金融天地
基于协整模型的股指期货套利实证研究
胡 波 北京科技大学经济管理学院金融工程系
李 莎 北京科技大学经济管理学院
摘要：股指期货是以股票价格指数为标的的期货，它属于金融期货的一种。随着资本市场的不断发展，股指期货应运而生，它有着价格发现，套期保值，资产配置和风险管理等功能，对推动资本市场的良好发展起着重要作用。目前，我国已经推出了现货沪深300股指期货，本文利用协整模型对沪深300股指期货进行现货模拟，并运用ETF50和ETF100两种基金组合作为现货模拟组合，通过Johansen检验的结果，得出两个ETF组合与现货之间的协整关系，进而得出股指期货期现套利的模型。
关键词：股指期货；套利；协整；Johansen检验
中图分类号：F832 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2012）07-0191-02
一、股指期货套利理论介绍
套利是指利用标的资产的理论价格和其实际价格之间存在的偏差，不冒风险或是冒很小的风险而取得较高收益的一种交易行为，通常套利的时间是很短暂的。所以，股指期货套利就是是利用股指期货合约的价格和其理论价格之间存在的偏差，不冒风险或冒很小风险而获得较高收益的一种交易行为。常见的股指期货套利有期现套利，跨期套利，跨市套利以及跨品种套利，本文主要研究期现套利方法。
(一)期现套利
期现套利是指当市场上存在价格偏差时，以买入现货卖出期货或者卖出现货买入期货的方式进行套利的一种套利方法。即在买入(卖出)某个月份的现货标的股票的同时卖出(买入)相应期货合约的组合，并在未来某个时期进行对冲平仓的一种套利交易方法。它包括正向套利和反向套利。
正向套利是通过买入现货，卖出期货的方式实现套利的交易行为。当股指期货的实际价格大于其无套利区间的上限是，就可以买入现货同时卖出期货，进行正向套利交易。
反向套利是通过卖出现货，买入期货的方式实现套利的交易行为。当股指期货的实际价格小于其无套利区间的下限是，就可以卖出现货同时买入期货，进行反向套利交易。由于目前我国还不能进行股票现货的卖空交易，所以在我国还不能进行反向套利交易。
(二)无套利区间
在进行套利研究之前，首先要确定其无套利区间，当股指期货合约的实际价格和其理论价格正好相等时，就不存在套利机会。
1.完美市场假设下的无套利模型
利用已有的持有成本定价理论，得出股指期货在完美市场假设条件下的定价模型：
(1-1)
其中， F表示股指期货在时间t时的价格，S表示现货指数在时间t时的价格；
R表示以连续复利计算的无风险收益率，q表示股息收益率；T表示股指期货合约到期的时间(年)，t表示现在的时间。因此，股指期货合约的价格和现货指数的价格之间必须保持上述关系，否则就存在套利机会。如果F> Se反，如果F
(r-q)(T-t)
(r-q)(T-t)
[1]
当股指期货合约价格在无套利区间之外时，才能进行无套利交易。
(三)现货模拟方法
进行股指期货套利交易的一个关键因素是股价指数的模拟技术，即现货模拟技术，它决定了股指期货套利的成败，需要具备的特点有：
(1)模拟时间短，套利持续的时间是很短暂的，因此现货模拟技术要能在较短的时间内进行模拟。
(2)建仓和平仓的时间短，期货和现货应能够同时建仓和平仓，来降低基差风险。
(3)采用程序化的交易手段。
尝试用ETF基金来模拟现货，但是由于现在沪深两市还有跨市的ETF，还有以沪深300指数为标的ETF基金，所以，选择运用几种ETF基金来模拟现货。
目前，市场已经存在着上证50ETF、上证180ETF和深证 100ETF 三只ETF产品，这三只ETF与沪深300指数的相关性都较高，且流动性较强，符合要求，但是180ETF规模较小，不适合大规模的交易，而上证50ETF和深证100ETF构成了大多数沪深300的成份股，因此，我选择用这两只ETF进行现货的模拟。通过检验这两只ETF和沪深300指数之间的协整关系，得出现货模拟的模型。
二、协整模型理论及研究意义
协整理论是由美国经济学家Engle 和英国经济学家Granger于1987年正式提出的。当我们对经济变量的时间序列进行分析时，总要求时间序列是平稳的，否则所建立的回归模型就变成了“伪回归”模型。而现有的经济数据总要受到时间变化的影响，大多数都是非平稳的时间序列。传统的做法是对变量的差分序列构造回归模型，但是对时间序列进行差分会导致各个变量之间长期关系信息的损失，而这些信息又是十分重要的，协整理论能够很好的解决上述问题。
