§3 初等函数的连续性
教学章节：第四章 连续函数——§3初等函数的连续性.
教学目标：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数, 并能够加以证明.
教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的, 并能应用连续性概念以及连续函数
的性质加以证明, 能熟练运用这一结论求初等函数的极限.
教学重点：初等函数的连续性的阐明.
教学难点：初等函数连续性命题的证明.
教学方法：学导式教学.
教学过程：
一、 复习（关于初等函数）
(一) 初等函数: 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数.
(二) 基本初等函数：
常量函数y =C ；
幂函数y =x α；
指数函数y =a x (a >0, a ≠1) ；
对数函数y =log a x (a >0, a ≠1) ；
三角函数y =sin x ,cos x , tgx , ctgx ；
反三角函数y =arcsin x ,arccos x , arctgx , arcctgx .
二、初等函数的连续
x α(一) 指数函数a 、对数函数log a x 和幂函数x 连续性
n 引理 设a >1, n >1为正整数, 则∃! b >1, 使a =b . 由此我们可以定义b =a .
n n 证 在区间 [1, a ]上考虑函数f (x ) =x ∈C [1, a ], 且f (1) =1
Bolzano-Cauchy 第二定理给出b ∈[1, a ], 使a =b . n
n n n n 如果b '=a , 即b '=a , b '=b , 由函数f (x ) =x 严格单调, 推出b '=b , 即唯一性.
定义 若
q =m 1q a =q m n （m , n 正整数, 互素）a -q , 为正有理数, a =(a ) . 若q 为负有理数,
0定义a =1. 若λ为无理数, 定义a λ=sup a q , q 为有理数
q
q 这里需说明s u p 存在：当q 为有理数时, a 是单调上升的, 即 q 1
a q 2q 2-q 1=a >1q 2q q 1时, a , a >a 1, 所以sup 存在.
最后无论x 为有理数还是无理数, 都有a x =sup a q , q 为有理数
q ≤x .
x f (x ) =a 命题 严格上升, 在(-∞, +∞) 上连续.
证明 设x 1
a x 1=sup a q ≤a q 1
q ≤x 1q ≤x 2.
∀x 0∈(-∞, +∞) , ∀ε>0, ∃N , 使得a
f (x 0+0) a q 21≤≤q 1=a q 2-q 1=a N
x 0f (x +0) =f (x -0) =f (x ) =a 000所以.
x x x +x 指数函数还有性质 a 1a 2=a 12. 1
命题 对数函数y =log a x ∈C (0, +∞) .
y 证明 x =a 在(-∞, +∞) 上严格上升, 连续, 其值域为(0, +∞) , 所以其反函数y =log a x 在
(0, +∞) 也严格上升, 连续.
ααln x y =x =e ∈C (0, +∞) . 命题 幂函数
证明 它是指数函数e 和对数函数z =αln x 的复合函数, 每个函数都连续, 它们的复合也z
连续.
(二) 结论
定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数.
定理4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.
注 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点.
例1 求函数f (x ) =x +1的连续区间和间断点. ln x -2
解 D f =[-1 , 1 ) ⋃( 1 , 2 ) ⋃( 2 , 3 ) ⋃( 3 , +∞ ).
∴ f (x ) 的连续区间为: [-1 , 1 ) 、( 1 , 2 ) 、( 2 , 3 ) 和( 3 , +∞ ) .
间断点为: x =1 , 2 和3. ( f (x ) 在点x =-1右连续
三、利用初等函数的连续性可计算极限
lim u (x ) =a >0lim v (x ) =b lim u (x ) v (x ) =a b >0求极限的指数法则 若x →x 0, x →x 0, 则x →x 0.
v (x ) v (x ) ln u (x ) u (x ) >0x u (x ), v (x ) u (x ) =e 00 证明 如果在点连续, 且, 则在x 0点连续, 补充定义).
u (x 0) =a , v (x 0) =b , 则x →x 0lim u (x ) v (x ) =a b .
x =11lim (1+sin ) x
x 中t 就行了, 例如：x →+∞ 上述极限过程当x 0=+∞, -∞时仍成立, 只要利用变换
1sin
⋅x 1x 11(1+sin ) x =(1+sin ) x x 我们注意到sin x
, 很容易得到它趋向于e , 当x →+∞时.
lim lim f (x ) =f (x 0) =f (lim x ) f 连续⇔f 与x →x 0可交换： x →x 0x →x 0；
x →x 0lim f (ϕ(x )) =f (lim ϕ(x )) =f (ϕ(x 0)) x →x 0.
例2 求lim ln(1+x ) . x →0x
ln(1+x 2) 例3 求lim . x →0cos x
⎛1111⎫ ⎪. (作倒代换t =1. ) 例4 lim +--x →0+ x x x x x ⎪⎝⎭
例5 lim (1+tgx )x →0sec xctgx .
解 I = lim (1+tgx ) ctgx
x →0
x →+∞()sec x =lim (1+tgx ) ctgx x →0()x →0lim sec x =e 1=e . 例6 lim sin x +1-sin x .
解 sin x +1-sin x =2sin ()x +1-x x +1+x cos . 22
cos x +1+x x +1-x x +1-x ≤1, lim sin =sin lim =0, x →+∞x →∞222 ∴ I = 0.
作业 教材P84 1,2.
