曲线运动/万有引力与航天讲义 一、曲线运动、运动的合成与分解
一、对曲线运动规律的进一步理解 1．运动类型的判断
(1)判断物体是否做匀变速运动，要分析合外力是否为恒力．
(2)判断物体是否做曲线运动，要分析合外力方向是否与速度方向在同一条直线上． 2．运动类型的分类 (1)直线运动
①匀速直线运动，条件：F 合＝0.
②匀变速直线运动，条件：F 合为恒力、不等于零且与速度同线． ③非匀变速直线运动，条件：F 合为变力且与速度同线． (2)曲线运动
①匀变速曲线运动，条件：F 合≠0，为恒力且与速度不同线． ②非匀变速曲线运动，条件：F 合≠0，为变力且与速度不同线． 3．两个直线运动的合运动性质的判断
根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动．
12中保持二力方向不变，但
F
1突然增大到F 1＋ΔF ，则质点以后( ) A ．一定做匀变速曲线运动
B ．在相等时间内速度的变化一定相等 C ．可能做匀速直线运动 D ．可能做变加速曲线运动
例1AB [恒力F 1和F 2的合力仍为恒力，物体由静止开始做匀加速直线运动，若运动过程中F 1突然增大到F 1＋ΔF ，虽仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，故物体将做匀变速曲线运动，选项A 正确而C 、D 错误；由Δv ＝a ·Δt 可知，选项B 正确．] [规范思维] 先判断是曲线运动还是直线运动，方法是看合外力的方向与速度的方向是否在一条直线上；再判断加速度是否变化，方法是看F 合是否变化． [针对训练1] 下图中，能正确描述质点运动到P 点时的速度v 和加速度a 的方向关系的是( )
1．A [物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向，所受合外力(或加速度) 的方向指向曲线的凹侧．]
二、运动的合成和分解
1．原则：当定量研究一个较复杂的曲线运动时，往往按实际效果把它分解为两个方向上的直线运动．
2．运动的合成与分解的运算法则
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减．
(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图2所示．
图2
(3)两分运动垂直或正交分解后的合成a 合a x ＋a y ，v 合＝v x ＋v y ，x 合＝x 1＋x 2. 【例2】(2010·江苏单科·1) 如图3所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( ) A ．大小和方向均不变B ．大小不变，方向改变 C ．大小改变，方向不变D ．大小和方向均改变
图3
例2A [笔匀速向右移动时，x 随时间均匀增大，y 随时间均匀减小，说明橡皮水平方向匀速直线运动，竖直方向也是匀速直线运动，所以橡皮实际运动是匀速直线运动，A 正确．]
[规范思维] 首先按运动的效果将橡皮的运动分解为：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的运动，再由题给条件判断竖直分运动为匀速直线运动． [针对训练2] (2010·上海单科·12) 降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )
A ．下落的时间越短B ．下落的时间越长 C ．落地时速度越小D ．落地时速度越大
2．D [风沿水平方向吹，不影响竖直速度，故下落时间不变，A 、B 两项均错．风速越大，落地时合速度越大，故C 项错误，D 项正确．] 三、两种典型模型 1．小船过河问题模型
(1)涉及的三个速度：v 1：船在静水中的速度
v 2：水流的速度 v ：船的实际速度
(2)小船的实际运动是合运动，两个分运动分别是水流的运动和船相对静水的运动． (3)两种情景
①怎样渡河，过河时间最短？
d
船头正对河岸，渡河时间最短，t 短＝为河宽) ．
v 1
②怎样渡河，路径最短(v2
v 合速度垂直于河岸时，航程最短，x 短＝d ，船头指向上游，与河岸的夹角为α，cos α＝.
