误差与数据处理知识
一、误差
1、量：描述现象、物体或物质的特性、其大小可用一个数和一个参照对象表示。
由定义可知，量是由一个纯数据和一个计量单位组成。
量可指一般概念的量或特定量。其符号用斜体表示， 一般概念的量如：长度l 、质量m 。
特定量如：长度为2m 、质量为0.5g 。
2、真值：与量的定义一致的量值。
如按照计量单位定义复现出来的量值为真值。
量的真值只能通过完善的测量才能获得，所以真值是无法测量到的，随着测量准确度的逐步提高，只能越来越接近真值。但在实际应用时还需要使用真值，为此，人们常常将高等级的计量标准复现的量值作为下一级测量的约定真值；将有证标准物质的量值作为检测结果的约定真值。
3、被测量：拟测量的量。
为保证特定条件下的被测量值是单一的，应根据所需要的准确度及特定条件予以完整定义，如：1m 长的铁棒需要测至微米级准确度，就必须说明所给定的温度和压力等，但要测到毫米级准确度就不需给定温度、压力和其他影响的值。
4、影响量：在直接测量中不影响实际被测的量、但会影响示值与测量结果之间关系的量。原定义：不是被测量但对测量结果有影响的量。
如：a ）测量某物体长度时测微计的温度（不包括物体本身的温度，因为物体的温度可以进入被测量的定义中）；
b）测量交流电压时的频率；
科学是从测量开始的，对自然界所发生的量变现象的研究，常常需要借助于各式各样的试验与测量来完成。由于认识能力的不足和科学水平的限制，试验中测得的值和它的客观真值并不一致，这种矛盾在数值上的表现即为误差。
误差公理:测量结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。由于我们的工作就是测量，所以就应该了解有关误差的知识。
5、测量误差：测得的量值减去参考量值。
根据定义误差表示两个量的差值，所以误差为带有正号或负号的量值，与测量结果一样的计量单位。表示测量结果对真值的偏离量，以真值为参照点。是一个确定的量值，所以误差值不能带有±号。常用“Δ”或“δ”表示。
误差计算公式：
测量误差Δ=测量结果—参考量值
测量结果可以是：给出值、测得值、实验值、仪器示值、标称值、预置值、计算近似值等。
参考量值可以是：①理论真值，如平面三角形三内角和为180°；②计量学约定真值，如国际计量大会决议的计量单位的定义值：光在真空中在1/299 792 458秒的时间间隔内行程的长度；国际千克原器的质量为1kg ；„„；③标准器复现的量值，标准器的误差是被测仪器误差的(1/3～1/10),达到可忽略的程度，认为标准值为约定真值；④做化学成分分析试验时，有证标准物质的量值认为是约定真值。
注：测量误差也称“绝对误差”，或直接称为“误差”注意不要与误差的绝对值相混淆。
例1：测得某平面三角形的三个内角和为180°00′03″，则该内角和的误差为+3″。
例2：用0.05级活塞压力计检定0.4级压力表，压力计调整的压力值为10MPa ，压力表的示值为9.8 MPa 。则压力表的示值误差为9.8 MPa-10MPa=-0.2 MPa
对于制造实物量具的企业来说，使用偏差更为方便。要加工的实物量具的值为标称值，而对于加工的实际值来说，偏离了要求的标称值，这个差值称为加工偏差。
偏差=（-误差）=（标准值-标称值）=实际值-标称值 指：加工后的实际量值(标准值) 偏离要求的标称值的大小。 以标称值为参照点，相对于标称值来说偏离了多少。
如果用皮尺测量100m 的准确距离，测量值为101m ，误差为1m ；用钢尺测量准确距离为1000m 的长度，测量值为1001m 误差也是1m 。从误差值来说，它们都一样，但不能说两者的准确度一样，若将误差用相对值表示为，皮尺：1%；钢尺：0.1%。很明显看出哪一个准确度更高。
对于测量相同值的两种器具，比较准确度时可用绝对误差；测量不同值时比较它们的准确度，用相对值更方便。
6、相对误差：测量误差除以被测量的真值(参考量值) 。 注：由于真值不能确定，实际上用的是约定真值(参考量值)
相对误差=绝对误差⨯100% 参考量值
例3：某量测量值为100，经检定其参考值为102（标准器指示值），则其误差=100-102=-2
相对误差=100-102⨯100%=-2% 98
如材料试验机的允许误差就是用相对误差表示的，对
于1级试验机，在（0～300）kN 测量范围内，200kN 测量点的允许误差为：200 kN×(±1%)=±2 kN
7、引用误差：
引用误差是一种简化的和实用方便的相对误差，对于具有测量范围的仪表，若计算各点的相对误差因其分母都不同，各点的相对值也不同，无法比较和描述整个测量范围的准确程度，为了计算和划分准确度方便，一律取该仪表的量程作为分母。这种相对误差的表示形式称为引用误差。
引用误差定义：测量仪器的误差除以仪器的特定值。
注:该特定值一般是测量仪器满量程值或标称范围的上限（在下限不为零时，量程值的计算为：量程值=上限值—下限值，如温度计测量范围为（-30～50）℃，则量程值=80）。在测量范围内某一点的引用误差和仪表的引用误差计算时分子取值不同。
仪表的最大误差⨯100% 满量程值
该点的误差⨯100% 某测量点的引用误差=满量程值仪表的引用误差=
如电工仪表的准确度等级分别为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，
2.5，5.0级，表明仪表的引用误差不能超过的界限，一般来说，如果仪表为S 级，则说明合格仪表的最大引用误差不超过±S%，该仪表的量程为A ，其最大允许误差（MPE ）为： MPE =±(A×S%)
对于刻度均匀的电工仪表、温度仪表和压力仪表，常用引用误差来表示，这样只要知道它的准确度等级，就知道它的最大允差。刻度不均匀的电工仪表用相对误差表示，如兆欧表。有些数字式仪表，说明书中常用MPE ：±(级别数字)%·FS ，其中FS 是满量程值，这就是引用误差。
例4： 一块0.1级量程为10A 的电流表，经检定各测量点中最大的示值误差为+8mA,问该电流表是否合格？
该电流表的最大允许误差=±0.1%×10A=±0.01A=±10 mA 8mA＜10 mA 所以该电流表合格。
