一、填空题
1．设X 1, X 2 , X n 是来自正态总体的样本，其中参数μ和σ未知，则 检验假设H 0:μ=0的t −检验使用统计量t
2
s
2
2．设X 1, X 2 , X n 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，σ已知。要检验假设
H 0:μ=μ0
u =
-μ0)
σ
；当
H 0成立时该统计量服从N (0,1)。
3．要使犯两类错误的概率同时减小，只有 增加样本量 。
4．设X 1, X 2 , X n 和Y 1, Y 2, , Y m 分别来自正态总体N (μX , σX ) 和N (μY , σY ) ，两样本相互独立。
（1）当σX 和σY 已知时，检验假设H 0:μX =μY 所用的统计量为
u =
2
22
2
当H 0成立时该统计量服从 N (0,1) 。
（2）若 σX 和σY 未知，但σX =σY ，检验假设H 0:μX =μY 所用的统计量为
2222
t =
；当H 0成立时该统计量服从 t (n +m -2) 。
2
2
5．设X 1, X 2 , X n 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，要检验假设H 0:σ=σ0 应用 χ检验法，检验的统计量是χ=
2
2
(n -1) s 2
σ
2
；当H 0成立时该统计量服从
χ2(n -1) 。
6．设X 1, X 2 , X n 和Y 1, Y 2, , Y m 分别来自正态总体N (μX , σX ) 和N (μY , σY ) ，两样本相互独立。要检验假设H 0:σ
2
2X
22
=σ
2
2
Y ，应用检验法，检验的统计量为2s x
F =2
s y
7．设总体X ~N (μ, σ), μ, σ都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为，样本标准差记为S ，在显著性水平α下，检验假设H 0:μ=80H 1:μ≠80的拒绝域为
{t 22
≥t 1-α/2(n -1) } 。在显著性水平α下，检验假设H 0:σ2=σ0H 1:σ2≠σ0 的拒
绝域为 χ≤χα/2(n -1)
2
2
{
22
or
χ2≥χ12-α/2(n -1) } 。
8．设总体X ~N (μ, σ), μ, σ都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为，样本标准差记为S ，当σ已知时，在显著性水平α下，检验假设 H 0:μ≥μ0H 1:μ
u =
2
2
-μ0)
σ
，拒绝域为{u ≤u α}
当σ未知时，在显著性水平α下，检验假设H 0:μ≤μ0H 1:μ>μ0的统计量为
t =
-μ0)s
{t ≥t α(n -1) }。
2
2
9．设总体X ~N (μ, σ), μ, σ都是未知参数，从X 中抽取的容量为n =50的样本，已知样本均值=1900，样本标准差S =490 ，检验假设H 0:μ=2000H 1:μ≠2000的统计量为 ；在显著性水平α=0.01下，检验结果是 。 10．设X 1, X 2 , X n 是来自正态总体的样本，其中参数μ和σ已知，a ，b 为常数，随机区
2
⎛n (X -)2n (X -)2⎫
i i
⎪的长度L 的数学期望为 ，方差为 。 间 ∑, ∑
b a i =1⎪i =1
⎝⎭
二、单项选择题
1．在假设检验中，用α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则 当样本容量一定时，下列说法正确的是（C ）。
A ．α减小β也减小； B．α增大β也增大；
C ．α与β不能同时减小，减小其中一个，另一个往往就会增大；D ．A 和B 同时成立。 2．在假设检验中，一旦检验法选择正确，计算无误（ C）。
A ．不可能作出错误判断； B．增加样本容量就不会作出错误判断； C ．仍有可能作出错误判断； D．计算精确些就可避免错误判断。 3．在一个确定的假设检验问题中，与判断结果有关的因素有（ D）。 A ．样本值及样本容量； B．显著性水平α； C ．检验的统计量； D．A 和B 同时成立。
4．对于总体分布的假设检验，一般都使用χ拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为（D ）。
A ．连续型分布； B．离散型分布；C ．只能是正态分布； D．任何类型的分布。 5．在假设检验中，记H 1为备择假设，则称（B ）为犯第一类错误。
2
A ．H 1真，接受H 1；B ．H 1不真，接受H 1；C ．H 1真，拒绝H 1； D．H 1不真，拒绝H 1。 6．设总体总体X ~N (μX , σX ) ，Y ~N (μY , σY ) ，检验假设H 0:σX =σY ；α＝0.10，从X 中抽取容量为n =12 的样本，从Y 中抽取容量为m=10的样本，算得s 1=118.4，s 2=31.93，正确的检验方法与结论是（B ）。
A ．用t −检验法，临界值t 0.05(17)=2.11, 拒绝H 0；
B ．用F −检验法，临界值F 0.05 (11,9)=3.10, F 0.95 (11,9)=0.34，拒绝H 0； C ．用F −检验法，临界值F 0.05 (11,9)=3.10, F 0.95 (11,9)=0.34，接受H 0；
D ．用F −检验法，临界值F 0.01 (11,9)=5.18, 临界值F 0.99 (11,9) =0.21，接受H 0。
7．机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取n =20，m =25的两个样本，检验两台机器的台工精度是否相同，则提出假设（B ）。
22
A . H 0:μ1=μ2H 1:μ1≠μ2; B . H 0:σ12=σ2H 1:σ12≠σ2。 22C . H 0:μ1=μ2H 1:μ1>μ2; D . H 0:σ12=σ2H 1:σ12>σ2
2222
22
8．设X 1, X 2 , X n 和Y 1, Y 2, , Y m 分别来自正态总体N (μX , σX ) 和N (μY , σY ) ，两样本相互独立。样本均值为和，S X 和S Y 相应为样本方差，则检验假设H 0:σX =σY （D ）。 A ．要求μX =μY ； B．要求S X =S Y ； C ．使用χ−检验； D．使用F −检验。 9．检验的显著性水平是（B ）。
A ．第一类错误概率； B．第一类错误概率的上界； C ．第二类错误概率； D．第二类错误概率的上界。
10．在假设检验中，如果原假设H 0的否定域是W ，那么样本观测值x 1, x 2, , x n 只可能有下列四种情况，其中拒绝H 0且不犯错误的是（ C）。
A ．H 0 成立，x 1, x 2, , x n ∈W ； B．H 0 成立，x 1, x 2, , x n ∉W C ．H 0 不成立，x 1, x 2, , x n ∈W ； D．H 0 不成立，x 1, x 2, , x n ∉W .
