V ol. 32No. 3July 2015安徽工业大学学报(自然科学版)
J. of Anhui University of Technology(NaturalScience) 第32卷第3期2015年7月
文章编号：1671-7872(2015)-03-0293-05
关于任意相依随机序列的若干强大数定律
崔影,程成,范爱华
（安徽工业大学数理科学与工程学院, 安徽马鞍山243032）
摘要：设{X n }
∞n =1
是一列任意相依随机变量序列，且{X n }
∞n =1
≺X 0。利用慢变化函数的性质以及矩方法，再借助于Borel -Cantelli
引理与概率论极限理论中的纯分析方法，得到了任意相依但不同分布的随机变量序列普遍成立的强大数定律成立的充分条件，推广了已有的结果。
关键词：强大数定律；尾概率一致有界；慢变化函数中图分类号：O211.4；O236
文献标志码：A
doi ：10.3969/j.issn.1671-7872.2015.03.018
On Some Strong Law of Large Numbers for Arbitrarily Dependent
Random Sequences
CUI Ying, CHENG Cheng, FAN Aihua
(Schoolof Mathematics &Physics Science and Engineering, Anhui University of Technology, Ma'anshan 243032,
China )
Abstract:Let {X n }
∞n =1
be a sequence of arbitrarily dependent random variables with {X n }
∞n =1
≺X 0. By using the
properties of slowly varying function and the method of moment, further by means of Borel-Cantelli lemma and the pure analysis method of probability limit theory, some sufficient conditions on strong law of large numbers for arbitrarily dependent but not identically distributed random variables are obtained, some classical results are gen-eralized.
Key words:strong law of large numbers; uniformly bounded tail probability; slowly vary function
强大数定律是经典极限理论的一个重要课题，长期以来一直受到研究者关注。如文献[1-2]研究关于独立同分布随机序列的极限定理。文献[3]中将信息论中经典的关于独立同分布随机序列的渐进均分性定理以及经典的中心极限定理推广到滑动平均的情形。文献[4]在前人研究的基础上总结了关于独立同分布随机序列的强大数定律成立的几种经典结论。对独立相同分布的随机变量序列的极限定理当推著名的Kol-mogorov [5]以及Marcinkiewicz [6]强大数定律，对同分布但未必独立的随机序列成立的最普遍的结果是Petrov [7]于1973年得到的。文献[8]研究了任意随机序列的强极限定理，作为推论，得到了一类鞅差序列的强大数定律，一类随机序列公平比的强极限定理，以及任意随机序列部分和估计定理。文献[9]研究了可交换随机变量序列{X n }n =1的极限定理，得到了可交换随机变量序列的随机强大数律及加权和定理。文献[10]研究了任意B 值随机变量序列的强收敛性，得到了若干强极限定理和强大数定律。杨光等[11]给出了相依序列无规则性的若干强极限定理。近期汪忠志等[12]给出了任意相依离散随机序列滑动平均的强偏差定理。
收稿日期：2014-10-27
基金项目：安徽省自然科学基金项目(1408085MA04)；安徽工业大学青年教师科研基金(QZ201314)；安徽工业大学研究
生创新基金项目(2013093)
作者简介：崔影(1987-) ，女，安徽阜阳人，硕士生，研究方向为概率论及其应用。通信作者：范爱华(1964-) ，女，安徽安庆人，教授，研究方向为概率论极限理论。
∞
安徽工业大学学报（自然科学版）2015年
本文利用慢变化函数的性质以及矩方法，再借助于Borel-Cantelli 引理与概率论极限理论中的纯分析方法，探究任意相依但不同分布的随机变量序列普遍成立的强大数定律成立的若干充分条件，推广了文献[13]的结果。
1预备知识
定义1设{Y n }n =1是一列随机变量，如果存在常数序列{a n }和{b n }, 0
∞
Y -b →0a.s.
n n n
(1)
称{Y n }n =1是强稳定的。
∞
∞
设{X n }n =1是一列随机变量，记S n =∑i =1X i , n ≥1. 如果{S n }是强稳定的，则称{X n }n =1服从强大数定律。
n
∞
定义2设{X n }n =1是一随机变量序列，X 0为非负实值随机变量，称{X n }n =1尾概率一致有界于X 0, 若存
P (|X n |>t ) ≤CP (X 0>t ),∀t >0, n ≥1
[14]
∞∞
在正常数C , 使得并且记为{X n }n =1≺X 0。
∞
引理1设X 是随机变量，且P (|X |≥t ) ≤P (X 0≥t ),∀t >0，其中X 0为非负实值随机变量。对∀q >0, 有
[14]
E (|X |I [|X |≤t ]) ≤t P (X 0>t ) +E (X 0I [X ≤t ])
q
q
q
其中I []. 是示性函数。
2主要结论
∞
{X n }n =1≺X 0, b 0=0, {b n }n =1是一列非减的正常数序列。∀j ∈N , 有
∞
定理1设{X n }n =1是一随机变量序列，X 0是一非负实值随机变量，记S n =∑i =1X i , n ≥1且
∞
n
b j b n b n
→∞, =O (inf) j ≥n (2)(3)(4)(5)(6)
其中L :[1,∞)→(0, +∞)是非减慢变化函数。若
则
é∞ùnL (n ) ê∑P (b n -1
∞
∑P (X
∞n =0
>b n )
lim n →∞
S n
=0a.s. n
注在证明定理1之前，注意到如果(4)成立，则
成立，从而
由此可以推出
=∞lim L (n ) n →∞
j =n ∞
于是由式(4)可得
∑nP (b
∞n =1
n -1
V ol. 32No. 3July 2015安徽工业大学学报(自然科学版)
J. of Anhui University of Technology(NaturalScience) 第32卷第3期2015年7月
文章编号：1671-7872(2015)-03-0293-05
关于任意相依随机序列的若干强大数定律
崔影,程成,范爱华
（安徽工业大学数理科学与工程学院, 安徽马鞍山243032）
摘要：设{X n }
∞n =1
是一列任意相依随机变量序列，且{X n }
∞n =1
≺X 0。利用慢变化函数的性质以及矩方法，再借助于Borel -Cantelli
引理与概率论极限理论中的纯分析方法，得到了任意相依但不同分布的随机变量序列普遍成立的强大数定律成立的充分条件，推广了已有的结果。
关键词：强大数定律；尾概率一致有界；慢变化函数中图分类号：O211.4；O236
文献标志码：A
doi ：10.3969/j.issn.1671-7872.2015.03.018
On Some Strong Law of Large Numbers for Arbitrarily Dependent
Random Sequences
CUI Ying, CHENG Cheng, FAN Aihua
(Schoolof Mathematics &Physics Science and Engineering, Anhui University of Technology, Ma'anshan 243032,
China )
Abstract:Let {X n }
∞n =1
be a sequence of arbitrarily dependent random variables with {X n }
∞n =1
≺X 0. By using the
properties of slowly varying function and the method of moment, further by means of Borel-Cantelli lemma and the pure analysis method of probability limit theory, some sufficient conditions on strong law of large numbers for arbitrarily dependent but not identically distributed random variables are obtained, some classical results are gen-eralized.
