第35卷第6期2013年12月电气电子教学学报JOUＲNALOFEEE
Vol．35No．6Dec．2013
斐波那契数列与电路分析
张广华，于洲春
（国网技术学院电气工程系，山东济南250002）
摘要：斐波那契数列在许多科技领域都得到了应用，但在电路中却鲜有提及。本文讨论了斐波那契数列在电路中的表现和应用。笔者在文中给出了斐波那契数列与特定矩阵的关系，在电路中研究斐波那契数列的两个派生数列；应用斐波那契数列的性质和极限思想完成特定电路分并从电路的角度讨论并验证斐波那契数列的相关特性。析和计算，
关键词：斐波那契数列；电路分析；等效电阻中图分类号：G424．1；TM13
文献标识码：A
0686（2013）06-0030-04文章编号：1008-
FibonacciSeriesandCircuitAnalysis
ZHANGGuang-hua，YUZhou-chun
（DepartmentofElectricalEngineering，StateGridofChinaTechnologyCollege，Jinan250002，China）
Abstract：Fibonacciserieshasbeenfoundinmanyfields，however，itisalmostablankincircuit．Inthispaper，thereflectionandapplicationofFibonacciseriesincircuithasbeendiscussed，themainworkofauthorsisasfollows：obtainingtherelationshipoftheFibonacciseriesandaspecificmatrix；studyingtwoseriesrelatedtoFi-bonacciseriesincircuit；analyzingandcalculatingthisspecificcircuitbyusingFibonacciseriesandlimitconcept；discussingandtestifyingtherelatedcharactersofFibonacciseriesinviewofcircuit．Keyword：Fibonacciseries；circuitanalysis；equivalentresistance斐波那契（Fibonacci）数列是数学史上一个著名
。1228年，1］提出的数列，又称“兔子数列”文献［了一个著名而有趣的关于兔子数量的问题，得到如
1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……，下一串数：1、
这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每
个数都是它前面那两个数的和。
我们用数列｛Fn｝表示这串数，它便是斐波那契具有非常简单的递推关系：数列，
F1=F2=1，Fn=Fn－2+Fn－1（n=3，4，5…）该数列是从兔子问题中抽象出来的，如果没有其它方面的应用，它就不会有强大的生命力。事实是，斐波那契数列确实在许多问题中出现，例如植物
种子的排列和花瓣的数目等。而且，在数的生长、
学、物理和化学等领域，斐波纳契数列也都有许多应
07-15；修回日期：2013-09-20收稿日期：2013-）男，E-mail：zghsddl@163．com第一作者：张广华（1967-本科，副教授，主要从事电路理论教学与研究，
用。可以说，斐波那契数列以他的兔子数列问题揭
示了大自然某些规律。
斐波纳契数列有许多奇特的的性质，本文先列举两条与本文有关的内容。然后，介绍斐波那契数列在电路分析中的应用。
1
1．1
斐波纳契数列的特性
与黄金分割率的关系
如将相邻两项前者除以后者，该比值的极限为
［2，3］（－1）/2≈0．618，。即此为黄金分割率
n→+∞
lim
Fn－1
==ΦFn+12
（1）