(一)协整模型的理论
所谓协整，是指两个或两个以上同阶单整的非平稳时间序列的线性组合是平稳的时间序列[2]，则这些变量之间的关系就是协整的，根据Judge等人对平稳和非平稳序列的研究，假如序列Xt 和Yt有以下性质存在：
(1)如果Xt~I(0)，即 Xt 是平稳序列，那么a + b Xt 也是I(0)。(2)如果Xt~I(1)，即一阶单整，那么a + b Xt 也是I(1)。(3)如果Xt 和Yt都是I(0)，那么a Xt +b Yt 是I(0)。
(4)如果Xt~I(0)，Xt~I(1)，那么a Xt +b Yt 是I(1)，即I(1) 具有占优势的性质。
(5)如果Xt 和Yt 都是I(1)，那么a Xt +b Yt 一般情况下是I(1)，但不保证一定是I(1)。此时，如果线性组合是I(0)，那么Xt 和Yt 就是协整的，
(1-2)
a和b就是协整参数。
，投资者可以通过购买
股价指数中的成份股票，同时卖出股指期货合约来获得套利利润，相
，投资者可以通过卖空股价指数中的成份股票，
同时买入股指期货合约来获得套利利润。
2.正常市场下股指期货的无套利区间模型
在完美市场中，不存在套利交易费用，而在正常市场中，交易费用也是我们要考虑的一个因素，假设进行一次买卖股指期货和现货的交易成本为C，则无套利区间为：
现代经济信息
(二)研究协整的意义
从上述定义可以初步认识，研究各个变量之间的协整关系，对研究经济问题的定量分析有着重要的意义。
(1)定量描述经济规律。从协整的定义可以知道，它表明虽然两个时间序列是随机游走的、非平稳的，但它们的某个线性组合却存在着一种平稳的关系。当需要研究各经济变量之间存在的稳定的经济规律时，上述这种平稳的关系起到了很重要的意义。我们可以这样认为，研究各个经济变量之间的协整关系，就相当于在研究各变量之间的经济规律。
(2)避免产生伪回归。伪回归是指，若一组非平稳的时间序列之间不存在协整关系，则用它们构造的回归模型就是伪回归模型。通常，伪回归模型有很高的R2值和t值
但用伪回归进行参数估计值却是毫无意义。因此，如果在建立模型时，先对变量进行协整关系的检验，若它们是协整的，那么所建立的模型就不是伪回归模型。用这种方法，起到了避免产生伪回归的效果。
(3)区分变量之间的短期波动关系和长期均衡关系。短期波动关系是指两个序列分别对其长期趋势偏离之间的关系，而长期均衡关系是指两个时间序列共同漂移的方式，运用协整检验，可以起到区分短期波动关系和长期均衡关系的作用。
由上表知其协整关系为：
HS300 = - 102.1516 + 1031.281*ETF50 + 1433.760*ETF100 + εt(三)检验结果分析
综上所述，HS300与ETF50和ETF100存在协整关系，因此可以用ETF50和ETF100模拟现货指数，运用上式 HS300 = - 102.1516 + 1031.281*ETF50 + 1433.760*ETF100 + εt 进行套利。
根据此式，当存在套利机会时，可以做空一手的IF1106同时买入1031.281*3手的上证50ETF和1433.76*3手的深圳100ETF。
由上表可以看出，轨迹统计量和最大特征根统计量的“None”一栏中在5%显著性水平下大于相应的临界值，因此拒绝没有协整关系这一假设，而在“At most 1”一栏中在5%显著性水平下小于相应的临界值，接受最多有一个协整关系的假设，说明这三个时间序列存在一个协整关系。
图 3-2 三序列的Johansen 检验结果
四、结论
本文基于沪深300股指期货的数据以及ETF50、ETF100和IF1106的数据进行股指期货期现套利的研究，得到如下结论：
(1)沪深300现货指数与ETF50和ETF100之间具有协整关系；(2)得到股指期货现货模拟的模型为：
HS300 = - 102.1516 + 1031.281*ETF50 + 1433.760*ETF100 + εt 由于两ETF涵盖了沪深300指数的大部分成份股，又和现货之间存在协整关系，因此，可以利用上述研究结果，即两ETF组合来模拟现货，当股指期货的实际价格和理论价格发生偏差时，用买入上述两种ETF基金的方式来代替买入现货，从而实现股指期货的期现套利交易。近年来我国关于股指期货套利的研究是非常丰富的，而利用协整模型进行研究的人还很少，股指期货套利这一课题很有研究的价值，本文只是从协整的角度对股指期货的模型进行了初步的探索，今后将会展开很多相关的研究工作，在此不一一赘述。
