对“懂、会、对”的认识与构想
平罗县回民高级中学 王化智
摘要：中学数学教学中懂而不会，会而不对现象屡见不鲜，这是高效课堂教学必须解决的问题。
中学数学教学参考2013年谈学论教栏目开辟数学学习中‚懂而不会‛现象专题征文选登引起笔者兴趣，连续拜读各篇文章，本文浅谈认识与构想。
1、教学的复杂性在于处理好‚懂、会、对‛的关系
1.1‘懂’是有效的教学的基础
教学中不论采取那种教学方式，让学生搞懂所学内容是教学的基础与底线。当然懂的层次可能有所不同，如仅是表象性的懂而没有理解其本质。解一元二次不等式时学生会用‚大于取两边，小于取中间‛解一元二次不等式相应方程有两解的不等式，当遇到一元二次不等式相应方程有一解或无解时不知所措。其实口诀的主要背景不是方程的根与不等式解集的关系，而是相应函数取值的符号与自变量的取值范围和不等式解集的关系。再如机械性操作懂，数列求和中学生会用裂项法求数列⎨⎧1⎫⎬的前n 项和，由于受机械性操作懂，没有领会这⎩n (n +1) ⎭
⎧1⎫⎬的前n 项和n (n +2) ⎩⎭种方法裂项的目标是为合并抵消，所以当求数列⎨
时又不会做。由此来看懂的层次，懂的广度和深度是高效课堂教学现象与本质的较量。
1.2‘会’是有效教学的关键
一节课若学生只懂不会，不能算是一节有效完整的课，是对学生主体地位的漠视。实际教学中教师很难‚一懂既会‛即在懂的环节直指数学本质或把各种可能结果一一穷尽，让学生在会的时候没有问题，通常是边懂边会，懂会交错层层推进。如解一元二次不等式第1课时给出以下练习：
解下列一元二次不等式
22（1）x -2x-3>0; (2) -x +2x+3>0;
22 (3)x-2x+1≤0; (4)x-2x+3
学生在练习中不断遇到新问题，在解决新问题的过程中加深了懂，提高了会，真正理解一元二次不等式解集与函数自变量的关系。学生由懂到会的过程是在运用分析思维解题的过程，教师在讲题时务必使每一步都使学生明白已知是什么，想做什么，问题的条件与目标建立起怎样实质性联系。同时要分析学生会如何想，怎么做，有啥困
难，要暴露自己解决问题的思考过程，把自己如何找到正确解法，走了什么弯路展示给学生，学生才能从教师的身上学会分析问题，学会解题，由懂到会。
1.3‘对’是有效教学的目标
教学中常遇到一些学生一听就懂，一做就会，一考就砸。这是懂、会低效或无效的结果，是懂、会、对认识不清楚的表现。懂了，也会了，不等于能做对，思维不严谨，解题不规范，过程过于繁琐或不完整，等都是‚会而不对‛的诱因。基本不等式
1
x a +b ≥ab ,a,b ∈R +, 当2且仅当a=b时等号成立。本知识点两个限制条件特别重要，部分同学因解题时不注意条件，不注重过程。在求x+的最值时出现如下解答： x+≥2x ⋅=2,所以x+的最小值为2的错误解答。解题不规范，过程不完整，还漏掉x
懂、会、对是学习新知的三个不同阶段，他们既相互独立又相互影响，懂是基础，只有全面深入的‘懂’才能为‘会’奠定基础，但懂不等于会，会是操作层面的内容，需动手实践，掌握要领的会也不代表对，对是对结果的认定，由于粗心、书写不规范等，会的技能有时达不到对的效果，教学中既要分步独立解决好懂、会、对，又要相互联系，把三者看成教学的一个整体。
2、‚懂、会、对‛的实践构想
2.1‘懂’到数学本质
