椭圆知识点
在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={M |MF 1+MF 2=2a } 注意：若(PF 1+PF 2=F 1F 2) ，则动点P 的轨迹为线段F 1F 2；
若(PF 1+PF 2
x 2y 2
焦点在x 轴上椭圆的标准方程: 2+2=1 (a >b >0)，焦点坐标为（c ，0) ，（-c ，0)
a b x 2y 2
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：2+2=1 (a >b >0)焦点坐标为（0，c ，）(o，-c )
b a
规律:
2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.
(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .
c c 2a 2-b 2b 2
(3)在椭圆中，离心率e ====1-2
22
a a a a
(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在∆F 1PF 2中，∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=
β，e =
sin (α+β)
sin α+sin β
二、椭圆其他结论
x 0x y 0y x 2y 2
+2=1 +=11、若P 在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x , y ) P 0000
a 2b a 2b 2
若已知切线斜率K ，切线方程为y =kx ±
a 2k 2+b 2
x 2y 2
2、若P 0(x 0, y 0) 在椭圆2+2=1外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是
a b x 0x y 0y
+2=1 2a b
x 2y 2
3、椭圆2+2=1 (a＞b ＞0) 的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点∠F 1PF 2=θ，则椭圆的焦点
a b
角形的面积为S ∆F 1PF 2=b tan
2
θ
2
4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
2b 2
5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦) 最短
a
6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。
x 2y 2b 2
7、AB 是椭圆2+2=1的不平行于对称轴的弦，M (x 0, y 0) 为AB 的中点，则k OM ⋅k AB =-2，
a a b
即K AB
b 2x 0
=-2。
a y 0
x 0x y 0y x 02y 02x 2y 2
+2=2+2 8、若P 0(x 0, y 0) 在椭圆2+2=1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2a b a b a b
x 2y 2x 2y 2x 0x y 0y
+2 9、若P 0(x 0, y 0) 在椭圆2+2=1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是2+2=2
a b a b a b
10、若P 为短轴顶点，则∠F 1PF 2=θ最大
定 义:∣PF 1∣+∣PF 2∣＝2a ∣F 1F 2∣＝2c
222
余弦定理:∣F 1F 2∣=∣PF 1∣+∣PF 2∣-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)
x 2y 2
面积公式:在椭圆2+2=1（a ＞b ＞0）中，焦点分别为F 1、F 2，点P 是椭圆上任意一点，
a b
θ2
∠F 1PF 2=θ，则S ∆F 1PF 2=b tan
2
x 2y 2
(x 0, y 0) 与椭圆2+2=1(a >b >0)的位置关系:
a b
x 02y 02
点P 在椭圆上⇔2+2=1
a b
x 02y 02x 02y 02
点P 在椭圆内部⇔2+21
a b a b
⎧y =kx +b 222
① 直线斜率存在时⎨2⇒(m +k n ) x +2kbnx +b -1=0 2
⎩mx +ny =1
直线与椭圆相交⇔∆>0 直线与椭圆相切⇔∆=0 直线与椭圆相离⇔∆
⎧x =m ⎪
② 直线斜率不存在时⎨x 2y 2判断y 有几个解
⎪2+2=1
b ⎩a
例1.
x 2y 2
+=1与直线l 交于A 、B 两点，A 、B 中点为M (1, 1)，求直线l 的方程 已知：椭圆
169
(点差法：9x +16y -25=0)
例2.
x 2y 2x 2y 2
+=1有相同焦点的椭圆方程 (+=1) 求过点2, 且与椭圆5386
()
x 2y 2+=1 设：所求椭圆方程为
5+k 3+k
例3.
x 2y 2x 2y 2y 2x 2
+=1有相同离心率的椭圆方程 (+=1、+=1) 求过点2, 22且与椭圆488161020
()
x 2y 2+=1 设：所求椭圆方程为
4k 8k
例4.