因此斐波纳契数列，又称黄金分割数列。斐波那契数列使我们对黄金分割的认识从静态走向动
第6期张广华，于洲春：斐波那契数列与电路分析31
态。这里用Φ表示黄金分割率。
斐波那契数列｛Fn｝中每相邻两项的比值也构成一新的数列，我们用｛Un｝表示：｛Ua=
·
2
2．1
多级梯形网络的等效电阻
Fn[1**********]4
｝：，…Fn+[1**********]455
多级梯形网络的入端电阻
图1（a）所示电路可称为Γ型电路。图1（b）、（c）和（d）电路可看做由2节、3节及n节Γ型电路构成。我们称图1（d）所示电路为链型电路或梯形网络
。
可以验证：数列｛Un｝中相邻两项分布于Φ的两侧，且奇数项大于Φ，偶数项小于Φ，但数列｛Un｝的极限为Φ。
由｛Un｝奇数项构成的数列为
｛On=
F2n－11251334
｝：，…F2n1382155
（a）k=1（b）k=
2
数列｛On｝是一单调递减数列，但各项均大于
Φ，其极限为Φ，即数列｛On｝从大于Φ的方向趋近于Φ。
而由｛Un｝偶数项构成的数列为F2n1382155
｛En=｝：，…
F2n+125133489
数列｛En｝是一单调递增数列，各项均小于Φ，其极限也为Φ，即数列｛En｝从小于Φ的方向趋近于Φ。
这样我们可以得到斐波那契数列｛Fn｝的三个
｛On｝，｛En｝。派生数列：｛Un｝，1．2
与矩阵的关系
易用数学归纳法证明（补充定义：F0=0）
（c）k=3图1
（d）k=n
多级梯形网络（多节Γ型电路）
若各电阻均为1Ω，下面我们来计算此类电路从
［4］
始端看进去的等效电阻（又称为入端电阻）。（b）和（c）所示1、2我们很容易计算图1（a）、
和3节Γ型电路的入端电阻：
Ｒ1=1（Ω），Ｒ2=2/3（Ω），Ｒ3=5/8（Ω）。我们对比斐波那契数列｛Fn｝，发现：Ｒ1=F1/F2
（Ω），Ｒ2=F3/F4（Ω），Ｒ3=F5/F6（Ω），可推知Ｒn=F2n－1/F2n（Ω）（6）Ｒ1=F1/我们用归纳法证明上述推断：k=1时，F2显然成立。假设k=n－1时，表达式也成立，即
（2）
Ｒn－1=F2（n－1）
－1
[11][F
1
=
n
Fn－1
n
FnFn+1]
/F2（n－1）=F2n－3/2n－1。则须证明k=
两边取行列式，可得斐波那契数列的邻项公式
（-1）n=Fn－1Fn+1－F2（3）n
即斐波那契数列奇数项的平方比前后项的乘积大1，偶数项的平方比前后项的乘积小1。若仅考虑有偶数项的情况，
F2n－1F2n+1－F22n=1
由于
1
n
n时的表达式也应成立。现证明如下。
图1（d）所示n节Γ型电路，可重画如图2
。
（4）
1
图2n节Γ型电路的入端电阻
[11][12]，代入式（2）中，则有
FF11=（5）[12][FF]
=1
n
2n－12n
2n2n+1
我们注意斐波那契数列｛Fn｝的递推特性：Fn=
Fn－2+Fn－1，根据图2右侧的电阻并联关系得到
Ｒn=
(
-1
11
+
11+Ｒn－11F2n=
F2n－1
)(
[
F2n－1F2n
-1
1
=1+
1+Ｒn－1
1
)
-1
=
两边取行列式，同样可得式（4）。其实式（5）就是式（2）仅考虑偶数的情况。
这里我们得到斐波那契数列｛Fn｝的两个特性矩阵，二者分别对应式（2）和式（5）。
[1+1+（F
-1
2n－3/F2n－2）
]
-1
=1+=
1+（F2n－1/F2n－2）-1
]
-1
=
(F2n－21+F2n－1)()
-1
32电气电子教学学报第35卷
由上式推断可得结论：图1所示梯形网络的等
2，3…）构成的数列｛Ｒn｝就是斐波效电阻Ｒn（n=1，
那契数列｛Fn｝的派生数列｛On｝。
则无限多级梯形网络电路的入端电阻为Ｒ=limＲn=lim（F2n－1/F2n）=（－1）/2（Ω）
n→∞n→∞2．2
（7）
电路的一般分析方法
如图3所示的无限多级梯形网络，若入端电阻
[I][12][I][I]
=1
1
=T
1
2
2
U1U2U2
即图1（a）所示一节Γ型电路传输参数矩阵为
11
T1=T（10）