高中数学课程标准明确指出：‚形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项要求，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。‛数学的本质是什么？数学本质就是用数学的眼光认识世界，揭示规律，总结数学方法，形成数学思想，提炼数学精神，并从上述活动中得到思想心灵的升华，完善自己的人格。为此突出数学本质教学，就要求我们在教学过程中，让学生理解数概念，把握数学思想，感悟数学特有的数学思维方式，鉴赏数学之美。懂到数学本质就是在教学中让学生对某一数学对象所包含的数学思想、方法和规律性等不变的东西揭示出来，使学生会识别，能运用。如‚向一杯糖水中加入一定糖（设加入的糖全部溶解）糖水会变更甜‛这一事实，请判断：a>b>0,m>0与b a b +m 的大小，a +m 1x 1x 1x
这是一个学生生活中最为熟悉的事实，教学中在引导学生探究过程中，让学生揭示数学本质。接着又提出：若把两杯不一样甜的糖水倒
在一起，甜度会怎样？从中可以得到什么数学模型？学生由于对上述问题有了本质的认识，很快就得到：当a>b>0，c>d>0,且有
a d b >时，c a b +d d
式。需我们创造一种环境，使学生身临其境地介入数学的发现或创造过程。
2.2‘会’在通性通法后的变通
通性是概念所反映的数学基本性质；通法是概念所蕴含的思想方法。通性通法是指学生对基本概念、基本原理、基本模式、基本数学思想方法等形成解决问题的习惯，是数学思维能力的体现。
‘会’首先要注重基础知识及其蕴含的数学思想方法，才能‘会’的长久，教学中需我们提高对所教内容的理解水平，增强辨别和判断能力，去伪存真、去粗取精、培养学生洞察本质的能力。但仅会在通性通法还不够，这样使数学缺乏活力。掌握通性通法后要学会变通，数学才有魅力。在数列{a n }中，若a 1＝1,a n +1=2an +3,求数列{a n }的通项公式。观察数列递推的结构特征，满足形如a n +1=pan +q 的线性表
达式。可设常数λ构造等比数列{a n +λ}求解，熟练待定系数法后可在 an +1=2an +3两边同加3构造数列{a n +3}求解更简。
2.3‘对’注细节缜密
教学中要达到‚对‛的目标，必须注意细节，加强缜密思维能力的培养，有些数学问题学生懂了、会了、可就是没做对。问题不在懂、会，而在于盲目应用结论忽略条件，注重现成条件，忽略隐含条件，以偏概全造成解题不完备等低级失误。有些问题要从不同角度去分析比较，当条件发生变化时，会导致结论的改变。如设等比数列{a n }的公比为(q>0),它的前n 项和为40, 前2n 项和为3280, 且在前n 项中数值最大的为27，求数列的第2n 项。
a 1(1-q n ) =401-q [错解]由已知{, q>0,∴a 1q n -1=27代入①得2n a 1(1-q ) =32801-q
a q 1-27=40③, 又由①②得40(1+qn )=3280变形 1-q
n -1a q q a +27q 1+a 1=82=82 , 1④ a a 11
由③④解得a 1=1,q=3.从而n=4,所以a 2n =a1q 7=2187
上述解法‚粗看‛从过程到结果都是正确的，但缜密的思维发现错误有二：其一直接套用等比数列一般求和公式忽略了q=1的特殊情
况（既便说不合题意也要讨论或说明），其二由a 1q n -1=27显然默认{ a n }是递增数列。两处错误都犯了以偏概全的毛病，实际上要先排除q=1，再由①②得q n =81，q>0得q>1。这时还不能判定{ a n }递增，还需将
q n =81代入①得a 1=q -1>0，才能确定{ an }递增。 2
懂而不会，会而不对是教学中懂、会、对不谐调的反应，教学效率不高的表现。处理好懂、会、对的关系需我们在教学实践中不断发现新问题、探索新方法、寻求更科学、更具体、更有效的途径。
参考文献：
1、《高中数学课程标准》
2、《中学数学教学参考》2013上旬3-6期；
3《有效教学的实践与思考》余文森，陕西师范大学出版社。
