复习课: 直线与方程
教学目标
重点:掌握直线方程的五种形式,两条直线的位置关系.
难点:点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决.
能力点:培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力. 教育点:培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用. 自主探究点:1.由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系;
2.能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程;
3.能够深入研究对称问题的实质,利用对称性解决相关问题.
考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现,直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目. 易错点:判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错. 易混点:用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件.
拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究.
学法与教具
1.学法:讲练结合,自主探究 2.教具:多媒体课件,三角板 一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角
①定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴________与直线l________方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为________.
②倾斜角的范围为______________.
(2)直线的斜率
①定义:一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即 k________,倾斜角是90的直线斜率不存在.
②过两点的直线的斜率公式:
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k______________________.当
x1x2时,直线的斜率__________.
(3)直线的倾斜角与斜率k的关系
当为锐角时,越大k越____;当为钝角时,越大k越____;
y2y1x2x1
答案:1.(1) ①正向,向上,0 ;②0180; (2) ①正切值,tan在.(3)大,大.
2.yy0k(xx0),ykxb,
yy1y2y1
.不存
xy
,1,AxByC0(A2B20).
x2x1ab
xx1
垂直于x轴;垂直于x轴;垂直于坐标轴;垂直于坐标轴、过原点. 3.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分别为k1、k2,则有l1//l2____________.特别地,当直线的斜率l1、l2都不存在时,l1与l2________. (2)两条直线垂直
如果两条直线斜率l1、l2存在,设为k1、k2,则l1l2____________,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两直线________. 4.两直线相交
交点:直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组
A1xB1yC10
的解一一对应.
AxByC0222
相交方程组有__________,交点坐标就是方程组的解; 平行方程组________;
重合方程组有______________. 5.三种距离公式
(1)点Ax1,y1、Bx2,y2间的距离:
AB.
(2)点Px0,y0到直线l:AxByC0的距离:
d.
(3)两平行直线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20 (C1C2)间的距离为d______________.
6.直线中的对称问题有哪些?(学生讨论)如何求一个点关于直线的对称点?如何求直线关于点的对称直
线以及直线关于点的对称直线呢?
三、【范例导航】
例1 已知直线l:mxym20与以A2,3、B3,0为端点的线段相交,求直线l的斜率k的取值范围.
【分析】可用两点式写出直线AB的方程,联立直线l和AB的方程,解出交点的坐标M,利用2xM3,解出m的取值范围,由m与斜率k的关系,即得斜率k的取值范围.这样求解,显然非常繁琐,不宜采用.既然直线l的方程中含有参数m,可以得到直线l必过一定点P,将直线l绕定点P转动,寻找与线段
AB相交的位置.由“直线l与线段AB相交”展开联想.
(1)结合图形,运用运动变化的观点,考虑直线斜率与倾斜角的变化关系,可求出符合条件的直线斜率的取值范围. (2)直线l与线段AB相交于点M,则点A、B分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上,可考虑利用不等式表示的平面区域求解.
【解答】直线l的方程可以化为y2mx10,它表示经过直线y20和x10的交
y20,x10,
x1,y2,
点的直线方程,由解得
所以直线l必过定点P(1,2).
12
法一:设PA与PB的倾斜角分别为,.kPA5,kPB
.如图,当直线l由PA变化到与y
轴平行的位置PC时,其倾斜角由增至900,斜率k的变化范围是5,.当直线l由PC变化到PB的位置时,其倾斜角由900增至,斜率k的变化范围是,.
2
1
故斜率k的取值范围是,5,.
2
1
法二:设直线l的方程为y2kx1,即kxyk20.
∵点A、B分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上,∴2k3k23k0k20,
1
解得k5或k
.故斜率k的取值范围是,5,. 22
1
【点评】(1)求直线过定点的步骤是:①将直线方程整理为fx,ymgx,y0(其中m为参数);
fx,y0,
②解方程组即得定点坐标.
gx,y0,
(2)本题确定直线斜率k的取值范围用了以下两种方法:
①数形结合法:根据直线的变化规律,借助直线的倾斜角与斜率k的关系:“当为锐角时,越大k越大k0;当为钝角时,越大k越大k0”去探究k的变化规律.
