第((卷第*期! " " %年*月同济大学学报（自然科学版）
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S 72, ((V7, *
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最优投资决策问题的期望效益的数学表示
朱经浩，朱丙坤
（同济大学应用数学系，上海! ）" " " +!
摘要：利用公式和级数展开建立了最优投资决策问题的期望效益的一个数学表示，9@A 74关于最优投资决策问题的一个重要结果的简化证明，同时还给出了一个判断投资决策问题的最优停止时刻的充分条件,
关键词：最优投资决策；数学期望；随机控制系统中图分类号：；>!! #>!(’, (
文献标识码：B
文章编号：（）" ! %($() #C ! " " %" *$’’’#$" #
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：*12#, " (#B/0A 69/0A 1; 02F 7@/M 20F 7@A 699N 9; A 9G M A 121A 7F 047A 1/027@A F 7217@7O 29/1:9:A 0O 21:69G E J E E E
（P 1A 6A 699/27/94A 7F ）F 7@/M 2004GQ 19:9@19:, B 40402:1:1:/0G 97F :7/9021; 0A 174:7F A 69E J J E E ’/0A 69/0A 1; 02F 7@/M 20，14; 2M G 14:1/21F 19G I 9@1F 1; 0A 1747F 7497F? 9@A 74:; 74; 2M :174:, =69/0A 69. 50E /0A 1; 02F 7@/M 201:02:7M :9G A 7G 902P 1A 6027; 02A 1/9. 7A 1/02@7O 29/, E E
：；；3%-, 627A 1/027@A F 7217/0A 69/0A 1; 029N 9; A 0A 174:A 7; 60:A 1; ; 74A @72::A 9/:E E E J 45
连续时间型的投资决策问题的研究始于? 9@.
［］
他利用随机最优控A 74的许多开创性的工作’" #,
制的方法研究一个投资者如何找到一个最优投资策略的问题, 具体地说，是关于投资者如何做出最明智的决定：在一段时间内持有多少种证券，才能使期望财富达到最大化, 在经典的? 投资者9@A 74问题中，可以把钱分别投入到无风险的银行储蓄和不同的风险股票中去, ? 9@A 74把投资决策问题变成一个数学控制问题，从而利用随机控制理论和方法加以解决, ? 9@A 74的一个重要结果是给出了一个有关债券的
［］%投资决策问题的最优投资决策, ? 9@A 74对R 7. Q 99
［］［］&模型和S 0:1; 98模型) 分别给出了最优投资控制
函数的数学表达式, ? 9@A 74的推导利用了随机最优控制理论的最大原理和一些数学控制论的专门方法, 经研究发现，在许多已有的工作中，由于未能建立合适的期望效益的数学表达式，往往增加了问题
［］%的复杂程度本文利用公式和级数展开建立
了最优投资决策问题的期望效益的一个数学表示，
并给出了? 9@A 74关于R 7. Q 99模型和S 0:1; 98模型的最优投资决策问题的重要结果的简化证明，同时还给出了一个判断投资决策问题的最优停止时刻的充分条件,
收稿日期：! " " #$" %$! &
基金项目：国家自然科学基金资助项目（）’" () ’" *+作者简介：朱经浩（，男，浙江定海人，教授，博士生导师，理学博士, ：’+#+$）-. /012146078! 742149, :6, ; 435
万方数据
第A 期
朱经浩，等：最优投资决策问题的期望效益的数学表示
###%
! 一个债券投资决策问题
假设投资者在! ! " 时拥有资金量为" ，可投"
资到#个不同的项目中去$若用一个多重投资过程（! ，$，…，来建立模型，其中! （，，! ! ! ! ）%! ##! #）%
，…，$#表示! 时刻时投资在第%个项目上的资金占总资金的百分比$从文献［］中可知，这一投资组%
合过程可用下述随机微分方程来刻画：
（・）是一维布朗运动，（（" （! ）这里+! ）! /%
（）／（) ! ）#! ）$
" 期望效益的数学表示
对一个实值随机变量&，若满足0（&）%? ，
／#$（&）定义" " " ! （0（&$））8*@%? ，$
引理! 设4（是一个实值随机函数，满足! ）
（（如果4（是均方可积的，04）%? ，8*@4）%? $! ）&&（! ）’&（! ［）（! （! （）" （! ）() （! ）・! ）*) （! ））&! *! （! ）#（! ）&+（! ）
］，! ! ［" ，, ］，" ! （! ）" ##，&（" ）’" " （#）式中：" （! ）为#维向量函数；#（! ）为#’-维矩阵函数；) （! ）! " 表示无风险利率函数；! #（#，#，…，）(表示元素全为#的#维向量$
方程（#）可看作是一个以投资组合过程! （・）为控制函数的随机控制系统$相应的优化问题为，投资者如何选择一个投资组合过程来使其在终端时刻的
期望效益最大$通常选择效益函数为. （" ）! " $，"
$" ，" %$%#［%］
$
考虑控制向量函数! （・）一定的数学含义，一般要求允许的控制向量函数为在［" ，, ］有界可测和均方可积的随机过程，并使方程（#）在此控制下有唯一的［" ，, ］
上的具有有界的期望的轨道［%］$
记允许的控制函数全体所成的集合为/（" ，" ）$
相应的最优化问题可表述如下：) *+（&! （, ））$（$
）! ! /&（" ，" "
）
&&! （! ）’&! （
! ［）（! （! （）" （! ）() （! ）・! ）*) （! ））&! *! （! ）#（! ）&+（! ）］（,
）&! （" ）’" " ’" （-）这里
/&（
" ，" " ）1’｛! （・）! /（" ，" " ）
1&! （
! ）’" ，. /*010(! ! ［" ，, ］｝（%
）文献［%］中考虑了上述优化问题的一个特例，即所谓债券投资决策问题0在这一问题中投资者可把其资产分成两部分，一部分放到一个储蓄帐户，而另一部分可用以买一个到期时间为, #’" 的债券（, #’, ）0并具体考虑了234566［7］模型和
8*19:6; 模
型［（/3（, #/! ））/#）$而! （! ）为购买债券的资金在总资金中的百分比$于是对于债券投资决策问题，式（,
）可表达如下：&&! （万 ! ）! （方数据’&! ［）（! （! ）%
（! ）#（! ）*) （! ））&! *! （! ）#（! ）&+（! ）］（7
）那么对每个正整数5$$，有) ! ) $6#…
65(
#（! 6#
）4（6$
）…4（65(
#）4（65）・#! #
) ! 4
#
&6…6$
5&65(
#&#’（
) ! ! 4（! ）&!