三、实证分析
选取5月10日到5月12日这段时间内的上证50ETF，深圳100ETF，沪深300指数和IF1106的一分钟数据作为研究对象。并设这四个序列的变量名分别为：ETF50、ETF100、HS300和IF1106。
(一)单位根检验
首先，对这四个序列进行单位根检验，经检验，序列ETF50，序列ETF100，序列HS300，序列IF1106这四个序列都是非平稳的，为确定序列是否为单整，应对其差分序列进行单位根检验。
记ETF50的一阶差分序列为iETF50，ETF100的一阶差分序列为iETF100，HS300的一阶差分序列为iHS300，IF1106的一阶差分序列为iIF1106，经检验，四个差分序列均为平稳序列。
由上述检验可以看出，四个序列都是非平稳序列，而一阶差分序列均平稳，由此判断这四个序列都是一阶单整序列，满足协整检验前提。
(二)Johansen协整检验
接下来，检验HS300、ETF50和ETF100这三个序列的协整关系。由于有三个时间序列变量，选择Johansen检验，由Eviews 得出如下运行结果：
图 3-1 三序列的Johansen 检验结果
参考文献:
[1]路天章.金融期货研究——股指期货[J].中州期市研究,2010(01).[2]李子奈,潘文卿.计量经济学[M].高等教育出版社,2004:329-331.[3]白靖,袁倩.股指期货与相关套利交易的探讨[J].中国流通经济:投资理财版,2001(01):40-42.
[4]陈靖.股指期货孕育封闭式基金套利机会[J].卓越理财,2006(11):62-63.
[5]张敏,黄冠钥.股指期货合约间套利研究[J].当代经济,2006(12):84-85.
[6]田美玉,宋丽娜.股指期货期现套利策略研究[J].现代商贸工业,2007(03):47-48.
[7]肖逵.股指期货期现套利定价模型研究[J].中国民生银行武汉培训学院学报,2007(03):35-36.
[8]张敏,徐坚.ETF在股指期货期现套利的现货组合中的应用[J].经济技术与管理研究,2007(03):31-32.
金融天地
基于协整模型的股指期货套利实证研究
胡 波 北京科技大学经济管理学院金融工程系
李 莎 北京科技大学经济管理学院
摘要：股指期货是以股票价格指数为标的的期货，它属于金融期货的一种。随着资本市场的不断发展，股指期货应运而生，它有着价格发现，套期保值，资产配置和风险管理等功能，对推动资本市场的良好发展起着重要作用。目前，我国已经推出了现货沪深300股指期货，本文利用协整模型对沪深300股指期货进行现货模拟，并运用ETF50和ETF100两种基金组合作为现货模拟组合，通过Johansen检验的结果，得出两个ETF组合与现货之间的协整关系，进而得出股指期货期现套利的模型。
关键词：股指期货；套利；协整；Johansen检验
中图分类号：F832 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2012）07-0191-02
一、股指期货套利理论介绍
套利是指利用标的资产的理论价格和其实际价格之间存在的偏差，不冒风险或是冒很小的风险而取得较高收益的一种交易行为，通常套利的时间是很短暂的。所以，股指期货套利就是是利用股指期货合约的价格和其理论价格之间存在的偏差，不冒风险或冒很小风险而获得较高收益的一种交易行为。常见的股指期货套利有期现套利，跨期套利，跨市套利以及跨品种套利，本文主要研究期现套利方法。
(一)期现套利
期现套利是指当市场上存在价格偏差时，以买入现货卖出期货或者卖出现货买入期货的方式进行套利的一种套利方法。即在买入(卖出)某个月份的现货标的股票的同时卖出(买入)相应期货合约的组合，并在未来某个时期进行对冲平仓的一种套利交易方法。它包括正向套利和反向套利。
正向套利是通过买入现货，卖出期货的方式实现套利的交易行为。当股指期货的实际价格大于其无套利区间的上限是，就可以买入现货同时卖出期货，进行正向套利交易。
反向套利是通过卖出现货，买入期货的方式实现套利的交易行为。当股指期货的实际价格小于其无套利区间的下限是，就可以卖出现货同时买入期货，进行反向套利交易。由于目前我国还不能进行股票现货的卖空交易，所以在我国还不能进行反向套利交易。
(二)无套利区间