12
[]
对比式（5），矩阵T即为斐波那契数列｛Fn｝的特性矩阵
。
存在，不妨设为Ｒ，而去掉前面第一节后，其入端电阻不变，仍为Ｒ
。
图4二端口网络
图3
无限多级梯形网络的等效电阻的求解
图5二端口网络T参数计算
1/1+1/（1+Ｒ）］－1，因此有Ｒ=［可解得Ｒ=（－1）/2（Ω）。
对比上述两种解法：应用斐波那契数列的性质和极限的思想分析此类电路，突出了动态的渐进过程，对理解结果和结论很有帮助。常规分析方法虽然看起来简洁清晰，但结果的得出略显晦涩，不便于我们理解和分析结论。
通过对比两种算法，我们也实现了从电路角度验证斐波那契数列｛Fn｝的重要特性：即斐波那契数即式（1）。列与黄金分割的关系，
而图1（b）和图1（c）所示由2节和3节Γ型电
路组成的级联网络。由电路理论分析可得，传输参数矩阵分别为
[12][35]
1111112358
T=T=[==
12][12][12][35][813]
T2=T=
3
2
11
2
=
23
2
3
对比斐波那契数列｛Fn｝，我们发现
F1F2
T1=T=
F2F3
[]
3
3．1为
多级梯形网络分析
二端口网络的传输参数方程图4所示为无源二端口网络，其传输参数方程U1=AU2+BI2I1=CU2+DI2
[F
F
T=T=[F
T2=T2=
3
3
F3
456
F4F5
67]
FF]
1
n
则对于图1（d），由n节Γ型电路组成的级联网络，其传输参数矩阵为
Tn=T=
n
［5］
}
][][]
（8）
[12][F
1
=
F2n－1
2n
F2nF2n+1]
（11）
我们将其改写成矩阵形式：
U1U2ABU2
==TCDI2I1I2
[][[
T的下标1、2、3…n，2节、3节…n式中，表示1节、
节Γ型电路。
对比式（5），斐波那契数列｛Fn｝的特性矩阵式（10）就有了其电路含义。此矩阵为图1（a）所示一节Γ型电路的传输参数矩阵T，而Tn即为图1（d）所示n节Γ型电路级联网络的传输参数矩阵。而斐波那契数列｛Fn｝与矩阵的关系（式5），这样一个纯数学的公式也就具有了电路意义，我们可以从电路角度验证和解释这个公式。
图1所示电路为互易电路，根据电路理论，其传
［5］
输参数满足：AD－BC=1，而斐波那契数列恰好具
2
有F2n－1F2n+1－F2n=1如式（4）所示。
其中传输参数矩阵：
ABT=
CD
]
重画图1（a）所示电路，如图5所示。其传输参数方程为
U1=U2+1Ω×I2=U2+I2
I1=U1/1Ω+I2=U2+2I2写成矩阵形式：
}
（9）
第6期张广华，于洲春：斐波那契数列与电路分析33
3．2多级梯形网络的入端电阻
二端口网络输出接任意负载ＲL，如图6所示，波那契数列｛Fn｝的派生数列｛On｝和｛En｝便都具有
了电路意义。
｛On｝和｛En｝的极限都为Φ，也即图3所示无限多级梯形网络（n=∞），无论输出开路或是短路，其都等于Φ，这是很令人惊奇的。入端电阻是一样的，其实，更进一步分析，无论输出接任何负载，入端电阻也不变，等于Φ。下面给出证明：图1（d）所示n级梯形网络，接任意负载ＲL时的入端电阻为：
Ｒin·n=
其入端电阻为
U1AU2+BI2AＲL+BＲin===
I1CU2+DI2CＲL+D
（12
）
图6二端口网络的入端电阻
U1AU2+BI2F2n－1ＲL+F2n
==
I1CU2+DI2F2nＲL+F2n+1
（13）
特殊地情况下，若输出端开路，入端电阻：Ｒin（oc）
=A/C；若输出端短路，入端电阻：Ｒin（sc）=B/D。对于图1（d）所示n节Γ型电路，可以得到如下结果：
（1）输出端开路，入端电阻：Ｒin（oc）·n=A/C=F2n－1/F2n，即：Ｒin（oc）1=F1/F2=1（Ω），Ｒin（oc）2=F3/F4=2/3（Ω），Ｒin（oc）3=F5/F6=5/8（Ω），…
可见：数列｛Ｒin（oc）n｝就是斐波那契数列｛Fn｝的派生数列｛On｝，这也与前面的结论一致。
（2）输出端短路，入端电阻：Ｒin（sc）n=B/D=F2n/F2n+1，即：