②利用不等式表示的平面区域:当Ax1,y1、Bx2,y2在直线AxByC0的异侧时,则
Ax1Ax1
By1CAxByC0;当Ax1,y1、Bx2,y2在直线AxByC0的同侧时,则22By1CAxByC0. 22
变式训练:在上述条件中,若P点坐标为3,2,则直线l的斜率的取值范围有何变化? 解 当P点坐标为3,2时,kPA5,kPB率始终是存在的,故斜率k的取值范围是5,.
3
1
13
.直线l由PA转动到PB的过程中,直线l的斜
例2 求适合下列条件的直线方程:
(1) 过点A(1,3),斜率是直线y3x的斜率的(2) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;
(3) 过点A(1,1)与已知直线l1:2xy60相交于B点且AB5.
【分析】在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件. 【解答】(1) 设所求直线的斜率为k,依题意k由点斜式,得直线方程为y3
34
143
34
14
;
.又直线经过点A(1,3),
(x1),即3x4y150.
(2)法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.
①若a0,则l过点(0,0)和(3,2),由点斜式,得l的方程为y②若a0,则设l的方程为∴l的方程为xy50.
综上可知,直线l的方程为2x3y0或xy50.
法二:由题意,所求直线的斜率必定存在.设所求直线方程为y3kx2,它在x轴、y轴上的截距分别为2
y3
32
23
x,即2x3y0.
xa
32
1,∵l过点(3,2),∴1,解得a5, aaa
y
3k
、32k,于是2
3k
32k,解得k
32
或k1,所以直线方程为
x2或y3x2,即2x3y0或x
y50.
x1
(3)法一:过点A(1,1)与y轴平行的直线为x1.解方程组,求得B点坐标为
2xy60
(1,4),此时AB5,即x1为所求.
②利用不等式表示的平面区域:当Ax1,y1、Bx2,y2在直线AxByC0的异侧时,则
Ax1Ax1
By1CAxByC0;当Ax1,y1、Bx2,y2在直线AxByC0的同侧时,则22By1CAxByC0. 22
变式训练:在上述条件中,若P点坐标为3,2,则直线l的斜率的取值范围有何变化? 解 当P点坐标为3,2时,kPA5,kPB率始终是存在的,故斜率k的取值范围是5,.
3
1
13
.直线l由PA转动到PB的过程中,直线l的斜
例2 求适合下列条件的直线方程:
(1) 过点A(1,3),斜率是直线y3x的斜率的(2) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;
(3) 过点A(1,1)与已知直线l1:2xy60相交于B点且AB5.
【分析】在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件. 【解答】(1) 设所求直线的斜率为k,依题意k由点斜式,得直线方程为y3
34
143
34
14
;
.又直线经过点A(1,3),
(x1),即3x4y150.
(2)法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.
①若a0,则l过点(0,0)和(3,2),由点斜式,得l的方程为y②若a0,则设l的方程为∴l的方程为xy50.
综上可知,直线l的方程为2x3y0或xy50.
法二:由题意,所求直线的斜率必定存在.设所求直线方程为y3kx2,它在x轴、y轴上的截距分别为2
y3
32
23
x,即2x3y0.
xa
32
1,∵l过点(3,2),∴1,解得a5, aaa
y
3k
、32k,于是2
3k
32k,解得k
32
或k1,所以直线方程为
x2或y3x2,即2x3y0或x
y50.
x1
(3)法一:过点A(1,1)与y轴平行的直线为x1.解方程组,求得B点坐标为
2xy60
(1,4),此时AB5,即x1为所求.
设过A(1,1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1),解方程组
2xy60,y1k(x1),
得两直线交点为
k7x,k2
(k2,否则与已知直线平行),则B点坐标为(k7,4k2).
k2k2y4k2,
k2
由已知(
k7k2
)(
2
4k2k2
22
)5,解得k
34
,∴y1
34
(x1),即3x4y10.
综上可知,所求直线的方程为x1或3x4y10.
法二:设Ba,62a,由AB5,得a172a25,整理,得a26a50,解得a1或a5.由两点式,得直线的方程为x1或3x4y10.
【点评】(1)用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
(2)求直线方程需要两个条件.当两个条件显性时,直接选择适当的直线方程的形式,写出所求直线的方程,如第(1)题;当两个条件至少一个隐性时,可根据已知条件,选择适当的直线方程的形式,设出所求的直线方程,建立方程(组),待定出其中的系数,从而求得直线方程,如第(2)和第(3)题.