Key words:strong law of large numbers; uniformly bounded tail probability; slowly vary function
强大数定律是经典极限理论的一个重要课题，长期以来一直受到研究者关注。如文献[1-2]研究关于独立同分布随机序列的极限定理。文献[3]中将信息论中经典的关于独立同分布随机序列的渐进均分性定理以及经典的中心极限定理推广到滑动平均的情形。文献[4]在前人研究的基础上总结了关于独立同分布随机序列的强大数定律成立的几种经典结论。对独立相同分布的随机变量序列的极限定理当推著名的Kol-mogorov [5]以及Marcinkiewicz [6]强大数定律，对同分布但未必独立的随机序列成立的最普遍的结果是Petrov [7]于1973年得到的。文献[8]研究了任意随机序列的强极限定理，作为推论，得到了一类鞅差序列的强大数定律，一类随机序列公平比的强极限定理，以及任意随机序列部分和估计定理。文献[9]研究了可交换随机变量序列{X n }n =1的极限定理，得到了可交换随机变量序列的随机强大数律及加权和定理。文献[10]研究了任意B 值随机变量序列的强收敛性，得到了若干强极限定理和强大数定律。杨光等[11]给出了相依序列无规则性的若干强极限定理。近期汪忠志等[12]给出了任意相依离散随机序列滑动平均的强偏差定理。
收稿日期：2014-10-27
基金项目：安徽省自然科学基金项目(1408085MA04)；安徽工业大学青年教师科研基金(QZ201314)；安徽工业大学研究
生创新基金项目(2013093)
作者简介：崔影(1987-) ，女，安徽阜阳人，硕士生，研究方向为概率论及其应用。通信作者：范爱华(1964-) ，女，安徽安庆人，教授，研究方向为概率论极限理论。
∞
安徽工业大学学报（自然科学版）2015年
本文利用慢变化函数的性质以及矩方法，再借助于Borel-Cantelli 引理与概率论极限理论中的纯分析方法，探究任意相依但不同分布的随机变量序列普遍成立的强大数定律成立的若干充分条件，推广了文献[13]的结果。
1预备知识
定义1设{Y n }n =1是一列随机变量，如果存在常数序列{a n }和{b n }, 0
∞
Y -b →0a.s.
n n n
(1)
称{Y n }n =1是强稳定的。
∞
∞
设{X n }n =1是一列随机变量，记S n =∑i =1X i , n ≥1. 如果{S n }是强稳定的，则称{X n }n =1服从强大数定律。
n
∞
定义2设{X n }n =1是一随机变量序列，X 0为非负实值随机变量，称{X n }n =1尾概率一致有界于X 0, 若存
P (|X n |>t ) ≤CP (X 0>t ),∀t >0, n ≥1
[14]
∞∞
在正常数C , 使得并且记为{X n }n =1≺X 0。
∞
引理1设X 是随机变量，且P (|X |≥t ) ≤P (X 0≥t ),∀t >0，其中X 0为非负实值随机变量。对∀q >0, 有
[14]
E (|X |I [|X |≤t ]) ≤t P (X 0>t ) +E (X 0I [X ≤t ])
q
q
q
其中I []. 是示性函数。
2主要结论
∞
{X n }n =1≺X 0, b 0=0, {b n }n =1是一列非减的正常数序列。∀j ∈N , 有
∞
定理1设{X n }n =1是一随机变量序列，X 0是一非负实值随机变量，记S n =∑i =1X i , n ≥1且
∞
n
b j b n b n
→∞, =O (inf) j ≥n (2)(3)(4)(5)(6)
其中L :[1,∞)→(0, +∞)是非减慢变化函数。若
则
é∞ùnL (n ) ê∑P (b n -1
∞
∑P (X
∞n =0
>b n )
lim n →∞
S n
=0a.s. n
注在证明定理1之前，注意到如果(4)成立，则
成立，从而
由此可以推出
=∞lim L (n ) n →∞
j =n ∞
于是由式(4)可得
∑nP (b
∞n =1
n -1