Ｒin（sc）1=F2/F3=1/2（Ω），Ｒin（sc）2=F4/F5=3/5（Ω），Ｒin（sc）3=F6/F7=8/13（Ω），…。数列｛Ｒin（sc）·n｝就是斐波那契数列｛Fn｝的派生数列｛En｝，其极限也为Φ。3．3
结论
2，3…），图1所示n节Γ型电路（n=1，输出开
路时，入端电阻构成的数列即为斐波那契数列｛Fn｝的派生数列｛On｝；输出短路时，入端电阻构成的数列即为斐波那契数列｛Fn｝的派生数列｛En｝，这样斐
取极限，则得到无限多级梯形网络接任意负载ＲL时的入端电阻为
Ｒin·∞=lim
n→∞
F2n－1ＲL+F2nＲLF2n－1/F2n+1
=lim
F2nＲL+F2n+1n→∞ＲL+F2n+1/F2n
（14）
=
ΦＲL+1
=Φ
ＲL+1/Φ
4结语
本文给出了斐波那契数列与特定矩阵T的关系，研究了斐波那契数列的两个派生数列｛On｝和｛En｝，进而从电路角度分析验证斐波那契数列的相关特性，并应用斐波那契数列的性质和极限思想完成特定电路分析和计算。参考文献：
［1］莱昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci）·算盘书［M］
（LiberAbaci），1228
［2］吴振奎·斐波那契数列欣赏［M］·哈尔滨：哈尔滨工业大学
2012出版社，
［3］康士凯·斐波那契数列［M］·上海：上海科技教育出版社，
1992．05
［4］郑金·斐波那契电路［J］·北京：数理天地（高中版），2009．9［5］江辑光·电路原理［M］·北京：清华大学出版社，1996
来稿须知
1请投稿作者登陆网站http：//www．j4eseu．com，注册后进行投稿。作者注册时后，应记住自己的用户名（中文）和密码。2编辑部将对来稿件进行初审，确认是否符合基本要求和受理条件。对于同意受理的稿件，请作者邮寄审稿费100元。3被录用的稿件作者得到刊用通知后，须交付版面费（标准：300元/每页）。
4汇款地址：210096南京市四牌楼2号，《电气电子教学学报》东南大学内；收款人编辑部，请在汇款附言里注明审稿费或版面费。
5本刊在第三届中国学术期刊评价为“ＲCCSE”中国核心学术期刊（A）。
第35卷第6期2013年12月电气电子教学学报JOUＲNALOFEEE
Vol．35No．6Dec．2013
斐波那契数列与电路分析
张广华，于洲春
（国网技术学院电气工程系，山东济南250002）
摘要：斐波那契数列在许多科技领域都得到了应用，但在电路中却鲜有提及。本文讨论了斐波那契数列在电路中的表现和应用。笔者在文中给出了斐波那契数列与特定矩阵的关系，在电路中研究斐波那契数列的两个派生数列；应用斐波那契数列的性质和极限思想完成特定电路分并从电路的角度讨论并验证斐波那契数列的相关特性。析和计算，
关键词：斐波那契数列；电路分析；等效电阻中图分类号：G424．1；TM13
文献标识码：A
0686（2013）06-0030-04文章编号：1008-
FibonacciSeriesandCircuitAnalysis
ZHANGGuang-hua，YUZhou-chun
（DepartmentofElectricalEngineering，StateGridofChinaTechnologyCollege，Jinan250002，China）
Abstract：Fibonacciserieshasbeenfoundinmanyfields，however，itisalmostablankincircuit．