#
5
！
上述引理可由随机分析基本理论得到［A ，B ］0
引理" 设! （・）是债券投资决策问题的一个
允许的控制，&! （・）是与之相应的式（7）的解，则对任意的! #，! $，" %! #%! $%, #，有0（&! （! $））$(0（&! （! #
））$’0｛（&! （! #
））$（6. (#）｝（
）其中
. ’)
! ［$
（! $! （6）%
（6）#（6）*) （6））*#
（#／$）$（$(#）! $（6）#$（6）］&6
（A
）证明由C (D 公式得
&! （! $））$(（&! （! #
））$’! $
$（&! （6））$(#［&! （! 6（）! （6）%
（6）#（6）*#
) （6））］&6*
)
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$（&! （6））$(#&! （6）! （6）#（! 6）&+*
#
! $
#（$(#）（&! （6））$($（&! （6）! （6）#（6））$! &6
#$
（B
）对等式（B
）两边取数学期望得到0（&! （! $））$(0（&! （! #）
）$’0) !
$（! &! （6））$$（! （6）%（6）#（6）*)
（6））&6*#
0) ! （$
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同济大学学报（自然科学版）
第C C 卷
［（" （（（（）（／）（）・! ! ）! ）$! ）! ）! " ! ! $! " #" #
" ］（" （（（）（）! ）! ）$! ）#! ! $#）（，）的数学变化%（! ）次，由于" （・），重复式（%! $"
（・），（・），（可积，令’（（" （（（$#&）! ）&! ! ）! ）$! ）##
" " （）（／）（）（・（，可得’#! ）’! " ! ! (! " ! ）$! ）
" ! " ! （) （））（) （））(&&$(*" !
" ! " ! +）（) （）（（) （））(&）$. *(
（" （（（（）（／）其中，・+*［! ! ）! ）$! ）! ）! " " #" #
" " （（］那么由初始条件) （）! ! $! " ! ）$! ）#! /$*
" ! +），可知(（（) （）），从而有. $. %$$%$
$
）" （
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(（) ［
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+" ！" …" ！"
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）］
" ! （) （），，，即" （・）(-’（，(&）&(［$0］$%$
）因此，（，）（，$）. -’$. /$/$*-$.
以下证明0. 1234关于5367. . 模型和89:*; .
｛" &" " ! !
…
" ! %$!
’（! ’（&!
" ）…’（! %$! ）’（!
%）・! &! &! ）!
［（) " （! %
））
! $
（) " （
&! ））! ］#! %#! %$! …#! !
｝
（! !
）为了证明此引理，需证明
［! $］) *+&" ! !
…
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（%#,
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｛" &" " ’! ! ）’（!
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%）・! &! &!
［（) " （
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（) " （
&! ））! ］#! %#! %$! …#! !
｝
*$
（! "
）易知，$’（! ）$，$（) " （! ））! $对给定的" （・
）在&! ，&" ］上都有界，那么存在, %$，使得在［&! ，&
" ］上有$’（! ）$&, ，$（) " （! %））! (（) " （&!
））! $&, ，所以&(
｛" &" " ! !
…
" ! %$!
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%）・! &! &! ）!
［（) " （! %））! $（) " （&! ））! ］#! %#! %$! …#! !
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&%%$! …! ! *
! &!
&#! #! #!
（" , ［）, （&" $&! ）
］%／%！#$（，%#, ）于是式（! " ）得证-所以由式（! !
）有(（) " （&" ））! $(（) " （&! ）
）! *(［（) " （&! ）
）! （. +$! ）］引理" 证毕-
若干应用
先利用引理" ，证明-’（$，. $）&-（$，. $）/事实上，给定一个允许的控制" （・）(-（$，. ，对任意&(（$万 ，0方数据$）
］，由式（/
）可知模型的最优投资决策问题的一个结果-! （&）是确定性的可积函数-当最优决策为确定性的可积函数时，由引理" 可知
(（) " （0））! *(
（) " （$））! . +为求
+9=(（) " （须找到>" （&）
对任意的" （・）(-’
（0））! ，$，. $
）(［$，0］，! （" （&）#
（&）$（&）’#（&））’（! ／" ）! （! (! ）" " （&）$" （&）取得最大值/又因为（! ／" ）! （! (! ）) $，所以，对任意的&(［$，0］，>" （&）
可以通过解方程! （! (! ）$" （&>）" （&）’! #（&）$（&）&$得到/只要$（&）*$
，就有>" （&）*
（）
! $! $（&）
］
又因为$&&&0) 0! ，所以在5367. . 模型或896
*; .
优投资决策问题的下述结果［! ! ］-定理" 关于无风险利率#（&）
的最优投资决策问题（" ）（，? ），（@），对于5367. . 模型有确定性的最优控制
" !
’（&）*（（）! $! $1
（0&
$&）而对于89:*; .
" ’（&）（（"
*! （1／2（）. =A
（）! $$2（0&
$&））$! ）关于局部最优停止时刻
以下设0! %$为债券投资决策问题的契约的到期时间，并假设#（・），$（・），#（・）都是连续函数/定义" 给定0(（$，0! ）
和一个允许的控制" （・）/若存在一个正数%，对任意&(［0(%，0）
满足(（) " （0）! ）%(（) " （&）! ），其中) " （&）满足式@），称0为关于" （・）的局部最优停止时刻［B ，%］/
定理$对给定的0(（$，0! ）
，如果存在一个允许的连续控制函数>"
（・）满足&［" $:#（!
