如何巧用"三角形的中位线"定理

　　本课时所要探究的三角形中位线定理是学生以前从未接触过的内容。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索-发现-猜想-证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。�

　　1 教学基本情况�

　　1.1 学情分析：该班学生基础知识比较扎实，接受新知识的意识较强，对于本章有关平行四边形的性质和判定的内容掌握较好，但知识迁移能力较差，数学思想方法运用不够灵活。因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。 �

　　1.2 教学目标 �

　　1.2.1 知识目标 �

　　（1）了解三角形中位线的定义。 �

　　（2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。�

　　1.2.2 能力目标 �

　　（1）经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步发展推理论证能力。�

　　（2）能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。1.2.3 情感目标：通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等自主探索与合作交流的过程，激发学生的学习兴趣，让学生真正体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。�

　　1.3 教学重点与难点:�

　　教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明。�

　　教学难点：三角形中位线定理的多种证明。�

　　1.4 教学方法与学法指导：对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。 �

　　1.5 教具和学具的准备：�

　　教具：多媒体、投影仪、三角形纸片、剪刀、常用画图工具。 �

　　学具：三角形纸片、剪刀、刻度尺、量角器。 �

　　2 教学过程�

　　2.1 趣解试题――课堂因你而和谐。问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗？（板书）�

　　（这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐）�

　　学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形。 �

　　将△ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°可得平行四边形ADFE。�

　　问题：你有办法验证吗？ �

　　2.2 一种实验――课堂因你而生动。学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下： �

　　生1：沿DE、DF、EF将画在纸上的△ABC剪开，看四个三角形能否重合。 �

　　生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。 �

　　引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢？ �

　　2.3 一种探索――课堂因你而鲜活�

　　师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（板书）�

　　问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在前面提到的三角形中你能发现什么结论呢？�

　　（学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言） �

　　学生的结果如下：DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，AE=EC，BF=FC，BD=AD，�

　　△ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF，DE=BC，DF=AC，EF=AB …… �

　　猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（板书） �

　　师：如何证明这个猜想的命题呢？ �

　　生：先将文字问题转化为几何问题然后证明。 �

　　已知：DE是ABC的中位线，求证：DE//BC、DE=BC。�

　　学生思考后教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三线八角”的有关内容进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。

　　（学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下）�

　　生1：延长DE到F使EF=DE，连接CF �

　　由 △ADE≌△CFE（SAS） �

　　得ADFC从而 BDFC �

　　所以，四边形DBCF为平行四边形 �

　　得 DFBC �

　　可得 DEBC（板书） �

　　生2：将ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°，使得点A与点C重合。 �

　　即 ADE≌CFE， �

　　可得 BDCF， �

　　得 平行四边形DBCF �

　　得 DFBC 可得 DEBC �

　　2.4 一种思考――课堂因你而添彩 �

　　问题：三角形的中位线与中线有什么区别与联系呢？ �

　　容易得出如下事实：都是三角形内部与边的中点有关的线段．但中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．（学生交流、探索、思考、验证） �

　　2.5 一种照应――课堂因你而完整�

　　问题：你能利用三角形中位线定理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗？（学生争先恐后回答，课堂气氛活跃）�

　　2.6 一种应用――课堂因你而升华 �

　　做一做：任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来所得新四边形的形状有什么特征？ �

　　（学生积极思考发言，师生共同完成此题目的最常见解法。） �

　　已知：四边形ABCD，点E、F、G、H �

　　分别是四边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。 �

　　证明：连结AC �

　　∵ E、F分别是AB、BC的中点， �

　　∴ EF是ABC的中位线， �

　　∴ EF∥AC且EF=AC， �

　　同理可得：GH∥AC 且GH=AC， �

　　∴ EFGH， �

　　∴四边形EFGH为平行四边形。（板书） �

　　其它解法由学生口述完成。 �

　　3 课后反思�

　　 本节课以“如何将一个任意三角形分为四个全等的三角形”这一问题为出发点，以平行四边形的性质定理和判定定理为桥梁，探究了三角形中位线的基本性质和应用。在本节课中，学生亲身经历了“探索-发现-猜想-证明”的探究过程，体会了证明的必要性和证明方法的多样性。在此过程中，笔者注重新旧知识的联系，同时强调转化、类比、归纳等数学思想方法的恰当应用，达到了预期的目的。 �

　　 本节课中学生的“同一法”给了我们很多的启示：虽然在平时的教学中，笔者也尽力放手让学生们探索和创新．但仔细想想，他们的那些“创新”都局限于事先设计好的范围之内，而本节课中学生的“同一法”却是从变化的、动态的观点去看待问题，完全超出了笔者的“预设”，课堂因此而变得更精彩。笔者深深地感到一个理想的课堂应该是走进孩子们的心里、听到孩子们心声的课堂。因为只有融入了孩子们发自内心的感受和爱，课堂才会更加精彩！