Inthispaper，thereflectionandapplicationofFibonacciseriesincircuithasbeendiscussed，themainworkofauthorsisasfollows：obtainingtherelationshipoftheFibonacciseriesandaspecificmatrix；studyingtwoseriesrelatedtoFi-bonacciseriesincircuit；analyzingandcalculatingthisspecificcircuitbyusingFibonacciseriesandlimitconcept；discussingandtestifyingtherelatedcharactersofFibonacciseriesinviewofcircuit．Keyword：Fibonacciseries；circuitanalysis；equivalentresistance斐波那契（Fibonacci）数列是数学史上一个著名
。1228年，1］提出的数列，又称“兔子数列”文献［了一个著名而有趣的关于兔子数量的问题，得到如
1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……，下一串数：1、
这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每
个数都是它前面那两个数的和。
我们用数列｛Fn｝表示这串数，它便是斐波那契具有非常简单的递推关系：数列，
F1=F2=1，Fn=Fn－2+Fn－1（n=3，4，5…）该数列是从兔子问题中抽象出来的，如果没有其它方面的应用，它就不会有强大的生命力。事实是，斐波那契数列确实在许多问题中出现，例如植物
种子的排列和花瓣的数目等。而且，在数的生长、
学、物理和化学等领域，斐波纳契数列也都有许多应
07-15；修回日期：2013-09-20收稿日期：2013-）男，E-mail：zghsddl@163．com第一作者：张广华（1967-本科，副教授，主要从事电路理论教学与研究，
用。可以说，斐波那契数列以他的兔子数列问题揭
示了大自然某些规律。
斐波纳契数列有许多奇特的的性质，本文先列举两条与本文有关的内容。然后，介绍斐波那契数列在电路分析中的应用。
1
1．1
斐波纳契数列的特性
与黄金分割率的关系
如将相邻两项前者除以后者，该比值的极限为
［2，3］（－1）/2≈0．618，。即此为黄金分割率
n→+∞
lim
Fn－1
==ΦFn+12
（1）
因此斐波纳契数列，又称黄金分割数列。斐波那契数列使我们对黄金分割的认识从静态走向动
第6期张广华，于洲春：斐波那契数列与电路分析31
态。这里用Φ表示黄金分割率。
斐波那契数列｛Fn｝中每相邻两项的比值也构成一新的数列，我们用｛Un｝表示：｛Ua=
·
2
2．1
多级梯形网络的等效电阻
Fn[1**********]4
｝：，…Fn+[1**********]455
多级梯形网络的入端电阻
图1（a）所示电路可称为Γ型电路。图1（b）、（c）和（d）电路可看做由2节、3节及n节Γ型电路构成。我们称图1（d）所示电路为链型电路或梯形网络
。
可以验证：数列｛Un｝中相邻两项分布于Φ的两侧，且奇数项大于Φ，偶数项小于Φ，但数列｛Un｝的极限为Φ。
由｛Un｝奇数项构成的数列为
｛On=
F2n－11251334
｝：，…F2n1382155
（a）k=1（b）k=
2
数列｛On｝是一单调递减数列，但各项均大于
Φ，其极限为Φ，即数列｛On｝从大于Φ的方向趋近于Φ。
而由｛Un｝偶数项构成的数列为F2n1382155
｛En=｝：，…
F2n+125133489
数列｛En｝是一单调递增数列，各项均小于Φ，其极限也为Φ，即数列｛En｝从小于Φ的方向趋近于Φ。
这样我们可以得到斐波那契数列｛Fn｝的三个
｛On｝，｛En｝。派生数列：｛Un｝，1．2
与矩阵的关系
易用数学归纳法证明（补充定义：F0=0）
（c）k=3图1
（d）k=n
多级梯形网络（多节Γ型电路）
若各电阻均为1Ω，下面我们来计算此类电路从
［4］
始端看进去的等效电阻（又称为入端电阻）。（b）和（c）所示1、2我们很容易计算图1（a）、
和3节Γ型电路的入端电阻：
Ｒ1=1（Ω），Ｒ2=2/3（Ω），Ｒ3=5/8（Ω）。我们对比斐波那契数列｛Fn｝，发现：Ｒ1=F1/F2