在进行套利研究之前，首先要确定其无套利区间，当股指期货合约的实际价格和其理论价格正好相等时，就不存在套利机会。
1.完美市场假设下的无套利模型
利用已有的持有成本定价理论，得出股指期货在完美市场假设条件下的定价模型：
(1-1)
其中， F表示股指期货在时间t时的价格，S表示现货指数在时间t时的价格；
R表示以连续复利计算的无风险收益率，q表示股息收益率；T表示股指期货合约到期的时间(年)，t表示现在的时间。因此，股指期货合约的价格和现货指数的价格之间必须保持上述关系，否则就存在套利机会。如果F> Se反，如果F
(r-q)(T-t)
(r-q)(T-t)
[1]
当股指期货合约价格在无套利区间之外时，才能进行无套利交易。
(三)现货模拟方法
进行股指期货套利交易的一个关键因素是股价指数的模拟技术，即现货模拟技术，它决定了股指期货套利的成败，需要具备的特点有：
(1)模拟时间短，套利持续的时间是很短暂的，因此现货模拟技术要能在较短的时间内进行模拟。
(2)建仓和平仓的时间短，期货和现货应能够同时建仓和平仓，来降低基差风险。
(3)采用程序化的交易手段。
尝试用ETF基金来模拟现货，但是由于现在沪深两市还有跨市的ETF，还有以沪深300指数为标的ETF基金，所以，选择运用几种ETF基金来模拟现货。
目前，市场已经存在着上证50ETF、上证180ETF和深证 100ETF 三只ETF产品，这三只ETF与沪深300指数的相关性都较高，且流动性较强，符合要求，但是180ETF规模较小，不适合大规模的交易，而上证50ETF和深证100ETF构成了大多数沪深300的成份股，因此，我选择用这两只ETF进行现货的模拟。通过检验这两只ETF和沪深300指数之间的协整关系，得出现货模拟的模型。
二、协整模型理论及研究意义
协整理论是由美国经济学家Engle 和英国经济学家Granger于1987年正式提出的。当我们对经济变量的时间序列进行分析时，总要求时间序列是平稳的，否则所建立的回归模型就变成了“伪回归”模型。而现有的经济数据总要受到时间变化的影响，大多数都是非平稳的时间序列。传统的做法是对变量的差分序列构造回归模型，但是对时间序列进行差分会导致各个变量之间长期关系信息的损失，而这些信息又是十分重要的，协整理论能够很好的解决上述问题。
(一)协整模型的理论
所谓协整，是指两个或两个以上同阶单整的非平稳时间序列的线性组合是平稳的时间序列[2]，则这些变量之间的关系就是协整的，根据Judge等人对平稳和非平稳序列的研究，假如序列Xt 和Yt有以下性质存在：
(1)如果Xt~I(0)，即 Xt 是平稳序列，那么a + b Xt 也是I(0)。(2)如果Xt~I(1)，即一阶单整，那么a + b Xt 也是I(1)。(3)如果Xt 和Yt都是I(0)，那么a Xt +b Yt 是I(0)。
(4)如果Xt~I(0)，Xt~I(1)，那么a Xt +b Yt 是I(1)，即I(1) 具有占优势的性质。
(5)如果Xt 和Yt 都是I(1)，那么a Xt +b Yt 一般情况下是I(1)，但不保证一定是I(1)。此时，如果线性组合是I(0)，那么Xt 和Yt 就是协整的，
(1-2)
a和b就是协整参数。
，投资者可以通过购买
股价指数中的成份股票，同时卖出股指期货合约来获得套利利润，相
，投资者可以通过卖空股价指数中的成份股票，
同时买入股指期货合约来获得套利利润。
2.正常市场下股指期货的无套利区间模型
在完美市场中，不存在套利交易费用，而在正常市场中，交易费用也是我们要考虑的一个因素，假设进行一次买卖股指期货和现货的交易成本为C，则无套利区间为：
现代经济信息
(二)研究协整的意义
从上述定义可以初步认识，研究各个变量之间的协整关系，对研究经济问题的定量分析有着重要的意义。
(1)定量描述经济规律。从协整的定义可以知道，它表明虽然两个时间序列是随机游走的、非平稳的，但它们的某个线性组合却存在着一种平稳的关系。当需要研究各经济变量之间存在的稳定的经济规律时，上述这种平稳的关系起到了很重要的意义。我们可以这样认为，研究各个经济变量之间的协整关系，就相当于在研究各变量之间的经济规律。
(2)避免产生伪回归。伪回归是指，若一组非平稳的时间序列之间不存在协整关系，则用它们构造的回归模型就是伪回归模型。通常，伪回归模型有很高的R2值和t值
但用伪回归进行参数估计值却是毫无意义。因此，如果在建立模型时，先对变量进行协整关系的检验，若它们是协整的，那么所建立的模型就不是伪回归模型。用这种方法，起到了避免产生伪回归的效果。