2
22
2
2
2
22
2
三、计算与应用题
1. 某批矿砂的5 个样品中的镍含量，经测定为（%）
3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值总体服从正态分布，问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。
解：检验假设H 0：
μ=3.25,H 1: μ≠3.25
拒绝域为
≥t
1-
α
2
(n -1)，α=0.01
代入 n=5,x =3.252,s=0.01304,t 0.995(4)=4.6041 比较
=0.343
镍含量为3.25。
2. 如果一个矩形的宽度ω
与长度的比=
1
2
1≈0.618, 这样的矩形称为黄
)
金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代的建筑构件（如窗架）、 工艺品（如图片镜框），甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩形。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值μ，试检验假设（取α=0.05）：
H 0： μ=0.618，H 1: μ≠0.618
0.693 0.749 0.645 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933
解：检验假设H 0：
2
μ=0.618，H 1: μ≠0.618
由于σ未知，故采用t 检验 拒绝域为t
2
20-1
≥t
1-
α
2
(n -1)
，
α
=0.025
代入x =0.6605，s =
⎡2022⎤X -20⎢∑i ⎥=0.0925, t 0.975(19)=2.0930 ⎣i =1⎦
比较
=2.0545
3. 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布。试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ，μ未知。即需检验假设H 0：μ≥1000, H 1:
μ
解：检验假设H 0：μ≥1000, H 1: 单边检验，拒绝域为
U=
μ
≤-u 1-α。代入 α=0.05 x =950，σ=100，
n=25,u 0.95=1.645，比较
u =
=-2.5
故在α=0.05下，u 落在拒绝域中，所以拒绝H 0, 即认为这批元件不合格。
4. 下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间（分）：9.8，10.4，10.6，9.6，9.7，9.9，10.9，11.1，9.6，10.2，10.3，9.6，9.9，11.2，10.6，9.8，10.5，10.1，10.5，9.7。设装配时间的总体服从正态分布，是否可以认为装配时间的均值显著地大于10（取
α=0.05）？
解：由于σ未知，故对于该假设检验可采用t 检验。H 0：μ0=10，H 1：μ0>10 拒绝域为
t =
2
≥t 1-α(n -1)
1⎡n 21⎡2022⎤2⎤=10.2, s =X -=X -20=0.26, t 0.95(19)=1.7291∑∑i i ⎢⎥⎢⎥代入
n -1⎣i =1⎦19⎣i =1⎦
2
比较t =
=1.754>1.7291落入拒绝域，故拒绝原假设H 0，从而认为装配时间
的均值显著地大于10。
5. 平均值的质量控制图。在工业质量控制中，常常每隔一定时间就检验一次同样的 假设H 0。例如，在制造某种弹簧过程中，需要控制弹簧的自由长度具有平均值μ=1.5cm。设弹簧的自由长度总体服从正态分布，且标准差为σ=0.02。为检验生产过程是否正常，每隔一定时间（例如一小时）取样n 件，根据测得的自由长度平均值来检验假设H 0：
μ=1.5cm。为简化这项工作及便于了解生产过程的统计规律性，制作了图8-1. 图中的纵坐
标是的大小，中心线在μ0=1.5，控制上限和控制下限分别在μ0+3(σn ), μ0-3(σn )处。每个样本平均值都画在图上，如黑点所示。如果都落在控制限之间，则表明生产过程处于正常的控制之下否则，就要检查原因适当地调整机器。显著性水平α不超过0.003（图
中的控制限的
3(
的3就是取α=0.0027得到的），由μ0=1.5及σ=0.02作出容量n=5
的样本平均值的控制图，并将下列自每隔一小时的时间间隔内采样（容量为5）算得的样本均值画在图上。现在数据 1.510 1.495 1.521 1.505 1.524
1.488
1.465 1.529 1.520 1.444
1.531 1.502 1.490 1.531 1.475 1.478 1.522 1.491 1.491 1.482
问生产过程是否正常？
解 为了便于了解生产过程的统计规律性，企业经常利用平均值的质量控制图。设总体X 服从正态分布N(μ, σ), 或近似服从正态分布。每隔一定时间，取样品n 件。
2
经计算得样本均值为, 用检验假设H 0：μ=μ0。设σ=σ0已知，给定显著性水平
2
α=0.0027，检验假设H 0：μ=μ0，H 1:μ≠μ0
当原假设为真时，选取检验统计量为u =
~N (0,1)
⎫⎪
给定显著性水平α=0.0027，使
P
⎪⎭
即
P⎨μ0⎧⎩
=0.9973
则得控制上限为μ0
，控制下限为μ0
由题意知，μ0=1.5，σ=0.02，n=5,
于是控制上限μ0
=1.527，
控制下限μ0
=1.473 根据样本数据，5个数据为一组，经计算得各组的平均值分别为
1=1.511, 2=1.489, 3=1.5058, 4=1.4928
它们都落在区间（1.473，1.527）之中，可以认为该生产过程正常。 6. 下表分别给出两个文学家马克·吐温(Mark Twain)的八
篇小品文及斯诺特格拉斯(Snodgrass)的10篇小品文由3个字母组成的词的比例。
设两组数据分别来自正态总体，且两总体方差相等，但参数均未知。两样本相互独立。问两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例是否有显著的差异（取α=0.05）？
解 设取自马克·吐温小说的正态总体X 的均值为μ1, X ~N μ1, σ1
格拉斯小说的正态总体Y 的均值为μ2, Y ~N μ1, σ2
(
2
), 取自斯诺特
(
2
), 且σ
21=σ22。
检验假设 H 0:μ1=μ2, H 1:μ1≠μ2，拒绝域≥t 1-α/2(n 1+n 2-2)
代入具体值 =0.2319,
=0.2097
1⎛n 2⎫
t 0.975(8+10-2)
=2.1199 s = ∑x i -82⎪=0.01462
7⎝i =1⎭
2
1
1⎛1027s 12+9s 227s 12+9s 222⎫22
s 2= ∑y i -10⎪=0.0097 s w ===0.0122
9⎝i =118-216⎭
2
比较==3.9>2.1199
故拒绝H 0, 认为两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例有显著的差异。
7. 据现在的推测，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些。下面给出美国31个自然死亡的总统的寿命，他们分别属于两类，矮个子的（身高小于5英尺）和高个子的（身高大于5英尺8英寸）。设两个寿命总体均为正态且方差相等，试问这些数据是否符合上述推测
（取α=0.05）？
矮个子总统
高个子总统
解 设总体X 表示矮个子总统寿命，则X ~N μ1, σ1Y ~N μ2, σ2
(
2
), 设Y 表示高个子总统寿命，则
(
2
), 且σ
21=σ22=σ2未知：
检验假设 H 0:μ1=μ2, H 1:μ1>μ2，检验统计量为~t (n 1+n 2-2)
拒绝域为 t ≥t 1-α(n 1+n 2-2)
n 1=5, n 2=26, =80.2, =69.15
代入具体值4s 1=
2
∑x
i =1
5
2i
-5=294.8, 25s 2=∑y i 2-26=2183.215
2
2
i =1
26
s w =
=9.218, t 0.05(31-2)=1.6991
比较t=2.448>1.6991,落在拒绝域，故拒绝H 0，从而可认为矮个子的人比高个子的人寿命要长一些。
8. 在20世纪70年代后期人门发现，在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝
基二甲胺（NDMA ）。到了20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程。下面给出分别在新老两种过程中形成的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）。
设两样本分别来自正态总体，且总体的方差相等，但方差未知。两样本独立，分别以μ1, μ2记对应于老、新过程的总体的均值，试检验假设H 0:μ1-μ2≤2, H 1:μ1-μ
2>2（取
α=0.05）？
解：设总体X 为老过程中NDMA 含量，则X ~N μ1, σ1则Y ~N μ2, σ2
(
2
), 设总体Y 为新过程中NDMA 含量，
(
2
), 且σ
2
1=σ22=σ2未知。这是一个均值差（δ=2已知）的t-检验问题。
检验假设 H 0:μ1-μ2≤2, H 1:μ1
-μ2>2 检验统计量~t (n 1+n 2-2)
拒绝域≥t 1-α(n 1+n 2-2)
其中n 1=n 2=2, t α(n 1+n 2-2)=t 0.05(12+12-2)=1.7171, =5.25。
12=0.932, s 22=1, s w =
=0.9828,
全部代入t 的表达式，得t=4.362，比较：t=4.362>t 0.95(12+12-2)=1.7171 故拒绝H 0, 即可以认为：老、新过程的均值差大于2。
9. 随机地选了8个人，分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高（cm ）, 得到以
下的数据。
2
设各对数据的差D i 是来自正态总体N μD , σD 早晨的身高比晚上的身高要高（α=0.05）？
(
2
)样本，μ
D
, σD 均未知。问是否可以认为
解： 设总体X 表示早晨起床时身高，Y 表示晚上晚上就寝时身高，D=X-Y,D i =X i -Y i ,
D i ~N (μD , σD 2),
σD 2未知，用t-检验法。
检验假设 H 0:μD ≤0, H 1:μD >0 作差d i =x i -y i , 得 序号 d 1 0
2 1
3 3
4 2
5 1
6 2
7
-1
8 2
~t (n -1)，拒绝域为 t ≥t 1-α(n -1)
而n=8,α=0.05,t 0.05(7)=1.8946, =1.25
1⎛8212⎫ s = ∑d i -8⎪=(24-10)=2, s =7⎝i =1⎭7
2
比较>1.8946，t 落在拒绝域中，因而拒绝H 0，故接受H 1, 即认为早晨的身高比晚上高。
10. 一工厂的两个化验室每天同时从工厂的冷却水中取样，测量水中含氯量（ppm ）一次，下面是7天的记录。
设各对数据的差d i =x i -y i , i =1,2, ,7来自正态总体，问两化验室测定的结果之间有无显著差异（α=0.01）?
