第七章 正弦交流电的基本概念
1．了解正弦交流电的产生。
2．掌握表征正弦交流电的三要素：振幅、角频率、初相位。
3．理解交流电的周期、频率、有效值、相位与相位差等概念。
4．掌握正弦交流电流、电压的表示法(解析式、波形图、相量图等)。
1. 理解相位差的概念。 2. 掌握正弦量的相量图。
第一节 交流电的产生
一、
交流电的产生
如果电流的大小及方向都随时间做周期性变化，则称之为交流电。
66
二、正弦交流电
大小及方向均随时间按正弦规律做周期性变化的电流、电压、电动势叫做正弦交流电流、电压、电动势，在某一时刻t的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示，即
i(t) = Imsin(ωt + ϕi0) u(t) = Umsin(ωt + ϕu0) e(t) = Emsin(ωt + ϕe0)
式中，Im、Um、Em分别叫做交流电流、电压、电动势的振幅(也叫做峰值或最大值)，电流的单位为安培(A)，电压和电动势的单位为伏特(V)；ω 叫做交流电的角频率，单位为弧度/秒(rad/s)，它表征正弦交流电流每秒内变化的电角度；ϕi0、ϕu0、ϕe0分别叫做电流、电压、电动势的初相位或初相，单位为弧度rad或度( ︒ )，它表示初始时刻(t = 0时)正弦交流电所处的电角度。
振幅、角频率、初相这三个参数叫做正弦交流电的三要素。任何正弦量都具备三要素。
三、交流发电机简介
发电机的基本组成部分是磁极和线圈(线圈匝数很多，嵌在硅钢片制成的铁心上，通常叫电枢)。电枢转动、而磁极不动的发电机，叫做旋转电枢式发电机。磁极转动、而电枢不动，线圈依然切割磁感线，电枢中同样会产生感应电动势，这种发电机叫做旋转磁极式发电机。不论哪种发电机，转动的部分都叫转子，不动的部分都叫定子。
旋转电枢式发电机，转子产生的电流必须经过裸露着的滑环和电刷引到外电路，如果电压很高，就容易发生火花放电，有可能烧毁电机。这种发电机提供的电压一般不超过500 V。旋转磁极式发电机克服了上述缺点，能够提供几千伏到几十千伏的电压，输出功率可达几十万千瓦。所以，大型发电机都是旋转磁极式的。
发电机的转子是由蒸汽机、水轮机或其他动力机带动的。动力机将机械能传递给发电机，发电机把机械能转化为电能传送给外电路。
第二节 表征交流电的物理量
. 一、周期与频率
1．周期
正弦交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期，用字母T表示，单位为秒(s)。显然正弦交流电流或电压相邻的两个最大值(或相邻的两个最小值)之间的时间间隔即为周期，由三角函数知识可知
2π T=
ω
2．频率
交流电周期的倒数叫做频率(用符号f表示)，即
1f=
T
它表示正弦交流电流在单位时间内作周期性循环变化的次数，即表征交流电交替变化的速率(快慢)。频率的国际单位制是赫兹(Hz)。角频率与频率之间的关系为
67
ω = 2πf
二、有效值
在电工技术中，有时并不需要知道交流电的瞬时值，而规定一个能够表征其大小的特定值——有效值，其依据是交流电流和直流电流通过电阻时，电阻都要消耗电能(热效应)。
设正弦交流电流i(t)在一个周期T时间内，使一电阻R消耗的电能为QR，另有一相应的直流电流I在时间T内也使该电阻R消耗相同的电能，即QR = I2RT。
就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流(i与I)是等效的，则该直流电流I的数值可以表示交流电流i(t)的大小，于是把这一特定的数值I称为交流电流的有效值。理论与实验均可证明，正弦交流电流i的有效值I等于其振幅(最大值)Im的0.707倍，即
I
I=m=0.707Im
正弦交流电压的有效值为
U
U=m=0.707Um
正弦交流电动势的有效值为
E
E=m=0.707Em
2
例如正弦交流电流 i = 2sin(ωt - 30︒) A的有效值I = 2 ⨯ 0.707 = 1.414 A，如果交流电流i通过R = 10 Ω 的电阻时，在一秒时间内电阻消耗的电能(又叫做平均功率)为P = I2R = 20 W，即与I = 1.414 A的直流电流通过该电阻时产生相同的电功率。
我国工业和民用交流电源电压的有效值为220 V、频率为50Hz，因而通常将这一交流电压简称为工频电压。
因为正弦交流电的有效值与最大值(振幅值)之间有确定的比例系数，所以有效值、频率、初相这三个参数也可以合在一起叫做正弦交流电的三要素。
三、相位和相位差