　　本课时所要探究的三角形中位线定理是学生以前从未接触过的内容。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索-发现-猜想-证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。�

　　1 教学基本情况�

　　1.1 学情分析：该班学生基础知识比较扎实，接受新知识的意识较强，对于本章有关平行四边形的性质和判定的内容掌握较好，但知识迁移能力较差，数学思想方法运用不够灵活。因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。 �

　　1.2 教学目标 �

　　1.2.1 知识目标 �

　　（1）了解三角形中位线的定义。 �

　　（2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。�

　　1.2.2 能力目标 �

　　（1）经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步发展推理论证能力。�

　　（2）能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。1.2.3 情感目标：通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等自主探索与合作交流的过程，激发学生的学习兴趣，让学生真正体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。�

　　1.3 教学重点与难点:�

　　教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明。�

　　教学难点：三角形中位线定理的多种证明。�

　　1.4 教学方法与学法指导：对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。 �

　　1.5 教具和学具的准备：�

　　教具：多媒体、投影仪、三角形纸片、剪刀、常用画图工具。 �

　　学具：三角形纸片、剪刀、刻度尺、量角器。 �

　　2 教学过程�

　　2.1 趣解试题――课堂因你而和谐。问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗？（板书）�

　　（这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐）�

　　学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形。 �

　　将△ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°可得平行四边形ADFE。�

　　问题：你有办法验证吗？ �

　　2.2 一种实验――课堂因你而生动。学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下： �

　　生1：沿DE、DF、EF将画在纸上的△ABC剪开，看四个三角形能否重合。 �

　　生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。 �

　　引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢？ �

　　2.3 一种探索――课堂因你而鲜活�

　　师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（板书）�

　　问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在前面提到的三角形中你能发现什么结论呢？�

　　（学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言） �

　　学生的结果如下：DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，AE=EC，BF=FC，BD=AD，�

　　△ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF，DE=BC，DF=AC，EF=AB …… �

　　猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（板书） �

　　师：如何证明这个猜想的命题呢？ �

　　生：先将文字问题转化为几何问题然后证明。 �

　　已知：DE是ABC的中位线，求证：DE//BC、DE=BC。�

　　学生思考后教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三线八角”的有关内容进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。

　　（学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下）�

　　生1：延长DE到F使EF=DE，连接CF �

　　由 △ADE≌△CFE（SAS） �

　　得ADFC从而 BDFC �

　　所以，四边形DBCF为平行四边形 �

　　得 DFBC �

　　可得 DEBC（板书） �

　　生2：将ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°，使得点A与点C重合。 �

　　即 ADE≌CFE， �

　　可得 BDCF， �

　　得 平行四边形DBCF �

　　得 DFBC 可得 DEBC �

　　2.4 一种思考――课堂因你而添彩 �

　　问题：三角形的中位线与中线有什么区别与联系呢？ �

　　容易得出如下事实：都是三角形内部与边的中点有关的线段．但中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．（学生交流、探索、思考、验证） �

　　2.5 一种照应――课堂因你而完整�

　　问题：你能利用三角形中位线定理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗？（学生争先恐后回答，课堂气氛活跃）�

　　2.6 一种应用――课堂因你而升华 �

　　做一做：任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来所得新四边形的形状有什么特征？ �

　　（学生积极思考发言，师生共同完成此题目的最常见解法。） �

　　已知：四边形ABCD，点E、F、G、H �

　　分别是四边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。 �

　　证明：连结AC �

　　∵ E、F分别是AB、BC的中点， �

　　∴ EF是ABC的中位线， �

　　∴ EF∥AC且EF=AC， �

　　同理可得：GH∥AC 且GH=AC， �

　　∴ EFGH， �

　　∴四边形EFGH为平行四边形。（板书） �

　　其它解法由学生口述完成。 �

　　3 课后反思�

　　 本节课以“如何将一个任意三角形分为四个全等的三角形”这一问题为出发点，以平行四边形的性质定理和判定定理为桥梁，探究了三角形中位线的基本性质和应用。在本节课中，学生亲身经历了“探索-发现-猜想-证明”的探究过程，体会了证明的必要性和证明方法的多样性。在此过程中，笔者注重新旧知识的联系，同时强调转化、类比、归纳等数学思想方法的恰当应用，达到了预期的目的。 �

　　 本节课中学生的“同一法”给了我们很多的启示：虽然在平时的教学中，笔者也尽力放手让学生们探索和创新．但仔细想想，他们的那些“创新”都局限于事先设计好的范围之内，而本节课中学生的“同一法”却是从变化的、动态的观点去看待问题，完全超出了笔者的“预设”，课堂因此而变得更精彩。笔者深深地感到一个理想的课堂应该是走进孩子们的心里、听到孩子们心声的课堂。因为只有融入了孩子们发自内心的感受和爱，课堂才会更加精彩！