勒让德（legendre ）多项式及其性质
一． 勒让德多项式
勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：
(1-x 2) y '' -2xy ' +n (n +1) y =0 其中n 为非负实数 （1.1）
它的幂级数解如下：
y =y 1+y 2 （1.2）
其中：
y 1=∑
k =0
∞
n (n +1) 2n (n -2) n (+
a 2k x =a [01x 2! 4!
2k
1n ) +(
4
3)
x ⋅ ]⋅ ⋅ （1.3）
y 2=∑a 2k +1x
k =0
∞
2k +1
(n -1)(n +2) 3(n -1)(n -3)(n +2)(n +4) 5
=a 1[x -x +x +⋅⋅⋅] （1.4）
3! 5!
≥0不为整数时，这两个级数的收敛半径为
1，在（1.3）式和
由达朗贝尔判别法可知，当n
（1.4）式中，a 0与a 1可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内y 1和
y 2都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上面（1.3）和（1.4）幂级数当|x |
n 取非负整数时，y 1和y 2中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数a n ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第
P 一类勒让德函数，记作P n (x )，下面我们来推导勒让德多项式n
① 当
(x )的表达式。
n 为正偶数时
y 1退化为n 次多项式。为求得P 在y 1中我们通过a n 来表示其它各项的系数。n (x )的表达式，
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：
(k +2)(k +1) a k =a k +2 （1.5）
(k -n )(k +n +1)
在（1.5）式中取k
=n -2，得：
a n -2=-
n (n -1)
a n （1.6）
2(2n -1)
习惯上取a n 为 (2n ) a n =n
2(n ! 2) （1.7）
于是有：
a n (2n -1)(2n -2)!
n -2=-
n (n -1)22(2n -1)2n n (n -1)! n (n -1)(n -2!)
=-(2n -2)!
2n
(n -1)!(n -2)! 在（1.5）式中取k
=n -4，并利用a n -2之值得：
a n -4
=-(n -2)(n -3) 4(2n -3)
a n -2
=(-12
) (n -2) n (-3) n (-22)
4(2n -3) n
2n -(1n -) ! ( =(-1) 2
(2n -4)!
2n (2!)(n -2)!(n -4)!
一般地，我们有
a m
(2n -2m )!
n -2m =(-1)
2n
m !(n -m )!(n -2m )! （m =0,1, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, n
2
） 我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的y 1记作P n (x ) ，可得：
n
p =∑2
(-1) m
(2n -2m )!
n (x ) m =0
2n m !(n -m )!(n -2m )! x n -2m 这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。 ② 当
n 为正奇数时
y 2退化为n 次多项式，我们把y 2记作P n (x ) ，同理可得：
n -1
p 2
-1) m
(2n -2m )!
2m n (x ) =∑(n x n - m =0
2m !(n -m )!(n -2m )! 1.8）
2) !
1.9）
1.10） 1.11）
1.12）
（!
（（（（
把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得
n []2
(2n -2m )!
p n (x ) =∑(-1) n x n -2m （1.13）
2m !(n -m )!(n -2m )! m =0
m
n n
其中[]表示的整数部分
22
由上述讨论可知，当n 为非负整数时，y 1和y 2中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作Q n (x ) ，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：
y =c 1P n (x ) +c 2Q n (x ) （1.14）
特别当n =0,1,2,3,4,5时，由（1.11）和（1.12）式得：
12
P (x ) =(3x -(x ) =x P 0(x ) =1 P 21
2
1 )
P 3(x ) =
11
(5x 3-3x ) P 4(x ) =1(35x 4-30x 2+3) P 5(x ) =(63x 5-70x 3+15x ) 288
它们的图形如下：
二． 勒让德多项式的性质
首先介绍一下勒让德多项式的母函数： 试将函数
∅(x , z ) =(1-2xz +z )
展开成z 的幂级数
∞
2
- （1.15）
∅(x , z ) =∑A n z n （1.16）
n =0
可以证明∅(x , z ) 级数展开式中z n 的系数恰好是勒让德多项式，最终得到
∅(x , z ) =(1-2xz +z )
因此称∅(x , z ) 为勒让德多项式的母函数。
2
-=∑P n (x ) z n （1.17）
n =0
∞
) 1．P n (-x ) =(-1
n
P n (x ) （1.18）
将式（1.17）中的x 以-x 代入，z 以-z 代入，立即得到此结果。此式说明P n (x ) 的奇偶性由n 而定，当n 为偶数时，P n (x ) 为偶函数，当n 为奇数时，P n (x ) 为奇函数。
n
P (1)=1, P (-1) =(-1) 2．n （1.19） n
将x =1代入式（1.17），得到
(1-z ) =∑P n (1)z n
-1
n =0
∞
而
(1-z ) =∑z n
-1
n =0
∞
所以
P n (1)=1
由上式和（1.18）立即得到
n
P (-1) =(-1) P n n (1)
3．勒让德多项式的递推公式：
(n +1) P n +1(x ) -(2n +1) xP n (x ) +nP n -1(x ) =0 （1.20）