例5：某待测的电压约为100V ，现有0.5级（0～300）V 和1.0级（0～100）V 两块电压表，问用哪一块表测量较好。 解：0.5级(0～300)V 电压表的MPE =±300×0.5%=±1.5V 1.0级（0～100）V 电压表的MPE =±100×1.0%=±1.0 V
显然这里采用1.0级比0.5级的电压表较好。
例6：某计量所热工室的热电偶检定装置中，对检定炉进行控温的一台温度指示控制仪0.5级，测量范围为（0～1200）℃，本所出具的校准证书上给出校准结果：
仪器示值 示值误差
400℃ -5℃
800℃ -8℃
1000℃ -10℃
请你对该温控仪进行计量确认。
【分析】计量确认主要看使用要求，按规程要求的参数确认，若没有具体要求可按该仪器本身的技术参数进行确认：
计算该温控仪的最大允差:MPE=±(1200×0.5%)=±6℃ 因800℃和1000℃两点的误差超出了-6℃，该温控仪确认不合格。应进行调修或更换。
8、误差来源
通过对测量过程的分析可知，测量结果的误差来源于：①设备误差；②环境误差；③人员误差；④方法误差。
1）、设备误差
测量设备包括测量仪器和辅助装置。
测量设备误差主要由四部分引入：
a. 由于制造工艺和长期使用磨损引起的，属于结构性误差。 b. 在使用时没有调整到水平、垂直、平行等理想状态，应当对中的没有对中，方向不准等，这些属于使用中调整性的误差。
c. 变化性误差，如设备随时间的不稳定性及随空间位置变化的不均匀性。
d. 辅助装置误差，为使测量方便进行而加入的辅助附件，如电测中的转换开关及移动触点，连接导线，电源、热源等。 e. 设备之间的干扰，如天平和带电机的及有机械动作的设备之间。
2）、环境误差
由于各种环境因素与要求的标准状态不一致而引起测量设备和被测量本身的变化。如温度、湿度、气压、震动、照明、加速度、电磁场、风的流动、空气含尘量等。测量设备使用与检定时环境因素的差异引起的误差。玻璃量器检定室使用的电子天平安放在门口的工作台上，环境条件不满足天平的使用要求。天平在称量过程中其他检定员推门而入，产生的风流导致天平称量不准（尤其mg 级），这时天平室应设置工作状态标识。
3）、人员误差
测量人员生理上的最小分辨力，感觉器官的生理变化，反应速度和固有习惯引起的误差。如记录某一上升信号，测量人员滞后和超前，刻度读数偏左偏右，偏上或偏下。常表现为视差、观测误差、估读误差等通称读数误差。如有的单位为了统一和美观，将温湿度计在墙上挂的很高，
这是人为造成检定员不能准确读数。读数要求视线与仪表指针水平、垂直。
4）、方法误差
由于测量方法或计算方法不完善所引起的误差。
如瞬时取样测量，而实际上取样间隔不为零；经验公式选择的近似性和系数确定的近似性。还有如电测量中由于方法不善引起装置绝缘漏电、热电势、引线电阻上的压降。还有一些误差不是测量设备和被测对象引起，当设备与对象一连接后就将误差带给了测量结果，如测电压时，电压表的内阻不够大而加入了并联电阻，测电流时内阻不够小加入一串联电阻，引起测量误差。
为确保方法误差最小，要求严格执行检定规程/校准规范进行操作。若要偏离标准要求，仅限文件规定的、临时短期可控行为且不影响测量结果的偏离。若长期偏离，机构就应单独制定校准方法，按非标方法进行确认；检定工作不允许偏离。
在规程/规范新投用和变更后要求进行验证，不仅要识别相应的人员、设备、方法、环境和设施等还应通过试验证明结果的准确性和可靠性，如考察测量重复性、测量误差的大小来验证，必要时进行实验室间比对。
9、误差分类和性质
误差按性质分为随机误差和系统误差。
旧说法分为三类还包括粗大误差，粗大误差属于失误等原因造成的异常数据，在计算测量结果时必须剔除，所以它不能包含在测量结果内。进行测量时为确保测量结果的准确可靠，必须弄清测量过程中引入了哪些误差，然后有针对的实施控制或消除。
1）、随机误差：在重复测量中按不可预见方式变化的测量误差的分量。如测量过程中环境条件的波动、干扰等偶然因素引起的测量误差就属于随机误差。在重复性测量条件下，多次测量同一个量时，随机误差的绝对值和符号的变化，时大时小，时正时负，以不可预定的方式变化着。 随机误差具有：①随机误差随每次测量值不同而不同；②随机误差也只有一个符号或正或负；③无限多个重复测量结果中的各不相同的无限多个随机误差的代数和相互抵消为零；④今后不再使用“偶然误差”这个词。
2）、系统误差：在重复测量中保持不变或按可预见方式变化的测量误差的分量。如测量过程中设备自身的误差带给测量结果的误差部分属于系统误差。系统误差一般都是稳定的，带给各测量结果都是相同的偏差。
系统误差具有：①系统误差存在于重复测量的各个测量结果中均有相同的值；②得出的系统误差可用于对测量结果进行修正，其反符号之值就是修正值，与测量结果相加来补偿系统误差；
10、常用消除误差的方法
消除误差常用的几个基本方法：
1）系统误差的消除
①以加修正值的方法消除。
修正定义：对估计的系统误差的补偿。
修正值等于负的系统误差。计算公式为：
修正值=标准值-测量值=-误差
修正因子是为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子。
②在测量过程中，选择适当的测量方法，使系统误差抵消而不致带入测量结果中。主要介绍恒定系统误差消除法。 a、异号法
改变测量中的某些条件，例如测量方向、正负极性等，使两种条件下的测量结果中系统误差符号相反，取其平均值以消除系统误差。
例：测微仪有空转现象，即刻度变化，而量杆不动，在检定与测量部位引起系统误差。为消除这一系统误差，可从两个方向对线，第一次顺时针对准标志读数为d ，设空转引起的系统误差为δ，不含系统误差的测量值为a ，则 d =a +δ
第二次逆时针方向旋转对准标志读数为d ′，则有 d ′=a -δ
于是取其平均值即得不含系统误差的测量值a =(d +d ′)/2
b、位置交换法
交换法本质上也是异号，例如等臂天平的两臂存在微小差异，第一次在右边秤盘中放被测物，左边放砝码得到被测物质量为m 1，第二次互换位置的到被测物质量为m 2，则被测物的质量为m=(m1+m2)/2,这时测量结果中不再含有