解 利用t-检验法。题中给出的成对观察值，故设D=X-Y服从正态分布 N μD , σD
(
2
), 且
E
（X ）=μ1, E (Y ) =μ2，则μD =μ1-μ2。 检验假设 H 0:μD =0, H 1:μD ≠0 当原假设为真时，选取检验统计量为给定显著性水平α=0.01，使P
查t 分布表得临界值t 0.995(6)=3.7074, 则拒绝域为(- ∞,-3.7074 ], 或[3.7074, +∞) 根据样本观察值，经计算得样本均值为=-0.0257, 样本标准差为s D =0.09217, 于是t 观察值为 t =
~t (n -1)
==-0.7377
因为t =0.7377
11. 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，选取了15个男子（他们的生活条件各不相同），每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 外地人后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm 。过了一个月再测量厚度，得到数据如下：
2
设D i =X i -Y i (i =1, 2, ,15)来自正态总体N μD , σD , 问是否可以认为以材料A 制成的
()
后跟比材料B 的耐穿（取α=0.05）？
解 检验假设 H 0:μD ≤0, H 1:μD >0
本题中的数据是成对的，又由于D i 来自正态总体，故该应用成对数据的检验统计量
t=
, 拒绝域为
t ≥t 1-α(n -1)
，代入具体值：
1⎡152⎤
t 1-α(n -1)=t 0.95(14)=1.7613, d =0.553, s =⎢∑d i -15d 2⎥=1.046,
14⎣i =1⎦
2
比较t=2.094>1.7613, 即落在拒绝域中，故拒绝H 0, 认为A 比B 耐穿。
12. 为了试验两种不同的谷物的种子的优劣，选取了十块土质不同的土地，并将每块土地分
为面积相同的两部分，分别种植这种种子。设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的产量。
2
设D i =X i -Y i (i =1, 2, ,10) 是来自正态总体N μD , σD
()的样本，μ
D
, σD 2均未知，问以
这两种种子种植的谷物的产量是否有显著的差异（取α
=0.05）？ 解： 这是一个数据成对的t-检验问题。作差d=x -y , 得 土地 d
1 -3
2 -4
3 -6
4 2
5 1
6 5
7 1
8 7
9 -6
10 1
检验假设 H 0:μD =0, H 1:μD ≠0拒绝域≥t
1-
α2
(n -1)
代入具体值 n =10, α=0.05, =-0.2, s =4.4422, t 0.975(9)=2.2622
比较t =
=0.1424
t 没落在拒绝域中，即接受H 0, 故认为这两种种子种植的谷物的产量没有显著差异。
13. 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”，她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生
作了调查，得知平均每周看电视的时间=6.5小时，样本标准差为s=2小时，问是否可以认为这位校长的看法是对的？取α=0.05（注：这是大样本的检验问题，由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n
服从正态分布）。
解： n=100,这是大样本的检验问题，由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，-μ
(
)(近视地服从正态分布。
检验假设 H 0:μ≥μ0=8, H 1:μ
t =
拒绝域：
t =
代入具体值 =6.5, α=0.05, s =2, μ0=8
，
比较 t =-7.5
故拒绝H 0，可认为这位校长的看法是对的。
14. 某厂使用两种不同的原料A,B 生产同一类型产品，各在一周的产品中取样进行分析比较，取使用原料A 生产的样品220件，测得平均重量为2.46（公斤），样本标准差s=0.57(公斤) 。取使用原料B 生产的样品205件，测得平均重量为2.55（公斤），样本标准差为0.48（公斤），设这两个样本独立。问在水平0.05下能否认为使用原料B 的产品平均重量较使用原料A 为大？
解： n A =220, n B =205, ⇒min {n A , n B }=205≥50⇒可用中心极限定理和斯鲁茨基
定理有
u =
--μ-μ~N (0,1)
检验假设 H 0:μB -μA ≤0, H 1:μB -μA >0
，
拒绝域为
u =
--μ-μ≥u 1-α
代入具体值：n A =220, n B =205, A =2.46, B =2.55, s A =0.57, s B =0.48⇒
2222
u =
=1.765， 查表得u 0.95=1.645， 比较：1.765>1.645, 即落在拒绝
域中，拒绝H 0。 故可认为使用原料B 的产品平均重量较使用原料A 的大。
15. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆）。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆) ，设总体为正态分布，参数均未知。问在水平α=0.05下能否认为这批导线的标准差异显著地偏大？
解： 已知α=0.05, σ0=0.005。检验假设H 0:σ=σ0, H 1:σ>σ0
2
n -1S ()2
≥χ1-α2(n -1) 拒绝域为 χ=2
σ0
8⨯4.9⨯10-5
由α=0.05, n =9, s =0.07⇒χ==15.68
2.5⨯10-5
2
查表得 χ
20.95
2
比较 15.68>15.507知χ落在拒绝域中，即在α=0.05(8)=15.507，
下拒绝H 0，接受H 1，故认为这批导线的标准差异显著地偏大。
16. 如果一个矩形的宽度ω
与长度的比=
1
2
1≈0.618, 这样的矩形称为黄
)
金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代的建筑构件（如窗架）、 工艺品（如图片镜框），甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩形。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值μ，记总体的标准差为σ，试检验假设（取α=0.05）
H 0:σ2=0.112, H 1:σ2≠0.112
22
解：σ=0.11，在第2 题中，X ~N μ, σ
(
2
), μ, σ
2
2
均未知，关于σ的检验可用χ-检
22
验法。检验假设：H 0:σ=σ0, H 1:σ≠σ0
222
n -1)S 2(~χ2(n -1) 检验统计量：χ=2
2
σ0
拒绝域为：χ≥χ
2
221-2
α
2
(n -1) 或χ2≤χ2α(n -1)
2
2
2
2
代值：s =0.0925, n =20, σ0=0.11⇒χ=13.435
查表：α=0.05⇒χ
2
2
n -1=χ()α0.975(19)=32.852, 1-2
χ2α(n -1)=χ20.025(19)=8.907，比较：8.907
2
故χ落在拒绝域之外，即落在接受域，接受H 0
17． 测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%,设测定值总体为正态分布，σ为总体方差，试在水平 α=0.05下检验假设H 0:σ≥0.04%,H 1:σ
解 题目已设定了检验假设，σ0=0.04%拒绝域为 χ=(n -1)S
2
2
2
2
，
20≤χ2α(n -1)
代值
n =10, s 2=0.000372, σ20=0.00042, χ20.05(9)=3.325
2
n -1)S 2(
χ=2
σ
9⨯0.000372
==7.700625 2
0.0004
2
比较：7.700625>3.325，故χ未落在拒绝域中，从而在α=0.05下接受H 0。 18. 第5题中分别记两个总体的方差为σ1和σ2，
试检验假设（取α=0.05） H 0:σ1=σ2, H 1:σ1≠σ2, 以说明在第5题中我们假设
2
2
2
2
2
2
σ12=σ22是合理的。
解：若能接受H 0, 则说明假定σ1=σ2是合理的。 检验假设 H 0:σ1=σ2, H 1:σ1≠σ2
由于样本来自两个不同的总体，且μ1, μ2, σ1, σ2均未知，故检验统计量取为
2
2
2
2
2
2
2
2
S 12
F=2~F (n 1-1, n 2-1) S 2
，
S 12S 12
拒绝域 2≥F α(n 1-1, n 2-1)或2≤F α(n 1-1, n 2-1)
1-S 2S 222
代具体值
s 12=0.000212, s 22=0.000093344, F =s 12s 2=2.27F 0.975(7,9)=4.20, F 0.025(7,9)=0.2075
2
比较 0.2075
19. 在第7题中分别记两个总体的方差为σ1和σ2，试检验假设（取α=0.05）
22
H 0:σ12=σ22, H 1:σ12≠σ22, 以说明在第8题中我们假设σ12=σ22是合理的。
解
H 0:σ12=σ22, H 1:σ12≠σ22
2
2
由于两个样本取样不同的正态总体且μ1, μ2, σ1, σ2均未知，故检验统计量取
22
F=s 1s 2,F ~F (n 1-1, n 2-1) ，拒绝域为F ≥F
1-
α
2
(n 1-1, n 2-1)或F ≤F α(n 1-1, n 2-1)
2
查表：s 12=0.93182, s 22=1.00, F =s 12s 2=0.93182, F 0.975(11,11)=3.48,
2
F 0.025(11,11)=
11
==0.287
F 0.97511,113.48
由于0.287
2
1
212
设这两件器件的电阻值总体分别服从分布N μ1, σ1, N μ2, σ2且两样本独立。
(
2
)(
2
), μ, μ, σ
, σ22均未知，
(1) 检验假设（α=0.05）H 0:σ1=σ2, H 1:σ1≠σ2
222
':μ1=μ2, H 1':μ1≠μ2 (2) 在（1）的基础上检验（α=0.05）H 0
2
解 （1）由题设知，可选检验统计量为F =S 12, 则
2
F~F (n 1-1, n 2-1) 拒绝域为 F ≥F 代具体值：
1-
α
2
(n 1-1, n 2-1)或F ≤F α(n 1-1, n 2-1)
2
α=0.05, n 1=n 2=6, s 12=7.866⨯10-6, s 22=7.1⨯10-6, F 0.975(5,5)=7.15
F 0.025(5,5)=
1F 0.9755,5=0.14, F =s
21
s 2
2
7.866⨯10-6==1.108
7.1⨯10-6
比较 0.14=F 0.025(5,5)
故F 没有落在拒绝域中，从而接受H 0，可认为两个正态总体的方差相等。
(2) 由题设及（1）的结论：σ1=σ2可知，可选检验统计量
22
t =, 则t ~t (n 1+n 2-2)
其中
S w =
拒绝域为 t ≥t
1-
α
2
(n 1+n 2-2)
代值 α=0.05, n 1=n 2=6, =0.14067, =0.1385, t 0.975(10)=2.2281
t =
=1.3959 比较t =1.3959
故t 未落在拒绝域，从而接收H 0'，可认为这两批器件的电阻值没有显著差异。
21. 有两台机器生产金属部件。分别在两台机器所生产的部件中各取一容量
n 1=60, n 2=40的样本，测得部件重量的样本方差分别为s 12=15.46, s 22=9.66。设两样
本相互独立，两总体分别服从N μ1, σ1, N μ2, σ2
2
2
(
2
)(
2
)分布，μ, σ(i =1, 2)均未知。试在
i
i
水平α=0.05下检验假设H 0:σ1=σ2H 1:σ1>σ2 解 检验假设 H 0:σ1=σ2, H 1:σ1>σ2
由于两总体均服从正态分布，又μ1, σ1, μ2, σ2未知，故检验统计量为F=S 1
拒绝域为 F ≥F 1-α(n 1-1, n 2-1)
代值n 1=60, n 2=40, F 1-α(n 1-1, n 2-1)=F 0.95(59,39)=1.64, F =比较 F=1.60
H 0:μ≥15, H 1:μ
2
2
2
2
2
22
2
2
15.46
=1.60 9.66
已知σ=2.5，取α=0.05。若要求当H 1中的μ≤13时犯第Ⅱ类错误的概率不超过
2
β=0.05，求所需的样本容量。
要点： 掌握公式：单边检验时
，
u (≥
1-α
+u 1-β)σ
δ
；双边检验时
，
≥
(u
1-α+u β)σ
δ
解：若要求当H 1中μ≤13时犯第Ⅱ类错误的概率不超过β=0.05，这是单边检验问题，
≥(u 1-α+u 1-β)σ代具体值
δ=15-13=2, u 1-α=u 1-β=u 0.95=1.645, σ=
，
所以
≥
u 1-α+u 1-βσ=
()
=2.601所以n ≥6.765, 即n ≥7
，
23. 池在货架上滞留的时间不能太长，下面给出某商店随机选取的8只电池的货架滞留时
间（以天计）：
108
124 124 106 138 163 159 134
设数据来自正态总体N μ, σ
(
2
), μ, σ
2
未知。（1）试检验假设H 0:μ=125, H 1:μ>125。
取α=0.05。（2）若要求在上述H 1中(μ-125)≥1.4时，犯第Ⅱ类错误的概率不超过
β=0.1，求所需的样本容量。
解 （1）拒绝域为
t =
≥t 1-α(n -1)
代具体值t =
=
=0.9393比较 t=0.9393
，
故在α=0.05下，t 未落在拒绝域中，从而接受H 0，可以认为μ=125。
（2）若要求在上述H 1中(μ-125)≥1.4时，犯第Ⅱ类错误的概率不超过β=0.1，查附表7，得所需的样本容量n=7，注意到α=0.05，δ=1.4.