(3)对于直线上的点,我们往往运用直线方程,将该点的坐标一元化,从而简化运算过程,如第(3)题的法二,若设Ba,b,则需列方程组求解,过程较为繁琐.
变式训练: 求满足下列条件的直线l的方程:
3
(1) 过点A(0,2),它的倾斜角的正弦值是;
5
(2) 过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1:3x4y50的倾斜角的一半; (3) 过点A(2,1)和直线x2y30与2x3y20的交点. 答案(1) 3x4y80或3x4y80.(2) 3xy50.
x2y30,(3) 法一:由解得交点坐标为5,4,由两点式,得所求直线方程为
2x3y20,
2
2
5x7y30.
法二:设所求直线方程为x2y3m2x3y20(其中mR),将点A(2,1)代入,解得
m3,从而所求直线方程为5x7y30.
例3. (1)已知两直线l1:xmy60,l2:m2x3my2m0,若l1//l2,求实数m的值;
2
2
(2)已知两直线l1:ax2y60和l2:xa1ya10.若l1l2,求实数a的值.
【分析】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和
l2,l1//l2k1k2,l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.
(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1:yk1xb1,l2:yk2xb2,则l1l2k1k21.
②设l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20.则:l1l2A1A2B1B20. 【解答】(1)方法一:①当m0时,l1:x60,l2:x0,l1//l2; ②当m0时, l1:y
由
1m
2
x6m
6m
2
2
, l2:y
2m3m
x
23
,
1
2
m3m∴m1.
2m
且
23
,
故所求实数m的值为0或1.
方法二:直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20平行的等价条件是:
A1B2A2B10且B1C2B2C10或A1C2A2C10,由所给直线方程可得:
13mm
2
m20且12m6m20
2
mm2m30且m3
m0或1,故所求实数m的值为0或1.
a
(2) 方法一:由直线l1的方程知其斜率为,
2
当a1时,直线l2的斜率不存在,l1与l2不垂直; 当a1时,直线l2的斜率为
由
1a1
,
a12
. 1a
2a13
23.
故所求实数a的值为
方法二: 直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20垂直的等价条件是A1A2B1B20.
由所给直线方程可得:a12a10a
23
,故所求实数a的值为
23
.
【点评】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键,注意转化与化归思想的应用.
变式训练:已知两直线l1:mx8yn0和l2:2xmy10.试确定m、n的值,使
(1) l1与l2相交于点Pm,1; (2) l1//l2;
(3) l1l2,且l1在y轴上的截距为1.
m28n0
答案:(1)由题意得:,解得m1,n7.
2mm10
(2)当m0时,显然l1不平行于l2;
2
m820
当m0时,由得, 2m181mn0
m8n
m4m4
∴,或.
n2n2
即m4,n2时或m4,n2时,l1//l2.
(3)当且仅当m28m0,即m0时,l1l2,又即m0,n8时,l1l2且l1在y轴上的截距为1.
n8
1,∴n8.
例4.求经过直线l1:3x2y10和l2:5x2y10的交点,且垂直于直线l3:3x5y60的直线l的方程.
【分析】运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线系方程有:(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是:AxBym0mR且mC ;(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是
BxAym0mR ;(3)过直线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20的交点的直线系
方程为A1xB1yC1A2xB2yC20R,但不包括l2.
3x2y103
【解答】方法一:先解方程组,得l1、l2的交点坐标为1,2,再由l3的斜率求出l的斜
55x2y10
55
率为,于是由直线的点斜式方程求出l:y2x1,即5x3y10.
33方法二: 由于ll3,故l是直线系5x3yC0中的一条,而l过l1、l2的交点1,2,故
5132C0,由此求出C1,故l的方程为5x3y10.
方法三: 由于l过l1、l2的交点,故l是直线系3x2y15x2y10中的一条,将其整理,得
35x22y10,其斜率
为5x3y10.
3522
53
,解得
15
,代入直线系方程即得l的方程
【点评】准确定位直线的各个要素才能快速求出直线方程,常规方法及直线系方程的恰当使用能够起到事半功倍的效果.
变式训练:直线l被两条直线l1:4xy30和l2:3x5y50截得的线段的中点为P1,2,
求直线l的方程.
答案:设直线l与l1的交点为Ax0,y0,由已知条件,得直线l与l2的交点为B2x0,4y0,并且满足
4x0y0304x0y030x02
,即,解得:,因此直线l的方程为:
32x54y503x5y310y500000y252
x121
,即3xy10.