第5期
朱经浩，等：最优投资决策问题的期望效益的数学表示
" " " 4
［（（! ）（! ）（! ）（! ））（／）（! ! " $" #! ! $" #" #
##）（! ）（! ）］，%&’! " " $() (! $
&
（）" *
（
" #" *…" -…
" ！" " ！" ！#*-
#
((((
则! 是关于（・）的局部最优停止时刻%! "
证明
由式（）知，存在一个正数%，使得" *
［（（! ）（! ）（! ）（! ））（／）（! ! " $" #! ! $" #" #
#
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#*…-…" ！" " ！" #！-#*
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#*…-$-…#, #, " ！" " " " " " ！！#*-#, （）’7" " 8
）
" ）! " #（! ）$#（! ）］! %! $
，%&’() (（" +）为了证明! 是关于! "
（・）的局部最优停止时刻，要证存在正数&! $，使得对每个’, $" ’#&，有
&（’! " （! ））! $&（’! " （! $’））! ! $（" -）现在估计&（’! " （! ））! &&（’! " （! &’））! 下界%由于（’! " （・））! 是连续且恒正的，存在正数("
! (! $和一个比较小的正数(" !
$，使得当) $! &(" ，!
］有(" %（’! " （
) ））
! %(! $，%&’() (%
又因! " （・），#（・），$（・），#（・）都是连续的，可以取到一个正数(#! $，使得当) $［! &(#，! ］时有［! （! " （) ）#
（) ）$（) ）" #（) ））" （" ／#）! （! $" ）! " #（) ）$#（) ）］! %
／#，%&’() (（" . ）取&" /012｛(" ，(#，" ｝，当’$（$，&"
）时，得*+
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（) ）$（) ）" #（! $’
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) ）$#（
) ）｝3) !
（%
／#）’，%&’() (（" 4）这里
*!
+
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｛! ［! " （) ）#
（) ）$（! $’
) ）" #（) ）］" （" ／#）! （! $" ）! " #（) ）$#（) ）｝3)
同时有
(" %（’! " （! $’））! %(! $
，%&’() (（" 5
）此外，又因’! ［! " （) ）#
（) ）$（) ）6#（) ）］6" ／#）! （! &" ）! " #（) ）$#（) ）’在［$，! ］
上有界，故存在一正数, " ，使得在［$，! ］上’! ［! " （) ）#
（) ）$（) ）6#（) ）］6（" ／#）! （! &" ）! " #（) ）$#（) ）’#, " ，
那么当’$（$，&" ）
时，有万
方数据对) " /! &’，)
#/! ，应用引理#，由式（" 4）! （" 8
），得到&（’! " （! ））! $&（’! " （! $’））! +&（（’! " （. $’））! （7*$" ））+&｛
（’! " （! $’））! *$
（’! " （! $’））! ・［#
*
-
#！" *！" …" -！
" …］｝! ｛(#
$("
7, "
’｝’（#$）所以若取&/012｛&" ，%(／+7, " ("
｝，由式（#$），当’, $" ’#&，有&（’! " （! ））! $&（’! " （! $’））! ! (（%
／+）’! $定理#证毕(定理! 设" /
) （・），//" ，#为定理" 中给出的两种模型下的债券投资决策问题的最优控制%若时
刻! ，满足：$" ! " ! " ，#（! ）! $
，则! 为关于" /
) （・），//" ，#的局部最优停止时刻%证明由于在定理" 中所有" ) （・），#
（・），$（・），#（・）都是确定性的和连续的，由" ) （・），//
" ，#的表达式及条件$" ! " ! " ，#（! ）! $
，可推知［! （" /) （! ）#
（! ）$（! ）" #（! ））" （" ／#）! （" $! ）" /) #（! ）$#（! ）］+##（" $!
）（! ）" ! #（! ）! $
于是由定理#的结论可得到此定理的结果(参考文献：
［" ］97:; (? 1@7; 107A
：F G 7C (L A ; 10’B C (J ::’; D 0［H ］(H J C
，" 84*，. ：#" *&#" +(（下转第! ! " #页）
［（
" " ? ;
同济大学学报（自然科学版）
第F F 卷
本原则：! 要有利于工程项目全过程的投资数据的比较分析；" 尽量考虑与工程项目管理的组织保持一致性；#要有利于投资数据由上而下的分解和由下而上的综合，并有利于管理上对投资数据多方位、多层次的汇总分析要求；$保持与行业标准分解和编码的联系或对应，以利于投资数据的积累分析；%灵活性原则；清晰，易于掌握! &要简明、
专业学会进行，是我国在工程项目投资控制方法上改革和发展的方向! 参考文献：
［］#’［6］" $&’()! *+&’+’-. /--01-’23403. 40-. 20&33. ’+! %, %$5
［#］：，66#782$-3$4. /0-3! 902$-. 01-66#7*-. ’2-$. /0-$&%" ::" ! ; !
［］@? $22/’AB，C $D &30-#@! C 20E ’33/0-$&40-3. 2D 4. /0-+$-$’+’-. %
［9］：，! F 2G ’G ! A /-$02’94H 2$1I J /&&*-4" ::? ! %, ［］9［6］F 49D &&$-7K ! #03.40-. 20&I . L ’.2/4M 3$-G. 2$3! 66#7,
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［］J N $D 3’269! O @A G ’P ’&0+’-. E 02$-Q " " R /&&/0-. 2$-302. $. /0-, , ［6］［#］：20’4. ! 66#782$-3$4. /0-3! 902$-. 01-66#7*-. ’2I , S %
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［］A ［9］：
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［］，3! -! ? >>? !
