第2章 函 数
2. 1 函数的概念 2. 1. 1 函数的概念与图像 第1课时 函数的概念
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题美小题15分，共100分） 1. 对应x →y （其中y =
1++
，x ∈R ，y ∈R ）（填“是”或“不是”）R 到R 的函数. 2x
f x 2.
函数（
1
的定义域为. 2-x
3. 已知函数f （x ）=2x +1的值域为{-1, 1, 3, 5, 7}，则其定义域为.
31-x 2
f (x ) =4. 已知函数f (x ) =，若。则x =. 2
51+x
x 2
5.
给出下列函数：①f (x ) =
f (x ) =；③f (x ) =
；④f (x ) =.
x
2
其中与f （x ）=x 表示同一函数的是（用序号表示）.
⎧2x -1, x ＜1，⎪
6. 若函数f (x ) ⎨1则f (f (2))=.
, x ≥1，⎪⎩x
7.
已知函数f (x ) =是 .
8. 已知函数f (x ) =⎨
A ，若2∉A ，则a 的取值范围 ⎧2x +1, x ≥1
则
f (x +3), x ＜1, ⎩
5⎫⎛
f f (-) ⎪=.
2⎭⎝
9. 若函数f (x ) =⎨
⎧1, x ＞0,
则对于任意不想打的两个实数a ，b ，代数式
⎩-1, x ＜0,
a +b a -b
+f (a -b ) 的值为. 22
10. 已知函数f （x ）=x ²-2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[-1, 3]，则b -a 的取值范围是.
11. 已知函数f (x ) =⎨
⎧x +bx +c , x ≤0,
f （-4）=f （0），f （-2）=-2.
⎩2, x ＞0.
（1）求函数f （x ）的解析式；
（2）定义满足f （x 0）=x 0的x 0为函数f （x ）的不动点，求函数出f （x ）的所有不动点.
⎧1⎡1⎫2-2x +2x +, x ∈0⎪, ⎪⎢2⎪⎣2⎭⎡1⎫
12. 已知函数f (x ) =⎨若x 0∈⎢0, ⎪, x 1=f (x 0),
⎣2⎭⎪-2x +2, x ∈⎡1,1⎤.
⎢⎪⎣2⎥⎦⎩
f (x 0) =x 0，求x 0的值.
第2课时 函数的图像
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分） 1. 函数f （x ）=x ²（x =-1, 0, 1, 2）的图像为.
⎧x , x ≥0,
⎪
2. 函数f (x ) =⎨1的图像为.
, x ＜0⎪⎩x
3. 若函数f （x ）的图像恒过定点（0，-1），则函数f （x +2）的图像恒过定点.
⎧1+x 3, x ＜0, ⎪
4. 函数f (x ) =⎨1的图像大致是.
⎪1+, x ＞0⎩x
5. 已知函数y =f （x ）的定义域为R ，则函数y =f （x -1）与y =f （1-x ）的图像关于直线 对称.
⎧1+2x , x ＞0,
6. 函数f (x ) =⎨的图像关于y 轴对称，则实数a 的值为.
1+2ax , x ≤0⎩
7. 若y =f （x ）的图像如图所示，则不等式f （x ）＞0的解集为.
8. 若集合M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，
则从M 到N 的四中对应如图所示，其中能表示为M 到N 的函数关 系的是（用序号表示）.
9. 已知函数y =f （x ）的图像如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集为.
10. 若函数f (x ) =
ax +b
的图像如图所示，则a ，b ，c ，的值的符号是. 2
(x +c )
11. 作出下列函数的图像：
⎧x -1, x ≥1, ⎧⎪1-x -, x ≥0,
（1）y =⎨（2）y =⎨ 2
-x , x ＜0. 2x -x , x ＜1; ⎪⎩⎩
12. 已知函数f (x ) =x -
1
(x ＞0) 的图像如图所示，分别作出下列函数的图像： x
（1）y =f （|x |）；（2）y =|f （x ）|；（3）y =|f （-x ）|；（4）y =-f （-x ）；（5）y =f （x ）+|f （x ）
|.
2.1.2函数的表示方法
第1课时函数的表示方法
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题美小题15分，共100分） 1. 已知a ，b 为常数，若f （x ）=x +4，f （ax +b ）=x +10，则a +b =. 2. 若函数f （x ）和g （x ）的自然量和函数值的对应表格如下：
x f （x ）
1 3
2 4
3 2
4 1
x f （x ）
1 4
2 3
3 1
4 2
则f （g （1））=，g （f （1））=.
⎧1-x 2, x ≤1, ⎪3. 若函数f (x ) =⎨则
2⎪⎩x +x -2, x ＞1,
为.
⎛1⎫
f ⎪的值 ⎝f (2)⎭
⎧x +2, x ≤0,
4. 已知函数f (x ) =⎨则不等式f （x ）≥2x 的解集为.
-x +2, x ＞0, ⎩
⎧2x -1, x ＜1, ⎪
5. 已知函数f (x ) =⎨1若f （f （x ））=0，则x =.
, x ≥1. ⎪⎩x
6. 若函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （xy ）=f （x ）+f （y ），则f
⎛1⎫
⎪+f (x ) =.
⎝x ⎭
7. 函数f （x ）对于任意的实数x 满足条件f (x +1) ==.
1
，若f （1）=-5，则f （f （5）） f (x )
⎧x +2, x ＞a ,
8. 已知函数f (x ) =⎨2若f （x ）=2x 恰有3个实数根，则实数a 的取值
⎩x +5x +2, x ≤a .
范围是.
⎧⎪2, x ∈[0,1],
9. 已知函数f (x ) =⎨则使f （f （x ））=2成立的实数x 的集合为.
⎪⎩x , x ∉[0,1],
10. 用min {a ，b }表示a ，b 两个数中的较小值，若函数f （x ）=min {x +2, 4-x }则 f （x ）max =.
11. 定义运算“*
”为a *b =a +b ，其中a ，b 是正实数，已知1*k =3. （1）求正实数k 的值；
（2）求函数f （x ）=k *x 的值域.
12. 已知函数f 1(x ) =析式.
1+x
(x ≠1) ，定义f n +1(x ) =f 1(f n (x ))(n ∈N *) ，试求函数f 4(x ) 的解1-x
第2课时函数表示方法的应用
课标定位 进一步理解并掌握函数的三种表示方法，并能通过建立函数模型求解一些简单的应用性问题.
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题美小题15分，共100分）
⎧1, x ＞0,
⎧1, x 为有理数，⎪
1. 若函数f (x ) =⎨0, x =0, g (x ) =⎨则f (g (e ) )=.
