函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。
I. 函数自身关于点对称性 命题1：函数
(或者
证明：（必要性）设的对称点
故
（充分性）设点
，∴也在
得证。
推论1：奇函数的图像关于原点对称。 证明：设函数函数
是奇函数，则奇函数定义有 f (x ) +f (-x ) =0，由命题1可得
对称。
满足
, 则函数
图象关于
是是也在
的图像关于点
)
图像上任一点，∵点图像上，∴，必要性得证。 图像上任一点，则
，即
图像上，而点与点
关于点
，∵，故点对称，充分性关于点
，即
对称的充要条件是
图像关于源点
推论2：如果函数
点对称。（证明略） 推论3：函数证明：∵∴
，
的图像关于点
。 ，
1
由命题1有函数
的图像关于点
满足且
，则对称。
且函数
在区间
例1 已知定义域为的函数上单调递增，如果
的值（ ）
A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负
分析：先
代替，使
的图像关于点
变形为对称。
在区间
，它的特上单调递增，
征就是推论2，因此函数在区间个单位。
解：∵∴∴以选A
例2 如果函数
满足
，求该函数的对称中心。（因为
且在区间，∵ ∴
上单调递增，
∴函数
的图像关于点
对称，. 所
上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两
自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心） 如果
为奇函数，并且
，求该函数的所有对称中心和对
，从而
为对称轴，
，
关于点
对称，所以点
关于点
的对，
称轴。（由周期性定义知周期为4，又按上例知x=-1为对称轴，所以例3 定义在上的函数则
解：由命题1可得函数
满足
为对称中心其中k ∈Z ）
2
称
点也在函
数
；同理可得
.
图象上，所
以
，
，
，
即
；于是
例4 已知定义在
上的函数数都有则
，且
的图象关于点、
，
成中心对称，对任意的实
的值为（ ）。
A. 2 B. -1 C. 0 D. 1
解：由函数
的图象关于点，∴
偶函数，且数，
则
，
=
=1.
成中心对称，得
; 令
则，即
, 于是
，又是
是以3为周期的函
，∴
例4 函
数
.
解：由推论3可
知
的图象关于
点成中心对称，则实
数
图象关于
点成中心对称, 所以
3
，即例5
函数
.
.
的反函数的图象关于点
成中心对称，则实数
A. 2 B. 3 C. -2 D. -4
由推论3可知反函数的图象关于点
所以点
点
图象关于点成中心对称，
关于直线
, 即
.
成中心对称, 又
的
II. 不同函数关于点对称性 命题1: 函数证明：设
与是函数, 因为点
以函数
命题2：设
数
对一切
与
均为常数，函数
的图像关于点
成中心对称。
的对称点是的图象上，所
成中心对称。
的定义域均为，那么函
成中心对称图形的充要条件是：
图象上的任意一点，则点关于
在函数
的图像关于点
) 与函数
的图象与函数
, 均有
的图象关于
b.
证明：（1
）充分性：设
则点关于所以
一点，也即函数
的对称点是
,
即点
图象上任意一关于点
4
是函数
,
且
是
图象上的任意一点，
.
函数图象上的
的图
的对称点都在函数
象上；同理可证，函数
的图象上。 (2) 必要性：设点于点∴
.