! 结语
工程项目投资分解和编码是工程项目管理的首要工作，也是用计算机辅助项目投资控制的基础! 我国长期以来采用的前苏联体制下的定额体系实际上是计划经济的产物，它看重并适合于工程项目各阶段投资的“静态计算”，而难以适应工程项目投资目标全过程的计划值和实际值之间的动态比较分析和控制，不适合长期工程项目投资数据的积累分析! 在理论研究方面，目前我国对投资分解和编码的研究还不够! 对我国目前而言，学习和借鉴工业发达国家的先进经验和成果，分析、设计相应各行业标准的项目分解体系，尤其是建立面向工程项目构成部位的行业分解和编码体系，有着十分的必要性和意义! 这项工作应在政府主管部门支持指导下，由行业协会、
（编辑：陶文文）
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（上接第! ! ! " 页）
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［］，. /-D 0D 3E 02R $-I R $-40-. 20&3V ! A /$+V#0-. 20&X . /+，" ::
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" ::
（编辑：曲俊延）
万方数据
最优投资决策问题的期望效益的数学表示
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
朱经浩， 朱丙坤， ZHU Jing-hao， ZHU Bing-kun同济大学,应用数学系,上海,200092
同济大学学报（自然科学版）
JOURNAL OF TONGJI UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)2005，33(8)1次
参考文献(11条)
1. Merton R C Lifetime portfolio selection under uncertainty:The continuous case 19692. Merton R C Optimal consumption and portfolio rules in a continuous -time model 19713. Merton R C Erratum 1973
4. Merton R C Continuous-time finance 1990
5. Korn R. Kraft H A stochastic control approach to portfolio problems with stochastic interest rates2001(4)
6. Ho T S Y. Lee S B Term syructure movement and pricing interest contingent claims 19867. Vasicek O An equilibrium characterisation of the term structure 1977(5)8. Fleming W H. Rishel R W Deterministic and stochastic optimal control 19759. Ikeda N. Watanabe S Stochastic differential equation and diffusion process 1981
10. Sarychev A V First-and second -order sufficient optimality continuous for bang-bang controls1997(1)
11. Korn R Optimal portfolios 1997
相似文献(7条)
1.期刊论文 翟玉玲 一个Vasicek模型下的期权定价问题 -科技信息（学术版）2008(7)
本文研究了随机最优控制下的投入决策问题,此问题的研究始于Merton的许多开创性的工作([1],[2],[3],[4]).Merton把投资决策问题变成一数学控制问题,从而利用随机控制理论和方法加以解决.在文献 ([5],[6],[7],[8],[9])中对最优投资决策问题中的效益期望做了一定的研究,在文献
([10],[11],[12],[13])中讨论了Vasicek模型下短期利率的期权定价问题,本文将几个好的结果加以组合,使随机最优控制下的投入决策问题的结论更加系统化.
2.会议论文 王丽娜 委托代理中外部性问题研究 2005
描述了外部性期权投资者和经营者价值函数，分析了委托代理中外部性期权的最优投资决策。在非对称信息条件下，外部性期权经营者对于项目价值信息隐匿，这是一个具有逆向选择的委托代理问题。设计了以外部性期权管理当局利润数学期望最大为目标函数，以控污成本和污染预防水平作为状态方程的最优控制问题。应用极大值原理得出了外部性期权最优控污成本和污染评价水平的求解方案。最后，进行了外部性期权的仿真实验，验证了外部性期权上的分析结果。
3.期刊论文 王丽娜. WANG Li-na 非对称信息条件下外部性问题研究 -中国管理科学2005,13(z1)
描述了外部性期权投资者和经营者价值函数,分析了不同信息条件下外部性期权的最优投资决策.在非对称信息条件下,外部性期权经营者对于项目价值信息隐匿,这是一个具有逆向选择的委托代理问题.设计了以外部性期权管理当局利润数学期望最大为目标函数,以控污成本和污染预防水平作为状态方程的最优控制问题.应用极大值原理得出了外部性期权最优控污成本和污染评价水平的求解方案.最后,进行了外部性期权的仿真实验,验证了外部性期权上的分析结果.
4.期刊论文 王丽娜. WANG Li-na 非对称信息条件下外部性期权问题分析 -工业工程与管理2006,11(3)
描述了外部性期权投资者和经营者价值函数,分析了不同信息条件下外部性期权的最优投资决策.在非对称信息条件下,外部性期权经营者对于项目价值信息隐匿,是一个具有逆向选择的委托代理问题.设计了以外部性期权管理当局利润数学期望最大为目标函数,以控污成本和污染预防水平作为状态方程的最优控制问题.应用极大值原理,得出了外部性期权最优控污成本和污染评价水平的求解方案.最后,进行了外部性期权的仿真实验,验证了外部性期权上的分析结果.
5.期刊论文 黄小原. 庄新田 非对称信息条件下实物期权最优投资问题研究 -管理科学学报2003,6(6)
描述了实物期权投资者和经营者价值函数,分析了不同信息条件下实物期权的最优投资决策.在非对称信息条件下,实物期权经营者对于项目价值信息隐匿,这是一个具有逆向选择的委托代理问题.设计了以实物期权投资者利润数学期望最大为目标函数,以投资和数量折扣作为状态方程的最优控制问题.应用极大值原理推导了实物期权最优投资和数量折扣的求解方案.最后,进行了实物期权最优投资的仿真实验,验证了实物期权在项目投资问题上的分析结果.
6.会议论文 王丽娜. 艾云凤 委托代理中外部性问题研究 2006
本文描述了外部性期权投资者和经营者价值函数,分析了委托代理中外部性期权的最优投资决策.在非对称信息条件下,外部性期权经营者对项目的价值信息加以隐匿,这是一个具有逆向选择的委托代理问题.设计了以外部性期权管理当局利润数学期望最大为目标函数,以控污成本和污染预防水平作为状态方程的最优控制问题.应用极大值原理得出了外部性期权最优控污成本和污染评价水平的求解方案.
7.会议论文 王丽娜 非对称信息条件下外部性问题研究 2005
本文描述了外部性期权投资者和经营者价值函数,分析了不同信息条件下外部性期权的最优投资决策.在非对称信息条件下,外部性期权经营者对于项目价值信息隐匿,这是一个具有逆向选择的委托代理问题.设计了以外部性期权管理当局利润数学期望最大为目标函数,以控污成本和污染预防水平作为状态方程的最优控制问题.应用极大值原理得出了外部性期权最优控污成本和污染评价水平的求解方案,进行了外部性期权的仿真实验,验证了外部性期权上的分析结果.