⎩0, x 为无理数，⎪-1, x ＜0,
⎩
2. 已知函数f （x ），g （x ）分别由下表给出：
则f (g (1))的值为；当g (f (x ) )=2时，x =. 3. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) -f
1⎛1⎫
，则f (2)=. =3x -⎪
x 2⎝⎭
4. 若函数f (x ) =x 2+(a +2) x +3, x ∈[a , b ]的图像关于直线x =1对称，则b =.
2
5. 制衣定义域为R 的函数f (x ) 满足f (x +2)=2f (x ) ，且当x ∈[0,2]时，f (x )=x ，
则当x ∈[-4, -2]时，f (x ) 的最大值为.
6. 已知函数y =f (x ) 的图像关于直线x =1对称，且当x ＜0时，f (x )=时，f (x ) =.
7. 某公司将进货单价为8元一个的商铺，按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每上涨1元，则销售量就减少10个，为获得最大利润，此商品销售价应该为. 8. 用min {a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值，若函数f (x )=min x , x +t 的图像关于直
1
，则当x ＞0 x
{}
线x =-
1
对称，则t 的值为. 2
2
9. 已知函数f (x )=x 的值域为{1, 4}，这样的函数的个数为.
10. 已知a ，t 为正实数，函数f (x )=x -2x +a ，且对任意的x ∈[0, t ]，都有f (x ) ∈[-a , a ].
2
若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a ) ，则函数g (a ) 的值域为.
11. 已知函数f (x )=⎨
⎧2(1-x ),0≤x ≤1,
记f 3(x )=f (f (f (x ) ))，
⎩x -1,1＜x ≤2,
（1）解不等式f (x ) ≤x ；
（2）设集合A ={0, 1, 2}，求证：对任意的x ∈A , f 3(x ) =x .
12. 由市场调查，某商品在最近40天内的价格f (t ) 与实际t 满足关系
⎧1*⎪t +11,0≤t ＜20, t ∈N , f (t ) =⎨2销售量g (t ) 与实际
⎪-t +41,20≤t ≤40, t ∈N *. ⎩
t 满足关系
143
g (t ) =-t +(0≤t ≤40, t ∈N *) ，求这种商品的日销售额（销售量与价格的乘积）的最
33
大值.
2.2函数的简单性质 2.2.1 函数的单调性 第1课时 函数单调性的概念
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分） 1. 若函数y =（k -1）x +1是R 上的减函数，则k 的取值范围是 .
2. 函数y =-x ²+2x 的单调区间是.
⎧x , x ≥0,
3. 函数f (x ) =⎨2的单调区间是.
⎩x , x ＜0
4. 若函数f (x )=2x +a 的单调区间是(-∞，3]，则a =.
5. 已知函数f (x )=x =mx +3在区间[2，+∞)(-∞，0]上是单调减函数，则实数b 的取值
2
范围是.
2
6. 已知f (x )=2x -mx +3在(-∞，2]上是减函数，在上是增函数，则f (1)=.
7. 函数f (x )=x +x -的单调区间是.
8. 下列函数：①f (x ) =
12
；②f (x )=x ；③f (x )=(x -1) ；④f (x )=ax +1（a 为长），x
其中一定满足：“对任意的x 1, x 2∈(0,+∞) ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1) ＜f (x 2) 成立”的是 （用序号表示）.
9. 函数f (x )=x 2+x x -4的单调区间是.
10. 函数f (x )=x
1-x 2
在区间（-1, 1）上的单调性为.
. 已知a ＞0，函数f (x ) x -2a x +2a
在区间[1, 4]上的最大值为1
3，求实数a 的值.
12. 已知f (x ) 是定义R 上的函数，对任意的x 1, x 2∈R (x 1≠x 2) ，(x 1-x 2) [f (x 1-) f (]＞2x )
，0且存在x 0∈R ，对任意的x 1, x 2∈R ，恒有
恒有
f (x 0x 1+x 0x 2) =f (x 0) +f (x 1) +f (x 2) 的成立.
（1）求f (0)+f (1)的值；
（2）求x 0的值.
第2课时 函数单调性的应用
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分）
1. 若函数f (x ) =a -x 在（0，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是. x
a 在区间[1, 2]上都是减函数，则实数a 的取值范围 x 2. 若f (x ) =-x +2ax 与g (x ) =
是. 2
⎧x , x ≤0, 3. 已知f (x ) =⎨2则使f (2-x ) ＞f (x ) 的x 的取值范围是. ⎩x , x ＞0,
4. 若c ＜0, f (x ) 是区间[a ，b ]上的减函数，则f (x )+c 在[a ，b ]上的最小值为； cf (x ) 在[a ，b ]上的最小值为.
5.
函数f (x .
6. 若f (x ) =ax 为区间（-1, 1）上的增函数，则实数a 的取值范围是. 1-x
7. 若函数f (x ) =x -a 在区间[0, 1]上的最大值为M （a ），则M （a ）的最小值为.
8. 已知函数f (x ) 是R 上的单调函数，则满足f (x ) =f ⎛x -4⎫⎪的x 的值为. x -3⎝⎭
11f (x )=x-g (x ) --x -m ，若对任意的x 1∈[1,3]，存在x 2∈[-2, -1]， 9. 已知函数，x x
使得f (x 1) ≥g (x 2) 成立，则实数m 的取值范围是.
10. 已知函数f (x ) =⎨
是.
11. 设函数f (x ) 是定义在（0，+∞）上的减函数，且对任意的x ，y ∈（0，+∞）满足⎧2x , x ≥0, 则满足不等式f (f (x ) -3) ＞4的x 的取值范围 ⎩-x , x ＜0, f (xy ) =f (x ) +f (y ) . 若f (2)=1，求满足不等式f (a ) ≥f (a -1) +2的a 的取值范围.
12. 已知函数f (x ) =1-1(x ＞0) . x
（1）求f (x ) 的单调区间.
（2）是否存在实数a ，b （0＜a ＜b ），使得当x ∈[a ，b ]时，f (x ) 的值域为⎢
若存在，求a ，b 的值；若不存在，青请说明理由.
2.2.2 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
1.
函数y =⎡a -1b -1⎤. , ⎥2⎦⎣2.
2. 对于定义在R 上的函数f (x ) ，给出下列三个命题：①若
f (-2)=f (2)，则f (x ) 是偶函数；②若f (-2)≠f (2)，则f (x ) 不是偶函数；③若 f (-2)=f (2)，则f （x ）一定不是奇函数. 其中正确的命题为（永序号表示）.
2⎧⎪x +ax , x ＜0, 3. 若函数f (x )=⎨2是奇函数，则a =. ⎪⎩-x +x , x ≥0
x 234. 下列函数：①f (x )=x +x ；②f (x )=x x ；③f (x )=；④f (x )=x +x . 其中 1+x
既是奇函数，又是增函数是（用序号表示）.