(3)区分变量之间的短期波动关系和长期均衡关系。短期波动关系是指两个序列分别对其长期趋势偏离之间的关系，而长期均衡关系是指两个时间序列共同漂移的方式，运用协整检验，可以起到区分短期波动关系和长期均衡关系的作用。
由上表知其协整关系为：
HS300 = - 102.1516 + 1031.281*ETF50 + 1433.760*ETF100 + εt(三)检验结果分析
综上所述，HS300与ETF50和ETF100存在协整关系，因此可以用ETF50和ETF100模拟现货指数，运用上式 HS300 = - 102.1516 + 1031.281*ETF50 + 1433.760*ETF100 + εt 进行套利。
根据此式，当存在套利机会时，可以做空一手的IF1106同时买入1031.281*3手的上证50ETF和1433.76*3手的深圳100ETF。
由上表可以看出，轨迹统计量和最大特征根统计量的“None”一栏中在5%显著性水平下大于相应的临界值，因此拒绝没有协整关系这一假设，而在“At most 1”一栏中在5%显著性水平下小于相应的临界值，接受最多有一个协整关系的假设，说明这三个时间序列存在一个协整关系。
图 3-2 三序列的Johansen 检验结果
四、结论
本文基于沪深300股指期货的数据以及ETF50、ETF100和IF1106的数据进行股指期货期现套利的研究，得到如下结论：
(1)沪深300现货指数与ETF50和ETF100之间具有协整关系；(2)得到股指期货现货模拟的模型为：
HS300 = - 102.1516 + 1031.281*ETF50 + 1433.760*ETF100 + εt 由于两ETF涵盖了沪深300指数的大部分成份股，又和现货之间存在协整关系，因此，可以利用上述研究结果，即两ETF组合来模拟现货，当股指期货的实际价格和理论价格发生偏差时，用买入上述两种ETF基金的方式来代替买入现货，从而实现股指期货的期现套利交易。近年来我国关于股指期货套利的研究是非常丰富的，而利用协整模型进行研究的人还很少，股指期货套利这一课题很有研究的价值，本文只是从协整的角度对股指期货的模型进行了初步的探索，今后将会展开很多相关的研究工作，在此不一一赘述。
三、实证分析
选取5月10日到5月12日这段时间内的上证50ETF，深圳100ETF，沪深300指数和IF1106的一分钟数据作为研究对象。并设这四个序列的变量名分别为：ETF50、ETF100、HS300和IF1106。
(一)单位根检验
首先，对这四个序列进行单位根检验，经检验，序列ETF50，序列ETF100，序列HS300，序列IF1106这四个序列都是非平稳的，为确定序列是否为单整，应对其差分序列进行单位根检验。
记ETF50的一阶差分序列为iETF50，ETF100的一阶差分序列为iETF100，HS300的一阶差分序列为iHS300，IF1106的一阶差分序列为iIF1106，经检验，四个差分序列均为平稳序列。
由上述检验可以看出，四个序列都是非平稳序列，而一阶差分序列均平稳，由此判断这四个序列都是一阶单整序列，满足协整检验前提。
(二)Johansen协整检验
接下来，检验HS300、ETF50和ETF100这三个序列的协整关系。由于有三个时间序列变量，选择Johansen检验，由Eviews 得出如下运行结果：
图 3-1 三序列的Johansen 检验结果
参考文献:
[1]路天章.金融期货研究——股指期货[J].中州期市研究,2010(01).[2]李子奈,潘文卿.计量经济学[M].高等教育出版社,2004:329-331.[3]白靖,袁倩.股指期货与相关套利交易的探讨[J].中国流通经济:投资理财版,2001(01):40-42.
[4]陈靖.股指期货孕育封闭式基金套利机会[J].卓越理财,2006(11):62-63.
[5]张敏,黄冠钥.股指期货合约间套利研究[J].当代经济,2006(12):84-85.
[6]田美玉,宋丽娜.股指期货期现套利策略研究[J].现代商贸工业,2007(03):47-48.
[7]肖逵.股指期货期现套利定价模型研究[J].中国民生银行武汉培训学院学报,2007(03):35-36.
[8]张敏,徐坚.ETF在股指期货期现套利的现货组合中的应用[J].经济技术与管理研究,2007(03):31-32.