的对称点
,
即
图象上任意一关于点
的对称点也都在函数
是函数
在函数
图象上的任意一点，则点关
图象上， ，也即对一切
,
均有
由（1）（2）证明可知：命题2成立。 推论1 :设象关于点证明：令则∴
∴由命题2，函数数
例1 已知函数图象 ( ) A. 关于直线 C. 关于点简解：令
均成立。 ∴
均为常数，则函数成中心对称。
的图象与函数的图
, , 对
对
均成立. 与函数
的图象，即函数成中心对称。
与
的
的图象与函
均成立。
的图象关于点
是定义在上的函数，那么
对称. B.关于直线对称. D. 关于点
对称. 对称。
, 则
对
, 由：命题2可知选D 。
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函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。
I. 函数自身关于点对称性 命题1：函数
(或者
证明：（必要性）设的对称点
故
（充分性）设点
，∴也在
得证。
推论1：奇函数的图像关于原点对称。 证明：设函数函数
是奇函数，则奇函数定义有 f (x ) +f (-x ) =0，由命题1可得
对称。
满足
, 则函数
图象关于
是是也在
的图像关于点
)
图像上任一点，∵点图像上，∴，必要性得证。 图像上任一点，则
，即
图像上，而点与点
关于点
，∵，故点对称，充分性关于点
，即
对称的充要条件是
图像关于源点
推论2：如果函数
点对称。（证明略） 推论3：函数证明：∵∴
，
的图像关于点
。 ，
1
由命题1有函数
的图像关于点
满足且
，则对称。
且函数
在区间
例1 已知定义域为的函数上单调递增，如果
的值（ ）
A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负
分析：先
代替，使
的图像关于点
变形为对称。
在区间
，它的特上单调递增，
征就是推论2，因此函数在区间个单位。
解：∵∴∴以选A
例2 如果函数
满足
，求该函数的对称中心。（因为
且在区间，∵ ∴
上单调递增，
∴函数
的图像关于点
对称，. 所
上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两
自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心） 如果
为奇函数，并且
，求该函数的所有对称中心和对
，从而
为对称轴，
，
关于点
对称，所以点
关于点
的对，
称轴。（由周期性定义知周期为4，又按上例知x=-1为对称轴，所以例3 定义在上的函数则
解：由命题1可得函数
满足
为对称中心其中k ∈Z ）
2
称
点也在函
数
；同理可得
.
图象上，所
以
，
，
，
即
；于是
例4 已知定义在
上的函数数都有则
，且
的图象关于点、
，
成中心对称，对任意的实
的值为（ ）。
A. 2 B. -1 C. 0 D. 1
解：由函数
的图象关于点，∴
偶函数，且数，
则
，
=
=1.
成中心对称，得
; 令
则，即
, 于是
，又是
是以3为周期的函
，∴
例4 函
数
.
解：由推论3可
知
的图象关于
点成中心对称，则实
数
图象关于
点成中心对称, 所以
3
，即例5
函数
.
.
的反函数的图象关于点
成中心对称，则实数
A. 2 B. 3 C. -2 D. -4
由推论3可知反函数的图象关于点
所以点
点
图象关于点成中心对称，
关于直线
, 即
.
成中心对称, 又
的
II. 不同函数关于点对称性 命题1: 函数证明：设
与是函数, 因为点
以函数
命题2：设
数
对一切
与
均为常数，函数
的图像关于点
成中心对称。
的对称点是的图象上，所
成中心对称。
的定义域均为，那么函
成中心对称图形的充要条件是：
图象上的任意一点，则点关于
在函数
的图像关于点
) 与函数
的图象与函数
, 均有
的图象关于
b.
证明：（1
）充分性：设
则点关于所以
一点，也即函数
的对称点是
,
即点
图象上任意一关于点
4
是函数
,
且
是
图象上的任意一点，
.
函数图象上的
的图
的对称点都在函数
象上；同理可证，函数
的图象上。 (2) 必要性：设点于点∴
.
的对称点
,
即
图象上任意一关于点
的对称点也都在函数
是函数
在函数
图象上的任意一点，则点关
图象上， ，也即对一切
,
均有
由（1）（2）证明可知：命题2成立。 推论1 :设象关于点证明：令则∴
∴由命题2，函数数
例1 已知函数图象 ( ) A. 关于直线 C. 关于点简解：令
均成立。 ∴
均为常数，则函数成中心对称。
的图象与函数的图
, , 对
对
均成立. 与函数
的图象，即函数成中心对称。
与
的
的图象与函
均成立。
的图象关于点
是定义在上的函数，那么
对称. B.关于直线对称. D. 关于点
对称. 对称。
, 则
对
, 由：命题2可知选D 。
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