5. 奇函数f (x ) 的定义域为R ，则下列说法：①f (f (x ) )是奇函数；②y =f (x ) 的图 像必经过点(-a , f (x )) ；③y =f (x ) 的图像关于原点对称；④f (-x )+f (x ) =0. 其中 正确说法的个数是.
6. 若f (x ) 是R 上的任意函数，则下列叙述：①f (x ) f (-x ) 是奇函数；②f (x ) f (-x ) 是奇函数；③f (x )-f (-x ) 是偶函数；④f (x )+f (-x ) 是偶函数，其中正确的是（用 序号表示）.
7. 若不恒为0的函数f (x ) 和g (x ) 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论：
①|f （x ）·|-g （x ）是奇函数；②|f （x ）|+g （x ）是偶函数；③f （x ）-|g （x ）|是奇函数； ④f （x ）+|g （x ）|是偶函数. 其中正确的是（用序号表示）.
8. 若f （x ）与g （x ）都是定义在R 上的奇函数，则：①f （x ）+g （x ）；②f （x ）-g （x ）； ③f （x ）·g （x ）；④f （g （x ））. 其中一定是奇函数的是（永序号表示）.
9. 若f （x ）是R 上的奇函数，则下列函数：①y =f （|x |）；②y =|f （x ）|；③y =xf （x ）；④y =f （f （x ））.
其中奇函数是（用序号表示）.
10. 定义在（-1, 1）上的函数f （x ）满足f （x ）-f （x ）=f (x ) =f (x ) =f
的奇
偶性是.
11. 判断下列函数的奇偶性，并给出证明.
（1）f （x ）=x ²+|x |； （2）f （x ）=x ³-； ⎛x -y ⎫⎪，则f （x ）⎝1-xy ⎭1
x
⎧x -x 2, x ≤0, 1⎪（3）f （x ）
=； （4）f （x ）=⎨ 2x ⎪⎩x +x , x ＞0.
12. 已知f （x ）是定义R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都是满足 f （ab ）=af （b ）+bf （a ）.
（1）求f （0），f （1）与f （-1）的值；
（2）判断f （x ）的奇偶性.
第2课时 函数奇偶性的应用
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分）
1. 对于下列命题：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定过原点；③既 是奇函数又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）. 其中正确的个数是.
2. 已知函数f （x ）是R 是哪个的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x （1-x ）+b （b 为常数），则 f （-2）=.
3. 已知函数f （x ）=x ²+|x +a |是偶函数，则a =.
4. 已知函数f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x -|x |，则当x ＜0时，f （x ）=.
5. 已知函数f （x ）是偶函数，且当x ≥0时，f （x ）=x ²-2x ，则
f （x ）的单调增区间为.
6. 若f （x ）是偶函数，且当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=x -1，则f （x -1）＜0的解集是.
7. 已知f （x ）是偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，若f （1）=0，则xf （x ）＞0的解集 为.
2⎧⎪x +4x , x ≥0, 8. 已知函数f (x )=⎨若f （a -2）+f （a ）＞0，则A 的取值范围是. 2⎪⎩4x -x , x ＜0.
9. 已知函数f （x ）=（x -a ）（bx -2a ）（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为（-∞，8]，则 a +b =.
10. 已知函数f （x ）满足f （-x ）=f （x ）（x ∈R ），且对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），当x 1＜x 2 时，都有f （x 1）＞f （x 2），若f （2-a ）≥f （a ），则a 的取值范围是.
11. 已知函数f （x ）=|x +1|+|x -a |（x ∈R ，a 是常数）的图像关于y 轴对称.
（1）求a 的值；
（2）设g （x ）=f （x -t ）-f （x +t ）（t ≠0），试判断g （x ）的奇偶性，并给出证明.
12. 已知函数f （x ）是定义域为R 的函数，对任意的x ∈R 满足f （x ）f （-x ）=1，f （x ）≠1.
（1）若g (x ) =1+f (x ) ，求证g （x ）的奇函数； 1-f (x )
11+，试判断h （x ）的奇偶性，并给出证明. f (x ) -12（2）若h (x ) =
第3课时 函数的单调性与奇偶性
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分）
1. 给定函数：①y =-x ²，x ∈R ；②y =-x |x |，x ∈R ；③y =x ，x ∈R ；④y =|x |，x ∈R . 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（用序号表示）.
2. 若函数f （x ）=x |x +a |+b 是奇函数，则a =，b =.
3. 若函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x -2）在[0, 2]上单调递增，则f （-1），f （0），f （2）的大小关系是.
4. 已知f （x ）是R 上的增函数，集合A =｛x |f （x +t ）＜f （2）｝，B =｛x |f （x ）＜f （-1）｝，若
A ⊂B ，则实数t 的取值范围是. ≠
2x 2+x +1f (a ) =5. 已知函数f (x ) =，若，则f （-a ）=. 3x 2+1
6. 对于函数：①f （x ）=|x -2|+1；②f （x ）=（x -2）²；③f (x )=1，有如下三个命题. 命x -2
题甲：f （x +2）是偶函数；命题乙：f （x ）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；命题丙：f （x +2）-f （x ）在（-∞，+∞）上是增函数. 使命题甲、乙、丙都正确的函数是（用序号表示）.
7. 已知函数f （x ）在定义域[-1, 1]上单调递减，若f （a ）+f （a -1）≤0，则实数a 的取值范围是.
8. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在[-∞，0]上是减函数，且f （2）=0，则使f （x ）＜0的x 的取值范围是.
9. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x ². 若福任意的x ∈[a ，a +2]，
不等式f (x +a ) ≥f ) 恒成立，则实数a 的取值范围是.
10. 如果对于函数f （x ）定义域D 上的任意x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在m 1，m 2∈D ，m 1≠m 2，单f （m 1）=f （m 2），则称f （x ）是定义域D 是哪个的不严格增函数. 已知函数g （x ）是定义在A ={-1, 0, 1}上的不严格增函数，且值域B ⊆A ，那么这样的函数g （x ）有个.
11. 已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且对任意的x ∈R ，有f （x ）-f （-x ）=0恒成立，若f （-3）=2.
（1）试判断f （x ）在R 上的单调性，并说明理由；
（2）求使f （1-x ）+f （1+2x ）＜0成立的x 的取值范围.
12. 已知函数f （x ）=x |x -a |（a ∈R ，x ∈R ）.
（1）判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由.
（2）函数f （x ）在[0，+∞）上能否单调递增？若能，求出实数a 的取值范围；若不能，请说明理由.
2.3 映射的概念
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分）
1. 已知集合M =⎨,1⎬，N ={a ，0}，若f ：x →x 表示M 到N 的映射，则a +b =.