（Ω），Ｒ2=F3/F4（Ω），Ｒ3=F5/F6（Ω），可推知Ｒn=F2n－1/F2n（Ω）（6）Ｒ1=F1/我们用归纳法证明上述推断：k=1时，F2显然成立。假设k=n－1时，表达式也成立，即
（2）
Ｒn－1=F2（n－1）
－1
[11][F
1
=
n
Fn－1
n
FnFn+1]
/F2（n－1）=F2n－3/2n－1。则须证明k=
两边取行列式，可得斐波那契数列的邻项公式
（-1）n=Fn－1Fn+1－F2（3）n
即斐波那契数列奇数项的平方比前后项的乘积大1，偶数项的平方比前后项的乘积小1。若仅考虑有偶数项的情况，
F2n－1F2n+1－F22n=1
由于
1
n
n时的表达式也应成立。现证明如下。
图1（d）所示n节Γ型电路，可重画如图2
。
（4）
1
图2n节Γ型电路的入端电阻
[11][12]，代入式（2）中，则有
FF11=（5）[12][FF]
=1
n
2n－12n
2n2n+1
我们注意斐波那契数列｛Fn｝的递推特性：Fn=
Fn－2+Fn－1，根据图2右侧的电阻并联关系得到
Ｒn=
(
-1
11
+
11+Ｒn－11F2n=
F2n－1
)(
[
F2n－1F2n
-1
1
=1+
1+Ｒn－1
1
)
-1
=
两边取行列式，同样可得式（4）。其实式（5）就是式（2）仅考虑偶数的情况。
这里我们得到斐波那契数列｛Fn｝的两个特性矩阵，二者分别对应式（2）和式（5）。
[1+1+（F
-1
2n－3/F2n－2）
]
-1
=1+=
1+（F2n－1/F2n－2）-1
]
-1
=
(F2n－21+F2n－1)()
-1
32电气电子教学学报第35卷
由上式推断可得结论：图1所示梯形网络的等
2，3…）构成的数列｛Ｒn｝就是斐波效电阻Ｒn（n=1，
那契数列｛Fn｝的派生数列｛On｝。
则无限多级梯形网络电路的入端电阻为Ｒ=limＲn=lim（F2n－1/F2n）=（－1）/2（Ω）
n→∞n→∞2．2
（7）
电路的一般分析方法
如图3所示的无限多级梯形网络，若入端电阻
[I][12][I][I]
=1
1
=T
1
2
2
U1U2U2
即图1（a）所示一节Γ型电路传输参数矩阵为
11
T1=T（10）
12
[]
对比式（5），矩阵T即为斐波那契数列｛Fn｝的特性矩阵
。
存在，不妨设为Ｒ，而去掉前面第一节后，其入端电阻不变，仍为Ｒ
。
图4二端口网络
图3
无限多级梯形网络的等效电阻的求解
图5二端口网络T参数计算
1/1+1/（1+Ｒ）］－1，因此有Ｒ=［可解得Ｒ=（－1）/2（Ω）。
对比上述两种解法：应用斐波那契数列的性质和极限的思想分析此类电路，突出了动态的渐进过程，对理解结果和结论很有帮助。常规分析方法虽然看起来简洁清晰，但结果的得出略显晦涩，不便于我们理解和分析结论。
通过对比两种算法，我们也实现了从电路角度验证斐波那契数列｛Fn｝的重要特性：即斐波那契数即式（1）。列与黄金分割的关系，
而图1（b）和图1（c）所示由2节和3节Γ型电
路组成的级联网络。由电路理论分析可得，传输参数矩阵分别为
[12][35]
1111112358
T=T=[==
12][12][12][35][813]
T2=T=
3
2
11
2
=
23
2
3
对比斐波那契数列｛Fn｝，我们发现
F1F2
T1=T=
F2F3
[]
3
3．1为
多级梯形网络分析
二端口网络的传输参数方程图4所示为无源二端口网络，其传输参数方程U1=AU2+BI2I1=CU2+DI2
[F
F
T=T=[F
T2=T2=
3
3
F3
456
F4F5
67]
FF]
1
n
则对于图1（d），由n节Γ型电路组成的级联网络，其传输参数矩阵为
Tn=T=
n
［5］
}
][][]
（8）
[12][F
1
=
F2n－1
2n
F2nF2n+1]
（11）
我们将其改写成矩阵形式：
U1U2ABU2
==TCDI2I1I2
[][[
T的下标1、2、3…n，2节、3节…n式中，表示1节、
节Γ型电路。