任意一个正弦量y = Asin(ωt + ϕ0)的相位为(ωt + ϕ0)，本章只涉及两个同频率正弦量的相位差(与时间t无关)。设第一个正弦量的初相为 ϕ01，第二个正弦量的初相为 ϕ02，则这两个正弦量的相位差为
ϕ12 = ϕ01 - ϕ02
并规定
12≤180 或 12≤π
在讨论两个正弦量的相位关系时：
(1) 当 ϕ12 > 0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位越前(或超前) ϕ12； (2) 当 ϕ12
(4) 当 ϕ12 = ± π 或 ±180︒时，称第一个正弦量与第二个正弦量反相，如图7-1(b)所示；
π
(5) 当 ϕ12=±或 ±90︒时，称第一个正弦量与第二个正弦量正交。
2
例如已知u = 311sin(314t - 30︒) V，I = 5sin(314t + 60︒) A，则u与i的相位差为
68
ϕui = (-30︒) - (+ 60︒) = - 90︒，即u比i滞后90︒，或i比u超前90︒。
图7-1 相位差的同相与反相的波形
第三节 交流电的表示法
一、解析式表示法
i(t) = Imsin(ω t + ϕi0) u(t) = Umsin(ω t + ϕu0) e(t) = Emsin(ω t + ϕe0)
例如已知某正弦交流电流的最大值是2 A，频率为100 Hz，设初相位为60︒，则该电流的瞬时表达式为
i(t) = Imsin(ωt + ϕi0) = 2sin(2πf t + 60︒) = 2sin(628t + 60︒) A
二、波形图表示法
图7-2给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。
三、相量图表示法
图7-2 正弦交流电的波形图举例
正弦量可以用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。 1．振幅相量表示法
振幅相量表示法是用正弦量的振幅值做为相量的模(大小)、用初相角做为相量的幅角，例如有三个正弦量为
e = 60sin(ω t + 60︒) V u = 30sin(ω t + 30︒) V
69
i = 5sin(ω t - 30︒) A
则它们的振幅相量图如图7-3所示。
图7-3 正弦量的振幅相量图举例 图7-4 正弦量的有效值相量图举例
2．
有效值相量表示法
有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模(长度大小)、仍用初相角做为相量的幅角，例如
u=2sin(ωt+53 )V， i=0.2sin(ωt)A
则它们的有效值相量图如图7-4所示。
本 章 小 结
本章介绍了交流电的基本概念以及交流电的表示法。
一、正弦交流电的主要参数
大小及方向均随时间按正弦规律做周期性变化的电流、电压、电动势叫做正弦交流电
流、电压、电动势。
1．周期与频率
2π1
交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期T=；周期的倒数叫做频率f=；
ωT
角频率与频率之间的关系为 ω = 2πf。
2．有效值
正弦交流电的有效值等于振幅(最大值)的0.7071倍，即
I=U=E=
Im2Um2Em=0.7071Im=0.7071Um =0.7071Em
3．正弦交流电的三要素
正弦交流电的振幅、角频率、初相这三个参数叫做三要素。也可以把正弦交流电的有效值、频率、初相这三个参数叫做三要素。
4．相位差
两个正弦量的相位差为 ϕ12 = ϕ01 - ϕ02，存在超前、滞后、同相、反相、正交等关系。
二、交流电的表示法
70
1．解析式表示法
i(t) = Imsin(ωt + ϕi0) u(t) = Umsin(ωt + ϕu0) e(t) = Emsin(ωt + ϕe0)
2．波形图表示法
波形图表示法即用正弦量解析式的函数图象表示正弦量的方法。 3．相量图表示法
正弦量可以用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。 振幅相量表示法是用正弦量的振幅值做为相量的模(大小)、用初相角做为相量的幅角；有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模(大小)、仍用初相角做为相量的幅角。
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第七章 正弦交流电的基本概念