对“懂、会、对”的认识与构想
平罗县回民高级中学 王化智
摘要：中学数学教学中懂而不会，会而不对现象屡见不鲜，这是高效课堂教学必须解决的问题。
中学数学教学参考2013年谈学论教栏目开辟数学学习中‚懂而不会‛现象专题征文选登引起笔者兴趣，连续拜读各篇文章，本文浅谈认识与构想。
1、教学的复杂性在于处理好‚懂、会、对‛的关系
1.1‘懂’是有效的教学的基础
教学中不论采取那种教学方式，让学生搞懂所学内容是教学的基础与底线。当然懂的层次可能有所不同，如仅是表象性的懂而没有理解其本质。解一元二次不等式时学生会用‚大于取两边，小于取中间‛解一元二次不等式相应方程有两解的不等式，当遇到一元二次不等式相应方程有一解或无解时不知所措。其实口诀的主要背景不是方程的根与不等式解集的关系，而是相应函数取值的符号与自变量的取值范围和不等式解集的关系。再如机械性操作懂，数列求和中学生会用裂项法求数列⎨⎧1⎫⎬的前n 项和，由于受机械性操作懂，没有领会这⎩n (n +1) ⎭
⎧1⎫⎬的前n 项和n (n +2) ⎩⎭种方法裂项的目标是为合并抵消，所以当求数列⎨
时又不会做。由此来看懂的层次，懂的广度和深度是高效课堂教学现象与本质的较量。
1.2‘会’是有效教学的关键
一节课若学生只懂不会，不能算是一节有效完整的课，是对学生主体地位的漠视。实际教学中教师很难‚一懂既会‛即在懂的环节直指数学本质或把各种可能结果一一穷尽，让学生在会的时候没有问题，通常是边懂边会，懂会交错层层推进。如解一元二次不等式第1课时给出以下练习：
解下列一元二次不等式
22（1）x -2x-3>0; (2) -x +2x+3>0;
22 (3)x-2x+1≤0; (4)x-2x+3
学生在练习中不断遇到新问题，在解决新问题的过程中加深了懂，提高了会，真正理解一元二次不等式解集与函数自变量的关系。学生由懂到会的过程是在运用分析思维解题的过程，教师在讲题时务必使每一步都使学生明白已知是什么，想做什么，问题的条件与目标建立起怎样实质性联系。同时要分析学生会如何想，怎么做，有啥困
难，要暴露自己解决问题的思考过程，把自己如何找到正确解法，走了什么弯路展示给学生，学生才能从教师的身上学会分析问题，学会解题，由懂到会。
1.3‘对’是有效教学的目标
教学中常遇到一些学生一听就懂，一做就会，一考就砸。这是懂、会低效或无效的结果，是懂、会、对认识不清楚的表现。懂了，也会了，不等于能做对，思维不严谨，解题不规范，过程过于繁琐或不完整，等都是‚会而不对‛的诱因。基本不等式
1
x a +b ≥ab ,a,b ∈R +, 当2且仅当a=b时等号成立。本知识点两个限制条件特别重要，部分同学因解题时不注意条件，不注重过程。在求x+的最值时出现如下解答： x+≥2x ⋅=2,所以x+的最小值为2的错误解答。解题不规范，过程不完整，还漏掉x
懂、会、对是学习新知的三个不同阶段，他们既相互独立又相互影响，懂是基础，只有全面深入的‘懂’才能为‘会’奠定基础，但懂不等于会，会是操作层面的内容，需动手实践，掌握要领的会也不代表对，对是对结果的认定，由于粗心、书写不规范等，会的技能有时达不到对的效果，教学中既要分步独立解决好懂、会、对，又要相互联系，把三者看成教学的一个整体。
2、‚懂、会、对‛的实践构想
2.1‘懂’到数学本质