四、【解法小结】 1.斜率的求法
(1) 定义法:已知倾斜角,可根据ktan求解;
(2)公式法:已知直线上两点Ax1,y1、Bx2,y2x1x2,可根据斜率公式k
y2y1x2x1
(该公
式与两点顺序无关)求解.
2.求直线方程.直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述,具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式;同时结合参数的几何意义,注意方程形式的局限性.
(1)直接法:当两个条件显性时,直接选择适当的直线方程的形式,写出所求直线的方程.
(1)待定系数法:当两个条件至少一个隐性时,可根据已知条件,选择适当的直线方程的形式,设出所求的直线方程,建立方程(组),待定出其中的系数,从而求得直线方程.
3.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2,
l1//l2k1k2,l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意.
4
.在运用两平行直线间的距离公式d相等的系数.
时,一定要注意将两方程中的x,y项系数化为分别
五、【布置作业】 必做题:
1.已知a0,若平面内三点A(1,a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a. 2.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,求直线的方程.
3.已知直线l1:k3x4ky10与l2:2k3x2y30平行,则k的值是 . 4.若直线l1:ykx4与直线l2关于点2,1对称,则直线l2恒过定点是 . 5.已知2xy5
0的最小值是 .
6.设直线l经过点1,1,则当点2,1与直线l的距离最大时,直线l的方程为 .
答案: 1
.1
2.2xy60 3.3或5;4.0,2;5
6.3x2y50
选做题:
1.已知直线l:kxy12k0kR. (1)证明直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,求使
2.已知直线l:2x3y10,点A1,2.求:
(1)点A关于直线l的对称点A的坐标;
(2)直线m:3x2y60关于直线l的对称直线m的方程;
AOB面积最小时直线l的方程.
(3)直线l关于点A1,2对称的直线l的方程. 答案:
1.(1)定点2,1;(2)0,;(3)x2y40.
33y22
x113x13
2. 【解答】(1)设Ax,y,由已知,解得:,
2x13y210y41322
334
∴A,
1313
(2)在直线m上取一点,如M
2,0,则M2,0 关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点
复习课: 直线与方程
教学目标
重点:掌握直线方程的五种形式,两条直线的位置关系.
难点:点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决.
能力点:培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力. 教育点:培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用. 自主探究点:1.由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系;
2.能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程;
3.能够深入研究对称问题的实质,利用对称性解决相关问题.
考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现,直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目. 易错点:判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错. 易混点:用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件.
拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究.
学法与教具
1.学法:讲练结合,自主探究 2.教具:多媒体课件,三角板 一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角
①定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴________与直线l________方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为________.
②倾斜角的范围为______________.
(2)直线的斜率
①定义:一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即 k________,倾斜角是90的直线斜率不存在.
②过两点的直线的斜率公式:
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k______________________.当
x1x2时,直线的斜率__________.
(3)直线的倾斜角与斜率k的关系
当为锐角时,越大k越____;当为钝角时,越大k越____;
y2y1x2x1
答案:1.(1) ①正向,向上,0 ;②0180; (2) ①正切值,tan在.(3)大,大.
2.yy0k(xx0),ykxb,
yy1y2y1
.不存
xy
,1,AxByC0(A2B20).
x2x1ab
xx1
垂直于x轴;垂直于x轴;垂直于坐标轴;垂直于坐标轴、过原点. 3.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分别为k1、k2,则有l1//l2____________.特别地,当直线的斜率l1、l2都不存在时,l1与l2________. (2)两条直线垂直
如果两条直线斜率l1、l2存在,设为k1、k2,则l1l2____________,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两直线________. 4.两直线相交
交点:直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组
A1xB1yC10
的解一一对应.
AxByC0222
相交方程组有__________,交点坐标就是方程组的解; 平行方程组________;
重合方程组有______________. 5.三种距离公式
(1)点Ax1,y1、Bx2,y2间的距离:
AB.
(2)点Px0,y0到直线l:AxByC0的距离:
d.
(3)两平行直线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20 (C1C2)间的距离为d______________.
6.直线中的对称问题有哪些?(学生讨论)如何求一个点关于直线的对称点?如何求直线关于点的对称直
线以及直线关于点的对称直线呢?