1．了解正弦交流电的产生。
2．掌握表征正弦交流电的三要素：振幅、角频率、初相位。
3．理解交流电的周期、频率、有效值、相位与相位差等概念。
4．掌握正弦交流电流、电压的表示法(解析式、波形图、相量图等)。
1. 理解相位差的概念。 2. 掌握正弦量的相量图。
第一节 交流电的产生
一、
交流电的产生
如果电流的大小及方向都随时间做周期性变化，则称之为交流电。
66
二、正弦交流电
大小及方向均随时间按正弦规律做周期性变化的电流、电压、电动势叫做正弦交流电流、电压、电动势，在某一时刻t的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示，即
i(t) = Imsin(ωt + ϕi0) u(t) = Umsin(ωt + ϕu0) e(t) = Emsin(ωt + ϕe0)
式中，Im、Um、Em分别叫做交流电流、电压、电动势的振幅(也叫做峰值或最大值)，电流的单位为安培(A)，电压和电动势的单位为伏特(V)；ω 叫做交流电的角频率，单位为弧度/秒(rad/s)，它表征正弦交流电流每秒内变化的电角度；ϕi0、ϕu0、ϕe0分别叫做电流、电压、电动势的初相位或初相，单位为弧度rad或度( ︒ )，它表示初始时刻(t = 0时)正弦交流电所处的电角度。
振幅、角频率、初相这三个参数叫做正弦交流电的三要素。任何正弦量都具备三要素。
三、交流发电机简介
发电机的基本组成部分是磁极和线圈(线圈匝数很多，嵌在硅钢片制成的铁心上，通常叫电枢)。电枢转动、而磁极不动的发电机，叫做旋转电枢式发电机。磁极转动、而电枢不动，线圈依然切割磁感线，电枢中同样会产生感应电动势，这种发电机叫做旋转磁极式发电机。不论哪种发电机，转动的部分都叫转子，不动的部分都叫定子。
旋转电枢式发电机，转子产生的电流必须经过裸露着的滑环和电刷引到外电路，如果电压很高，就容易发生火花放电，有可能烧毁电机。这种发电机提供的电压一般不超过500 V。旋转磁极式发电机克服了上述缺点，能够提供几千伏到几十千伏的电压，输出功率可达几十万千瓦。所以，大型发电机都是旋转磁极式的。
发电机的转子是由蒸汽机、水轮机或其他动力机带动的。动力机将机械能传递给发电机，发电机把机械能转化为电能传送给外电路。
第二节 表征交流电的物理量
. 一、周期与频率
1．周期
正弦交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期，用字母T表示，单位为秒(s)。显然正弦交流电流或电压相邻的两个最大值(或相邻的两个最小值)之间的时间间隔即为周期，由三角函数知识可知
2π T=
ω
2．频率
交流电周期的倒数叫做频率(用符号f表示)，即
1f=
T
它表示正弦交流电流在单位时间内作周期性循环变化的次数，即表征交流电交替变化的速率(快慢)。频率的国际单位制是赫兹(Hz)。角频率与频率之间的关系为
67
ω = 2πf
二、有效值
在电工技术中，有时并不需要知道交流电的瞬时值，而规定一个能够表征其大小的特定值——有效值，其依据是交流电流和直流电流通过电阻时，电阻都要消耗电能(热效应)。
设正弦交流电流i(t)在一个周期T时间内，使一电阻R消耗的电能为QR，另有一相应的直流电流I在时间T内也使该电阻R消耗相同的电能，即QR = I2RT。
就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流(i与I)是等效的，则该直流电流I的数值可以表示交流电流i(t)的大小，于是把这一特定的数值I称为交流电流的有效值。理论与实验均可证明，正弦交流电流i的有效值I等于其振幅(最大值)Im的0.707倍，即
I
I=m=0.707Im
正弦交流电压的有效值为
U
U=m=0.707Um
正弦交流电动势的有效值为
E
E=m=0.707Em
2
例如正弦交流电流 i = 2sin(ωt - 30︒) A的有效值I = 2 ⨯ 0.707 = 1.414 A，如果交流电流i通过R = 10 Ω 的电阻时，在一秒时间内电阻消耗的电能(又叫做平均功率)为P = I2R = 20 W，即与I = 1.414 A的直流电流通过该电阻时产生相同的电功率。
我国工业和民用交流电源电压的有效值为220 V、频率为50Hz，因而通常将这一交流电压简称为工频电压。
因为正弦交流电的有效值与最大值(振幅值)之间有确定的比例系数，所以有效值、频率、初相这三个参数也可以合在一起叫做正弦交流电的三要素。
三、相位和相位差