25x 2y 2+=1的离心率e =已知椭圆，求m 的值 (m =、m =3)
35m 5
例5.
x 2y 2
+=1上存在A 、B 两点，关于直线 y =4x +m ，对称。求m 的取值范围。 若椭圆23
⎡2222⎤
m ∈⎢-, ⎥
55⎣⎦
双曲线知识点
在平面内到两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
当动点设为M 时，椭圆即为点集P =M |MF 1-MF 2=2a 注意：若(MF 1-MF 2=F 1F 2) ，则动点P 的轨迹为两条射线；
若(MF 1-MF 2>F 1F 2) ，则动点P 的轨迹无图形。
{}
x 2y 2
焦点在x 轴上双曲线的标准方程: 2-2=1 (a >0, b >0)，焦点坐标为（c ，0) ，（-c ，0)
a b
y 2x 2
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为：2-2=1 (a >0, b >0)焦点坐标为（0，c ，）(o，-c )
b a
【知识点3】双曲线的几何性质
规律:
2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2
c (3)
在双曲线中，离心率e ====a (4)双曲线的离心率e 越大, 开口越阔.
定 义:∣PF 1∣-∣PF 2∣＝±2a ∣F 1F 2∣＝2c
222
余弦定理:∣F 1F 2∣=∣PF 1∣+∣PF 2∣-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)
x 2y 2
面积公式:在双曲线2+2=1（a ＞b ＞0）中，焦点分别为F 1、F 2，点P 是双曲线上任意一点，
a b
S ∆F 1PF 2=
b 2tan
∠F 1PF 2=θ，则
2
x 2y 2
设直线l :y =kx +m (m ≠0) ，双曲线2-2=1(a >0, b >0) 联立解得
a b
(b 2-a 2k 2) x 2-2a 2mkx -a 2m 2-a 2b 2=0
b
，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； a b [1**********]2
（2）若b -a k ≠0即k ≠±时，∆=(-2a mk ) -4(b -a k )(-a m -a b )
a
222
（1）若b -a k =0即k =±
①∆>0⇒直线与双曲线相交，有两个交点； ②∆=0⇒直线与双曲线相切，有一个交点； ③∆
:
│AB
│
|x 1-x 2|=
=
AB ==
y -y （其中k 为直线斜率） =12（点差法）：遇到弦中点，两式减一减。若要求弦长，韦达来帮忙。
椭圆知识点
在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={M |MF 1+MF 2=2a } 注意：若(PF 1+PF 2=F 1F 2) ，则动点P 的轨迹为线段F 1F 2；
若(PF 1+PF 2
x 2y 2
焦点在x 轴上椭圆的标准方程: 2+2=1 (a >b >0)，焦点坐标为（c ，0) ，（-c ，0)
a b x 2y 2
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：2+2=1 (a >b >0)焦点坐标为（0，c ，）(o，-c )
b a
规律:
2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.
(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .
c c 2a 2-b 2b 2
(3)在椭圆中，离心率e ====1-2
22
a a a a
(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在∆F 1PF 2中，∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=
β，e =
sin (α+β)
sin α+sin β
二、椭圆其他结论
x 0x y 0y x 2y 2
+2=1 +=11、若P 在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x , y ) P 0000
a 2b a 2b 2
若已知切线斜率K ，切线方程为y =kx ±
a 2k 2+b 2
x 2y 2
2、若P 0(x 0, y 0) 在椭圆2+2=1外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是
a b x 0x y 0y
+2=1 2a b
x 2y 2
3、椭圆2+2=1 (a＞b ＞0) 的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点∠F 1PF 2=θ，则椭圆的焦点
a b
角形的面积为S ∆F 1PF 2=b tan
2
θ
2
4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
2b 2
5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦) 最短
a
6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。
x 2y 2b 2
7、AB 是椭圆2+2=1的不平行于对称轴的弦，M (x 0, y 0) 为AB 的中点，则k OM ⋅k AB =-2，
a a b
即K AB
b 2x 0
=-2。
a y 0
x 0x y 0y x 02y 02x 2y 2
+2=2+2 8、若P 0(x 0, y 0) 在椭圆2+2=1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2a b a b a b
x 2y 2x 2y 2x 0x y 0y
+2 9、若P 0(x 0, y 0) 在椭圆2+2=1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是2+2=2
a b a b a b
10、若P 为短轴顶点，则∠F 1PF 2=θ最大
定 义:∣PF 1∣+∣PF 2∣＝2a ∣F 1F 2∣＝2c
222
余弦定理:∣F 1F 2∣=∣PF 1∣+∣PF 2∣-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)
x 2y 2
面积公式:在椭圆2+2=1（a ＞b ＞0）中，焦点分别为F 1、F 2，点P 是椭圆上任意一点，
a b
θ2
∠F 1PF 2=θ，则S ∆F 1PF 2=b tan
2
x 2y 2
(x 0, y 0) 与椭圆2+2=1(a >b >0)的位置关系:
a b
x 02y 02
点P 在椭圆上⇔2+2=1
a b
x 02y 02x 02y 02
点P 在椭圆内部⇔2+21
a b a b
⎧y =kx +b 222
① 直线斜率存在时⎨2⇒(m +k n ) x +2kbnx +b -1=0 2
⎩mx +ny =1
直线与椭圆相交⇔∆>0 直线与椭圆相切⇔∆=0 直线与椭圆相离⇔∆
⎧x =m ⎪
② 直线斜率不存在时⎨x 2y 2判断y 有几个解
⎪2+2=1
b ⎩a
例1.