24. 一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设H 0:μ1=2μ2, H 1:μ1>2μ2 此处μ1, μ2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至起作用的时间间隔的总体的均值，设
两总体均为正态且方差分别为已知值σ1, σ2。现分别在两总体中取一样本X 1, X 2 , X n 和Y 1, Y 2 , Y n 2, 设两个样本独立，试给出上述假设H 0的拒绝域，取显著性水平为α。 解 检验假设 H 0:μ1=2μ2, H 1:μ1>2μ2 ~N μ1, σ1n 1, ~N μ2, σ2 如果H 0是真的，则-2~N 0, σ1则
t =
22
1
(
2
)(
2
n 2)
(
2
n 1+4σ22n 2)
~N (0,1)
故显著性水平为α的H
0的拒绝域为t =
≥u 1-α。
25. 检查了一本书的100页，记录各页中的印刷错误人数，其结果如下：
问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取α=0.05）。
e -λλi
, i =0,1, 2 解 按题意需检验假设H 0：总体X 服从泊松分布 P {X =i }=i !
ˆ==1, 当H 成因在H 0中参数λ未具体给出，所以先估计λ。由极大似然估计法得 λ0e -1
, i =0,1,2 立时，对于P {X =i }有估计 P i =P {X =i }=i !
计算结果如下表： 错误个数i
0 1 2 3
页数f i 36 40 19 2
ˆi p
0.367879 0.367879 0.18394 0.0613
ˆi np
36.7879 36.7879 18.394
ˆi f i -np
-0.7879 3.2121 0.606
ˆi )(f i -np ˆi np
2
0.01687 0.28046 0.01996
6.13⎫
1.5328⎪⎪⎪
0.3066⎬8.03010.0511⎪
⎪0.0083⎪⎭
4 5 6
0 2 1 0 100
0.015328 0.003066 0.000511 0.00083
-3.0301
1.14339
1.46068
≥7
∑
因χ
20.95
(k -r -1)=χ20.95(2)=5.991>1.46068
故在水平0.05下接收H 0，即认为X 服从泊松分布。 26. 在一批灯泡中抽取300只作寿命试验，其结果如下：
⎧0.005e -0.005t , t ≥0
取α=0.05，试检验假设H 0：灯泡寿命服从指数分布 f (t )=⎨
t
-0.005t
⎧0.005e , t ≥0ˆ(x )=⎨解 若H 0为真，X 的分布函数的估计为F
t
ˆ=p (A )的估计 从而可得概率P i i
ˆ(A )=P ˆ{t ≤100}=F ˆ(100)=0.3947ˆ1=P p 11
ˆ(A )=P ˆ{100
ˆ(A )=F (300)-F (200)=e -1-e -1.5=0.14475ˆ3=P p 3ˆ(A )=F ˆ(+∞)-F (300)=e -1.5=0.22313ˆ4=P p 4
计算结果如下表
A i A 1:t ≤100 A 2:100
f i
121 78 43
ˆi p
0.39347 0.23865 0.14475
ˆi np
118.041 71.595 43.425
ˆi f i -np
2.959 6.405 -0.425
ˆi )(f i -np ˆi np
0.0742 0.5729 0.0042
2
458 300
0.22313
66.939
-8.939
1.3778 2.0291
∑
因 χ
20.95
(3)=7.815>2.0291，故在水平0.05下接受H 0。
2
27. 下面给出了随机选取的某大学一年级学生（200个）一次数学考试的成绩。 （1）画出数据的直方图；（2）试取检验数据来自正态总体N(60，15) 。
解 （1） 直方图如图8-2所示
（2）检验假设H 0：X ~N 60,15作X 检验计算表
2
(
2
)
A i A 1 A 2 A 3 A 4 A 5
f i
5 15 30 51 60
ˆi p
0.019 0.069 0.1569 0.2486 0.2486
ˆi np
3.8 13.8 31.92 49.72 49.72
ˆi f i 2n p
6.5798 16.2043 28.1955 52.313 72.4055
6A 7
23 10 6
0.1596 0.069 0.019
31.92 13.8 3.8
16.5727 7.2464 9.4737
A 8
∑209.09
ˆ1=P (20≤x ≤30)=Φ 其中p
⎛30-60⎫⎛20-60⎫
-Φ⎪ ⎪=0.019
1515⎝⎭⎝⎭⎛40-60⎫⎛30-60⎫
-Φ⎪ ⎪=0.069
1515⎝⎭⎝⎭⎛50-60⎫⎛40-60⎫
-Φ⎪ ⎪=0.1596
⎝15⎭⎝15⎭⎛60-60⎫⎛50-60⎫
-Φ⎪ ⎪=0.2486
1515⎝⎭⎝⎭
2
ˆ2=P (30
ˆ3=P (40
ˆ4=P (50
ˆ5=p ˆ4, p ˆ6=p ˆ3, p ˆ7=p ˆ2, p ˆ8=p ˆ1, χ=209.09-200=9.09 p
而χ
20.9
(7)=12.017>9.09，故在水平α=0.1下，接受H 0，即认为成绩服从正态分布
N (60,152)。
28. 袋中装有8只球，其中红球数未知，在其中任取3只，记录红球的只数x , 然后放回，再任取3只，记录红球的只数，然后放回，如此重复进行112次，其结果如下：
⎛5⎫⎛3⎫
⎪⎪k ⎭⎝3-k ⎭⎝, k =0,1, 2,3 试取α=0.05检验假设H 0：x 服从超几何分布 P {x =k }=
⎛8⎫ ⎪⎝3⎭
即检验假设H 0：红球的只数为5。
⎛5⎫⎛3⎫ ⎪⎪k ⎭⎝3-k ⎭⎝, k =0,1, 2,3 解 检验假设 H 0：P {x =k }=
8⎛⎫ ⎪⎝3⎭
将试验可能的结果的全体分成k=4个两两互不相容的事件A 0, A 1, A 2, A 3, 如下表所示。
⎛5⎫⎛3⎫ ⎪⎪k 3-k ⎝⎭⎝⎭ˆ{x =k }=对于P {x =i }有如下估计 P
⎛8⎫ ⎪⎝3⎭
A i A 0 A 1 A 2 A 3
f i
1 31 55 25
ˆi p
0.01786 0.26786 0.53714 0.1786
ˆi np 2.000⎫
⎬ 30⎭
60 20
ˆi f i -np
0 -5 5
ˆi )(f i -np
2
ˆi 0.4167 1.25 1.667
∑
因χ
2
1-α
(k -r -1)=χ20.95(3-1)=χ20.95(2)=5.991>1.667故接受H 0。
一、填空题
1．设X 1, X 2 , X n 是来自正态总体的样本，其中参数μ和σ未知，则 检验假设H 0:μ=0的t −检验使用统计量t