' ' '
P n (x ) =P n +1(x ) -2xP n (x ) +P n -1(x ) （1.21）
' ' P (x ) =xP n +1n (x ) +(n +1) P n (x ) （1.22）
' ' xP n (x ) -P n -1(x ) =nP n (x ) （1.23） ' ' P (x ) -P ) P n +1n -1(x ) =(2n +1n (x ) （1.24）
现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数∅(x , z ) 分别对x , z 微分，得到
∂∅∂x =+z (1-2xz +z 2
) -=z ∅1-2xz +z 2 ∂∅=(x -z )(1-2xz +z 2
) -x -z ∂z =1-2xz +z 2
得到下列两个恒等式
(1-2xz +z 2)
∂∅
∂x
-z ∅=0 (1-2xz +z 2
) ∂∅
∂z
+(z -x ) ∅=0 又从式（1.25）和（1.26）得到
z
∂∅∂z +(z -x ) ∂∅
∂x
=0 将（1.17）两端分别对x , z 微分，得到
∂∅∞∂x =∑P '
n (x ) z n n =0
∂∅∞
∂z =∑nP n -1n (x ) z n =1
然后将它们带入（1.27），得到
∑∞
∞
xP ' n (x ) z n =∑[nP n (x ) +P ' n
n -1(x )]z n =1
n =1
于是得到P n (x ) 与导数之间的关系式
xP ' n (x ) -P ' n -1(x ) =nP n (x )
其它的导数公式这里不在一一证明。
将式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到
1.25） 1.26）
1.27） 1.28） 1.29） （（（（（
∑[(n +1) P
n =0
∞
n +1
(x ) -(2n +1) xP n (x ) +nP n -1(x )]=0
上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到
(n +1) P n +1(x ) -(2n +1) xP n (x ) +nP n -1(x ) =0
这就是递推公式，由P 0(x ) ，P 2(x ) ，由P 2(x ) 可以推出P 3(x ) ，….. 1(x ) 可以推出P 1(x ) ，P
4．勒让德多项式的正交性：
勒让德多项式在[-1,1]上正交，即
⎰
1
-1
P n (x ) P 2
m (x ) dx =
2n +1
当n =m 时 ⎰
1
-1
P n (x ) P m (x ) dx =0 当n ≠m 时 勒让德多项式正交性的证明比较繁琐，这里不再证明。
1.30）1.31）（ （
勒让德（legendre ）多项式及其性质
一． 勒让德多项式
勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：
(1-x 2) y '' -2xy ' +n (n +1) y =0 其中n 为非负实数 （1.1）
它的幂级数解如下：
y =y 1+y 2 （1.2）
其中：
y 1=∑
k =0
∞
n (n +1) 2n (n -2) n (+
a 2k x =a [01x 2! 4!
2k
1n ) +(
4
3)
x ⋅ ]⋅ ⋅ （1.3）
y 2=∑a 2k +1x
k =0
∞
2k +1
(n -1)(n +2) 3(n -1)(n -3)(n +2)(n +4) 5
=a 1[x -x +x +⋅⋅⋅] （1.4）
3! 5!
≥0不为整数时，这两个级数的收敛半径为
1，在（1.3）式和
由达朗贝尔判别法可知，当n
（1.4）式中，a 0与a 1可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内y 1和
y 2都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上面（1.3）和（1.4）幂级数当|x |
n 取非负整数时，y 1和y 2中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数a n ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第
P 一类勒让德函数，记作P n (x )，下面我们来推导勒让德多项式n
① 当
(x )的表达式。
n 为正偶数时
y 1退化为n 次多项式。为求得P 在y 1中我们通过a n 来表示其它各项的系数。n (x )的表达式，
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：
(k +2)(k +1) a k =a k +2 （1.5）
(k -n )(k +n +1)
在（1.5）式中取k
=n -2，得：
a n -2=-
n (n -1)
a n （1.6）
2(2n -1)
习惯上取a n 为 (2n ) a n =n
2(n ! 2) （1.7）
于是有：
a n (2n -1)(2n -2)!
n -2=-
n (n -1)22(2n -1)2n n (n -1)! n (n -1)(n -2!)
=-(2n -2)!
2n
(n -1)!(n -2)! 在（1.5）式中取k
=n -4，并利用a n -2之值得：
a n -4
=-(n -2)(n -3) 4(2n -3)
a n -2
=(-12
) (n -2) n (-3) n (-22)
4(2n -3) n
2n -(1n -) ! ( =(-1) 2
(2n -4)!
2n (2!)(n -2)!(n -4)!
一般地，我们有
a m
(2n -2m )!
n -2m =(-1)
2n
m !(n -m )!(n -2m )! （m =0,1, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, n
2
） 我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的y 1记作P n (x ) ，可得：
n
p =∑2
(-1) m
(2n -2m )!
n (x ) m =0
2n m !(n -m )!(n -2m )! x n -2m 这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。 ② 当
n 为正奇数时
y 2退化为n 次多项式，我们把y 2记作P n (x ) ，同理可得：
n -1
p 2
-1) m
(2n -2m )!