高中数学课程标准明确指出：‚形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项要求，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。‛数学的本质是什么？数学本质就是用数学的眼光认识世界，揭示规律，总结数学方法，形成数学思想，提炼数学精神，并从上述活动中得到思想心灵的升华，完善自己的人格。为此突出数学本质教学，就要求我们在教学过程中，让学生理解数概念，把握数学思想，感悟数学特有的数学思维方式，鉴赏数学之美。懂到数学本质就是在教学中让学生对某一数学对象所包含的数学思想、方法和规律性等不变的东西揭示出来，使学生会识别，能运用。如‚向一杯糖水中加入一定糖（设加入的糖全部溶解）糖水会变更甜‛这一事实，请判断：a>b>0,m>0与b a b +m 的大小，a +m 1x 1x 1x
这是一个学生生活中最为熟悉的事实，教学中在引导学生探究过程中，让学生揭示数学本质。接着又提出：若把两杯不一样甜的糖水倒
在一起，甜度会怎样？从中可以得到什么数学模型？学生由于对上述问题有了本质的认识，很快就得到：当a>b>0，c>d>0,且有
a d b >时，c a b +d d
式。需我们创造一种环境，使学生身临其境地介入数学的发现或创造过程。
2.2‘会’在通性通法后的变通
通性是概念所反映的数学基本性质；通法是概念所蕴含的思想方法。通性通法是指学生对基本概念、基本原理、基本模式、基本数学思想方法等形成解决问题的习惯，是数学思维能力的体现。
‘会’首先要注重基础知识及其蕴含的数学思想方法，才能‘会’的长久，教学中需我们提高对所教内容的理解水平，增强辨别和判断能力，去伪存真、去粗取精、培养学生洞察本质的能力。但仅会在通性通法还不够，这样使数学缺乏活力。掌握通性通法后要学会变通，数学才有魅力。在数列{a n }中，若a 1＝1,a n +1=2an +3,求数列{a n }的通项公式。观察数列递推的结构特征，满足形如a n +1=pan +q 的线性表
达式。可设常数λ构造等比数列{a n +λ}求解，熟练待定系数法后可在 an +1=2an +3两边同加3构造数列{a n +3}求解更简。
2.3‘对’注细节缜密
教学中要达到‚对‛的目标，必须注意细节，加强缜密思维能力的培养，有些数学问题学生懂了、会了、可就是没做对。问题不在懂、会，而在于盲目应用结论忽略条件，注重现成条件，忽略隐含条件，以偏概全造成解题不完备等低级失误。有些问题要从不同角度去分析比较，当条件发生变化时，会导致结论的改变。如设等比数列{a n }的公比为(q>0),它的前n 项和为40, 前2n 项和为3280, 且在前n 项中数值最大的为27，求数列的第2n 项。
a 1(1-q n ) =401-q [错解]由已知{, q>0,∴a 1q n -1=27代入①得2n a 1(1-q ) =32801-q
a q 1-27=40③, 又由①②得40(1+qn )=3280变形 1-q
n -1a q q a +27q 1+a 1=82=82 , 1④ a a 11
由③④解得a 1=1,q=3.从而n=4,所以a 2n =a1q 7=2187
上述解法‚粗看‛从过程到结果都是正确的，但缜密的思维发现错误有二：其一直接套用等比数列一般求和公式忽略了q=1的特殊情
况（既便说不合题意也要讨论或说明），其二由a 1q n -1=27显然默认{ a n }是递增数列。两处错误都犯了以偏概全的毛病，实际上要先排除q=1，再由①②得q n =81，q>0得q>1。这时还不能判定{ a n }递增，还需将
q n =81代入①得a 1=q -1>0，才能确定{ an }递增。 2
懂而不会，会而不对是教学中懂、会、对不谐调的反应，教学效率不高的表现。处理好懂、会、对的关系需我们在教学实践中不断发现新问题、探索新方法、寻求更科学、更具体、更有效的途径。
参考文献：
1、《高中数学课程标准》
2、《中学数学教学参考》2013上旬3-6期；
3《有效教学的实践与思考》余文森，陕西师范大学出版社。