2. 集合A 中有两个元素，B ={-1, 1，-4, 4}，f 是A 到B 的映射，若对应法则f 是求算术 平方根，则A =.
3. 已知集合A ={1+x ，1+2x }，B ={y ，y ²}，若f ：x →x 表示A 到B 的映射，则x +y =.
4. 已知集合A ={a ，b }，B ={-1, 0, 1}，则满足f （a ）+f （b ）=0的映射f ：A →B 的个数 为. ⎧b ⎫⎩a ⎭
5. 已知集合A ={a ，b , c }，B ={-1, 0, 1}，则f ：A →B 中满足f （b ）=0的映射共有个.
6. 若集合A ={x |0≤x ≤2}，B ={y |0≤y ≤6}，则下列从A 到B
的对应：①x →y =2x ；②x →y =2.5x ；③x →y =3x ；④x →y =3.5x . 其中不少映射的 是（用序号表示）.
7. 已知集合A 中的元素（x ，y ）在映射f 的作用下与B 中元素（xy ，x +y ）对应，则在f 的作用下，A 中元素（2, 3）在B 中对应的元素为；与B 众元素（2, 3）对应 的A 的元素为.
8. 若集合A ={-1, 1, 2}，B={3, 4, 5, 6}，试写出一个从集
合A 到集合B 的函数：.
9. 已知f ：x →x ²+1是A 到B 的一个函数，若值域B ={1, 2}，则定义域A =.
10. 已知集合A ={3，k }，B ={a 4，a 2+3a }，定义映射f ：A →B ，使x →3x +1，则整数k 和 a 的值分别为 .
11. 已知集合A 到集合B =⎨0,1, , ⎬的映射f ：x →
几个？试写出元素最多的集合A .
⎧⎩11⎫23⎭1，那么集合A 中的元素最多有x -1
12. 设集合A ={a ，b ，c }，B ={-1, 0, 1}，f 是A 到B 的映射，试问：满足f （a ）+f （b ）=f （c ）的映射共有多少个？
阶段检测（二）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.
函数f (x ) =. 2. 已知函数f （x ）=ax ²+bx +c （a ≠0）是偶函数，那么函数g （x ）=ax ³+bx ²+cx 的奇偶性是.
3. 设S =max {a ，b }为a ，b 中的最大者，当x ＞0时，S =max ⎨x , ⎬，则S 的最小值 为.
4.
下列函数：①f (x ) =
⎧1⎫⎩x ⎭f (x ) =11；③f (x ) =
；④f (x ) =. 其中 x x
以（0，+∞）为定义域的是（用序号表示）.
5. 已知定义在R 上的函数f （x ），当x ∈[-1, 1]时，f （x ）=x ²-x ，且对任意的实数x 满 足f （x -1）=2f （x ），则f （x ）在区间[5, 7]上的最大值是.
6. 下列说法：①图像关于原点对称的函数是奇函数；②图像关于y 轴对称的函数是偶函 数；③奇函数的图像一定过原点；④偶函数的图像一定与y 轴相交. 其中错误的
是（用序号表示）.
7. 若函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则函数f （x ）=|f （x ）|+f （|x |）的图像关 于对称.
8. 下列函数：①y =1+x ³；②y =11；③y =x +x ³；④y =-. 其中既是奇函数，又在定义 x x
域上是增函数的是（用序号表示）.
9. 当x ∈[0, 2]时，函数f （x ）=ax ³+4（a -1）x-3在x =2是
取得最大值，则a 的取值范围是.
10. 已知函数f (x ) =x +a (a ∈R ) ，则下列说的：①任给a ∈R ，f （x ）在（0，＋∞）上 2x
是增函数；②任给a ∈R ，f （x ）在（－∞，0）上是减函数；③存在a ∈R ，f （x ）是奇函数； ④存在a ∈R ，f （x ）是偶函数. 其中正确的是（用序号表示）.
(x +1) 2+x 11. 若函数f (x ) =的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =. x 2+1
12. 已知函数f (x ) =ax 满足f （f （x ））=x ，那么实数a =. 1-2x
⎧a , a ≥b , 则函数f （x ）=max {|x +1|，|x -2|}（x ∈R ）
⎩b , a ＜b , 13. 对任意的a ，b ∈R ，记max {a , b }=⎨
的最小值是.
14. 函数f （x ）的定义域为D ，若对应任意的x 1，x 2∈D ，当x1＜x2时，都有f （x 1）≤f （x 2）， 则称函数f （x ）在D 上为非减函数. 若函数f （x ）在[0, 1]上为非减函数，且满足一下三个 条件：①f （0）=0；②f ⎛x ⎫1，则⎪=f (x ) ；③f （1-x ）=1-f （x ）⎝3⎭2⎛1⎫⎛1⎫f ⎪+ ⎪=. ⎝3⎭⎝8⎭
二、解答题（本大题栋6小题，共90分）
15. （本小题满分14分）
已知函数f (x ) =x 2-n 满足f （m ）=n ，且x =1是方程f （x ）=x 的一个根，求f （4）的值.
16. （本小题满分14分）
已知a ＞1，且对任意的x ∈[a ，2a ]，都存在y ∈[a ，a ²]满足xy =a ³，求实数a 的取值范围.
17. （本小题满分14分）
某厂生产某产品x 吨所需要的费用为P 元，卖出x 吨的价格为每吨Q 元. 已知P =1000+5x +12x x Q , =a +. 若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润10b
最大，此时每吨的价格为40元，求实数a ，b 的值.
18. （本小题满分16分）
定义：如果函数y =f （x ）在定义域内给定的区间[a ，b ]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足f (x 0) =f (b ) -f (a ) ，则称函数y =f （x ）是[a ，b ]上的“平均值函数”. b -a
（1）若f （x ）=|x |-mx 是[-1，1]上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围.
（2）若g （x ）=x ²-mx -1，问：g （x ）是不是[0, 1]上的“平均值函数”？若是，求出实数m 的取值范围；若不是，说明理由.
19. （本小题满分16分）
设函数f （x ）=x ²+bx +c （b ，c ∈R ）.
（1）若y =xf （x ）是奇函数，求b 的值；
（2）若对任意的x 1，x 2∈[-1, 1]，恒有|f （x 1）-f （x 2）|≤4，求b 的取值范围.
20. （本小题满分16分）
在区间D 上，如果函数f （x ）为增函数，而函数1f (x ) 为减函数，则称函数f （x ）为“弱x
增”函数.
已知函数f (x ) =1. （1）判断函数f （x ）在区间（0, 1）上是否为“若增”函数；
（2）当x ∈[0, 1]
时，不等式1-ax
1-bx 恒成立，求实数a ，b 的取值范围.