对比式（5），斐波那契数列｛Fn｝的特性矩阵式（10）就有了其电路含义。此矩阵为图1（a）所示一节Γ型电路的传输参数矩阵T，而Tn即为图1（d）所示n节Γ型电路级联网络的传输参数矩阵。而斐波那契数列｛Fn｝与矩阵的关系（式5），这样一个纯数学的公式也就具有了电路意义，我们可以从电路角度验证和解释这个公式。
图1所示电路为互易电路，根据电路理论，其传
［5］
输参数满足：AD－BC=1，而斐波那契数列恰好具
2
有F2n－1F2n+1－F2n=1如式（4）所示。
其中传输参数矩阵：
ABT=
CD
]
重画图1（a）所示电路，如图5所示。其传输参数方程为
U1=U2+1Ω×I2=U2+I2
I1=U1/1Ω+I2=U2+2I2写成矩阵形式：
}
（9）
第6期张广华，于洲春：斐波那契数列与电路分析33
3．2多级梯形网络的入端电阻
二端口网络输出接任意负载ＲL，如图6所示，波那契数列｛Fn｝的派生数列｛On｝和｛En｝便都具有
了电路意义。
｛On｝和｛En｝的极限都为Φ，也即图3所示无限多级梯形网络（n=∞），无论输出开路或是短路，其都等于Φ，这是很令人惊奇的。入端电阻是一样的，其实，更进一步分析，无论输出接任何负载，入端电阻也不变，等于Φ。下面给出证明：图1（d）所示n级梯形网络，接任意负载ＲL时的入端电阻为：
Ｒin·n=
其入端电阻为
U1AU2+BI2AＲL+BＲin===
I1CU2+DI2CＲL+D
（12
）
图6二端口网络的入端电阻
U1AU2+BI2F2n－1ＲL+F2n
==
I1CU2+DI2F2nＲL+F2n+1
（13）
特殊地情况下，若输出端开路，入端电阻：Ｒin（oc）
=A/C；若输出端短路，入端电阻：Ｒin（sc）=B/D。对于图1（d）所示n节Γ型电路，可以得到如下结果：
（1）输出端开路，入端电阻：Ｒin（oc）·n=A/C=F2n－1/F2n，即：Ｒin（oc）1=F1/F2=1（Ω），Ｒin（oc）2=F3/F4=2/3（Ω），Ｒin（oc）3=F5/F6=5/8（Ω），…
可见：数列｛Ｒin（oc）n｝就是斐波那契数列｛Fn｝的派生数列｛On｝，这也与前面的结论一致。
（2）输出端短路，入端电阻：Ｒin（sc）n=B/D=F2n/F2n+1，即：
Ｒin（sc）1=F2/F3=1/2（Ω），Ｒin（sc）2=F4/F5=3/5（Ω），Ｒin（sc）3=F6/F7=8/13（Ω），…。数列｛Ｒin（sc）·n｝就是斐波那契数列｛Fn｝的派生数列｛En｝，其极限也为Φ。3．3
结论
2，3…），图1所示n节Γ型电路（n=1，输出开
路时，入端电阻构成的数列即为斐波那契数列｛Fn｝的派生数列｛On｝；输出短路时，入端电阻构成的数列即为斐波那契数列｛Fn｝的派生数列｛En｝，这样斐
取极限，则得到无限多级梯形网络接任意负载ＲL时的入端电阻为
Ｒin·∞=lim
n→∞
F2n－1ＲL+F2nＲLF2n－1/F2n+1
=lim
F2nＲL+F2n+1n→∞ＲL+F2n+1/F2n
（14）
=
ΦＲL+1
=Φ
ＲL+1/Φ
4结语
本文给出了斐波那契数列与特定矩阵T的关系，研究了斐波那契数列的两个派生数列｛On｝和｛En｝，进而从电路角度分析验证斐波那契数列的相关特性，并应用斐波那契数列的性质和极限思想完成特定电路分析和计算。参考文献：
［1］莱昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci）·算盘书［M］
（LiberAbaci），1228
［2］吴振奎·斐波那契数列欣赏［M］·哈尔滨：哈尔滨工业大学
2012出版社，
［3］康士凯·斐波那契数列［M］·上海：上海科技教育出版社，
1992．05
［4］郑金·斐波那契电路［J］·北京：数理天地（高中版），2009．9［5］江辑光·电路原理［M］·北京：清华大学出版社，1996
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