引证文献(1条)
1. 翟玉玲 一个Vasicek模型下的期权定价问题[期刊论文]-科技信息（学术版） 2008(07)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_tjdxxb200508026.aspx
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第((卷第*期! " " %年*月同济大学学报（自然科学版）
（V ）T >H U V B Q>W=>V X T
S 72, ((V7, *
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最优投资决策问题的期望效益的数学表示
朱经浩，朱丙坤
（同济大学应用数学系，上海! ）" " " +!
摘要：利用公式和级数展开建立了最优投资决策问题的期望效益的一个数学表示，9@A 74关于最优投资决策问题的一个重要结果的简化证明，同时还给出了一个判断投资决策问题的最优停止时刻的充分条件,
关键词：最优投资决策；数学期望；随机控制系统中图分类号：；>!! #>!(’, (
文献标识码：B
文章编号：（）" ! %($() #C ! " " %" *$’’’#$" #
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：*12#, " (#B/0A 69/0A 1; 02F 7@/M 20F 7@A 699N 9; A 9G M A 121A 7F 047A 1/027@A F 7217@7O 29/1:9:A 0O 21:69G E J E E E
（P 1A 6A 699/27/94A 7F ）F 7@/M 2004GQ 19:9@19:, B 40402:1:1:/0G 97F :7/9021; 0A 174:7F A 69E J J E E ’/0A 69/0A 1; 02F 7@/M 20，14; 2M G 14:1/21F 19G I 9@1F 1; 0A 1747F 7497F? 9@A 74:; 74; 2M :174:, =69/0A 69. 50E /0A 1; 02F 7@/M 201:02:7M :9G A 7G 902P 1A 6027; 02A 1/9. 7A 1/02@7O 29/, E E
：；；3%-, 627A 1/027@A F 7217/0A 69/0A 1; 029N 9; A 0A 174:A 7; 60:A 1; ; 74A @72::A 9/:E E E J 45
连续时间型的投资决策问题的研究始于? 9@.
［］
他利用随机最优控A 74的许多开创性的工作’" #,
制的方法研究一个投资者如何找到一个最优投资策略的问题, 具体地说，是关于投资者如何做出最明智的决定：在一段时间内持有多少种证券，才能使期望财富达到最大化, 在经典的? 投资者9@A 74问题中，可以把钱分别投入到无风险的银行储蓄和不同的风险股票中去, ? 9@A 74把投资决策问题变成一个数学控制问题，从而利用随机控制理论和方法加以解决, ? 9@A 74的一个重要结果是给出了一个有关债券的
［］%投资决策问题的最优投资决策, ? 9@A 74对R 7. Q 99
［］［］&模型和S 0:1; 98模型) 分别给出了最优投资控制
函数的数学表达式, ? 9@A 74的推导利用了随机最优控制理论的最大原理和一些数学控制论的专门方法, 经研究发现，在许多已有的工作中，由于未能建立合适的期望效益的数学表达式，往往增加了问题
［］%的复杂程度本文利用公式和级数展开建立
了最优投资决策问题的期望效益的一个数学表示，
并给出了? 9@A 74关于R 7. Q 99模型和S 0:1; 98模型的最优投资决策问题的重要结果的简化证明，同时还给出了一个判断投资决策问题的最优停止时刻的充分条件,
收稿日期：! " " #$" %$! &
基金项目：国家自然科学基金资助项目（）’" () ’" *+作者简介：朱经浩（，男，浙江定海人，教授，博士生导师，理学博士, ：’+#+$）-. /012146078! 742149, :6, ; 435
万方数据
第A 期
朱经浩，等：最优投资决策问题的期望效益的数学表示
###%
! 一个债券投资决策问题
假设投资者在! ! " 时拥有资金量为" ，可投"
资到#个不同的项目中去$若用一个多重投资过程（! ，$，…，来建立模型，其中! （，，! ! ! ! ）%! ##! #）%
，…，$#表示! 时刻时投资在第%个项目上的资金占总资金的百分比$从文献［］中可知，这一投资组%
合过程可用下述随机微分方程来刻画：
（・）是一维布朗运动，（（" （! ）这里+! ）! /%
（）／（) ! ）#! ）$
" 期望效益的数学表示
对一个实值随机变量&，若满足0（&）%? ，
／#$（&）定义" " " ! （0（&$））8*@%? ，$
引理! 设4（是一个实值随机函数，满足! ）
（（如果4（是均方可积的，04）%? ，8*@4）%? $! ）&&（! ）’&（! ［）（! （! （）" （! ）() （! ）・! ）*) （! ））&! *! （! ）#（! ）&+（! ）
］，! ! ［" ，, ］，" ! （! ）" ##，&（" ）’" " （#）式中：" （! ）为#维向量函数；#（! ）为#’-维矩阵函数；) （! ）! " 表示无风险利率函数；! #（#，#，…，）(表示元素全为#的#维向量$
方程（#）可看作是一个以投资组合过程! （・）为控制函数的随机控制系统$相应的优化问题为，投资者如何选择一个投资组合过程来使其在终端时刻的
期望效益最大$通常选择效益函数为. （" ）! " $，"
$" ，" %$%#［%］
$
考虑控制向量函数! （・）一定的数学含义，一般要求允许的控制向量函数为在［" ，, ］有界可测和均方可积的随机过程，并使方程（#）在此控制下有唯一的［" ，, ］
上的具有有界的期望的轨道［%］$
记允许的控制函数全体所成的集合为/（" ，" ）$
相应的最优化问题可表述如下：) *+（&! （, ））$（$
）! ! /&（" ，" "
）
&&! （! ）’&! （
! ［）（! （! （）" （! ）() （! ）・! ）*) （! ））&! *! （! ）#（! ）&+（! ）］（,
）&! （" ）’" " ’" （-）这里
/&（
" ，" " ）1’｛! （・）! /（" ，" " ）
1&! （
! ）’" ，. /*010(! ! ［" ，, ］｝（%
）文献［%］中考虑了上述优化问题的一个特例，即所谓债券投资决策问题0在这一问题中投资者可把其资产分成两部分，一部分放到一个储蓄帐户，而另一部分可用以买一个到期时间为, #’" 的债券（, #’, ）0并具体考虑了234566［7］模型和
8*19:6; 模
型［（/3（, #/! ））/#）$而! （! ）为购买债券的资金在总资金中的百分比$于是对于债券投资决策问题，式（,
）可表达如下：&&! （万 ! ）! （方数据’&! ［）（! （! ）%
（! ）#（! ）*) （! ））&! *! （! ）#（! ）&+（! ）］（7
）那么对每个正整数5$$，有) ! ) $6#…
65(
#（! 6#
）4（6$
）…4（65(
#）4（65）・#! #
) ! 4
#
&6…6$
5&65(
#&#’（
) ! ! 4（! ）&!