第2章 函 数
2. 1 函数的概念 2. 1. 1 函数的概念与图像 第1课时 函数的概念
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题美小题15分，共100分） 1. 对应x →y （其中y =
1++
，x ∈R ，y ∈R ）（填“是”或“不是”）R 到R 的函数. 2x
f x 2.
函数（
1
的定义域为. 2-x
3. 已知函数f （x ）=2x +1的值域为{-1, 1, 3, 5, 7}，则其定义域为.
31-x 2
f (x ) =4. 已知函数f (x ) =，若。则x =. 2
51+x
x 2
5.
给出下列函数：①f (x ) =
f (x ) =；③f (x ) =
；④f (x ) =.
x
2
其中与f （x ）=x 表示同一函数的是（用序号表示）.
⎧2x -1, x ＜1，⎪
6. 若函数f (x ) ⎨1则f (f (2))=.
, x ≥1，⎪⎩x
7.
已知函数f (x ) =是 .
8. 已知函数f (x ) =⎨
A ，若2∉A ，则a 的取值范围 ⎧2x +1, x ≥1
则
f (x +3), x ＜1, ⎩
5⎫⎛
f f (-) ⎪=.
2⎭⎝
9. 若函数f (x ) =⎨
⎧1, x ＞0,
则对于任意不想打的两个实数a ，b ，代数式
⎩-1, x ＜0,
a +b a -b
+f (a -b ) 的值为. 22
10. 已知函数f （x ）=x ²-2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[-1, 3]，则b -a 的取值范围是.
11. 已知函数f (x ) =⎨
⎧x +bx +c , x ≤0,
f （-4）=f （0），f （-2）=-2.
⎩2, x ＞0.
（1）求函数f （x ）的解析式；
（2）定义满足f （x 0）=x 0的x 0为函数f （x ）的不动点，求函数出f （x ）的所有不动点.
⎧1⎡1⎫2-2x +2x +, x ∈0⎪, ⎪⎢2⎪⎣2⎭⎡1⎫
12. 已知函数f (x ) =⎨若x 0∈⎢0, ⎪, x 1=f (x 0),
⎣2⎭⎪-2x +2, x ∈⎡1,1⎤.
⎢⎪⎣2⎥⎦⎩
f (x 0) =x 0，求x 0的值.
第2课时 函数的图像
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分） 1. 函数f （x ）=x ²（x =-1, 0, 1, 2）的图像为.
⎧x , x ≥0,
⎪
2. 函数f (x ) =⎨1的图像为.
, x ＜0⎪⎩x
3. 若函数f （x ）的图像恒过定点（0，-1），则函数f （x +2）的图像恒过定点.
⎧1+x 3, x ＜0, ⎪
4. 函数f (x ) =⎨1的图像大致是.
⎪1+, x ＞0⎩x
5. 已知函数y =f （x ）的定义域为R ，则函数y =f （x -1）与y =f （1-x ）的图像关于直线 对称.
⎧1+2x , x ＞0,
6. 函数f (x ) =⎨的图像关于y 轴对称，则实数a 的值为.
1+2ax , x ≤0⎩
7. 若y =f （x ）的图像如图所示，则不等式f （x ）＞0的解集为.
8. 若集合M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，
则从M 到N 的四中对应如图所示，其中能表示为M 到N 的函数关 系的是（用序号表示）.
9. 已知函数y =f （x ）的图像如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集为.
10. 若函数f (x ) =
ax +b
的图像如图所示，则a ，b ，c ，的值的符号是. 2
(x +c )
11. 作出下列函数的图像：
⎧x -1, x ≥1, ⎧⎪1-x -, x ≥0,
（1）y =⎨（2）y =⎨ 2
-x , x ＜0. 2x -x , x ＜1; ⎪⎩⎩
12. 已知函数f (x ) =x -
1
(x ＞0) 的图像如图所示，分别作出下列函数的图像： x
（1）y =f （|x |）；（2）y =|f （x ）|；（3）y =|f （-x ）|；（4）y =-f （-x ）；（5）y =f （x ）+|f （x ）
|.
2.1.2函数的表示方法
第1课时函数的表示方法
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题美小题15分，共100分） 1. 已知a ，b 为常数，若f （x ）=x +4，f （ax +b ）=x +10，则a +b =. 2. 若函数f （x ）和g （x ）的自然量和函数值的对应表格如下：
x f （x ）
1 3
2 4
3 2
4 1
x f （x ）
1 4
2 3
3 1
4 2
则f （g （1））=，g （f （1））=.
⎧1-x 2, x ≤1, ⎪3. 若函数f (x ) =⎨则
2⎪⎩x +x -2, x ＞1,
为.
⎛1⎫
f ⎪的值 ⎝f (2)⎭
⎧x +2, x ≤0,
4. 已知函数f (x ) =⎨则不等式f （x ）≥2x 的解集为.
-x +2, x ＞0, ⎩
⎧2x -1, x ＜1, ⎪
5. 已知函数f (x ) =⎨1若f （f （x ））=0，则x =.
, x ≥1. ⎪⎩x
6. 若函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （xy ）=f （x ）+f （y ），则f
⎛1⎫
⎪+f (x ) =.
⎝x ⎭
7. 函数f （x ）对于任意的实数x 满足条件f (x +1) ==.
1
，若f （1）=-5，则f （f （5）） f (x )
⎧x +2, x ＞a ,
8. 已知函数f (x ) =⎨2若f （x ）=2x 恰有3个实数根，则实数a 的取值
⎩x +5x +2, x ≤a .
范围是.
⎧⎪2, x ∈[0,1],
9. 已知函数f (x ) =⎨则使f （f （x ））=2成立的实数x 的集合为.
⎪⎩x , x ∉[0,1],
10. 用min {a ，b }表示a ，b 两个数中的较小值，若函数f （x ）=min {x +2, 4-x }则 f （x ）max =.
11. 定义运算“*
”为a *b =a +b ，其中a ，b 是正实数，已知1*k =3. （1）求正实数k 的值；
（2）求函数f （x ）=k *x 的值域.
12. 已知函数f 1(x ) =析式.
1+x
(x ≠1) ，定义f n +1(x ) =f 1(f n (x ))(n ∈N *) ，试求函数f 4(x ) 的解1-x
第2课时函数表示方法的应用
课标定位 进一步理解并掌握函数的三种表示方法，并能通过建立函数模型求解一些简单的应用性问题.
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题美小题15分，共100分）
⎧1, x ＞0,
⎧1, x 为有理数，⎪
1. 若函数f (x ) =⎨0, x =0, g (x ) =⎨则f (g (e ) )=.