天平的不等臂性引入的系统误差。
c 、替代法
保持测量条件不变，用某一已知量值替换被测量，再作测量以达到消除系统误差的目的。例如用天平测量被测物，先用一个平衡物使天平达到平衡，然后取下被测物，放上砝码达到平衡后，则有砝码的质量即为被测物的质量。
在电学计量中，用电桥进行准确测量时也常用此法。
一般检定/校准证书上给出的示值误差就是系统误差，它的相反符号的值就是修正值。
所有带“等”的标准器具（如标准玻璃温度计、量块等）需要使用实际值，这时，标准器具的标称值或示值，要求
加上溯源证书上给出的修正值才成为实际值，这是消除系统误差的典型事例。
2）随机误差的消除
考虑到随机误差是由多种因素的微小变化引入，时大时小，时正时负，具有抵偿性，综合值为0，故一般用增加测量次数及用平均值最为测量结果的方法。
在我们日常测量工作、能力验证或实验室间比对时，常常对同一样品在重复性条件下进行多次测量，最后在剔除异常值后取平均值作为测量结果，就是为了抵消随机误差，提高测量的准确性。
误差的运算：
测量结果的综合误差是由许多分量组成，其合成只能用代数和的形式直接加减计算。
误差=系统误差+随机误差
11、什么是测量？
通过实验获得并可合理赋予某量一个或多个量值的过程。
测量是指以确定量值为目的的一组操作。
测量是计量的范畴，但不能说计量就是测量。
12、测量结果：与其他有用的相关信息一起赋予被测量的一组量值。由测量所得到的赋予被测量的值。
注：①．在给出测量结果时，应说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果。一切测量结果都是被测量的一个近似值，因而称之为被测量之值的估计值，而最佳估计值是在重复性条件下的多次测量的算术平均值。
②．在测量结果的完整表述中应包括测量不确定度，必要时还应说明有关影响量的取值范围。
③如果认为测量不确定度可忽略不计（要求不高的测量），则测量结果可表示为单个测得的量值。在许多领域中这是表示测量结果的常用方式。
测量结果的表示有三种形式：a) 被测量之值的估计值（平均值）；b) 示值误差的估计值；c) 修正值的估计值。
测量的目的是为了得到测量结果，测量结果是用量值或数据表达的，且是人们将测量值处理后赋予测量结果的，如何科学、合理的处理好测量值，保留到合适的小数位，就要了解数据处理要求。
二、数据处理
1、数据修约规则：4舍6入，逢5取偶原则
数据修约规则:一般数据的修约都是按1,2,5间隔修约。
1）“1”间隔修约规则：4舍6入，逢5取偶。
意思为：4舍6入5求偶，5后非0则进1, 5后皆0视奇偶，5前为偶应舍去，5前为奇则进1。
实例分析：请将下列数值修约到只保留二位小数：
① 2.2150001; ② 2.22499; ③ 2.22600;
④ 2.22500; ⑤ 2.21500
实例分析答案：
① 2.22 (5后非0则进1) ；
② 2.22 (4舍6入）；
③ 2.23 (4舍6入）；
④ 2.22 (5前为偶应舍去）；
⑤ 2.22 (5前为奇则进1) 。
2）“2”间隔修约规则，或称按“2” 化整
先将拟修约的数据除以2，按“1”间隔规则修约到要保留的位数，最后再乘以2则为按2修约的结果数据。按“2”间隔修约的结果均为2的整数倍。
例如：60.30，修约间隔为0.2。
60.30÷2→30.15按0.1间隔修约→30.2×2→60.4
3）“5”间隔修约规则，或称按“5”化整
先将拟修约的数据除以5，按“1”间隔规则修约到要保留的位数，最后再乘以5则为按5修约的结果数据。按“5”间隔修约的结果均为5的整数倍。
例如：18.076，修约间隔为0.05。
18.076÷5→3.6152按0.01间隔修约→3.62×5→18.10
注：上述方法便于记忆，也有的按“2”间隔修约时，先乘以5，修约后再除以5；“5”间隔修约时，先乘以2，修约后再除以2即可。
2、有效数字、有效位数
要求：原始记录上的数据必须是有效数字，而从仪表上读取的数据应保留到哪一位小数，才能确保写出的数据为有效数字。
例如：有一块指针式压力表，测量的压力值见刻度示意图： 分度值为0.1MPa
4
像这样的数据，只有末位是估计的即不准确的，其余为准确数字，就是有效数字。5是能够读到的最底位，若写成3.256，这个6也是估计的（是无法读到的），而且5和6这两位都是不准确的，像这个数据就不是有效数字。
1）、有效数字：有效数字是指实际上能测量到的数字，通常包括全部准确数字和一位不确定的可疑数字。把只保留一位不准确数字其余为准确数字的数字称为有效数字。
有效位数确定的原则:
①第一个非零数字前的“0”不是有效数字，如：0.32，0.032，0.0032均为两位有效数字；②非零数字中间的“0”是有效数字，如3.009为四位有效数字；③小数中最后一个非零数字后的“0”是有效数字，2.400为四位有效数字；④以“0”为结尾的整数，有效位数难以确定，如35000可能为2、3、4、5为有效数字，若表示成3.5×104为2位有效数字。
2）有效数字运算规则
① 加减法
先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。 例：计算50.1+1.45+0.5812=?
修约为：50.1+1.4+0.6=52.1
先修约，结果相同而计算简捷。
例：计算 12.43+5.765+132.812=?
修约为：12.43+5.76+132.81=151.00
注意：用计数器计算后，屏幕上显示的是151，但不能直接记录，否则会影响以后的修约；应在数值后添两个0，使小数点后有两位有效数字。
② 乘除法
先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
例：计算0.0121×25.64×1.05782=?
修约为：0.0121×25.6×1.06=?
计算后结果为:0.3283456,结果仍保留为三位有效数字。记录为：0.0121×25.6×1.06=0.328
注意：用计算器计算结果后，要按照运算规则对结果进行修约
例：计算2.5046×2.005×1.52=?
修约为：2.50×2.00×1.52=?