三、【范例导航】
例1 已知直线l:mxym20与以A2,3、B3,0为端点的线段相交,求直线l的斜率k的取值范围.
【分析】可用两点式写出直线AB的方程,联立直线l和AB的方程,解出交点的坐标M,利用2xM3,解出m的取值范围,由m与斜率k的关系,即得斜率k的取值范围.这样求解,显然非常繁琐,不宜采用.既然直线l的方程中含有参数m,可以得到直线l必过一定点P,将直线l绕定点P转动,寻找与线段
AB相交的位置.由“直线l与线段AB相交”展开联想.
(1)结合图形,运用运动变化的观点,考虑直线斜率与倾斜角的变化关系,可求出符合条件的直线斜率的取值范围. (2)直线l与线段AB相交于点M,则点A、B分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上,可考虑利用不等式表示的平面区域求解.
【解答】直线l的方程可以化为y2mx10,它表示经过直线y20和x10的交
y20,x10,
x1,y2,
点的直线方程,由解得
所以直线l必过定点P(1,2).
12
法一:设PA与PB的倾斜角分别为,.kPA5,kPB
.如图,当直线l由PA变化到与y
轴平行的位置PC时,其倾斜角由增至900,斜率k的变化范围是5,.当直线l由PC变化到PB的位置时,其倾斜角由900增至,斜率k的变化范围是,.
2
1
故斜率k的取值范围是,5,.
2
1
法二:设直线l的方程为y2kx1,即kxyk20.
∵点A、B分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上,∴2k3k23k0k20,
1
解得k5或k
.故斜率k的取值范围是,5,. 22
1
【点评】(1)求直线过定点的步骤是:①将直线方程整理为fx,ymgx,y0(其中m为参数);
fx,y0,
②解方程组即得定点坐标.
gx,y0,
(2)本题确定直线斜率k的取值范围用了以下两种方法:
①数形结合法:根据直线的变化规律,借助直线的倾斜角与斜率k的关系:“当为锐角时,越大k越大k0;当为钝角时,越大k越大k0”去探究k的变化规律.
②利用不等式表示的平面区域:当Ax1,y1、Bx2,y2在直线AxByC0的异侧时,则
Ax1Ax1
By1CAxByC0;当Ax1,y1、Bx2,y2在直线AxByC0的同侧时,则22By1CAxByC0. 22
变式训练:在上述条件中,若P点坐标为3,2,则直线l的斜率的取值范围有何变化? 解 当P点坐标为3,2时,kPA5,kPB率始终是存在的,故斜率k的取值范围是5,.
3
1
13
.直线l由PA转动到PB的过程中,直线l的斜
例2 求适合下列条件的直线方程:
(1) 过点A(1,3),斜率是直线y3x的斜率的(2) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;
(3) 过点A(1,1)与已知直线l1:2xy60相交于B点且AB5.
【分析】在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件. 【解答】(1) 设所求直线的斜率为k,依题意k由点斜式,得直线方程为y3
34
143
34
14
;
.又直线经过点A(1,3),
(x1),即3x4y150.
(2)法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.
①若a0,则l过点(0,0)和(3,2),由点斜式,得l的方程为y②若a0,则设l的方程为∴l的方程为xy50.
综上可知,直线l的方程为2x3y0或xy50.
法二:由题意,所求直线的斜率必定存在.设所求直线方程为y3kx2,它在x轴、y轴上的截距分别为2
y3
32
23
x,即2x3y0.
xa
32
1,∵l过点(3,2),∴1,解得a5, aaa
y
3k
、32k,于是2
3k
32k,解得k
32
或k1,所以直线方程为
x2或y3x2,即2x3y0或x
y50.
x1
(3)法一:过点A(1,1)与y轴平行的直线为x1.解方程组,求得B点坐标为
2xy60
(1,4),此时AB5,即x1为所求.
②利用不等式表示的平面区域:当Ax1,y1、Bx2,y2在直线AxByC0的异侧时,则
Ax1Ax1
By1CAxByC0;当Ax1,y1、Bx2,y2在直线AxByC0的同侧时,则22By1CAxByC0. 22
变式训练:在上述条件中,若P点坐标为3,2,则直线l的斜率的取值范围有何变化? 解 当P点坐标为3,2时,kPA5,kPB率始终是存在的,故斜率k的取值范围是5,.