⎩0, x 为无理数，⎪-1, x ＜0,
⎩
2. 已知函数f （x ），g （x ）分别由下表给出：
则f (g (1))的值为；当g (f (x ) )=2时，x =. 3. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) -f
1⎛1⎫
，则f (2)=. =3x -⎪
x 2⎝⎭
4. 若函数f (x ) =x 2+(a +2) x +3, x ∈[a , b ]的图像关于直线x =1对称，则b =.
2
5. 制衣定义域为R 的函数f (x ) 满足f (x +2)=2f (x ) ，且当x ∈[0,2]时，f (x )=x ，
则当x ∈[-4, -2]时，f (x ) 的最大值为.
6. 已知函数y =f (x ) 的图像关于直线x =1对称，且当x ＜0时，f (x )=时，f (x ) =.
7. 某公司将进货单价为8元一个的商铺，按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每上涨1元，则销售量就减少10个，为获得最大利润，此商品销售价应该为. 8. 用min {a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值，若函数f (x )=min x , x +t 的图像关于直
1
，则当x ＞0 x
{}
线x =-
1
对称，则t 的值为. 2
2
9. 已知函数f (x )=x 的值域为{1, 4}，这样的函数的个数为.
10. 已知a ，t 为正实数，函数f (x )=x -2x +a ，且对任意的x ∈[0, t ]，都有f (x ) ∈[-a , a ].
2
若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a ) ，则函数g (a ) 的值域为.
11. 已知函数f (x )=⎨
⎧2(1-x ),0≤x ≤1,
记f 3(x )=f (f (f (x ) ))，
⎩x -1,1＜x ≤2,
（1）解不等式f (x ) ≤x ；
（2）设集合A ={0, 1, 2}，求证：对任意的x ∈A , f 3(x ) =x .
12. 由市场调查，某商品在最近40天内的价格f (t ) 与实际t 满足关系
⎧1*⎪t +11,0≤t ＜20, t ∈N , f (t ) =⎨2销售量g (t ) 与实际
⎪-t +41,20≤t ≤40, t ∈N *. ⎩
t 满足关系
143
g (t ) =-t +(0≤t ≤40, t ∈N *) ，求这种商品的日销售额（销售量与价格的乘积）的最
33
大值.
2.2函数的简单性质 2.2.1 函数的单调性 第1课时 函数单调性的概念
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分） 1. 若函数y =（k -1）x +1是R 上的减函数，则k 的取值范围是 .
2. 函数y =-x ²+2x 的单调区间是.
⎧x , x ≥0,
3. 函数f (x ) =⎨2的单调区间是.
⎩x , x ＜0
4. 若函数f (x )=2x +a 的单调区间是(-∞，3]，则a =.
5. 已知函数f (x )=x =mx +3在区间[2，+∞)(-∞，0]上是单调减函数，则实数b 的取值
2
范围是.
2
6. 已知f (x )=2x -mx +3在(-∞，2]上是减函数，在上是增函数，则f (1)=.
7. 函数f (x )=x +x -的单调区间是.
8. 下列函数：①f (x ) =
12
；②f (x )=x ；③f (x )=(x -1) ；④f (x )=ax +1（a 为长），x
其中一定满足：“对任意的x 1, x 2∈(0,+∞) ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1) ＜f (x 2) 成立”的是 （用序号表示）.
9. 函数f (x )=x 2+x x -4的单调区间是.
10. 函数f (x )=x
1-x 2
在区间（-1, 1）上的单调性为.
. 已知a ＞0，函数f (x ) x -2a x +2a
在区间[1, 4]上的最大值为1
3，求实数a 的值.
12. 已知f (x ) 是定义R 上的函数，对任意的x 1, x 2∈R (x 1≠x 2) ，(x 1-x 2) [f (x 1-) f (]＞2x )
，0且存在x 0∈R ，对任意的x 1, x 2∈R ，恒有
恒有
f (x 0x 1+x 0x 2) =f (x 0) +f (x 1) +f (x 2) 的成立.
（1）求f (0)+f (1)的值；
（2）求x 0的值.
第2课时 函数单调性的应用
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分）
1. 若函数f (x ) =a -x 在（0，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是. x
a 在区间[1, 2]上都是减函数，则实数a 的取值范围 x 2. 若f (x ) =-x +2ax 与g (x ) =
是. 2
⎧x , x ≤0, 3. 已知f (x ) =⎨2则使f (2-x ) ＞f (x ) 的x 的取值范围是. ⎩x , x ＞0,
4. 若c ＜0, f (x ) 是区间[a ，b ]上的减函数，则f (x )+c 在[a ，b ]上的最小值为； cf (x ) 在[a ，b ]上的最小值为.
5.
函数f (x .
6. 若f (x ) =ax 为区间（-1, 1）上的增函数，则实数a 的取值范围是. 1-x
7. 若函数f (x ) =x -a 在区间[0, 1]上的最大值为M （a ），则M （a ）的最小值为.
8. 已知函数f (x ) 是R 上的单调函数，则满足f (x ) =f ⎛x -4⎫⎪的x 的值为. x -3⎝⎭
11f (x )=x-g (x ) --x -m ，若对任意的x 1∈[1,3]，存在x 2∈[-2, -1]， 9. 已知函数，x x
使得f (x 1) ≥g (x 2) 成立，则实数m 的取值范围是.
10. 已知函数f (x ) =⎨
是.
11. 设函数f (x ) 是定义在（0，+∞）上的减函数，且对任意的x ，y ∈（0，+∞）满足⎧2x , x ≥0, 则满足不等式f (f (x ) -3) ＞4的x 的取值范围 ⎩-x , x ＜0, f (xy ) =f (x ) +f (y ) . 若f (2)=1，求满足不等式f (a ) ≥f (a -1) +2的a 的取值范围.
12. 已知函数f (x ) =1-1(x ＞0) . x
（1）求f (x ) 的单调区间.
（2）是否存在实数a ，b （0＜a ＜b ），使得当x ∈[a ，b ]时，f (x ) 的值域为⎢
若存在，求a ，b 的值；若不存在，青请说明理由.
2.2.2 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
1.
函数y =⎡a -1b -1⎤. , ⎥2⎦⎣2.
2. 对于定义在R 上的函数f (x ) ，给出下列三个命题：①若
f (-2)=f (2)，则f (x ) 是偶函数；②若f (-2)≠f (2)，则f (x ) 不是偶函数；③若 f (-2)=f (2)，则f （x ）一定不是奇函数. 其中正确的命题为（永序号表示）.
2⎧⎪x +ax , x ＜0, 3. 若函数f (x )=⎨2是奇函数，则a =. ⎪⎩-x +x , x ≥0
x 234. 下列函数：①f (x )=x +x ；②f (x )=x x ；③f (x )=；④f (x )=x +x . 其中 1+x
既是奇函数，又是增函数是（用序号表示）.