#
5
！
上述引理可由随机分析基本理论得到［A ，B ］0
引理" 设! （・）是债券投资决策问题的一个
允许的控制，&! （・）是与之相应的式（7）的解，则对任意的! #，! $，" %! #%! $%, #，有0（&! （! $））$(0（&! （! #
））$’0｛（&! （! #
））$（6. (#）｝（
）其中
. ’)
! ［$
（! $! （6）%
（6）#（6）*) （6））*#
（#／$）$（$(#）! $（6）#$（6）］&6
（A
）证明由C (D 公式得
&! （! $））$(（&! （! #
））$’! $
$（&! （6））$(#［&! （! 6（）! （6）%
（6）#（6）*#
) （6））］&6*
)
! $
$（&! （6））$(#&! （6）! （6）#（! 6）&+*
#
! $
#（$(#）（&! （6））$($（&! （6）! （6）#（6））$! &6
#$
（B
）对等式（B
）两边取数学期望得到0（&! （! $））$(0（&! （! #）
）$’0) !
$（! &! （6））$$（! （6）%（6）#（6）*)
（6））&6*#
0) ! （$
! &! （6））$（#／$）$（$(#）（! （6）#（6））$&6’#
0) ! （$
! &! （! #））$［$（! （6）%（6）#（6）*) （6））*#
（#／$）$（$(#）（! （6）#（6））$］&6*
0)
!
$［（&! （6））$(（&! （$］! ! #）
）・#
#" （) )
! ! ! @
同济大学学报（自然科学版）
第C C 卷
［（" （（（（）（／）（）・! ! ）! ）$! ）! ）! " ! ! $! " #" #
" ］（" （（（）（）! ）! ）$! ）#! ! $#）（，）的数学变化%（! ）次，由于" （・），重复式（%! $"
（・），（・），（可积，令’（（" （（（$#&）! ）&! ! ）! ）$! ）##
" " （）（／）（）（・（，可得’#! ）’! " ! ! (! " ! ）$! ）
" ! " ! （) （））（) （））(&&$(*" !
" ! " ! +）（) （）（（) （））(&）$. *(
（" （（（（）（／）其中，・+*［! ! ）! ）$! ）! ）! " " #" #
" " （（］那么由初始条件) （）! ! $! " ! ）$! ）#! /$*
" ! +），可知(（（) （）），从而有. $. %$$%$
$
）" （
"
&
(（) ［
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（
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+" ！" …" ！"
" %
）］
" ! （) （），，，即" （・）(-’（，(&）&(［$0］$%$
）因此，（，）（，$）. -’$. /$/$*-$.
以下证明0. 1234关于5367. . 模型和89:*; .
｛" &" " ! !
…
" ! %$!
’（! ’（&!
" ）…’（! %$! ）’（!
%）・! &! &! ）!
［（) " （! %
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（) " （
&! ））! ］#! %#! %$! …#! !
｝
（! !
）为了证明此引理，需证明
［! $］) *+&" ! !
…
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（%#,
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｛" &" " ’! ! ）’（!
" ）…’（! %$! ）’（!
%）・! &! &!
［（) " （
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（) " （
&! ））! ］#! %#! %$! …#! !
｝
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（! "
）易知，$’（! ）$，$（) " （! ））! $对给定的" （・
）在&! ，&" ］上都有界，那么存在, %$，使得在［&! ，&
" ］上有$’（! ）$&, ，$（) " （! %））! (（) " （&!
））! $&, ，所以&(
｛" &" " ! !
…
" ! %$!
’（! ’（&!
" ）…’（! %$! ）’（!
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［（) " （! %））! $（) " （&! ））! ］#! %#! %$! …#! !
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$・! &!
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, %" ）&" "
! ! …
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&%%$! …! ! *
! &!
&#! #! #!
（" , ［）, （&" $&! ）
］%／%！#$（，%#, ）于是式（! " ）得证-所以由式（! !
）有(（) " （&" ））! $(（) " （&! ）
）! *(［（) " （&! ）
）! （. +$! ）］引理" 证毕-
若干应用
先利用引理" ，证明-’（$，. $）&-（$，. $）/事实上，给定一个允许的控制" （・）(-（$，. ，对任意&(（$万 ，0方数据$）
］，由式（/
）可知模型的最优投资决策问题的一个结果-! （&）是确定性的可积函数-当最优决策为确定性的可积函数时，由引理" 可知
(（) " （0））! *(
（) " （$））! . +为求
+9=(（) " （须找到>" （&）
对任意的" （・）(-’
（0））! ，$，. $
）(［$，0］，! （" （&）#
（&）$（&）’#（&））’（! ／" ）! （! (! ）" " （&）$" （&）取得最大值/又因为（! ／" ）! （! (! ）) $，所以，对任意的&(［$，0］，>" （&）
可以通过解方程! （! (! ）$" （&>）" （&）’! #（&）$（&）&$得到/只要$（&）*$
，就有>" （&）*
（）
! $! $（&）
］
又因为$&&&0) 0! ，所以在5367. . 模型或896
*; .
