《数学教师》1997年第10期
四线段构成四边形的条件
□魏 韶 (河南省滑县第二中学 456463) □周秀平 (河南午阳县午泉镇中学 462400)
众所周知, 对于给定的三条线段a 、b 、c , 它们首尾相接可以构成一个三角形的条件是
a (1)
顶点(Q 、R 、S ) 共线情形, 这虽不是严格意义下的四边形, 但可以通过适当改变任一内角(比如∠S PQ ) , , 最终再化为凸四边形. , 在端点处用合. 出现图4情况, 就能“脱离”这种情形.
, 不妨假定线段a 是四线段中之最长者, 又设d ≥b . 这样假定并不失一般性.
作图步骤:
首先作出线段PQ =a . 再分别以点P 、Q 为圆心, d 、⊙Q . 可知顶点S 落在⊙P b 为半径作出⊙P 、上, 顶点R 落在⊙Q 上. 关于R 、S 的具体选取, 需要做较多的讨论. 由于已经假定a 是四条线段中的最长者, 因而⊙P 、⊙Q 它们的位置关系可以分为如下两种情形:
这是三角形两边之和大于第三边的熟知结论, 此结论是两点之间以直线最短的几何公理的直接应用, 在几何中的重要性是不言而喻的.
今有四条线段a 、b 、c 、d , 成一个四边形? 推广, . 的几何公理, 1) 式的一个必要条件, :
a a +b +c .
(2) 式断定四边形三边之和大于第四边. 耐人寻
(2)
味的是此条件也是构成四边形的充分条件, 以下给出证明. 证明的思路是对于给定的一组四条线段a 、
b 、c 、d , 它们满足(2) 式, 我们具体地构造出一个四边
形PQ R S , 呈现于你面前. 当然, 只要我们构造出一个来, 问题便算解决. 不过, 我们注意到四边形不具有稳定性, 已知四边绘制出的四边形(若能构成的话) 不具有唯一性, 可以组成无穷多个满足条件的这样的四边形, 其中还有是非凸的. 我们需要说明的是:遇到非凸四边形, 我们可以采用作轴对称点的方法将它化成凸四边形, 这一手法笔者暂称为“凸化”, 下面只给出图示而不过多解释.
图3
图1
图2
图4
情况 :⊙P 、⊙Q 相离或相切.
如图3示, 设连心线PQ 的延长线与两圆交点如图示, 取V 为圆心, c 为半径作圆, 与⊙P 交于S . 因为显然有UV
这种情况下, 我们得到非凸的四边形PQV S (边QV 与PQ 的一段重合) , 再将它“凸化”, 得到凸四边形
图1、图2中, PQ R S 为非凸四边形(图2中的顶
点S 还落在边PQ 上) , 作顶点S 关于直线PR 的对称点S ’, 则PQ R S ’就是凸四边形了.
下面作图中, 也可能碰巧出现如图4示出的三
・35・
《数学教师》1997年第10期
由上海市97年中考试题引发的
关于数学教改的思考
□金志兴
(上海市奉贤县四团中学 201412)
试题年年出, 今年有新意. 尽管今年试题考查的是基本知识和基本能力, 但学生得分率比往年低得多. 有部分教师和学生没有从“应试教育”中自我解放出来, 对“素质教育”仍无动于衷, 搞猜题、押题等“题海战术”, 而这份试题正是给他们注入了一针的清醒剂.
一、, 归纳出, 通过老师传授, 学生模仿、训练, 从而掌握解决这类问题的通法. 此举具有通俗、易懂、学生易操作等优点, 可节省时间, 在教学中起到了较大作用.
如试题第三(1) 题:“求一组数据:4, 0, 2, 1, -2的标准差”. 总是先求平均数, 方差, 后求标准差这一套路数, 学生易掌握, 故得分率较高(87. 1◊) .