x 2y 2
+=1与直线l 交于A 、B 两点，A 、B 中点为M (1, 1)，求直线l 的方程 已知：椭圆
169
(点差法：9x +16y -25=0)
例2.
x 2y 2x 2y 2
+=1有相同焦点的椭圆方程 (+=1) 求过点2, 且与椭圆5386
()
x 2y 2+=1 设：所求椭圆方程为
5+k 3+k
例3.
x 2y 2x 2y 2y 2x 2
+=1有相同离心率的椭圆方程 (+=1、+=1) 求过点2, 22且与椭圆488161020
()
x 2y 2+=1 设：所求椭圆方程为
4k 8k
例4.
25x 2y 2+=1的离心率e =已知椭圆，求m 的值 (m =、m =3)
35m 5
例5.
x 2y 2
+=1上存在A 、B 两点，关于直线 y =4x +m ，对称。求m 的取值范围。 若椭圆23
⎡2222⎤
m ∈⎢-, ⎥
55⎣⎦
双曲线知识点
在平面内到两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
当动点设为M 时，椭圆即为点集P =M |MF 1-MF 2=2a 注意：若(MF 1-MF 2=F 1F 2) ，则动点P 的轨迹为两条射线；
若(MF 1-MF 2>F 1F 2) ，则动点P 的轨迹无图形。
{}
x 2y 2
焦点在x 轴上双曲线的标准方程: 2-2=1 (a >0, b >0)，焦点坐标为（c ，0) ，（-c ，0)
a b
y 2x 2
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为：2-2=1 (a >0, b >0)焦点坐标为（0，c ，）(o，-c )
b a
【知识点3】双曲线的几何性质
规律:
2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2
c (3)
在双曲线中，离心率e ====a (4)双曲线的离心率e 越大, 开口越阔.
定 义:∣PF 1∣-∣PF 2∣＝±2a ∣F 1F 2∣＝2c
222
余弦定理:∣F 1F 2∣=∣PF 1∣+∣PF 2∣-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)
x 2y 2
面积公式:在双曲线2+2=1（a ＞b ＞0）中，焦点分别为F 1、F 2，点P 是双曲线上任意一点，
a b
S ∆F 1PF 2=
b 2tan
∠F 1PF 2=θ，则
2
x 2y 2
设直线l :y =kx +m (m ≠0) ，双曲线2-2=1(a >0, b >0) 联立解得
a b
(b 2-a 2k 2) x 2-2a 2mkx -a 2m 2-a 2b 2=0
b
，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； a b [1**********]2
（2）若b -a k ≠0即k ≠±时，∆=(-2a mk ) -4(b -a k )(-a m -a b )
a
222
（1）若b -a k =0即k =±
①∆>0⇒直线与双曲线相交，有两个交点； ②∆=0⇒直线与双曲线相切，有一个交点； ③∆
:
│AB
│
|x 1-x 2|=
=
AB ==
y -y （其中k 为直线斜率） =12（点差法）：遇到弦中点，两式减一减。若要求弦长，韦达来帮忙。