5. 奇函数f (x ) 的定义域为R ，则下列说法：①f (f (x ) )是奇函数；②y =f (x ) 的图 像必经过点(-a , f (x )) ；③y =f (x ) 的图像关于原点对称；④f (-x )+f (x ) =0. 其中 正确说法的个数是.
6. 若f (x ) 是R 上的任意函数，则下列叙述：①f (x ) f (-x ) 是奇函数；②f (x ) f (-x ) 是奇函数；③f (x )-f (-x ) 是偶函数；④f (x )+f (-x ) 是偶函数，其中正确的是（用 序号表示）.
7. 若不恒为0的函数f (x ) 和g (x ) 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论：
①|f （x ）·|-g （x ）是奇函数；②|f （x ）|+g （x ）是偶函数；③f （x ）-|g （x ）|是奇函数； ④f （x ）+|g （x ）|是偶函数. 其中正确的是（用序号表示）.
8. 若f （x ）与g （x ）都是定义在R 上的奇函数，则：①f （x ）+g （x ）；②f （x ）-g （x ）； ③f （x ）·g （x ）；④f （g （x ））. 其中一定是奇函数的是（永序号表示）.
9. 若f （x ）是R 上的奇函数，则下列函数：①y =f （|x |）；②y =|f （x ）|；③y =xf （x ）；④y =f （f （x ））.
其中奇函数是（用序号表示）.
10. 定义在（-1, 1）上的函数f （x ）满足f （x ）-f （x ）=f (x ) =f (x ) =f
的奇
偶性是.
11. 判断下列函数的奇偶性，并给出证明.
（1）f （x ）=x ²+|x |； （2）f （x ）=x ³-； ⎛x -y ⎫⎪，则f （x ）⎝1-xy ⎭1
x
⎧x -x 2, x ≤0, 1⎪（3）f （x ）
=； （4）f （x ）=⎨ 2x ⎪⎩x +x , x ＞0.
12. 已知f （x ）是定义R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都是满足 f （ab ）=af （b ）+bf （a ）.
（1）求f （0），f （1）与f （-1）的值；
（2）判断f （x ）的奇偶性.
第2课时 函数奇偶性的应用
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分）
1. 对于下列命题：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定过原点；③既 是奇函数又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）. 其中正确的个数是.
2. 已知函数f （x ）是R 是哪个的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x （1-x ）+b （b 为常数），则 f （-2）=.
3. 已知函数f （x ）=x ²+|x +a |是偶函数，则a =.
4. 已知函数f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x -|x |，则当x ＜0时，f （x ）=.
5. 已知函数f （x ）是偶函数，且当x ≥0时，f （x ）=x ²-2x ，则
f （x ）的单调增区间为.
6. 若f （x ）是偶函数，且当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=x -1，则f （x -1）＜0的解集是.
7. 已知f （x ）是偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，若f （1）=0，则xf （x ）＞0的解集 为.
2⎧⎪x +4x , x ≥0, 8. 已知函数f (x )=⎨若f （a -2）+f （a ）＞0，则A 的取值范围是. 2⎪⎩4x -x , x ＜0.
9. 已知函数f （x ）=（x -a ）（bx -2a ）（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为（-∞，8]，则 a +b =.
10. 已知函数f （x ）满足f （-x ）=f （x ）（x ∈R ），且对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），当x 1＜x 2 时，都有f （x 1）＞f （x 2），若f （2-a ）≥f （a ），则a 的取值范围是.
11. 已知函数f （x ）=|x +1|+|x -a |（x ∈R ，a 是常数）的图像关于y 轴对称.
（1）求a 的值；
（2）设g （x ）=f （x -t ）-f （x +t ）（t ≠0），试判断g （x ）的奇偶性，并给出证明.
12. 已知函数f （x ）是定义域为R 的函数，对任意的x ∈R 满足f （x ）f （-x ）=1，f （x ）≠1.
（1）若g (x ) =1+f (x ) ，求证g （x ）的奇函数； 1-f (x )
11+，试判断h （x ）的奇偶性，并给出证明. f (x ) -12（2）若h (x ) =
第3课时 函数的单调性与奇偶性
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分）
1. 给定函数：①y =-x ²，x ∈R ；②y =-x |x |，x ∈R ；③y =x ，x ∈R ；④y =|x |，x ∈R . 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（用序号表示）.
2. 若函数f （x ）=x |x +a |+b 是奇函数，则a =，b =.
3. 若函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x -2）在[0, 2]上单调递增，则f （-1），f （0），f （2）的大小关系是.
4. 已知f （x ）是R 上的增函数，集合A =｛x |f （x +t ）＜f （2）｝，B =｛x |f （x ）＜f （-1）｝，若
A ⊂B ，则实数t 的取值范围是. ≠
2x 2+x +1f (a ) =5. 已知函数f (x ) =，若，则f （-a ）=. 3x 2+1
6. 对于函数：①f （x ）=|x -2|+1；②f （x ）=（x -2）²；③f (x )=1，有如下三个命题. 命x -2
题甲：f （x +2）是偶函数；命题乙：f （x ）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；命题丙：f （x +2）-f （x ）在（-∞，+∞）上是增函数. 使命题甲、乙、丙都正确的函数是（用序号表示）.
7. 已知函数f （x ）在定义域[-1, 1]上单调递减，若f （a ）+f （a -1）≤0，则实数a 的取值范围是.
8. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在[-∞，0]上是减函数，且f （2）=0，则使f （x ）＜0的x 的取值范围是.
9. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x ². 若福任意的x ∈[a ，a +2]，
不等式f (x +a ) ≥f ) 恒成立，则实数a 的取值范围是.
10. 如果对于函数f （x ）定义域D 上的任意x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在m 1，m 2∈D ，m 1≠m 2，单f （m 1）=f （m 2），则称f （x ）是定义域D 是哪个的不严格增函数. 已知函数g （x ）是定义在A ={-1, 0, 1}上的不严格增函数，且值域B ⊆A ，那么这样的函数g （x ）有个.
11. 已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且对任意的x ∈R ，有f （x ）-f （-x ）=0恒成立，若f （-3）=2.
（1）试判断f （x ）在R 上的单调性，并说明理由；
（2）求使f （1-x ）+f （1+2x ）＜0成立的x 的取值范围.
12. 已知函数f （x ）=x |x -a |（a ∈R ，x ∈R ）.
（1）判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由.
（2）函数f （x ）在[0，+∞）上能否单调递增？若能，求出实数a 的取值范围；若不能，请说明理由.
2.3 映射的概念
创新练习 （1～10题每小题7分，11～12题每小题15分，共100分）
1. 已知集合M =⎨,1⎬，N ={a ，0}，若f ：x →x 表示M 到N 的映射，则a +b =.