又如第三(3
) 题:“解方程x 2+7=-2+1”. 可借助于两边平方化为有理
练. 以致于问题情景稍作变化, 学生就不能正
确解答, (15) :y -1与x 成正比, 当x 2, =y 与x 之间的函”得分率仅54. 0◊. 学y -1作为一个变量.
第一(24) 题:“已知两圆内切, 一个圆的半径是3, 圆心距是2, 那么另一个圆的半径是”. 学生不知道两圆内切(或相交) 有两种情况, 导致得分率仅59. 2◊.
第六题 列方程或方程组解应用题:某纸品加工厂为了制作甲、乙两
种无盖的长方体小盒(如图1) , 利用边角料裁出正方形
图1和长方形两种硬纸
片, 长方形的宽与正方形的边长相等. 现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片
方程验根的模式予以解决.
但对模式化教学不能死记硬背, 生搬硬套. 部分教师片面强调模式化, 忽视了变式训
. PQ R S , 如图示
全部用于制作这两种小盒, 可以做成甲、乙两
种小盒各多少个?
此题得分率仅26. 1◊, 这是应用题教学
以上我们通过实地构造四边形, 证明了(2) 式作为四线段a 、b 、c 、d 可构成四边形条件的充分性, 前已述及, 这样的四边形是不唯一的, 在我们的证明中, 对于两圆交接点只取其中一个, 而完全不顾另一个交点.
满足(2) 式的四线段可以构成四边形, 但尚不能最终确定它. 要最终确定一个四边形, 尚需要追加一个新条件, 比如已知其一个内角.
情况 :⊙P 、⊙Q 相交.
此时取两圆的一个交点R 为圆心, 以c 为半径作圆, 与⊙P 交于点S . 因2d >a >c , 故⊙R 与⊙P 有交点, S 是可以作出的. 我们得到四边形PQ R S . 若它是非凸的或有三顶点共线的, 则按上面的解释, 还可以通过“凸化”手续或改变一个内角的办法, 将它化为凸四边形.
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《数学教师》1997年第10期
四线段构成四边形的条件
□魏 韶 (河南省滑县第二中学 456463) □周秀平 (河南午阳县午泉镇中学 462400)
众所周知, 对于给定的三条线段a 、b 、c , 它们首尾相接可以构成一个三角形的条件是
a (1)
顶点(Q 、R 、S ) 共线情形, 这虽不是严格意义下的四边形, 但可以通过适当改变任一内角(比如∠S PQ ) , , 最终再化为凸四边形. , 在端点处用合. 出现图4情况, 就能“脱离”这种情形.
, 不妨假定线段a 是四线段中之最长者, 又设d ≥b . 这样假定并不失一般性.
作图步骤:
首先作出线段PQ =a . 再分别以点P 、Q 为圆心, d 、⊙Q . 可知顶点S 落在⊙P b 为半径作出⊙P 、上, 顶点R 落在⊙Q 上. 关于R 、S 的具体选取, 需要做较多的讨论. 由于已经假定a 是四条线段中的最长者, 因而⊙P 、⊙Q 它们的位置关系可以分为如下两种情形:
这是三角形两边之和大于第三边的熟知结论, 此结论是两点之间以直线最短的几何公理的直接应用, 在几何中的重要性是不言而喻的.
今有四条线段a 、b 、c 、d , 成一个四边形? 推广, . 的几何公理, 1) 式的一个必要条件, :
a a +b +c .
(2) 式断定四边形三边之和大于第四边. 耐人寻
(2)
味的是此条件也是构成四边形的充分条件, 以下给出证明. 证明的思路是对于给定的一组四条线段a 、
b 、c 、d , 它们满足(2) 式, 我们具体地构造出一个四边
形PQ R S , 呈现于你面前. 当然, 只要我们构造出一个来, 问题便算解决. 不过, 我们注意到四边形不具有稳定性, 已知四边绘制出的四边形(若能构成的话) 不具有唯一性, 可以组成无穷多个满足条件的这样的四边形, 其中还有是非凸的. 我们需要说明的是:遇到非凸四边形, 我们可以采用作轴对称点的方法将它化成凸四边形, 这一手法笔者暂称为“凸化”, 下面只给出图示而不过多解释.