3
1
13
.直线l由PA转动到PB的过程中,直线l的斜
例2 求适合下列条件的直线方程:
(1) 过点A(1,3),斜率是直线y3x的斜率的(2) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;
(3) 过点A(1,1)与已知直线l1:2xy60相交于B点且AB5.
【分析】在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件. 【解答】(1) 设所求直线的斜率为k,依题意k由点斜式,得直线方程为y3
34
143
34
14
;
.又直线经过点A(1,3),
(x1),即3x4y150.
(2)法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.
①若a0,则l过点(0,0)和(3,2),由点斜式,得l的方程为y②若a0,则设l的方程为∴l的方程为xy50.
综上可知,直线l的方程为2x3y0或xy50.
法二:由题意,所求直线的斜率必定存在.设所求直线方程为y3kx2,它在x轴、y轴上的截距分别为2
y3
32
23
x,即2x3y0.
xa
32
1,∵l过点(3,2),∴1,解得a5, aaa
y
3k
、32k,于是2
3k
32k,解得k
32
或k1,所以直线方程为
x2或y3x2,即2x3y0或x
y50.
x1
(3)法一:过点A(1,1)与y轴平行的直线为x1.解方程组,求得B点坐标为
2xy60
(1,4),此时AB5,即x1为所求.
设过A(1,1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1),解方程组
2xy60,y1k(x1),
得两直线交点为
k7x,k2
(k2,否则与已知直线平行),则B点坐标为(k7,4k2).
k2k2y4k2,
k2
由已知(
k7k2
)(
2
4k2k2
22
)5,解得k
34
,∴y1
34
(x1),即3x4y10.
综上可知,所求直线的方程为x1或3x4y10.
法二:设Ba,62a,由AB5,得a172a25,整理,得a26a50,解得a1或a5.由两点式,得直线的方程为x1或3x4y10.
【点评】(1)用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
(2)求直线方程需要两个条件.当两个条件显性时,直接选择适当的直线方程的形式,写出所求直线的方程,如第(1)题;当两个条件至少一个隐性时,可根据已知条件,选择适当的直线方程的形式,设出所求的直线方程,建立方程(组),待定出其中的系数,从而求得直线方程,如第(2)和第(3)题.
(3)对于直线上的点,我们往往运用直线方程,将该点的坐标一元化,从而简化运算过程,如第(3)题的法二,若设Ba,b,则需列方程组求解,过程较为繁琐.
变式训练: 求满足下列条件的直线l的方程:
3
(1) 过点A(0,2),它的倾斜角的正弦值是;
5
(2) 过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1:3x4y50的倾斜角的一半; (3) 过点A(2,1)和直线x2y30与2x3y20的交点. 答案(1) 3x4y80或3x4y80.(2) 3xy50.
x2y30,(3) 法一:由解得交点坐标为5,4,由两点式,得所求直线方程为
2x3y20,
2
2
5x7y30.
法二:设所求直线方程为x2y3m2x3y20(其中mR),将点A(2,1)代入,解得
m3,从而所求直线方程为5x7y30.
例3. (1)已知两直线l1:xmy60,l2:m2x3my2m0,若l1//l2,求实数m的值;
2
2
(2)已知两直线l1:ax2y60和l2:xa1ya10.若l1l2,求实数a的值.
【分析】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和
l2,l1//l2k1k2,l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.
(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1:yk1xb1,l2:yk2xb2,则l1l2k1k21.
②设l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20.则:l1l2A1A2B1B20. 【解答】(1)方法一:①当m0时,l1:x60,l2:x0,l1//l2; ②当m0时, l1:y
由
1m
2
x6m
6m
2
2
, l2:y
2m3m
x
23
,
1
2
m3m∴m1.
2m
且
23
,
故所求实数m的值为0或1.
方法二:直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20平行的等价条件是:
A1B2A2B10且B1C2B2C10或A1C2A2C10,由所给直线方程可得:
13mm
2
m20且12m6m20
2
mm2m30且m3
m0或1,故所求实数m的值为0或1.
a
(2) 方法一:由直线l1的方程知其斜率为,
2
当a1时,直线l2的斜率不存在,l1与l2不垂直; 当a1时,直线l2的斜率为
由
1a1
,
a12
. 1a
2a13
23.
故所求实数a的值为
方法二: 直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20垂直的等价条件是A1A2B1B20.
由所给直线方程可得:a12a10a
23
,故所求实数a的值为
23
.