2. 集合A 中有两个元素，B ={-1, 1，-4, 4}，f 是A 到B 的映射，若对应法则f 是求算术 平方根，则A =.
3. 已知集合A ={1+x ，1+2x }，B ={y ，y ²}，若f ：x →x 表示A 到B 的映射，则x +y =.
4. 已知集合A ={a ，b }，B ={-1, 0, 1}，则满足f （a ）+f （b ）=0的映射f ：A →B 的个数 为. ⎧b ⎫⎩a ⎭
5. 已知集合A ={a ，b , c }，B ={-1, 0, 1}，则f ：A →B 中满足f （b ）=0的映射共有个.
6. 若集合A ={x |0≤x ≤2}，B ={y |0≤y ≤6}，则下列从A 到B
的对应：①x →y =2x ；②x →y =2.5x ；③x →y =3x ；④x →y =3.5x . 其中不少映射的 是（用序号表示）.
7. 已知集合A 中的元素（x ，y ）在映射f 的作用下与B 中元素（xy ，x +y ）对应，则在f 的作用下，A 中元素（2, 3）在B 中对应的元素为；与B 众元素（2, 3）对应 的A 的元素为.
8. 若集合A ={-1, 1, 2}，B={3, 4, 5, 6}，试写出一个从集
合A 到集合B 的函数：.
9. 已知f ：x →x ²+1是A 到B 的一个函数，若值域B ={1, 2}，则定义域A =.
10. 已知集合A ={3，k }，B ={a 4，a 2+3a }，定义映射f ：A →B ，使x →3x +1，则整数k 和 a 的值分别为 .
11. 已知集合A 到集合B =⎨0,1, , ⎬的映射f ：x →
几个？试写出元素最多的集合A .
⎧⎩11⎫23⎭1，那么集合A 中的元素最多有x -1
12. 设集合A ={a ，b ，c }，B ={-1, 0, 1}，f 是A 到B 的映射，试问：满足f （a ）+f （b ）=f （c ）的映射共有多少个？
阶段检测（二）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.
函数f (x ) =. 2. 已知函数f （x ）=ax ²+bx +c （a ≠0）是偶函数，那么函数g （x ）=ax ³+bx ²+cx 的奇偶性是.
3. 设S =max {a ，b }为a ，b 中的最大者，当x ＞0时，S =max ⎨x , ⎬，则S 的最小值 为.
4.
下列函数：①f (x ) =
⎧1⎫⎩x ⎭f (x ) =11；③f (x ) =
；④f (x ) =. 其中 x x
以（0，+∞）为定义域的是（用序号表示）.
5. 已知定义在R 上的函数f （x ），当x ∈[-1, 1]时，f （x ）=x ²-x ，且对任意的实数x 满 足f （x -1）=2f （x ），则f （x ）在区间[5, 7]上的最大值是.
6. 下列说法：①图像关于原点对称的函数是奇函数；②图像关于y 轴对称的函数是偶函 数；③奇函数的图像一定过原点；④偶函数的图像一定与y 轴相交. 其中错误的
是（用序号表示）.
7. 若函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则函数f （x ）=|f （x ）|+f （|x |）的图像关 于对称.
8. 下列函数：①y =1+x ³；②y =11；③y =x +x ³；④y =-. 其中既是奇函数，又在定义 x x
域上是增函数的是（用序号表示）.
9. 当x ∈[0, 2]时，函数f （x ）=ax ³+4（a -1）x-3在x =2是
取得最大值，则a 的取值范围是.
10. 已知函数f (x ) =x +a (a ∈R ) ，则下列说的：①任给a ∈R ，f （x ）在（0，＋∞）上 2x
是增函数；②任给a ∈R ，f （x ）在（－∞，0）上是减函数；③存在a ∈R ，f （x ）是奇函数； ④存在a ∈R ，f （x ）是偶函数. 其中正确的是（用序号表示）.
(x +1) 2+x 11. 若函数f (x ) =的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =. x 2+1
12. 已知函数f (x ) =ax 满足f （f （x ））=x ，那么实数a =. 1-2x
⎧a , a ≥b , 则函数f （x ）=max {|x +1|，|x -2|}（x ∈R ）
⎩b , a ＜b , 13. 对任意的a ，b ∈R ，记max {a , b }=⎨
的最小值是.
14. 函数f （x ）的定义域为D ，若对应任意的x 1，x 2∈D ，当x1＜x2时，都有f （x 1）≤f （x 2）， 则称函数f （x ）在D 上为非减函数. 若函数f （x ）在[0, 1]上为非减函数，且满足一下三个 条件：①f （0）=0；②f ⎛x ⎫1，则⎪=f (x ) ；③f （1-x ）=1-f （x ）⎝3⎭2⎛1⎫⎛1⎫f ⎪+ ⎪=. ⎝3⎭⎝8⎭
二、解答题（本大题栋6小题，共90分）
15. （本小题满分14分）
已知函数f (x ) =x 2-n 满足f （m ）=n ，且x =1是方程f （x ）=x 的一个根，求f （4）的值.
16. （本小题满分14分）
已知a ＞1，且对任意的x ∈[a ，2a ]，都存在y ∈[a ，a ²]满足xy =a ³，求实数a 的取值范围.
17. （本小题满分14分）
某厂生产某产品x 吨所需要的费用为P 元，卖出x 吨的价格为每吨Q 元. 已知P =1000+5x +12x x Q , =a +. 若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润10b
最大，此时每吨的价格为40元，求实数a ，b 的值.
18. （本小题满分16分）
定义：如果函数y =f （x ）在定义域内给定的区间[a ，b ]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足f (x 0) =f (b ) -f (a ) ，则称函数y =f （x ）是[a ，b ]上的“平均值函数”. b -a
（1）若f （x ）=|x |-mx 是[-1，1]上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围.
（2）若g （x ）=x ²-mx -1，问：g （x ）是不是[0, 1]上的“平均值函数”？若是，求出实数m 的取值范围；若不是，说明理由.
19. （本小题满分16分）
设函数f （x ）=x ²+bx +c （b ，c ∈R ）.
（1）若y =xf （x ）是奇函数，求b 的值；
（2）若对任意的x 1，x 2∈[-1, 1]，恒有|f （x 1）-f （x 2）|≤4，求b 的取值范围.
20. （本小题满分16分）
在区间D 上，如果函数f （x ）为增函数，而函数1f (x ) 为减函数，则称函数f （x ）为“弱x
增”函数.
已知函数f (x ) =1. （1）判断函数f （x ）在区间（0, 1）上是否为“若增”函数；
（2）当x ∈[0, 1]
时，不等式1-ax
1-bx 恒成立，求实数a ，b 的取值范围.