计算器计算结果显示为7.6，只有两位有效数字，但我们抄
写时应在数字后加一个0，保留三位有效数字。
2.50×2.00×1.52=7.60
练习：1）1.01+0.1×0.020-1.000=1.01+0.002-1.000
=1.01+0.00-1.00=0.01
2）2πR(R=1.01)= 2π×1.01
=2×3.14×1.01(=6.3428)=6.34
3) 2.3847×0.76÷41678=2.4×0.76÷42×103
=0.043429×103=43
4) 4.400+0.012×18.352÷0.2002-1.5×2.001
=4.400+1.1-3.0=4.4+1.1-3.0=2.5
5) 100.0+1.000×103×10.000+1000.00=
100.0+0.01000+1000.00=100.0+0.0+1000.0
=1100.0
6) 2⨯0. 12÷4. 252=1. 414214)
=1.4×0.12÷4.2=0.040(计算器计算的是0.04)
三、测量不确定度
1963年美国标准局（NBS ）的数理统计专家埃森哈特首次提出了测量不确定度的概念，并在当时国际上受到普遍的关注。1970年美国标准局进一步提出了不确定度的定量表示方法。1980年国际计量局在征求了32个国际计量院以及5个国际组织的意见后，推荐采用测量不确定度来评定测量结果的建议书，即INC-1(1980)。1993年，7个国际组织联合发布《测量不确定度表示指南》简称GUM 。1999年，我国颁布实施了JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》。2012年分别颁布了JJF1059.1-2012《测量不确定度评定与表示》和JJF1059.2-2012《蒙特卡罗法评定测量不确定度》。
测量不确定度评定和表示方法的统一，是科技交流和国际贸易进一步发展的要求，它使得不同国家所得到的测量结果可以方便地进行相互比较，可以得到相互承认并达成共识，因此各国际组织和各国的计量部门均十分重视测量不确定度评定方法和表示方法的统一。
首先介绍几个与不确定度有关的术语：
1、测量精密度 简称精密度
在规定条件下，对同一或类似被测对象重复测量所得示值或测得值间的一致程度。或者说在一定的条件下进行多次重复测量时，所得测量结果之间的集中（一致）程度，或称测量结果的分散性。
注：①. 精密度通常用不精密程度以数字表示，常用标准偏差表示（或
方差或不确定度）。
②. 规定条件可以是重复性条件或复现性条件。
③. 用精密度来定义测量重复性和测量复现性。
④. 若用“测量精密度”来表示“测量准确度”，是错误的。 精密度是表示测量结果中的随机误差大小的程度。准确度是表示测量结果中系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的一致程度。
2、测量重复性 简称重复性：
在一组重复性测量条件下的测量精密度。
将“精密度”定义中的“规定条件”改成“重复性条件”就变成重复性的定义了。描述在重复性条件下测量结果的分散性的参数。
3、测量复现性 简称复现性：
在复现性条件下的测量精密度。
将“精密度”定义中的“规定条件”改成“复现性条件”就变成复现性的定义了。描述在复现性条件下测量结果的分散性的参数。 测量重复性和复现性都使用“标准偏差”来定量表示。
4、实验标准偏差 简称标准偏差 或标准差
对同一被测量进行n 次测量，表征测量结果分散性的量。用符号s 表示。
无论是重复性条件还是复现性条件下，进行多次测量得到一组测得值，若考虑这些测得值的分散性（精密度）时，都要用标准偏差来计算和表示。所以标准偏差是一个专门表示测量结果分散性的参数。
在重复性条件下，对某量x 进行了n 次独立测量，得到测量列为：x 1，x 2，x 3，……x n 。
先计算平均值：x =∑x i =1n i
n =x x +x 2+ +x n n
实验标准偏差s 可按贝塞尔公式计算： s =∑(x i =1n i -x )2
n -1=x +x 2-x + +x n -x 1-x
n -1222
式中：x i ——第i 次测量的测得值；n ——测量次数；
x ——n 次测量所得一组测得值的算术平均值。 其中(x i -x ) 称为残余误差。x 中只含系统误差，不含随机误差；x i 中既含系统误差又含随机误差，两者相减就
只剩下随机误差了。所以按贝塞尔公式计算得到的实验标准偏差s 是描述随机误差大小的参数，或者说是描述测量结果分散性或精密度的参数。
因测量结果一般都是用平均值表示的，n 次测量的算术平均值x 的实验标准偏差s x )为：s x )=s
n
5、测量不确定度简称不确定度
根据所用到的信息，表征赋予被测量量值分散性的非负参数。
注：测量不确定度一般由若干分量组成。其中一些分量可根据一系列测量值的统计分布，按测量不确定度的A 类评定方法进行评定，并可用标准差表征。而另一些分量则可根据基于经验或其它信息所获得的分布区间，按测量不确定度的B 类评定方法进行评定，也用标准偏差表征。
测量不确定度是定量描述测量结果分散性的技术指标，在统计学中定量描述分散性的参数是用“标准偏差”，所以都用标准偏差来表示不确定度的值。
测量结果的不准是受测量过程中各种因素的影响（如设备、方法、环境、人员等），每一个因素都贡献一个测量不确定度的分量，所以测量不确定度是由多个分量组成的，为了区分起见，出现了不同的术语：用于描述各分量的不确定度称为“标准不确定度”，定量表示使用标准偏差；根据标准不确定度各分量评定方法不同分为：标准不确定度的“A 类评定”和“B 类评定”。
6、标准不确定度：以标准偏差表示的测量不确定度。
一个测量结果的不确定度是由多个标准不确定度分量组成，为区分各分量用带下标的符号“u i ”。
7、测量不确定度的A 类评定
对在规定测量条件下测得的量值用统计分析的方法进行的测量不确定度分量的评定。
注：规定测量条件是指重复性测量条件、期间精密度测量条件（在同一地点长期的、用相同方法对同一对象进行多次测量，其他测量条件可以改变）或复现性测量条件。
用实验标准偏差定量表示。一般用平均值的标准差。
8、测量不确定度的B 类评定
用不同于测量不确定度A 类评定的方法对测量不确定度分量进行的评定。
用估计的标准偏差定量表示。它是基于经验或其他信息的假定概率分布下估算出的标准偏差。
9、合成标准不确定度 用符号“u c ” 表示
由在一个测量模型中各输入量的标准测量不确定度获得的输出量的标准测量不确定度。合成标准不确定度仍然是单倍的标准偏差，是测量结果的标准偏差，它表征了测量结果的分散性。只不过表示的区间较小，在正态分布时其置信概率为P =68.27%，可信度较低，要提高可信度就必须将区间适当扩展，包含的被测量值多一些。
10、扩展不确定度 用符号“U ”表示