§3 初等函数的连续性
教学章节：第四章 连续函数——§3初等函数的连续性.
教学目标：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数, 并能够加以证明.
教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的, 并能应用连续性概念以及连续函数
的性质加以证明, 能熟练运用这一结论求初等函数的极限.
教学重点：初等函数的连续性的阐明.
教学难点：初等函数连续性命题的证明.
教学方法：学导式教学.
教学过程：
一、 复习（关于初等函数）
(一) 初等函数: 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数.
(二) 基本初等函数：
常量函数y =C ；
幂函数y =x α；
指数函数y =a x (a >0, a ≠1) ；
对数函数y =log a x (a >0, a ≠1) ；
三角函数y =sin x ,cos x , tgx , ctgx ；
反三角函数y =arcsin x ,arccos x , arctgx , arcctgx .
二、初等函数的连续
x α(一) 指数函数a 、对数函数log a x 和幂函数x 连续性
n 引理 设a >1, n >1为正整数, 则∃! b >1, 使a =b . 由此我们可以定义b =a .
n n 证 在区间 [1, a ]上考虑函数f (x ) =x ∈C [1, a ], 且f (1) =1
Bolzano-Cauchy 第二定理给出b ∈[1, a ], 使a =b . n
n n n n 如果b '=a , 即b '=a , b '=b , 由函数f (x ) =x 严格单调, 推出b '=b , 即唯一性.
定义 若
q =m 1q a =q m n （m , n 正整数, 互素）a -q , 为正有理数, a =(a ) . 若q 为负有理数,
0定义a =1. 若λ为无理数, 定义a λ=sup a q , q 为有理数
q
q 这里需说明s u p 存在：当q 为有理数时, a 是单调上升的, 即 q 1
a q 2q 2-q 1=a >1q 2q q 1时, a , a >a 1, 所以sup 存在.
最后无论x 为有理数还是无理数, 都有a x =sup a q , q 为有理数
q ≤x .
x f (x ) =a 命题 严格上升, 在(-∞, +∞) 上连续.
证明 设x 1
a x 1=sup a q ≤a q 1
q ≤x 1q ≤x 2.
∀x 0∈(-∞, +∞) , ∀ε>0, ∃N , 使得a
f (x 0+0) a q 21≤≤q 1=a q 2-q 1=a N
x 0f (x +0) =f (x -0) =f (x ) =a 000所以.
x x x +x 指数函数还有性质 a 1a 2=a 12. 1
命题 对数函数y =log a x ∈C (0, +∞) .
y 证明 x =a 在(-∞, +∞) 上严格上升, 连续, 其值域为(0, +∞) , 所以其反函数y =log a x 在
(0, +∞) 也严格上升, 连续.
ααln x y =x =e ∈C (0, +∞) . 命题 幂函数
证明 它是指数函数e 和对数函数z =αln x 的复合函数, 每个函数都连续, 它们的复合也z
连续.
(二) 结论
定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数.
定理4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.
注 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点.
例1 求函数f (x ) =x +1的连续区间和间断点. ln x -2
解 D f =[-1 , 1 ) ⋃( 1 , 2 ) ⋃( 2 , 3 ) ⋃( 3 , +∞ ).
∴ f (x ) 的连续区间为: [-1 , 1 ) 、( 1 , 2 ) 、( 2 , 3 ) 和( 3 , +∞ ) .
间断点为: x =1 , 2 和3. ( f (x ) 在点x =-1右连续
三、利用初等函数的连续性可计算极限
lim u (x ) =a >0lim v (x ) =b lim u (x ) v (x ) =a b >0求极限的指数法则 若x →x 0, x →x 0, 则x →x 0.
v (x ) v (x ) ln u (x ) u (x ) >0x u (x ), v (x ) u (x ) =e 00 证明 如果在点连续, 且, 则在x 0点连续, 补充定义).
u (x 0) =a , v (x 0) =b , 则x →x 0lim u (x ) v (x ) =a b .
x =11lim (1+sin ) x
x 中t 就行了, 例如：x →+∞ 上述极限过程当x 0=+∞, -∞时仍成立, 只要利用变换
1sin
⋅x 1x 11(1+sin ) x =(1+sin ) x x 我们注意到sin x
, 很容易得到它趋向于e , 当x →+∞时.
lim lim f (x ) =f (x 0) =f (lim x ) f 连续⇔f 与x →x 0可交换： x →x 0x →x 0；
x →x 0lim f (ϕ(x )) =f (lim ϕ(x )) =f (ϕ(x 0)) x →x 0.
例2 求lim ln(1+x ) . x →0x
ln(1+x 2) 例3 求lim . x →0cos x
⎛1111⎫ ⎪. (作倒代换t =1. ) 例4 lim +--x →0+ x x x x x ⎪⎝⎭
例5 lim (1+tgx )x →0sec xctgx .
解 I = lim (1+tgx ) ctgx
x →0
x →+∞()sec x =lim (1+tgx ) ctgx x →0()x →0lim sec x =e 1=e . 例6 lim sin x +1-sin x .
解 sin x +1-sin x =2sin ()x +1-x x +1+x cos . 22
cos x +1+x x +1-x x +1-x ≤1, lim sin =sin lim =0, x →+∞x →∞222 ∴ I = 0.
作业 教材P84 1,2.