2
s
2
2．设X 1, X 2 , X n 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，σ已知。要检验假设
H 0:μ=μ0
u =
-μ0)
σ
；当
H 0成立时该统计量服从N (0,1)。
3．要使犯两类错误的概率同时减小，只有 增加样本量 。
4．设X 1, X 2 , X n 和Y 1, Y 2, , Y m 分别来自正态总体N (μX , σX ) 和N (μY , σY ) ，两样本相互独立。
（1）当σX 和σY 已知时，检验假设H 0:μX =μY 所用的统计量为
u =
2
22
2
当H 0成立时该统计量服从 N (0,1) 。
（2）若 σX 和σY 未知，但σX =σY ，检验假设H 0:μX =μY 所用的统计量为
2222
t =
；当H 0成立时该统计量服从 t (n +m -2) 。
2
2
5．设X 1, X 2 , X n 是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，要检验假设H 0:σ=σ0 应用 χ检验法，检验的统计量是χ=
2
2
(n -1) s 2
σ
2
；当H 0成立时该统计量服从
χ2(n -1) 。
6．设X 1, X 2 , X n 和Y 1, Y 2, , Y m 分别来自正态总体N (μX , σX ) 和N (μY , σY ) ，两样本相互独立。要检验假设H 0:σ
2
2X
22
=σ
2
2
Y ，应用检验法，检验的统计量为2s x
F =2
s y
7．设总体X ~N (μ, σ), μ, σ都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为，样本标准差记为S ，在显著性水平α下，检验假设H 0:μ=80H 1:μ≠80的拒绝域为
{t 22
≥t 1-α/2(n -1) } 。在显著性水平α下，检验假设H 0:σ2=σ0H 1:σ2≠σ0 的拒
绝域为 χ≤χα/2(n -1)
2
2
{
22
or
χ2≥χ12-α/2(n -1) } 。
8．设总体X ~N (μ, σ), μ, σ都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为，样本标准差记为S ，当σ已知时，在显著性水平α下，检验假设 H 0:μ≥μ0H 1:μ
u =
2
2
-μ0)
σ
，拒绝域为{u ≤u α}
当σ未知时，在显著性水平α下，检验假设H 0:μ≤μ0H 1:μ>μ0的统计量为
t =
-μ0)s
{t ≥t α(n -1) }。
2
2
9．设总体X ~N (μ, σ), μ, σ都是未知参数，从X 中抽取的容量为n =50的样本，已知样本均值=1900，样本标准差S =490 ，检验假设H 0:μ=2000H 1:μ≠2000的统计量为 ；在显著性水平α=0.01下，检验结果是 。 10．设X 1, X 2 , X n 是来自正态总体的样本，其中参数μ和σ已知，a ，b 为常数，随机区
2
⎛n (X -)2n (X -)2⎫
i i
⎪的长度L 的数学期望为 ，方差为 。 间 ∑, ∑
b a i =1⎪i =1
⎝⎭
二、单项选择题
1．在假设检验中，用α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则 当样本容量一定时，下列说法正确的是（C ）。
A ．α减小β也减小； B．α增大β也增大；
C ．α与β不能同时减小，减小其中一个，另一个往往就会增大；D ．A 和B 同时成立。 2．在假设检验中，一旦检验法选择正确，计算无误（ C）。
A ．不可能作出错误判断； B．增加样本容量就不会作出错误判断； C ．仍有可能作出错误判断； D．计算精确些就可避免错误判断。 3．在一个确定的假设检验问题中，与判断结果有关的因素有（ D）。 A ．样本值及样本容量； B．显著性水平α； C ．检验的统计量； D．A 和B 同时成立。
4．对于总体分布的假设检验，一般都使用χ拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为（D ）。
A ．连续型分布； B．离散型分布；C ．只能是正态分布； D．任何类型的分布。 5．在假设检验中，记H 1为备择假设，则称（B ）为犯第一类错误。
2
A ．H 1真，接受H 1；B ．H 1不真，接受H 1；C ．H 1真，拒绝H 1； D．H 1不真，拒绝H 1。 6．设总体总体X ~N (μX , σX ) ，Y ~N (μY , σY ) ，检验假设H 0:σX =σY ；α＝0.10，从X 中抽取容量为n =12 的样本，从Y 中抽取容量为m=10的样本，算得s 1=118.4，s 2=31.93，正确的检验方法与结论是（B ）。
A ．用t −检验法，临界值t 0.05(17)=2.11, 拒绝H 0；
B ．用F −检验法，临界值F 0.05 (11,9)=3.10, F 0.95 (11,9)=0.34，拒绝H 0； C ．用F −检验法，临界值F 0.05 (11,9)=3.10, F 0.95 (11,9)=0.34，接受H 0；
D ．用F −检验法，临界值F 0.01 (11,9)=5.18, 临界值F 0.99 (11,9) =0.21，接受H 0。
7．机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取n =20，m =25的两个样本，检验两台机器的台工精度是否相同，则提出假设（B ）。
22
A . H 0:μ1=μ2H 1:μ1≠μ2; B . H 0:σ12=σ2H 1:σ12≠σ2。 22C . H 0:μ1=μ2H 1:μ1>μ2; D . H 0:σ12=σ2H 1:σ12>σ2
2222
22
8．设X 1, X 2 , X n 和Y 1, Y 2, , Y m 分别来自正态总体N (μX , σX ) 和N (μY , σY ) ，两样本相互独立。样本均值为和，S X 和S Y 相应为样本方差，则检验假设H 0:σX =σY （D ）。 A ．要求μX =μY ； B．要求S X =S Y ； C ．使用χ−检验； D．使用F −检验。 9．检验的显著性水平是（B ）。
A ．第一类错误概率； B．第一类错误概率的上界； C ．第二类错误概率； D．第二类错误概率的上界。
10．在假设检验中，如果原假设H 0的否定域是W ，那么样本观测值x 1, x 2, , x n 只可能有下列四种情况，其中拒绝H 0且不犯错误的是（ C）。
A ．H 0 成立，x 1, x 2, , x n ∈W ； B．H 0 成立，x 1, x 2, , x n ∉W C ．H 0 不成立，x 1, x 2, , x n ∈W ； D．H 0 不成立，x 1, x 2, , x n ∉W .