合成标准不确定度与一个大于1的数字因子的乘积。 扩展不确定度表示的是一个较大的区间，可望该区间包含了测量结果的绝大部分，起码应该90%以上。
11、包含因子 用符号“k ”表示
为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的大于1的数。有时称覆盖因子。但计算标准不确定度时用臵信因子，也用“k ”表示，注意这时不要称为“包含因子”。
12、包含概率 用符号“P ” 表示
在规定包含区间内包含被测量的一组值的概率。包含概率用0～1之间的数表示，或用百分数表示。如同我们打靶的击中点落在10环内或5环内甚至1环内的把握有多大，这个把握用百分之多少表示就是概率p ，几环内就表示的一个范围或区间。
13、仪器的测量不确定度
由所用测量仪器进行测量时引起的测量不确定度的分量。
四、测量不确定度的评定
测量不确定度评定步骤(不确定度评定报告编写格式) 为：
名称： XXX（被测器具名称）XXX （参数）测量结果的
不确定度评定报告
简化的测量不确定度评定方法：
对于计量标准器比较简单，准确度较低，影响量较少时，不确定度评定可只考虑主要分量，简单评定如：
①测量模型： y=x1-x 0
x 1—仪器示值； x 0—标准器的值；y —仪器的误差。 ②测量重复性引入的标准不确定度u 1
选择一般状态的被检器具，在重复性条件下，进行多次重复测量（测量次数n ≥10）, 获得一组测得值，用贝塞尔公式计算出单次测量标准偏差s ，再计算平均值的标准偏差s x )就是重复性引入的标准不确定度u 11
当s 很小时，还应验证指针式仪表分度值或数字式仪表的分辨力δ引入的标准不确定度的大小，读数误差为±δ/2，按均匀分布，k =，则
u 12=δ/2
=δ
2=0. 274δ
考虑不确定度不应重复评定，从u 11和u 12中取较大者为u 1
③标准器引入的标准不确定度u 2
标准器最大允差为MPE ：±a ，按均匀分布，k =3，则 u 2=a
=0. 577a
④合成标准不确定度
2u c =u 12+u 2
⑤扩展不确定度：直接取k =2 U =2×u c
⑥不确定度报告：用„„标准器检定„„仪器，X 测量点的检定结果为： 扩展不确定度为：U = k =2
误差与数据处理知识
一、误差
1、量：描述现象、物体或物质的特性、其大小可用一个数和一个参照对象表示。
由定义可知，量是由一个纯数据和一个计量单位组成。
量可指一般概念的量或特定量。其符号用斜体表示， 一般概念的量如：长度l 、质量m 。
特定量如：长度为2m 、质量为0.5g 。
2、真值：与量的定义一致的量值。
如按照计量单位定义复现出来的量值为真值。
量的真值只能通过完善的测量才能获得，所以真值是无法测量到的，随着测量准确度的逐步提高，只能越来越接近真值。但在实际应用时还需要使用真值，为此，人们常常将高等级的计量标准复现的量值作为下一级测量的约定真值；将有证标准物质的量值作为检测结果的约定真值。
3、被测量：拟测量的量。
为保证特定条件下的被测量值是单一的，应根据所需要的准确度及特定条件予以完整定义，如：1m 长的铁棒需要测至微米级准确度，就必须说明所给定的温度和压力等，但要测到毫米级准确度就不需给定温度、压力和其他影响的值。
4、影响量：在直接测量中不影响实际被测的量、但会影响示值与测量结果之间关系的量。原定义：不是被测量但对测量结果有影响的量。
如：a ）测量某物体长度时测微计的温度（不包括物体本身的温度，因为物体的温度可以进入被测量的定义中）；
b）测量交流电压时的频率；
科学是从测量开始的，对自然界所发生的量变现象的研究，常常需要借助于各式各样的试验与测量来完成。由于认识能力的不足和科学水平的限制，试验中测得的值和它的客观真值并不一致，这种矛盾在数值上的表现即为误差。
误差公理:测量结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。由于我们的工作就是测量，所以就应该了解有关误差的知识。
5、测量误差：测得的量值减去参考量值。
根据定义误差表示两个量的差值，所以误差为带有正号或负号的量值，与测量结果一样的计量单位。表示测量结果对真值的偏离量，以真值为参照点。是一个确定的量值，所以误差值不能带有±号。常用“Δ”或“δ”表示。
误差计算公式：
测量误差Δ=测量结果—参考量值
测量结果可以是：给出值、测得值、实验值、仪器示值、标称值、预置值、计算近似值等。
参考量值可以是：①理论真值，如平面三角形三内角和为180°；②计量学约定真值，如国际计量大会决议的计量单位的定义值：光在真空中在1/299 792 458秒的时间间隔内行程的长度；国际千克原器的质量为1kg ；„„；③标准器复现的量值，标准器的误差是被测仪器误差的(1/3～1/10),达到可忽略的程度，认为标准值为约定真值；④做化学成分分析试验时，有证标准物质的量值认为是约定真值。
注：测量误差也称“绝对误差”，或直接称为“误差”注意不要与误差的绝对值相混淆。
例1：测得某平面三角形的三个内角和为180°00′03″，则该内角和的误差为+3″。
例2：用0.05级活塞压力计检定0.4级压力表，压力计调整的压力值为10MPa ，压力表的示值为9.8 MPa 。则压力表的示值误差为9.8 MPa-10MPa=-0.2 MPa
对于制造实物量具的企业来说，使用偏差更为方便。要加工的实物量具的值为标称值，而对于加工的实际值来说，偏离了要求的标称值，这个差值称为加工偏差。
偏差=（-误差）=（标准值-标称值）=实际值-标称值 指：加工后的实际量值(标准值) 偏离要求的标称值的大小。 以标称值为参照点，相对于标称值来说偏离了多少。
如果用皮尺测量100m 的准确距离，测量值为101m ，误差为1m ；用钢尺测量准确距离为1000m 的长度，测量值为1001m 误差也是1m 。从误差值来说，它们都一样，但不能说两者的准确度一样，若将误差用相对值表示为，皮尺：1%；钢尺：0.1%。很明显看出哪一个准确度更高。
对于测量相同值的两种器具，比较准确度时可用绝对误差；测量不同值时比较它们的准确度，用相对值更方便。
6、相对误差：测量误差除以被测量的真值(参考量值) 。 注：由于真值不能确定，实际上用的是约定真值(参考量值)
相对误差=绝对误差⨯100% 参考量值
例3：某量测量值为100，经检定其参考值为102（标准器指示值），则其误差=100-102=-2
相对误差=100-102⨯100%=-2% 98
如材料试验机的允许误差就是用相对误差表示的，对
于1级试验机，在（0～300）kN 测量范围内，200kN 测量点的允许误差为：200 kN×(±1%)=±2 kN
7、引用误差：
引用误差是一种简化的和实用方便的相对误差，对于具有测量范围的仪表，若计算各点的相对误差因其分母都不同，各点的相对值也不同，无法比较和描述整个测量范围的准确程度，为了计算和划分准确度方便，一律取该仪表的量程作为分母。这种相对误差的表示形式称为引用误差。