2m n (x ) =∑(n x n - m =0
2m !(n -m )!(n -2m )! 1.8）
2) !
1.9）
1.10） 1.11）
1.12）
（!
（（（（
把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得
n []2
(2n -2m )!
p n (x ) =∑(-1) n x n -2m （1.13）
2m !(n -m )!(n -2m )! m =0
m
n n
其中[]表示的整数部分
22
由上述讨论可知，当n 为非负整数时，y 1和y 2中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作Q n (x ) ，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：
y =c 1P n (x ) +c 2Q n (x ) （1.14）
特别当n =0,1,2,3,4,5时，由（1.11）和（1.12）式得：
12
P (x ) =(3x -(x ) =x P 0(x ) =1 P 21
2
1 )
P 3(x ) =
11
(5x 3-3x ) P 4(x ) =1(35x 4-30x 2+3) P 5(x ) =(63x 5-70x 3+15x ) 288
它们的图形如下：
二． 勒让德多项式的性质
首先介绍一下勒让德多项式的母函数： 试将函数
∅(x , z ) =(1-2xz +z )
展开成z 的幂级数
∞
2
- （1.15）
∅(x , z ) =∑A n z n （1.16）
n =0
可以证明∅(x , z ) 级数展开式中z n 的系数恰好是勒让德多项式，最终得到
∅(x , z ) =(1-2xz +z )
因此称∅(x , z ) 为勒让德多项式的母函数。
2
-=∑P n (x ) z n （1.17）
n =0
∞
) 1．P n (-x ) =(-1
n
P n (x ) （1.18）
将式（1.17）中的x 以-x 代入，z 以-z 代入，立即得到此结果。此式说明P n (x ) 的奇偶性由n 而定，当n 为偶数时，P n (x ) 为偶函数，当n 为奇数时，P n (x ) 为奇函数。
n
P (1)=1, P (-1) =(-1) 2．n （1.19） n
将x =1代入式（1.17），得到
(1-z ) =∑P n (1)z n
-1
n =0
∞
而
(1-z ) =∑z n
-1
n =0
∞
所以
P n (1)=1
由上式和（1.18）立即得到
n
P (-1) =(-1) P n n (1)
3．勒让德多项式的递推公式：
(n +1) P n +1(x ) -(2n +1) xP n (x ) +nP n -1(x ) =0 （1.20）
' ' '
P n (x ) =P n +1(x ) -2xP n (x ) +P n -1(x ) （1.21）
' ' P (x ) =xP n +1n (x ) +(n +1) P n (x ) （1.22）
' ' xP n (x ) -P n -1(x ) =nP n (x ) （1.23） ' ' P (x ) -P ) P n +1n -1(x ) =(2n +1n (x ) （1.24）
现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数∅(x , z ) 分别对x , z 微分，得到
∂∅∂x =+z (1-2xz +z 2
) -=z ∅1-2xz +z 2 ∂∅=(x -z )(1-2xz +z 2
) -x -z ∂z =1-2xz +z 2
得到下列两个恒等式
(1-2xz +z 2)
∂∅
∂x
-z ∅=0 (1-2xz +z 2
) ∂∅
∂z
+(z -x ) ∅=0 又从式（1.25）和（1.26）得到
z
∂∅∂z +(z -x ) ∂∅
∂x
=0 将（1.17）两端分别对x , z 微分，得到
∂∅∞∂x =∑P '
n (x ) z n n =0
∂∅∞
∂z =∑nP n -1n (x ) z n =1
然后将它们带入（1.27），得到
∑∞
∞
xP ' n (x ) z n =∑[nP n (x ) +P ' n
n -1(x )]z n =1
n =1
于是得到P n (x ) 与导数之间的关系式
xP ' n (x ) -P ' n -1(x ) =nP n (x )
其它的导数公式这里不在一一证明。
将式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到
1.25） 1.26）
1.27） 1.28） 1.29） （（（（（
∑[(n +1) P
n =0
∞
n +1
(x ) -(2n +1) xP n (x ) +nP n -1(x )]=0
上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到
(n +1) P n +1(x ) -(2n +1) xP n (x ) +nP n -1(x ) =0
这就是递推公式，由P 0(x ) ，P 2(x ) ，由P 2(x ) 可以推出P 3(x ) ，….. 1(x ) 可以推出P 1(x ) ，P
4．勒让德多项式的正交性：
勒让德多项式在[-1,1]上正交，即
⎰
1
-1
P n (x ) P 2
m (x ) dx =
2n +1
当n =m 时 ⎰
1
-1
P n (x ) P m (x ) dx =0 当n ≠m 时 勒让德多项式正交性的证明比较繁琐，这里不再证明。
1.30）1.31）（ （