【点评】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键,注意转化与化归思想的应用.
变式训练:已知两直线l1:mx8yn0和l2:2xmy10.试确定m、n的值,使
(1) l1与l2相交于点Pm,1; (2) l1//l2;
(3) l1l2,且l1在y轴上的截距为1.
m28n0
答案:(1)由题意得:,解得m1,n7.
2mm10
(2)当m0时,显然l1不平行于l2;
2
m820
当m0时,由得, 2m181mn0
m8n
m4m4
∴,或.
n2n2
即m4,n2时或m4,n2时,l1//l2.
(3)当且仅当m28m0,即m0时,l1l2,又即m0,n8时,l1l2且l1在y轴上的截距为1.
n8
1,∴n8.
例4.求经过直线l1:3x2y10和l2:5x2y10的交点,且垂直于直线l3:3x5y60的直线l的方程.
【分析】运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线系方程有:(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是:AxBym0mR且mC ;(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是
BxAym0mR ;(3)过直线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20的交点的直线系
方程为A1xB1yC1A2xB2yC20R,但不包括l2.
3x2y103
【解答】方法一:先解方程组,得l1、l2的交点坐标为1,2,再由l3的斜率求出l的斜
55x2y10
55
率为,于是由直线的点斜式方程求出l:y2x1,即5x3y10.
33方法二: 由于ll3,故l是直线系5x3yC0中的一条,而l过l1、l2的交点1,2,故
5132C0,由此求出C1,故l的方程为5x3y10.
方法三: 由于l过l1、l2的交点,故l是直线系3x2y15x2y10中的一条,将其整理,得
35x22y10,其斜率
为5x3y10.
3522
53
,解得
15
,代入直线系方程即得l的方程
【点评】准确定位直线的各个要素才能快速求出直线方程,常规方法及直线系方程的恰当使用能够起到事半功倍的效果.
变式训练:直线l被两条直线l1:4xy30和l2:3x5y50截得的线段的中点为P1,2,
求直线l的方程.
答案:设直线l与l1的交点为Ax0,y0,由已知条件,得直线l与l2的交点为B2x0,4y0,并且满足
4x0y0304x0y030x02
,即,解得:,因此直线l的方程为:
32x54y503x5y310y500000y252
x121
,即3xy10.
四、【解法小结】 1.斜率的求法
(1) 定义法:已知倾斜角,可根据ktan求解;
(2)公式法:已知直线上两点Ax1,y1、Bx2,y2x1x2,可根据斜率公式k
y2y1x2x1
(该公
式与两点顺序无关)求解.
2.求直线方程.直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述,具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式;同时结合参数的几何意义,注意方程形式的局限性.
(1)直接法:当两个条件显性时,直接选择适当的直线方程的形式,写出所求直线的方程.
(1)待定系数法:当两个条件至少一个隐性时,可根据已知条件,选择适当的直线方程的形式,设出所求的直线方程,建立方程(组),待定出其中的系数,从而求得直线方程.
3.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2,
l1//l2k1k2,l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意.
4
.在运用两平行直线间的距离公式d相等的系数.
时,一定要注意将两方程中的x,y项系数化为分别
五、【布置作业】 必做题:
1.已知a0,若平面内三点A(1,a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a. 2.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,求直线的方程.
3.已知直线l1:k3x4ky10与l2:2k3x2y30平行,则k的值是 . 4.若直线l1:ykx4与直线l2关于点2,1对称,则直线l2恒过定点是 . 5.已知2xy5
0的最小值是 .
6.设直线l经过点1,1,则当点2,1与直线l的距离最大时,直线l的方程为 .
答案: 1
.1
2.2xy60 3.3或5;4.0,2;5
6.3x2y50
选做题:
1.已知直线l:kxy12k0kR. (1)证明直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,求使
2.已知直线l:2x3y10,点A1,2.求:
(1)点A关于直线l的对称点A的坐标;
(2)直线m:3x2y60关于直线l的对称直线m的方程;
AOB面积最小时直线l的方程.
(3)直线l关于点A1,2对称的直线l的方程. 答案:
1.(1)定点2,1;(2)0,;(3)x2y40.
33y22
x113x13
2. 【解答】(1)设Ax,y,由已知,解得:,
2x13y210y41322
334
∴A,
1313
(2)在直线m上取一点,如M
2,0,则M2,0 关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点