引用误差定义：测量仪器的误差除以仪器的特定值。
注:该特定值一般是测量仪器满量程值或标称范围的上限（在下限不为零时，量程值的计算为：量程值=上限值—下限值，如温度计测量范围为（-30～50）℃，则量程值=80）。在测量范围内某一点的引用误差和仪表的引用误差计算时分子取值不同。
仪表的最大误差⨯100% 满量程值
该点的误差⨯100% 某测量点的引用误差=满量程值仪表的引用误差=
如电工仪表的准确度等级分别为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，
2.5，5.0级，表明仪表的引用误差不能超过的界限，一般来说，如果仪表为S 级，则说明合格仪表的最大引用误差不超过±S%，该仪表的量程为A ，其最大允许误差（MPE ）为： MPE =±(A×S%)
对于刻度均匀的电工仪表、温度仪表和压力仪表，常用引用误差来表示，这样只要知道它的准确度等级，就知道它的最大允差。刻度不均匀的电工仪表用相对误差表示，如兆欧表。有些数字式仪表，说明书中常用MPE ：±(级别数字)%·FS ，其中FS 是满量程值，这就是引用误差。
例4： 一块0.1级量程为10A 的电流表，经检定各测量点中最大的示值误差为+8mA,问该电流表是否合格？
该电流表的最大允许误差=±0.1%×10A=±0.01A=±10 mA 8mA＜10 mA 所以该电流表合格。
例5：某待测的电压约为100V ，现有0.5级（0～300）V 和1.0级（0～100）V 两块电压表，问用哪一块表测量较好。 解：0.5级(0～300)V 电压表的MPE =±300×0.5%=±1.5V 1.0级（0～100）V 电压表的MPE =±100×1.0%=±1.0 V
显然这里采用1.0级比0.5级的电压表较好。
例6：某计量所热工室的热电偶检定装置中，对检定炉进行控温的一台温度指示控制仪0.5级，测量范围为（0～1200）℃，本所出具的校准证书上给出校准结果：
仪器示值 示值误差
400℃ -5℃
800℃ -8℃
1000℃ -10℃
请你对该温控仪进行计量确认。
【分析】计量确认主要看使用要求，按规程要求的参数确认，若没有具体要求可按该仪器本身的技术参数进行确认：
计算该温控仪的最大允差:MPE=±(1200×0.5%)=±6℃ 因800℃和1000℃两点的误差超出了-6℃，该温控仪确认不合格。应进行调修或更换。
8、误差来源
通过对测量过程的分析可知，测量结果的误差来源于：①设备误差；②环境误差；③人员误差；④方法误差。
1）、设备误差
测量设备包括测量仪器和辅助装置。
测量设备误差主要由四部分引入：
a. 由于制造工艺和长期使用磨损引起的，属于结构性误差。 b. 在使用时没有调整到水平、垂直、平行等理想状态，应当对中的没有对中，方向不准等，这些属于使用中调整性的误差。
c. 变化性误差，如设备随时间的不稳定性及随空间位置变化的不均匀性。
d. 辅助装置误差，为使测量方便进行而加入的辅助附件，如电测中的转换开关及移动触点，连接导线，电源、热源等。 e. 设备之间的干扰，如天平和带电机的及有机械动作的设备之间。
2）、环境误差
由于各种环境因素与要求的标准状态不一致而引起测量设备和被测量本身的变化。如温度、湿度、气压、震动、照明、加速度、电磁场、风的流动、空气含尘量等。测量设备使用与检定时环境因素的差异引起的误差。玻璃量器检定室使用的电子天平安放在门口的工作台上，环境条件不满足天平的使用要求。天平在称量过程中其他检定员推门而入，产生的风流导致天平称量不准（尤其mg 级），这时天平室应设置工作状态标识。
3）、人员误差
测量人员生理上的最小分辨力，感觉器官的生理变化，反应速度和固有习惯引起的误差。如记录某一上升信号，测量人员滞后和超前，刻度读数偏左偏右，偏上或偏下。常表现为视差、观测误差、估读误差等通称读数误差。如有的单位为了统一和美观，将温湿度计在墙上挂的很高，
这是人为造成检定员不能准确读数。读数要求视线与仪表指针水平、垂直。
4）、方法误差
由于测量方法或计算方法不完善所引起的误差。
如瞬时取样测量，而实际上取样间隔不为零；经验公式选择的近似性和系数确定的近似性。还有如电测量中由于方法不善引起装置绝缘漏电、热电势、引线电阻上的压降。还有一些误差不是测量设备和被测对象引起，当设备与对象一连接后就将误差带给了测量结果，如测电压时，电压表的内阻不够大而加入了并联电阻，测电流时内阻不够小加入一串联电阻，引起测量误差。
为确保方法误差最小，要求严格执行检定规程/校准规范进行操作。若要偏离标准要求，仅限文件规定的、临时短期可控行为且不影响测量结果的偏离。若长期偏离，机构就应单独制定校准方法，按非标方法进行确认；检定工作不允许偏离。
在规程/规范新投用和变更后要求进行验证，不仅要识别相应的人员、设备、方法、环境和设施等还应通过试验证明结果的准确性和可靠性，如考察测量重复性、测量误差的大小来验证，必要时进行实验室间比对。
9、误差分类和性质
误差按性质分为随机误差和系统误差。
旧说法分为三类还包括粗大误差，粗大误差属于失误等原因造成的异常数据，在计算测量结果时必须剔除，所以它不能包含在测量结果内。进行测量时为确保测量结果的准确可靠，必须弄清测量过程中引入了哪些误差，然后有针对的实施控制或消除。
1）、随机误差：在重复测量中按不可预见方式变化的测量误差的分量。如测量过程中环境条件的波动、干扰等偶然因素引起的测量误差就属于随机误差。在重复性测量条件下，多次测量同一个量时，随机误差的绝对值和符号的变化，时大时小，时正时负，以不可预定的方式变化着。 随机误差具有：①随机误差随每次测量值不同而不同；②随机误差也只有一个符号或正或负；③无限多个重复测量结果中的各不相同的无限多个随机误差的代数和相互抵消为零；④今后不再使用“偶然误差”这个词。
2）、系统误差：在重复测量中保持不变或按可预见方式变化的测量误差的分量。如测量过程中设备自身的误差带给测量结果的误差部分属于系统误差。系统误差一般都是稳定的，带给各测量结果都是相同的偏差。
系统误差具有：①系统误差存在于重复测量的各个测量结果中均有相同的值；②得出的系统误差可用于对测量结果进行修正，其反符号之值就是修正值，与测量结果相加来补偿系统误差；
10、常用消除误差的方法
消除误差常用的几个基本方法：
1）系统误差的消除
①以加修正值的方法消除。
修正定义：对估计的系统误差的补偿。
修正值等于负的系统误差。计算公式为：
修正值=标准值-测量值=-误差
修正因子是为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子。
②在测量过程中，选择适当的测量方法，使系统误差抵消而不致带入测量结果中。主要介绍恒定系统误差消除法。 a、异号法
改变测量中的某些条件，例如测量方向、正负极性等，使两种条件下的测量结果中系统误差符号相反，取其平均值以消除系统误差。