图3
图1
图2
图4
情况 :⊙P 、⊙Q 相离或相切.
如图3示, 设连心线PQ 的延长线与两圆交点如图示, 取V 为圆心, c 为半径作圆, 与⊙P 交于S . 因为显然有UV
这种情况下, 我们得到非凸的四边形PQV S (边QV 与PQ 的一段重合) , 再将它“凸化”, 得到凸四边形
图1、图2中, PQ R S 为非凸四边形(图2中的顶
点S 还落在边PQ 上) , 作顶点S 关于直线PR 的对称点S ’, 则PQ R S ’就是凸四边形了.
下面作图中, 也可能碰巧出现如图4示出的三
・35・
《数学教师》1997年第10期
由上海市97年中考试题引发的
关于数学教改的思考
□金志兴
(上海市奉贤县四团中学 201412)
试题年年出, 今年有新意. 尽管今年试题考查的是基本知识和基本能力, 但学生得分率比往年低得多. 有部分教师和学生没有从“应试教育”中自我解放出来, 对“素质教育”仍无动于衷, 搞猜题、押题等“题海战术”, 而这份试题正是给他们注入了一针的清醒剂.
一、, 归纳出, 通过老师传授, 学生模仿、训练, 从而掌握解决这类问题的通法. 此举具有通俗、易懂、学生易操作等优点, 可节省时间, 在教学中起到了较大作用.
如试题第三(1) 题:“求一组数据:4, 0, 2, 1, -2的标准差”. 总是先求平均数, 方差, 后求标准差这一套路数, 学生易掌握, 故得分率较高(87. 1◊) .
又如第三(3
) 题:“解方程x 2+7=-2+1”. 可借助于两边平方化为有理
练. 以致于问题情景稍作变化, 学生就不能正
确解答, (15) :y -1与x 成正比, 当x 2, =y 与x 之间的函”得分率仅54. 0◊. 学y -1作为一个变量.
第一(24) 题:“已知两圆内切, 一个圆的半径是3, 圆心距是2, 那么另一个圆的半径是”. 学生不知道两圆内切(或相交) 有两种情况, 导致得分率仅59. 2◊.
第六题 列方程或方程组解应用题:某纸品加工厂为了制作甲、乙两
种无盖的长方体小盒(如图1) , 利用边角料裁出正方形
图1和长方形两种硬纸
片, 长方形的宽与正方形的边长相等. 现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片
方程验根的模式予以解决.
但对模式化教学不能死记硬背, 生搬硬套. 部分教师片面强调模式化, 忽视了变式训
. PQ R S , 如图示
全部用于制作这两种小盒, 可以做成甲、乙两
种小盒各多少个?
此题得分率仅26. 1◊, 这是应用题教学
以上我们通过实地构造四边形, 证明了(2) 式作为四线段a 、b 、c 、d 可构成四边形条件的充分性, 前已述及, 这样的四边形是不唯一的, 在我们的证明中, 对于两圆交接点只取其中一个, 而完全不顾另一个交点.
满足(2) 式的四线段可以构成四边形, 但尚不能最终确定它. 要最终确定一个四边形, 尚需要追加一个新条件, 比如已知其一个内角.
情况 :⊙P 、⊙Q 相交.
此时取两圆的一个交点R 为圆心, 以c 为半径作圆, 与⊙P 交于点S . 因2d >a >c , 故⊙R 与⊙P 有交点, S 是可以作出的. 我们得到四边形PQ R S . 若它是非凸的或有三顶点共线的, 则按上面的解释, 还可以通过“凸化”手续或改变一个内角的办法, 将它化为凸四边形.
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