2
22
2
2
2
22
2
三、计算与应用题
1. 某批矿砂的5 个样品中的镍含量，经测定为（%）
3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值总体服从正态分布，问在α=0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。
解：检验假设H 0：
μ=3.25,H 1: μ≠3.25
拒绝域为
≥t
1-
α
2
(n -1)，α=0.01
代入 n=5,x =3.252,s=0.01304,t 0.995(4)=4.6041 比较
=0.343
镍含量为3.25。
2. 如果一个矩形的宽度ω
与长度的比=
1
2
1≈0.618, 这样的矩形称为黄
)
金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代的建筑构件（如窗架）、 工艺品（如图片镜框），甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩形。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值μ，试检验假设（取α=0.05）：
H 0： μ=0.618，H 1: μ≠0.618
0.693 0.749 0.645 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933
解：检验假设H 0：
2
μ=0.618，H 1: μ≠0.618
由于σ未知，故采用t 检验 拒绝域为t
2
20-1
≥t
1-
α
2
(n -1)
，
α
=0.025
代入x =0.6605，s =
⎡2022⎤X -20⎢∑i ⎥=0.0925, t 0.975(19)=2.0930 ⎣i =1⎦
比较
=2.0545
3. 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布。试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为μ，μ未知。即需检验假设H 0：μ≥1000, H 1:
μ
解：检验假设H 0：μ≥1000, H 1: 单边检验，拒绝域为
U=
μ
≤-u 1-α。代入 α=0.05 x =950，σ=100，
n=25,u 0.95=1.645，比较
u =
=-2.5
故在α=0.05下，u 落在拒绝域中，所以拒绝H 0, 即认为这批元件不合格。
4. 下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间（分）：9.8，10.4，10.6，9.6，9.7，9.9，10.9，11.1，9.6，10.2，10.3，9.6，9.9，11.2，10.6，9.8，10.5，10.1，10.5，9.7。设装配时间的总体服从正态分布，是否可以认为装配时间的均值显著地大于10（取
α=0.05）？
解：由于σ未知，故对于该假设检验可采用t 检验。H 0：μ0=10，H 1：μ0>10 拒绝域为
t =
2
≥t 1-α(n -1)
1⎡n 21⎡2022⎤2⎤=10.2, s =X -=X -20=0.26, t 0.95(19)=1.7291∑∑i i ⎢⎥⎢⎥代入
n -1⎣i =1⎦19⎣i =1⎦
2
比较t =
=1.754>1.7291落入拒绝域，故拒绝原假设H 0，从而认为装配时间
的均值显著地大于10。
5. 平均值的质量控制图。在工业质量控制中，常常每隔一定时间就检验一次同样的 假设H 0。例如，在制造某种弹簧过程中，需要控制弹簧的自由长度具有平均值μ=1.5cm。设弹簧的自由长度总体服从正态分布，且标准差为σ=0.02。为检验生产过程是否正常，每隔一定时间（例如一小时）取样n 件，根据测得的自由长度平均值来检验假设H 0：
μ=1.5cm。为简化这项工作及便于了解生产过程的统计规律性，制作了图8-1. 图中的纵坐
标是的大小，中心线在μ0=1.5，控制上限和控制下限分别在μ0+3(σn ), μ0-3(σn )处。每个样本平均值都画在图上，如黑点所示。如果都落在控制限之间，则表明生产过程处于正常的控制之下否则，就要检查原因适当地调整机器。显著性水平α不超过0.003（图
中的控制限的
3(
的3就是取α=0.0027得到的），由μ0=1.5及σ=0.02作出容量n=5
的样本平均值的控制图，并将下列自每隔一小时的时间间隔内采样（容量为5）算得的样本均值画在图上。现在数据 1.510 1.495 1.521 1.505 1.524
1.488
1.465 1.529 1.520 1.444
1.531 1.502 1.490 1.531 1.475 1.478 1.522 1.491 1.491 1.482
问生产过程是否正常？
解 为了便于了解生产过程的统计规律性，企业经常利用平均值的质量控制图。设总体X 服从正态分布N(μ, σ), 或近似服从正态分布。每隔一定时间，取样品n 件。
2
经计算得样本均值为, 用检验假设H 0：μ=μ0。设σ=σ0已知，给定显著性水平
2
α=0.0027，检验假设H 0：μ=μ0，H 1:μ≠μ0
当原假设为真时，选取检验统计量为u =
~N (0,1)
⎫⎪
给定显著性水平α=0.0027，使
P
⎪⎭
即
P⎨μ0⎧⎩
=0.9973
则得控制上限为μ0
，控制下限为μ0
由题意知，μ0=1.5，σ=0.02，n=5,
于是控制上限μ0
=1.527，
控制下限μ0
=1.473 根据样本数据，5个数据为一组，经计算得各组的平均值分别为
1=1.511, 2=1.489, 3=1.5058, 4=1.4928
它们都落在区间（1.473，1.527）之中，可以认为该生产过程正常。 6. 下表分别给出两个文学家马克·吐温(Mark Twain)的八
篇小品文及斯诺特格拉斯(Snodgrass)的10篇小品文由3个字母组成的词的比例。
设两组数据分别来自正态总体，且两总体方差相等，但参数均未知。两样本相互独立。问两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例是否有显著的差异（取α=0.05）？
解 设取自马克·吐温小说的正态总体X 的均值为μ1, X ~N μ1, σ1
格拉斯小说的正态总体Y 的均值为μ2, Y ~N μ1, σ2
(
2
), 取自斯诺特
(
2
), 且σ
21=σ22。
检验假设 H 0:μ1=μ2, H 1:μ1≠μ2，拒绝域≥t 1-α/2(n 1+n 2-2)
代入具体值 =0.2319,
=0.2097
1⎛n 2⎫
t 0.975(8+10-2)
=2.1199 s = ∑x i -82⎪=0.01462
7⎝i =1⎭
2
1
1⎛1027s 12+9s 227s 12+9s 222⎫22
s 2= ∑y i -10⎪=0.0097 s w ===0.0122
9⎝i =118-216⎭
2
比较==3.9>2.1199
故拒绝H 0, 认为两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例有显著的差异。
7. 据现在的推测，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些。下面给出美国31个自然死亡的总统的寿命，他们分别属于两类，矮个子的（身高小于5英尺）和高个子的（身高大于5英尺8英寸）。设两个寿命总体均为正态且方差相等，试问这些数据是否符合上述推测
（取α=0.05）？
矮个子总统
高个子总统
解 设总体X 表示矮个子总统寿命，则X ~N μ1, σ1Y ~N μ2, σ2
(
2
), 设Y 表示高个子总统寿命，则
(
2
), 且σ
21=σ22=σ2未知：
检验假设 H 0:μ1=μ2, H 1:μ1>μ2，检验统计量为~t (n 1+n 2-2)
拒绝域为 t ≥t 1-α(n 1+n 2-2)
n 1=5, n 2=26, =80.2, =69.15
代入具体值4s 1=
2
∑x
i =1
5
2i
-5=294.8, 25s 2=∑y i 2-26=2183.215
2
2
i =1
26
s w =
=9.218, t 0.05(31-2)=1.6991
比较t=2.448>1.6991,落在拒绝域，故拒绝H 0，从而可认为矮个子的人比高个子的人寿命要长一些。
8. 在20世纪70年代后期人门发现，在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝
基二甲胺（NDMA ）。到了20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程。下面给出分别在新老两种过程中形成的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）。
设两样本分别来自正态总体，且总体的方差相等，但方差未知。两样本独立，分别以μ1, μ2记对应于老、新过程的总体的均值，试检验假设H 0:μ1-μ2≤2, H 1:μ1-μ
2>2（取
α=0.05）？
解：设总体X 为老过程中NDMA 含量，则X ~N μ1, σ1则Y ~N μ2, σ2
(
2
), 设总体Y 为新过程中NDMA 含量，
(
2
), 且σ
2
1=σ22=σ2未知。这是一个均值差（δ=2已知）的t-检验问题。
检验假设 H 0:μ1-μ2≤2, H 1:μ1
-μ2>2 检验统计量~t (n 1+n 2-2)
拒绝域≥t 1-α(n 1+n 2-2)
其中n 1=n 2=2, t α(n 1+n 2-2)=t 0.05(12+12-2)=1.7171, =5.25。
12=0.932, s 22=1, s w =
=0.9828,
全部代入t 的表达式，得t=4.362，比较：t=4.362>t 0.95(12+12-2)=1.7171 故拒绝H 0, 即可以认为：老、新过程的均值差大于2。
9. 随机地选了8个人，分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高（cm ）, 得到以
下的数据。
2
设各对数据的差D i 是来自正态总体N μD , σD 早晨的身高比晚上的身高要高（α=0.05）？
(
2
)样本，μ
D
, σD 均未知。问是否可以认为
解： 设总体X 表示早晨起床时身高，Y 表示晚上晚上就寝时身高，D=X-Y,D i =X i -Y i ,
D i ~N (μD , σD 2),
σD 2未知，用t-检验法。
检验假设 H 0:μD ≤0, H 1:μD >0 作差d i =x i -y i , 得 序号 d 1 0
2 1
3 3
4 2
5 1
6 2
7
-1
8 2
~t (n -1)，拒绝域为 t ≥t 1-α(n -1)
而n=8,α=0.05,t 0.05(7)=1.8946, =1.25
1⎛8212⎫ s = ∑d i -8⎪=(24-10)=2, s =7⎝i =1⎭7
2
比较>1.8946，t 落在拒绝域中，因而拒绝H 0，故接受H 1, 即认为早晨的身高比晚上高。
10. 一工厂的两个化验室每天同时从工厂的冷却水中取样，测量水中含氯量（ppm ）一次，下面是7天的记录。
设各对数据的差d i =x i -y i , i =1,2, ,7来自正态总体，问两化验室测定的结果之间有无显著差异（α=0.01）?