例：测微仪有空转现象，即刻度变化，而量杆不动，在检定与测量部位引起系统误差。为消除这一系统误差，可从两个方向对线，第一次顺时针对准标志读数为d ，设空转引起的系统误差为δ，不含系统误差的测量值为a ，则 d =a +δ
第二次逆时针方向旋转对准标志读数为d ′，则有 d ′=a -δ
于是取其平均值即得不含系统误差的测量值a =(d +d ′)/2
b、位置交换法
交换法本质上也是异号，例如等臂天平的两臂存在微小差异，第一次在右边秤盘中放被测物，左边放砝码得到被测物质量为m 1，第二次互换位置的到被测物质量为m 2，则被测物的质量为m=(m1+m2)/2,这时测量结果中不再含有
天平的不等臂性引入的系统误差。
c 、替代法
保持测量条件不变，用某一已知量值替换被测量，再作测量以达到消除系统误差的目的。例如用天平测量被测物，先用一个平衡物使天平达到平衡，然后取下被测物，放上砝码达到平衡后，则有砝码的质量即为被测物的质量。
在电学计量中，用电桥进行准确测量时也常用此法。
一般检定/校准证书上给出的示值误差就是系统误差，它的相反符号的值就是修正值。
所有带“等”的标准器具（如标准玻璃温度计、量块等）需要使用实际值，这时，标准器具的标称值或示值，要求
加上溯源证书上给出的修正值才成为实际值，这是消除系统误差的典型事例。
2）随机误差的消除
考虑到随机误差是由多种因素的微小变化引入，时大时小，时正时负，具有抵偿性，综合值为0，故一般用增加测量次数及用平均值最为测量结果的方法。
在我们日常测量工作、能力验证或实验室间比对时，常常对同一样品在重复性条件下进行多次测量，最后在剔除异常值后取平均值作为测量结果，就是为了抵消随机误差，提高测量的准确性。
误差的运算：
测量结果的综合误差是由许多分量组成，其合成只能用代数和的形式直接加减计算。
误差=系统误差+随机误差
11、什么是测量？
通过实验获得并可合理赋予某量一个或多个量值的过程。
测量是指以确定量值为目的的一组操作。
测量是计量的范畴，但不能说计量就是测量。
12、测量结果：与其他有用的相关信息一起赋予被测量的一组量值。由测量所得到的赋予被测量的值。
注：①．在给出测量结果时，应说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果。一切测量结果都是被测量的一个近似值，因而称之为被测量之值的估计值，而最佳估计值是在重复性条件下的多次测量的算术平均值。
②．在测量结果的完整表述中应包括测量不确定度，必要时还应说明有关影响量的取值范围。
③如果认为测量不确定度可忽略不计（要求不高的测量），则测量结果可表示为单个测得的量值。在许多领域中这是表示测量结果的常用方式。
测量结果的表示有三种形式：a) 被测量之值的估计值（平均值）；b) 示值误差的估计值；c) 修正值的估计值。
测量的目的是为了得到测量结果，测量结果是用量值或数据表达的，且是人们将测量值处理后赋予测量结果的，如何科学、合理的处理好测量值，保留到合适的小数位，就要了解数据处理要求。
二、数据处理
1、数据修约规则：4舍6入，逢5取偶原则
数据修约规则:一般数据的修约都是按1,2,5间隔修约。
1）“1”间隔修约规则：4舍6入，逢5取偶。
意思为：4舍6入5求偶，5后非0则进1, 5后皆0视奇偶，5前为偶应舍去，5前为奇则进1。
实例分析：请将下列数值修约到只保留二位小数：
① 2.2150001; ② 2.22499; ③ 2.22600;
④ 2.22500; ⑤ 2.21500
实例分析答案：
① 2.22 (5后非0则进1) ；
② 2.22 (4舍6入）；
③ 2.23 (4舍6入）；
④ 2.22 (5前为偶应舍去）；
⑤ 2.22 (5前为奇则进1) 。
2）“2”间隔修约规则，或称按“2” 化整
先将拟修约的数据除以2，按“1”间隔规则修约到要保留的位数，最后再乘以2则为按2修约的结果数据。按“2”间隔修约的结果均为2的整数倍。
例如：60.30，修约间隔为0.2。
60.30÷2→30.15按0.1间隔修约→30.2×2→60.4
3）“5”间隔修约规则，或称按“5”化整
先将拟修约的数据除以5，按“1”间隔规则修约到要保留的位数，最后再乘以5则为按5修约的结果数据。按“5”间隔修约的结果均为5的整数倍。
例如：18.076，修约间隔为0.05。
18.076÷5→3.6152按0.01间隔修约→3.62×5→18.10
注：上述方法便于记忆，也有的按“2”间隔修约时，先乘以5，修约后再除以5；“5”间隔修约时，先乘以2，修约后再除以2即可。
2、有效数字、有效位数
要求：原始记录上的数据必须是有效数字，而从仪表上读取的数据应保留到哪一位小数，才能确保写出的数据为有效数字。
例如：有一块指针式压力表，测量的压力值见刻度示意图： 分度值为0.1MPa
4
像这样的数据，只有末位是估计的即不准确的，其余为准确数字，就是有效数字。5是能够读到的最底位，若写成3.256，这个6也是估计的（是无法读到的），而且5和6这两位都是不准确的，像这个数据就不是有效数字。
1）、有效数字：有效数字是指实际上能测量到的数字，通常包括全部准确数字和一位不确定的可疑数字。把只保留一位不准确数字其余为准确数字的数字称为有效数字。
有效位数确定的原则:
①第一个非零数字前的“0”不是有效数字，如：0.32，0.032，0.0032均为两位有效数字；②非零数字中间的“0”是有效数字，如3.009为四位有效数字；③小数中最后一个非零数字后的“0”是有效数字，2.400为四位有效数字；④以“0”为结尾的整数，有效位数难以确定，如35000可能为2、3、4、5为有效数字，若表示成3.5×104为2位有效数字。
2）有效数字运算规则
① 加减法
先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。 例：计算50.1+1.45+0.5812=?
修约为：50.1+1.4+0.6=52.1
先修约，结果相同而计算简捷。
例：计算 12.43+5.765+132.812=?
修约为：12.43+5.76+132.81=151.00
注意：用计数器计算后，屏幕上显示的是151，但不能直接记录，否则会影响以后的修约；应在数值后添两个0，使小数点后有两位有效数字。
② 乘除法
先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
例：计算0.0121×25.64×1.05782=?
修约为：0.0121×25.6×1.06=?
计算后结果为:0.3283456,结果仍保留为三位有效数字。记录为：0.0121×25.6×1.06=0.328
注意：用计算器计算结果后，要按照运算规则对结果进行修约
例：计算2.5046×2.005×1.52=?
修约为：2.50×2.00×1.52=?