优投资决策问题的下述结果［! ! ］-定理" 关于无风险利率#（&）
的最优投资决策问题（" ）（，? ），（@），对于5367. . 模型有确定性的最优控制
" !
’（&）*（（）! $! $1
（0&
$&）而对于89:*; .
" ’（&）（（"
*! （1／2（）. =A
（）! $$2（0&
$&））$! ）关于局部最优停止时刻
以下设0! %$为债券投资决策问题的契约的到期时间，并假设#（・），$（・），#（・）都是连续函数/定义" 给定0(（$，0! ）
和一个允许的控制" （・）/若存在一个正数%，对任意&(［0(%，0）
满足(（) " （0）! ）%(（) " （&）! ），其中) " （&）满足式@），称0为关于" （・）的局部最优停止时刻［B ，%］/
定理$对给定的0(（$，0! ）
，如果存在一个允许的连续控制函数>"
（・）满足&［" $:#（!
第5期
朱经浩，等：最优投资决策问题的期望效益的数学表示
" " " 4
［（（! ）（! ）（! ）（! ））（／）（! ! " $" #! ! $" #" #
##）（! ）（! ）］，%&’! " " $() (! $
&
（）" *
（
" #" *…" -…
" ！" " ！" ！#*-
#
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则! 是关于（・）的局部最优停止时刻%! "
证明
由式（）知，存在一个正数%，使得" *
［（（! ）（! ）（! ）（! ））（／）（! ! " $" #! ! $" #" #
#
’
#*…-…" ！" " ！" #！-#*
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（
#*…-$-…#, #, " ！" " " " " " ！！#*-#, （）’7" " 8
）
" ）! " #（! ）$#（! ）］! %! $
，%&’() (（" +）为了证明! 是关于! "
（・）的局部最优停止时刻，要证存在正数&! $，使得对每个’, $" ’#&，有
&（’! " （! ））! $&（’! " （! $’））! ! $（" -）现在估计&（’! " （! ））! &&（’! " （! &’））! 下界%由于（’! " （・））! 是连续且恒正的，存在正数("
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) ））
! %(! $，%&’() (%
又因! " （・），#（・），$（・），#（・）都是连续的，可以取到一个正数(#! $，使得当) $［! &(#，! ］时有［! （! " （) ）#
（) ）$（) ）" #（) ））" （" ／#）! （! $" ）! " #（) ）$#（) ）］! %
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（) ）$（! $’
) ）" #（) ）］" （" ／#）! （! $" ）! " #（) ）$#（) ）｝3)
同时有
(" %（’! " （! $’））! %(! $
，%&’() (（" 5
）此外，又因’! ［! " （) ）#
（) ）$（) ）6#（) ）］6" ／#）! （! &" ）! " #（) ）$#（) ）’在［$，! ］
上有界，故存在一正数, " ，使得在［$，! ］上’! ［! " （) ）#
（) ）$（) ）6#（) ）］6（" ／#）! （! &" ）! " #（) ）$#（) ）’#, " ，
那么当’$（$，&" ）
时，有万
方数据对) " /! &’，)
#/! ，应用引理#，由式（" 4）! （" 8
），得到&（’! " （! ））! $&（’! " （! $’））! +&（（’! " （. $’））! （7*$" ））+&｛
（’! " （! $’））! *$
（’! " （! $’））! ・［#
*
-
#！" *！" …" -！
" …］｝! ｛(#
$("
7, "
’｝’（#$）所以若取&/012｛&" ，%(／+7, " ("
｝，由式（#$），当’, $" ’#&，有&（’! " （! ））! $&（’! " （! $’））! ! (（%
／+）’! $定理#证毕(定理! 设" /
) （・），//" ，#为定理" 中给出的两种模型下的债券投资决策问题的最优控制%若时
刻! ，满足：$" ! " ! " ，#（! ）! $
，则! 为关于" /
) （・），//" ，#的局部最优停止时刻%证明由于在定理" 中所有" ) （・），#
（・），$（・），#（・）都是确定性的和连续的，由" ) （・），//
" ，#的表达式及条件$" ! " ! " ，#（! ）! $
，可推知［! （" /) （! ）#
（! ）$（! ）" #（! ））" （" ／#）! （" $! ）" /) #（! ）$#（! ）］+##（" $!
）（! ）" ! #（! ）! $
于是由定理#的结论可得到此定理的结果(参考文献：
［" ］97:; (? 1@7; 107A
：F G 7C (L A ; 10’B C (J ::’; D 0［H ］(H J C
，" 84*，. ：#" *&#" +(（下转第! ! " #页）
［（
" " ? ;
同济大学学报（自然科学版）
第F F 卷
本原则：! 要有利于工程项目全过程的投资数据的比较分析；" 尽量考虑与工程项目管理的组织保持一致性；#要有利于投资数据由上而下的分解和由下而上的综合，并有利于管理上对投资数据多方位、多层次的汇总分析要求；$保持与行业标准分解和编码的联系或对应，以利于投资数据的积累分析；%灵活性原则；清晰，易于掌握! &要简明、
专业学会进行，是我国在工程项目投资控制方法上改革和发展的方向! 参考文献：
［］#’［6］" $&’()! *+&’+’-. /--01-’23403. 40-. 20&33. ’+! %, %$5
［#］：，66#782$-3$4. /0-3! 902$-. 01-66#7*-. ’2-$. /0-$&%" ::" ! ; !