任意一个正弦量y = Asin(ωt + ϕ0)的相位为(ωt + ϕ0)，本章只涉及两个同频率正弦量的相位差(与时间t无关)。设第一个正弦量的初相为 ϕ01，第二个正弦量的初相为 ϕ02，则这两个正弦量的相位差为
ϕ12 = ϕ01 - ϕ02
并规定
12≤180 或 12≤π
在讨论两个正弦量的相位关系时：
(1) 当 ϕ12 > 0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位越前(或超前) ϕ12； (2) 当 ϕ12
(4) 当 ϕ12 = ± π 或 ±180︒时，称第一个正弦量与第二个正弦量反相，如图7-1(b)所示；
π
(5) 当 ϕ12=±或 ±90︒时，称第一个正弦量与第二个正弦量正交。
2
例如已知u = 311sin(314t - 30︒) V，I = 5sin(314t + 60︒) A，则u与i的相位差为
68
ϕui = (-30︒) - (+ 60︒) = - 90︒，即u比i滞后90︒，或i比u超前90︒。
图7-1 相位差的同相与反相的波形
第三节 交流电的表示法
一、解析式表示法
i(t) = Imsin(ω t + ϕi0) u(t) = Umsin(ω t + ϕu0) e(t) = Emsin(ω t + ϕe0)
例如已知某正弦交流电流的最大值是2 A，频率为100 Hz，设初相位为60︒，则该电流的瞬时表达式为
i(t) = Imsin(ωt + ϕi0) = 2sin(2πf t + 60︒) = 2sin(628t + 60︒) A
二、波形图表示法
图7-2给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。
三、相量图表示法
图7-2 正弦交流电的波形图举例
正弦量可以用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。 1．振幅相量表示法
振幅相量表示法是用正弦量的振幅值做为相量的模(大小)、用初相角做为相量的幅角，例如有三个正弦量为
e = 60sin(ω t + 60︒) V u = 30sin(ω t + 30︒) V
69
i = 5sin(ω t - 30︒) A
则它们的振幅相量图如图7-3所示。
图7-3 正弦量的振幅相量图举例 图7-4 正弦量的有效值相量图举例
2．
有效值相量表示法
有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模(长度大小)、仍用初相角做为相量的幅角，例如
u=2sin(ωt+53 )V， i=0.2sin(ωt)A
则它们的有效值相量图如图7-4所示。
本 章 小 结
本章介绍了交流电的基本概念以及交流电的表示法。
一、正弦交流电的主要参数
大小及方向均随时间按正弦规律做周期性变化的电流、电压、电动势叫做正弦交流电
流、电压、电动势。
1．周期与频率
2π1
交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期T=；周期的倒数叫做频率f=；
ωT
角频率与频率之间的关系为 ω = 2πf。
2．有效值
正弦交流电的有效值等于振幅(最大值)的0.7071倍，即
I=U=E=
Im2Um2Em=0.7071Im=0.7071Um =0.7071Em
3．正弦交流电的三要素
正弦交流电的振幅、角频率、初相这三个参数叫做三要素。也可以把正弦交流电的有效值、频率、初相这三个参数叫做三要素。
4．相位差
两个正弦量的相位差为 ϕ12 = ϕ01 - ϕ02，存在超前、滞后、同相、反相、正交等关系。
二、交流电的表示法
70
1．解析式表示法
i(t) = Imsin(ωt + ϕi0) u(t) = Umsin(ωt + ϕu0) e(t) = Emsin(ωt + ϕe0)
2．波形图表示法
波形图表示法即用正弦量解析式的函数图象表示正弦量的方法。 3．相量图表示法
正弦量可以用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。 振幅相量表示法是用正弦量的振幅值做为相量的模(大小)、用初相角做为相量的幅角；有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模(大小)、仍用初相角做为相量的幅角。
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