计算器计算结果显示为7.6，只有两位有效数字，但我们抄
写时应在数字后加一个0，保留三位有效数字。
2.50×2.00×1.52=7.60
练习：1）1.01+0.1×0.020-1.000=1.01+0.002-1.000
=1.01+0.00-1.00=0.01
2）2πR(R=1.01)= 2π×1.01
=2×3.14×1.01(=6.3428)=6.34
3) 2.3847×0.76÷41678=2.4×0.76÷42×103
=0.043429×103=43
4) 4.400+0.012×18.352÷0.2002-1.5×2.001
=4.400+1.1-3.0=4.4+1.1-3.0=2.5
5) 100.0+1.000×103×10.000+1000.00=
100.0+0.01000+1000.00=100.0+0.0+1000.0
=1100.0
6) 2⨯0. 12÷4. 252=1. 414214)
=1.4×0.12÷4.2=0.040(计算器计算的是0.04)
三、测量不确定度
1963年美国标准局（NBS ）的数理统计专家埃森哈特首次提出了测量不确定度的概念，并在当时国际上受到普遍的关注。1970年美国标准局进一步提出了不确定度的定量表示方法。1980年国际计量局在征求了32个国际计量院以及5个国际组织的意见后，推荐采用测量不确定度来评定测量结果的建议书，即INC-1(1980)。1993年，7个国际组织联合发布《测量不确定度表示指南》简称GUM 。1999年，我国颁布实施了JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》。2012年分别颁布了JJF1059.1-2012《测量不确定度评定与表示》和JJF1059.2-2012《蒙特卡罗法评定测量不确定度》。
测量不确定度评定和表示方法的统一，是科技交流和国际贸易进一步发展的要求，它使得不同国家所得到的测量结果可以方便地进行相互比较，可以得到相互承认并达成共识，因此各国际组织和各国的计量部门均十分重视测量不确定度评定方法和表示方法的统一。
首先介绍几个与不确定度有关的术语：
1、测量精密度 简称精密度
在规定条件下，对同一或类似被测对象重复测量所得示值或测得值间的一致程度。或者说在一定的条件下进行多次重复测量时，所得测量结果之间的集中（一致）程度，或称测量结果的分散性。
注：①. 精密度通常用不精密程度以数字表示，常用标准偏差表示（或
方差或不确定度）。
②. 规定条件可以是重复性条件或复现性条件。
③. 用精密度来定义测量重复性和测量复现性。
④. 若用“测量精密度”来表示“测量准确度”，是错误的。 精密度是表示测量结果中的随机误差大小的程度。准确度是表示测量结果中系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的一致程度。
2、测量重复性 简称重复性：
在一组重复性测量条件下的测量精密度。
将“精密度”定义中的“规定条件”改成“重复性条件”就变成重复性的定义了。描述在重复性条件下测量结果的分散性的参数。
3、测量复现性 简称复现性：
在复现性条件下的测量精密度。
将“精密度”定义中的“规定条件”改成“复现性条件”就变成复现性的定义了。描述在复现性条件下测量结果的分散性的参数。 测量重复性和复现性都使用“标准偏差”来定量表示。
4、实验标准偏差 简称标准偏差 或标准差
对同一被测量进行n 次测量，表征测量结果分散性的量。用符号s 表示。
无论是重复性条件还是复现性条件下，进行多次测量得到一组测得值，若考虑这些测得值的分散性（精密度）时，都要用标准偏差来计算和表示。所以标准偏差是一个专门表示测量结果分散性的参数。
在重复性条件下，对某量x 进行了n 次独立测量，得到测量列为：x 1，x 2，x 3，……x n 。
先计算平均值：x =∑x i =1n i
n =x x +x 2+ +x n n
实验标准偏差s 可按贝塞尔公式计算： s =∑(x i =1n i -x )2
n -1=x +x 2-x + +x n -x 1-x
n -1222
式中：x i ——第i 次测量的测得值；n ——测量次数；
x ——n 次测量所得一组测得值的算术平均值。 其中(x i -x ) 称为残余误差。x 中只含系统误差，不含随机误差；x i 中既含系统误差又含随机误差，两者相减就
只剩下随机误差了。所以按贝塞尔公式计算得到的实验标准偏差s 是描述随机误差大小的参数，或者说是描述测量结果分散性或精密度的参数。
因测量结果一般都是用平均值表示的，n 次测量的算术平均值x 的实验标准偏差s x )为：s x )=s
n
5、测量不确定度简称不确定度
根据所用到的信息，表征赋予被测量量值分散性的非负参数。
注：测量不确定度一般由若干分量组成。其中一些分量可根据一系列测量值的统计分布，按测量不确定度的A 类评定方法进行评定，并可用标准差表征。而另一些分量则可根据基于经验或其它信息所获得的分布区间，按测量不确定度的B 类评定方法进行评定，也用标准偏差表征。
测量不确定度是定量描述测量结果分散性的技术指标，在统计学中定量描述分散性的参数是用“标准偏差”，所以都用标准偏差来表示不确定度的值。
测量结果的不准是受测量过程中各种因素的影响（如设备、方法、环境、人员等），每一个因素都贡献一个测量不确定度的分量，所以测量不确定度是由多个分量组成的，为了区分起见，出现了不同的术语：用于描述各分量的不确定度称为“标准不确定度”，定量表示使用标准偏差；根据标准不确定度各分量评定方法不同分为：标准不确定度的“A 类评定”和“B 类评定”。
6、标准不确定度：以标准偏差表示的测量不确定度。
一个测量结果的不确定度是由多个标准不确定度分量组成，为区分各分量用带下标的符号“u i ”。
7、测量不确定度的A 类评定
对在规定测量条件下测得的量值用统计分析的方法进行的测量不确定度分量的评定。
注：规定测量条件是指重复性测量条件、期间精密度测量条件（在同一地点长期的、用相同方法对同一对象进行多次测量，其他测量条件可以改变）或复现性测量条件。
用实验标准偏差定量表示。一般用平均值的标准差。
8、测量不确定度的B 类评定
用不同于测量不确定度A 类评定的方法对测量不确定度分量进行的评定。
用估计的标准偏差定量表示。它是基于经验或其他信息的假定概率分布下估算出的标准偏差。
9、合成标准不确定度 用符号“u c ” 表示
由在一个测量模型中各输入量的标准测量不确定度获得的输出量的标准测量不确定度。合成标准不确定度仍然是单倍的标准偏差，是测量结果的标准偏差，它表征了测量结果的分散性。只不过表示的区间较小，在正态分布时其置信概率为P =68.27%，可信度较低，要提高可信度就必须将区间适当扩展，包含的被测量值多一些。
10、扩展不确定度 用符号“U ”表示
合成标准不确定度与一个大于1的数字因子的乘积。 扩展不确定度表示的是一个较大的区间，可望该区间包含了测量结果的绝大部分，起码应该90%以上。
11、包含因子 用符号“k ”表示
为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的大于1的数。有时称覆盖因子。但计算标准不确定度时用臵信因子，也用“k ”表示，注意这时不要称为“包含因子”。
12、包含概率 用符号“P ” 表示
在规定包含区间内包含被测量的一组值的概率。包含概率用0～1之间的数表示，或用百分数表示。如同我们打靶的击中点落在10环内或5环内甚至1环内的把握有多大，这个把握用百分之多少表示就是概率p ，几环内就表示的一个范围或区间。
13、仪器的测量不确定度
由所用测量仪器进行测量时引起的测量不确定度的分量。
四、测量不确定度的评定
测量不确定度评定步骤(不确定度评定报告编写格式) 为：
名称： XXX（被测器具名称）XXX （参数）测量结果的
不确定度评定报告
简化的测量不确定度评定方法：
对于计量标准器比较简单，准确度较低，影响量较少时，不确定度评定可只考虑主要分量，简单评定如：
①测量模型： y=x1-x 0
x 1—仪器示值； x 0—标准器的值；y —仪器的误差。 ②测量重复性引入的标准不确定度u 1
选择一般状态的被检器具，在重复性条件下，进行多次重复测量（测量次数n ≥10）, 获得一组测得值，用贝塞尔公式计算出单次测量标准偏差s ，再计算平均值的标准偏差s x )就是重复性引入的标准不确定度u 11
当s 很小时，还应验证指针式仪表分度值或数字式仪表的分辨力δ引入的标准不确定度的大小，读数误差为±δ/2，按均匀分布，k =，则
u 12=δ/2
=δ
2=0. 274δ
考虑不确定度不应重复评定，从u 11和u 12中取较大者为u 1
③标准器引入的标准不确定度u 2
标准器最大允差为MPE ：±a ，按均匀分布，k =3，则 u 2=a
=0. 577a
④合成标准不确定度
2u c =u 12+u 2
⑤扩展不确定度：直接取k =2 U =2×u c
⑥不确定度报告：用„„标准器检定„„仪器，X 测量点的检定结果为： 扩展不确定度为：U = k =2