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! 结语
工程项目投资分解和编码是工程项目管理的首要工作，也是用计算机辅助项目投资控制的基础! 我国长期以来采用的前苏联体制下的定额体系实际上是计划经济的产物，它看重并适合于工程项目各阶段投资的“静态计算”，而难以适应工程项目投资目标全过程的计划值和实际值之间的动态比较分析和控制，不适合长期工程项目投资数据的积累分析! 在理论研究方面，目前我国对投资分解和编码的研究还不够! 对我国目前而言，学习和借鉴工业发达国家的先进经验和成果，分析、设计相应各行业标准的项目分解体系，尤其是建立面向工程项目构成部位的行业分解和编码体系，有着十分的必要性和意义! 这项工作应在政府主管部门支持指导下，由行业协会、
（编辑：陶文文）
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（编辑：曲俊延）
万方数据
最优投资决策问题的期望效益的数学表示
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
朱经浩， 朱丙坤， ZHU Jing-hao， ZHU Bing-kun同济大学,应用数学系,上海,200092
同济大学学报（自然科学版）
JOURNAL OF TONGJI UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)2005，33(8)1次
参考文献(11条)
1. Merton R C Lifetime portfolio selection under uncertainty:The continuous case 19692. Merton R C Optimal consumption and portfolio rules in a continuous -time model 19713. Merton R C Erratum 1973
4. Merton R C Continuous-time finance 1990
5. Korn R. Kraft H A stochastic control approach to portfolio problems with stochastic interest rates2001(4)
6. Ho T S Y. Lee S B Term syructure movement and pricing interest contingent claims 19867. Vasicek O An equilibrium characterisation of the term structure 1977(5)8. Fleming W H. Rishel R W Deterministic and stochastic optimal control 19759. Ikeda N. Watanabe S Stochastic differential equation and diffusion process 1981
10. Sarychev A V First-and second -order sufficient optimality continuous for bang-bang controls1997(1)
11. Korn R Optimal portfolios 1997
相似文献(7条)
1.期刊论文 翟玉玲 一个Vasicek模型下的期权定价问题 -科技信息（学术版）2008(7)
本文研究了随机最优控制下的投入决策问题,此问题的研究始于Merton的许多开创性的工作([1],[2],[3],[4]).Merton把投资决策问题变成一数学控制问题,从而利用随机控制理论和方法加以解决.在文献 ([5],[6],[7],[8],[9])中对最优投资决策问题中的效益期望做了一定的研究,在文献
([10],[11],[12],[13])中讨论了Vasicek模型下短期利率的期权定价问题,本文将几个好的结果加以组合,使随机最优控制下的投入决策问题的结论更加系统化.
2.会议论文 王丽娜 委托代理中外部性问题研究 2005
描述了外部性期权投资者和经营者价值函数，分析了委托代理中外部性期权的最优投资决策。在非对称信息条件下，外部性期权经营者对于项目价值信息隐匿，这是一个具有逆向选择的委托代理问题。设计了以外部性期权管理当局利润数学期望最大为目标函数，以控污成本和污染预防水平作为状态方程的最优控制问题。应用极大值原理得出了外部性期权最优控污成本和污染评价水平的求解方案。最后，进行了外部性期权的仿真实验，验证了外部性期权上的分析结果。
3.期刊论文 王丽娜. WANG Li-na 非对称信息条件下外部性问题研究 -中国管理科学2005,13(z1)
描述了外部性期权投资者和经营者价值函数,分析了不同信息条件下外部性期权的最优投资决策.在非对称信息条件下,外部性期权经营者对于项目价值信息隐匿,这是一个具有逆向选择的委托代理问题.设计了以外部性期权管理当局利润数学期望最大为目标函数,以控污成本和污染预防水平作为状态方程的最优控制问题.应用极大值原理得出了外部性期权最优控污成本和污染评价水平的求解方案.最后,进行了外部性期权的仿真实验,验证了外部性期权上的分析结果.
4.期刊论文 王丽娜. WANG Li-na 非对称信息条件下外部性期权问题分析 -工业工程与管理2006,11(3)
描述了外部性期权投资者和经营者价值函数,分析了不同信息条件下外部性期权的最优投资决策.在非对称信息条件下,外部性期权经营者对于项目价值信息隐匿,是一个具有逆向选择的委托代理问题.设计了以外部性期权管理当局利润数学期望最大为目标函数,以控污成本和污染预防水平作为状态方程的最优控制问题.应用极大值原理,得出了外部性期权最优控污成本和污染评价水平的求解方案.最后,进行了外部性期权的仿真实验,验证了外部性期权上的分析结果.
5.期刊论文 黄小原. 庄新田 非对称信息条件下实物期权最优投资问题研究 -管理科学学报2003,6(6)
描述了实物期权投资者和经营者价值函数,分析了不同信息条件下实物期权的最优投资决策.在非对称信息条件下,实物期权经营者对于项目价值信息隐匿,这是一个具有逆向选择的委托代理问题.设计了以实物期权投资者利润数学期望最大为目标函数,以投资和数量折扣作为状态方程的最优控制问题.应用极大值原理推导了实物期权最优投资和数量折扣的求解方案.最后,进行了实物期权最优投资的仿真实验,验证了实物期权在项目投资问题上的分析结果.
6.会议论文 王丽娜. 艾云凤 委托代理中外部性问题研究 2006
本文描述了外部性期权投资者和经营者价值函数,分析了委托代理中外部性期权的最优投资决策.在非对称信息条件下,外部性期权经营者对项目的价值信息加以隐匿,这是一个具有逆向选择的委托代理问题.设计了以外部性期权管理当局利润数学期望最大为目标函数,以控污成本和污染预防水平作为状态方程的最优控制问题.应用极大值原理得出了外部性期权最优控污成本和污染评价水平的求解方案.
7.会议论文 王丽娜 非对称信息条件下外部性问题研究 2005
本文描述了外部性期权投资者和经营者价值函数,分析了不同信息条件下外部性期权的最优投资决策.在非对称信息条件下,外部性期权经营者对于项目价值信息隐匿,这是一个具有逆向选择的委托代理问题.设计了以外部性期权管理当局利润数学期望最大为目标函数,以控污成本和污染预防水平作为状态方程的最优控制问题.应用极大值原理得出了外部性期权最优控污成本和污染评价水平的求解方案,进行了外部性期权的仿真实验,验证了外部性期权上的分析结果.
引证文献(1条)
1. 翟玉玲 一个Vasicek模型下的期权定价问题[期刊论文]-科技信息（学术版） 2008(07)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_tjdxxb200508026.aspx
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