初中二次根式化简技巧

初中二次根式化简的方法与技巧

一、巧用公式法 例1计算

a2abab



aba

分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与

b成立，且分式也成立，故有a＞0，b＞0，a0而同时公式：ab

2



=a

2

-2ab+b

2

，a

2

-b=abab，可以帮助我们将a2abb和

2

ab变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

解：原式=

ab

a+2

aaa=ab+

a=2a-2



二、适当配方法。

例2．计算：

3226123

分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+2其分子必有含1+

23的因式，于是可以发现3+22=12



2

，且

通过因式分解，分子所含的1+2的因式就出来了。 36312，

322解：原式=

26

312=12

2

12



121+

2

三、正确设元化简法。

例3：化简

25

分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，

使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：2a，5c，b,ab

1

6，正好与分子吻合。对于分子，我

们发现abc

222

所以abc0，于是在分子上可加

222

a2b2c20，因此可能能使分子也有望化为含有abc因式的积，这

样便于约分化简。 解：设2a,原

2

b,5c则2ab26且a2b2c20所以：

式

=

2ab2aba2b2c2abc2abcabcabc25 abcabcabcabc

四、拆项变形法 例4，计算

2567

分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：

解：原式==

ab11

再化简，便可知其答案。 abab

566

656

5

67

66

1

7



6

156

五、整体倒数法。

例5、计算

7

667

53

1

231



ab11

，化简但还abab

分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：要通过折项变形，使其具有公因式。 解：设A=

3

31

521



31=

312

则

1A

52153

1



53

131



153



31 

22

所以A=

21



1 2

六、借用整数“1”处理法。

例6、计算

1322326

分析：本例运用很多方面的知识如： 1=

322和.ab×

aba2b2，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约

分化简。 解：原式 =

32

32223236





32

32622

=

(32)(32)

26

2

七、恒等变形整体代入结合法

分析：本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法将x+y与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式，

如x－xy+y=(x+y)例7：已知X=

2

2

2

－3xy，然后再约分化简。

11（7），y =(7)，求下列各式的值。 22

2

（1）x－xy+y; (2)

2

yx

+ xy

解：因为X=

11

（75），y =(7)，所以：x+y=7，xy=1。 222

3

2222

（1） x－xy+y=（x+y）－3 xy=()－3×1=11

22

（2）

yxyxy2xyx

+ ==xyxyxy

2

2

2

(7)22

1

2

1

12

八、降次收幂法：

3x22x5

例8、已知x=2+3，求的值。

2x7

分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式

x24x1转化为4x－1，这样进行低次幂运算就容易了。

解：由x=2+3,得x－2=。(x-2)

2

2

=3整理得：x=4x－1。

2

所以：3x－2 x+5=3（4 x－1）－2 x+5=10（2+3）+2=22+10

22 x－7（2+）-7=23－3，所以原式=

221023

=42+

3

4

初中二次根式化简的方法与技巧

一、巧用公式法 例1计算

a2abab



aba

分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与

b成立，且分式也成立，故有a＞0，b＞0，a0而同时公式：ab

2



=a

2

-2ab+b

2

，a

2

-b=abab，可以帮助我们将a2abb和

2

ab变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

解：原式=

ab

a+2

aaa=ab+

a=2a-2



二、适当配方法。

例2．计算：

3226123

分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+2其分子必有含1+

23的因式，于是可以发现3+22=12



2

，且

通过因式分解，分子所含的1+2的因式就出来了。 36312，

322解：原式=

26

312=12

2

12



121+

2

三、正确设元化简法。

例3：化简

25

分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，

使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：2a，5c，b,ab

1

6，正好与分子吻合。对于分子，我

们发现abc

222

所以abc0，于是在分子上可加

222

a2b2c20，因此可能能使分子也有望化为含有abc因式的积，这

样便于约分化简。 解：设2a,原

2

b,5c则2ab26且a2b2c20所以：

式

=

2ab2aba2b2c2abc2abcabcabc25 abcabcabcabc

四、拆项变形法 例4，计算

2567

分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：

解：原式==

ab11

再化简，便可知其答案。 abab

566

656

5

67

66

1

7



6

156

五、整体倒数法。

例5、计算

7

667

53

1

231



ab11

，化简但还abab

分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：要通过折项变形，使其具有公因式。 解：设A=

3

31

521



31=

312

则

1A

52153

1



53

131



153



31 

22

所以A=

21



1 2

六、借用整数“1”处理法。

例6、计算

1322326

分析：本例运用很多方面的知识如： 1=

322和.ab×

aba2b2，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约

分化简。 解：原式 =

32

32223236





32

32622

=

(32)(32)

26

2

七、恒等变形整体代入结合法

分析：本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法将x+y与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式，

如x－xy+y=(x+y)例7：已知X=

2

2

2

－3xy，然后再约分化简。

11（7），y =(7)，求下列各式的值。 22

2

（1）x－xy+y; (2)

2

yx

+ xy

解：因为X=

11

（75），y =(7)，所以：x+y=7，xy=1。 222

3

2222

（1） x－xy+y=（x+y）－3 xy=()－3×1=11

22

（2）

yxyxy2xyx

+ ==xyxyxy

2

2

2

(7)22

1

2

1

12

八、降次收幂法：

3x22x5

例8、已知x=2+3，求的值。

2x7

分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式

x24x1转化为4x－1，这样进行低次幂运算就容易了。

解：由x=2+3,得x－2=。(x-2)

2

2

=3整理得：x=4x－1。

2

所以：3x－2 x+5=3（4 x－1）－2 x+5=10（2+3）+2=22+10

22 x－7（2+）-7=23－3，所以原式=

221023

=42+

3

4