(0,1]；D ．(-∞,1)
12
f (x ) =x +(k -2) x +2k -1，则依题意得 23[解析] ；令
⎧f (0) >0
⎪
⎨f (1) 0⎩
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，即
⎧2k -1>0⎪
⎨1+k -2+2k -10⎩
12
3。 ，解得2
（三）、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 。 补充题：1、定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：
(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解； (3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是（ )。 A． 1; B. 2; C. 3; D. 4。
[解析] B；由图可知，f (x ) ∈[-a ，a ]，g (x ) ∈[-a ，a ]，由左图及f[g(x)]=0得
a a a
g (x ) =x 1∈[-a ，-]g (x ) =x 2∈[-，0]g (x ) =
2，2，2，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有a
f (x ) =x 0∈(，a )
2三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]=0得，由左图知方程a f (x ) =x 1∈[-a ，-]
2，g[f(x)]=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]=0得
a a
f (x ) =x 2∈[-，0]f (x ) =
2，2，又由左图得到方程f[f(x)]=0最多有三个解，故(3)错a
g (x ) =x 0∈(，a )
2误；由右图及g[g(x)]=0得，由右图知方程g[g(x)]=0有且仅有一
(1，2) 内，画出示意图，得
1⎧
m
m ∈R , ⎪f (-1) =2>0, ⎪⎪⎪⇒⎨1⎨
f (1) =4m +20⎩
⎪m >-551
-
(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1) 内，列不等式组
1⎧
m >-, ⎪2⎪
⎧f (0) >0, ⎪m >-1,
⇒⎪f (1) >0, ⎨2⎪⎪⎨
⎪m ≥1+2或m ≤1-2, ⎪∆≥0,
⎪-1
过)
即解得-
1⎛1
m ∈ -,1．
2⎝2个解，即(4)正确，所以应选择B
2、已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0。
(1)若方程有两根, 其中一根在区间(－1，0) 内，另一根在区间(1，2) 内，求m 的范围。
(2)若方程两根均在区间(0，1) 内，求m 的范围。
[解析](1)条件说明抛物线f (x ) =x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0) 和
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