解 利用t-检验法。题中给出的成对观察值，故设D=X-Y服从正态分布 N μD , σD
(
2
), 且
E
（X ）=μ1, E (Y ) =μ2，则μD =μ1-μ2。 检验假设 H 0:μD =0, H 1:μD ≠0 当原假设为真时，选取检验统计量为给定显著性水平α=0.01，使P
查t 分布表得临界值t 0.995(6)=3.7074, 则拒绝域为(- ∞,-3.7074 ], 或[3.7074, +∞) 根据样本观察值，经计算得样本均值为=-0.0257, 样本标准差为s D =0.09217, 于是t 观察值为 t =
~t (n -1)
==-0.7377
因为t =0.7377
11. 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，选取了15个男子（他们的生活条件各不相同），每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 外地人后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm 。过了一个月再测量厚度，得到数据如下：
2
设D i =X i -Y i (i =1, 2, ,15)来自正态总体N μD , σD , 问是否可以认为以材料A 制成的
()
后跟比材料B 的耐穿（取α=0.05）？
解 检验假设 H 0:μD ≤0, H 1:μD >0
本题中的数据是成对的，又由于D i 来自正态总体，故该应用成对数据的检验统计量
t=
, 拒绝域为
t ≥t 1-α(n -1)
，代入具体值：
1⎡152⎤
t 1-α(n -1)=t 0.95(14)=1.7613, d =0.553, s =⎢∑d i -15d 2⎥=1.046,
14⎣i =1⎦
2
比较t=2.094>1.7613, 即落在拒绝域中，故拒绝H 0, 认为A 比B 耐穿。
12. 为了试验两种不同的谷物的种子的优劣，选取了十块土质不同的土地，并将每块土地分
为面积相同的两部分，分别种植这种种子。设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的产量。
2
设D i =X i -Y i (i =1, 2, ,10) 是来自正态总体N μD , σD
()的样本，μ
D
, σD 2均未知，问以
这两种种子种植的谷物的产量是否有显著的差异（取α
=0.05）？ 解： 这是一个数据成对的t-检验问题。作差d=x -y , 得 土地 d
1 -3
2 -4
3 -6
4 2
5 1
6 5
7 1
8 7
9 -6
10 1
检验假设 H 0:μD =0, H 1:μD ≠0拒绝域≥t
1-
α2
(n -1)
代入具体值 n =10, α=0.05, =-0.2, s =4.4422, t 0.975(9)=2.2622
比较t =
=0.1424
t 没落在拒绝域中，即接受H 0, 故认为这两种种子种植的谷物的产量没有显著差异。
13. 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”，她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生
作了调查，得知平均每周看电视的时间=6.5小时，样本标准差为s=2小时，问是否可以认为这位校长的看法是对的？取α=0.05（注：这是大样本的检验问题，由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n
服从正态分布）。
解： n=100,这是大样本的检验问题，由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，-μ
(
)(近视地服从正态分布。
检验假设 H 0:μ≥μ0=8, H 1:μ
t =
拒绝域：
t =
代入具体值 =6.5, α=0.05, s =2, μ0=8
，
比较 t =-7.5
故拒绝H 0，可认为这位校长的看法是对的。
14. 某厂使用两种不同的原料A,B 生产同一类型产品，各在一周的产品中取样进行分析比较，取使用原料A 生产的样品220件，测得平均重量为2.46（公斤），样本标准差s=0.57(公斤) 。取使用原料B 生产的样品205件，测得平均重量为2.55（公斤），样本标准差为0.48（公斤），设这两个样本独立。问在水平0.05下能否认为使用原料B 的产品平均重量较使用原料A 为大？
解： n A =220, n B =205, ⇒min {n A , n B }=205≥50⇒可用中心极限定理和斯鲁茨基
定理有
u =
--μ-μ~N (0,1)
检验假设 H 0:μB -μA ≤0, H 1:μB -μA >0
，
拒绝域为
u =
--μ-μ≥u 1-α
代入具体值：n A =220, n B =205, A =2.46, B =2.55, s A =0.57, s B =0.48⇒
2222
u =
=1.765， 查表得u 0.95=1.645， 比较：1.765>1.645, 即落在拒绝
域中，拒绝H 0。 故可认为使用原料B 的产品平均重量较使用原料A 的大。
15. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆）。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆) ，设总体为正态分布，参数均未知。问在水平α=0.05下能否认为这批导线的标准差异显著地偏大？
解： 已知α=0.05, σ0=0.005。检验假设H 0:σ=σ0, H 1:σ>σ0
2
n -1S ()2
≥χ1-α2(n -1) 拒绝域为 χ=2
σ0
8⨯4.9⨯10-5
由α=0.05, n =9, s =0.07⇒χ==15.68
2.5⨯10-5
2
查表得 χ
20.95
2
比较 15.68>15.507知χ落在拒绝域中，即在α=0.05(8)=15.507，
下拒绝H 0，接受H 1，故认为这批导线的标准差异显著地偏大。
16. 如果一个矩形的宽度ω
与长度的比=
1
2
1≈0.618, 这样的矩形称为黄
)
金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代的建筑构件（如窗架）、 工艺品（如图片镜框），甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩形。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值μ，记总体的标准差为σ，试检验假设（取α=0.05）
H 0:σ2=0.112, H 1:σ2≠0.112
22
解：σ=0.11，在第2 题中，X ~N μ, σ
(
2
), μ, σ
2
2
均未知，关于σ的检验可用χ-检
22
验法。检验假设：H 0:σ=σ0, H 1:σ≠σ0
222
n -1)S 2(~χ2(n -1) 检验统计量：χ=2
2
σ0
拒绝域为：χ≥χ
2
221-2
α
2
(n -1) 或χ2≤χ2α(n -1)
2
2
2
2
代值：s =0.0925, n =20, σ0=0.11⇒χ=13.435
查表：α=0.05⇒χ
2
2
n -1=χ()α0.975(19)=32.852, 1-2
χ2α(n -1)=χ20.025(19)=8.907，比较：8.907
2
故χ落在拒绝域之外，即落在接受域，接受H 0
17． 测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%,设测定值总体为正态分布，σ为总体方差，试在水平 α=0.05下检验假设H 0:σ≥0.04%,H 1:σ
解 题目已设定了检验假设，σ0=0.04%拒绝域为 χ=(n -1)S
2
2
2
2
，
20≤χ2α(n -1)
代值
n =10, s 2=0.000372, σ20=0.00042, χ20.05(9)=3.325
2
n -1)S 2(
χ=2
σ
9⨯0.000372
==7.700625 2
0.0004
2
比较：7.700625>3.325，故χ未落在拒绝域中，从而在α=0.05下接受H 0。 18. 第5题中分别记两个总体的方差为σ1和σ2，
试检验假设（取α=0.05） H 0:σ1=σ2, H 1:σ1≠σ2, 以说明在第5题中我们假设
2
2
2
2
2
2
σ12=σ22是合理的。
解：若能接受H 0, 则说明假定σ1=σ2是合理的。 检验假设 H 0:σ1=σ2, H 1:σ1≠σ2
由于样本来自两个不同的总体，且μ1, μ2, σ1, σ2均未知，故检验统计量取为
2
2
2
2
2
2
2
2
S 12
F=2~F (n 1-1, n 2-1) S 2
，
S 12S 12
拒绝域 2≥F α(n 1-1, n 2-1)或2≤F α(n 1-1, n 2-1)
1-S 2S 222
代具体值
s 12=0.000212, s 22=0.000093344, F =s 12s 2=2.27F 0.975(7,9)=4.20, F 0.025(7,9)=0.2075
2
比较 0.2075
19. 在第7题中分别记两个总体的方差为σ1和σ2，试检验假设（取α=0.05）
22
H 0:σ12=σ22, H 1:σ12≠σ22, 以说明在第8题中我们假设σ12=σ22是合理的。
解
H 0:σ12=σ22, H 1:σ12≠σ22
2
2
由于两个样本取样不同的正态总体且μ1, μ2, σ1, σ2均未知，故检验统计量取
22
F=s 1s 2,F ~F (n 1-1, n 2-1) ，拒绝域为F ≥F
1-
α
2
(n 1-1, n 2-1)或F ≤F α(n 1-1, n 2-1)
2
查表：s 12=0.93182, s 22=1.00, F =s 12s 2=0.93182, F 0.975(11,11)=3.48,
2
F 0.025(11,11)=
11
==0.287
F 0.97511,113.48
由于0.287
2
1
212
设这两件器件的电阻值总体分别服从分布N μ1, σ1, N μ2, σ2且两样本独立。
(
2
)(
2
), μ, μ, σ
, σ22均未知，
(1) 检验假设（α=0.05）H 0:σ1=σ2, H 1:σ1≠σ2
222
':μ1=μ2, H 1':μ1≠μ2 (2) 在（1）的基础上检验（α=0.05）H 0
2
解 （1）由题设知，可选检验统计量为F =S 12, 则
2
F~F (n 1-1, n 2-1) 拒绝域为 F ≥F 代具体值：
1-
α
2
(n 1-1, n 2-1)或F ≤F α(n 1-1, n 2-1)
2
α=0.05, n 1=n 2=6, s 12=7.866⨯10-6, s 22=7.1⨯10-6, F 0.975(5,5)=7.15
F 0.025(5,5)=
1F 0.9755,5=0.14, F =s
21
s 2
2
7.866⨯10-6==1.108
7.1⨯10-6
比较 0.14=F 0.025(5,5)
故F 没有落在拒绝域中，从而接受H 0，可认为两个正态总体的方差相等。
(2) 由题设及（1）的结论：σ1=σ2可知，可选检验统计量
22
t =, 则t ~t (n 1+n 2-2)
其中
S w =
拒绝域为 t ≥t
1-
α
2
(n 1+n 2-2)
代值 α=0.05, n 1=n 2=6, =0.14067, =0.1385, t 0.975(10)=2.2281
t =
=1.3959 比较t =1.3959
故t 未落在拒绝域，从而接收H 0'，可认为这两批器件的电阻值没有显著差异。
21. 有两台机器生产金属部件。分别在两台机器所生产的部件中各取一容量
n 1=60, n 2=40的样本，测得部件重量的样本方差分别为s 12=15.46, s 22=9.66。设两样
本相互独立，两总体分别服从N μ1, σ1, N μ2, σ2
2
2
(
2
)(
2
)分布，μ, σ(i =1, 2)均未知。试在
i
i
水平α=0.05下检验假设H 0:σ1=σ2H 1:σ1>σ2 解 检验假设 H 0:σ1=σ2, H 1:σ1>σ2
由于两总体均服从正态分布，又μ1, σ1, μ2, σ2未知，故检验统计量为F=S 1
拒绝域为 F ≥F 1-α(n 1-1, n 2-1)
代值n 1=60, n 2=40, F 1-α(n 1-1, n 2-1)=F 0.95(59,39)=1.64, F =比较 F=1.60
H 0:μ≥15, H 1:μ
2
2
2
2
2
22
2
2
15.46
=1.60 9.66
已知σ=2.5，取α=0.05。若要求当H 1中的μ≤13时犯第Ⅱ类错误的概率不超过
2
β=0.05，求所需的样本容量。
要点： 掌握公式：单边检验时
，
u (≥
1-α
+u 1-β)σ
δ
；双边检验时
，
≥
(u
1-α+u β)σ
δ
解：若要求当H 1中μ≤13时犯第Ⅱ类错误的概率不超过β=0.05，这是单边检验问题，
≥(u 1-α+u 1-β)σ代具体值
δ=15-13=2, u 1-α=u 1-β=u 0.95=1.645, σ=
，
所以
≥
u 1-α+u 1-βσ=
()
=2.601所以n ≥6.765, 即n ≥7
，
23. 池在货架上滞留的时间不能太长，下面给出某商店随机选取的8只电池的货架滞留时
间（以天计）：
108
124 124 106 138 163 159 134
设数据来自正态总体N μ, σ
(
2
), μ, σ
2
未知。（1）试检验假设H 0:μ=125, H 1:μ>125。
取α=0.05。（2）若要求在上述H 1中(μ-125)≥1.4时，犯第Ⅱ类错误的概率不超过
β=0.1，求所需的样本容量。
解 （1）拒绝域为
t =
≥t 1-α(n -1)
代具体值t =
=
=0.9393比较 t=0.9393
，
故在α=0.05下，t 未落在拒绝域中，从而接受H 0，可以认为μ=125。
（2）若要求在上述H 1中(μ-125)≥1.4时，犯第Ⅱ类错误的概率不超过β=0.1，查附表7，得所需的样本容量n=7，注意到α=0.05，δ=1.4.
24. 一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设H 0:μ1=2μ2, H 1:μ1>2μ2 此处μ1, μ2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至起作用的时间间隔的总体的均值，设
两总体均为正态且方差分别为已知值σ1, σ2。现分别在两总体中取一样本X 1, X 2 , X n 和Y 1, Y 2 , Y n 2, 设两个样本独立，试给出上述假设H 0的拒绝域，取显著性水平为α。 解 检验假设 H 0:μ1=2μ2, H 1:μ1>2μ2 ~N μ1, σ1n 1, ~N μ2, σ2 如果H 0是真的，则-2~N 0, σ1则
t =
22
1
(
2
)(
2
n 2)
(
2
n 1+4σ22n 2)
~N (0,1)
故显著性水平为α的H
0的拒绝域为t =
≥u 1-α。
25. 检查了一本书的100页，记录各页中的印刷错误人数，其结果如下：
问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取α=0.05）。
e -λλi
, i =0,1, 2 解 按题意需检验假设H 0：总体X 服从泊松分布 P {X =i }=i !
ˆ==1, 当H 成因在H 0中参数λ未具体给出，所以先估计λ。由极大似然估计法得 λ0e -1
, i =0,1,2 立时，对于P {X =i }有估计 P i =P {X =i }=i !
计算结果如下表： 错误个数i
0 1 2 3
页数f i 36 40 19 2
ˆi p
0.367879 0.367879 0.18394 0.0613
ˆi np
36.7879 36.7879 18.394
ˆi f i -np
-0.7879 3.2121 0.606
ˆi )(f i -np ˆi np
2
0.01687 0.28046 0.01996
6.13⎫
1.5328⎪⎪⎪
0.3066⎬8.03010.0511⎪
⎪0.0083⎪⎭
4 5 6
0 2 1 0 100
0.015328 0.003066 0.000511 0.00083
-3.0301
1.14339
1.46068
≥7
∑
因χ
20.95
(k -r -1)=χ20.95(2)=5.991>1.46068
故在水平0.05下接收H 0，即认为X 服从泊松分布。 26. 在一批灯泡中抽取300只作寿命试验，其结果如下：
⎧0.005e -0.005t , t ≥0
取α=0.05，试检验假设H 0：灯泡寿命服从指数分布 f (t )=⎨
t
-0.005t
⎧0.005e , t ≥0ˆ(x )=⎨解 若H 0为真，X 的分布函数的估计为F
t
ˆ=p (A )的估计 从而可得概率P i i
ˆ(A )=P ˆ{t ≤100}=F ˆ(100)=0.3947ˆ1=P p 11
ˆ(A )=P ˆ{100
ˆ(A )=F (300)-F (200)=e -1-e -1.5=0.14475ˆ3=P p 3ˆ(A )=F ˆ(+∞)-F (300)=e -1.5=0.22313ˆ4=P p 4
计算结果如下表
A i A 1:t ≤100 A 2:100
f i
121 78 43
ˆi p
0.39347 0.23865 0.14475
ˆi np
118.041 71.595 43.425
ˆi f i -np
2.959 6.405 -0.425
ˆi )(f i -np ˆi np
0.0742 0.5729 0.0042
2
458 300
0.22313
66.939
-8.939
1.3778 2.0291
∑
因 χ
20.95
(3)=7.815>2.0291，故在水平0.05下接受H 0。
2
27. 下面给出了随机选取的某大学一年级学生（200个）一次数学考试的成绩。 （1）画出数据的直方图；（2）试取检验数据来自正态总体N(60，15) 。
解 （1） 直方图如图8-2所示
（2）检验假设H 0：X ~N 60,15作X 检验计算表
2
(
2
)
A i A 1 A 2 A 3 A 4 A 5
f i
5 15 30 51 60
ˆi p
0.019 0.069 0.1569 0.2486 0.2486
ˆi np
3.8 13.8 31.92 49.72 49.72
ˆi f i 2n p
6.5798 16.2043 28.1955 52.313 72.4055
6A 7
23 10 6
0.1596 0.069 0.019
31.92 13.8 3.8
16.5727 7.2464 9.4737
A 8
∑209.09
ˆ1=P (20≤x ≤30)=Φ 其中p
⎛30-60⎫⎛20-60⎫
-Φ⎪ ⎪=0.019
1515⎝⎭⎝⎭⎛40-60⎫⎛30-60⎫
-Φ⎪ ⎪=0.069
1515⎝⎭⎝⎭⎛50-60⎫⎛40-60⎫
-Φ⎪ ⎪=0.1596
⎝15⎭⎝15⎭⎛60-60⎫⎛50-60⎫
-Φ⎪ ⎪=0.2486
1515⎝⎭⎝⎭
2
ˆ2=P (30
ˆ3=P (40
ˆ4=P (50
ˆ5=p ˆ4, p ˆ6=p ˆ3, p ˆ7=p ˆ2, p ˆ8=p ˆ1, χ=209.09-200=9.09 p
而χ
20.9
(7)=12.017>9.09，故在水平α=0.1下，接受H 0，即认为成绩服从正态分布
N (60,152)。
28. 袋中装有8只球，其中红球数未知，在其中任取3只，记录红球的只数x , 然后放回，再任取3只，记录红球的只数，然后放回，如此重复进行112次，其结果如下：
⎛5⎫⎛3⎫
⎪⎪k ⎭⎝3-k ⎭⎝, k =0,1, 2,3 试取α=0.05检验假设H 0：x 服从超几何分布 P {x =k }=
⎛8⎫ ⎪⎝3⎭
即检验假设H 0：红球的只数为5。
⎛5⎫⎛3⎫ ⎪⎪k ⎭⎝3-k ⎭⎝, k =0,1, 2,3 解 检验假设 H 0：P {x =k }=
8⎛⎫ ⎪⎝3⎭
将试验可能的结果的全体分成k=4个两两互不相容的事件A 0, A 1, A 2, A 3, 如下表所示。
⎛5⎫⎛3⎫ ⎪⎪k 3-k ⎝⎭⎝⎭ˆ{x =k }=对于P {x =i }有如下估计 P
⎛8⎫ ⎪⎝3⎭
A i A 0 A 1 A 2 A 3
f i
1 31 55 25
ˆi p
0.01786 0.26786 0.53714 0.1786
ˆi np 2.000⎫
⎬ 30⎭
60 20
ˆi f i -np
0 -5 5
ˆi )(f i -np
2
ˆi 0.4167 1.25 1.667
∑
因χ
2
1-α
(k -r -1)=χ20.95(3-1)=χ20.95(2)=5.991>1.667故接受H 0。