v 1
2．绳连物体问题模型
物体的实际运动为合运动，解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳方向的两个分量，根据绳连物体沿绳方向的分速度大小相同求解．
【例3】一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100m 远的一浮标处，已知快艇在静水中的速度v x 图象和水流的速度v y 图象如图4甲、乙所示，
则下列说法中错
误的是( )
图4
A ．快艇的运动轨迹为直线 B ．快艇的运动轨迹为曲线
C ．快艇最快到达浮标处的时间为20s
D ．快艇最快到达浮标处经过的位移大于100m
例3A [快艇实际运动的两个分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，且不在同一直线上，故快艇的运动轨迹为曲线，A 错，B 对．最快到达浮标处的方式是使v x 垂直
1
于河岸和浮标且保持图甲所示的加速度a ＝0.5 m/s22＝x ，代
2
入x ＝100m 有t ＝20s ，C 项正确．但际位移为x ′>100m，D 项正确．]
[规范思维] (1)首先根据运动的等时性确定船头垂直岸(即v x 垂直岸) 时最快．
(2)再将艇的运动分解为沿河岸的匀速直线运动和垂直于河岸的匀加速直线运动，并由此确定轨迹．
[针对训练3] 一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x 方向和y 方向上的分运动的速度随时间变化的规律如图5所示．关于物体的运动，下列说法中正确的是( ) A ．物体做匀变曲线运动 B ．物体做变加速直线运动
C ．物体运动的初速度大小是5m /s D ．物体运动的加速度大小是5m /s 2
图5
3．AC [根据运动的合成与分解v 合＝v x ＋v y ＝5m/s，C 正确．从图象得物体的加速度a ＝2 m/s2，由于物体在x 方向上做匀速直线运动，在y 方向上做匀加速直线运动，且合初速度的方向与合加速度的方向不共线，所以物体做匀变速曲线运动，A 正确．] 【例4】如图6所示，物体A 和B 质量均为m ，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B 放在水平面上，A 与悬绳竖直．用力F 拉B 沿水平面向左“匀速”运动过程中，绳对A 的拉力的大小( ) A ．大于mg B ．总等于mg
C ．一定小于mg D ．以上三项都不正确
图6
例4A
[物体B 向左的速度v B 是合速度，根据其效果，分解为如右图所示的两个速度v 1和v 2，其中v 2＝v A ，又因v 2＝v B cos θ，当物体B 向左匀速运动时，v B 大小不变，θ变小，cos θ增大，所以v 2增大，即物体A 向上做加速运动，由牛顿第二定律得F T －mg ＝ma ，可知：F T ＝mg ＋ma >mg ，故A 正确．]
[规范思维] (1)在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度．合速度就是物体实际运动的速度，由物体的实际运动情况确定，分速度由合速度所产生的实际效果利用平行四边形定则确定．
(2)对绳连物体的问题进行分析时，物体的速度一般分解为沿绳方向和垂直于绳方向两个分速度．
[针对训练4] 如图7所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O 与小球B 连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A 连接，杆两端固定且足够长，物块A 由静止从图示位置释放后，先沿杆向上运动．设某时刻物块A 运动的速度大小为v A ，小球B 运动的速度大小为v B ，轻绳与杆的夹角为θ.则( ) A ．v A ＝v B cos θ B ．v B ＝v A cos θ
C ．小球B 减小的势能等于物块A 增加的动能
D ．当物块A 上升到与滑轮等高时，它的机械能最大
图7
4．BD
[v A 可分解为沿绳方向和垂直绳方向的两个分速度，如右图所示．而小球B 的速度等于沿绳方向的分速度，即v B ＝v A cos θ，故B 正确；根据能量守恒可知，小球B 减小的势能等于物块A 增加的机械能和小球B 增加的动能之和，C 错；当物块A 上升到与滑轮等高时，v A 沿绳方向分速度为0，即v B ＝0，小球B 运动到最低点，减少的重力势能全部转化为A 的机械能，故此时A 的机械能最大，D 正确．] 思维提升
1．判断物体是否做曲线运动要紧紧抓住力的方向是否与速度方向在一条直线上；而物
体是否做匀变速运动，则要看物体是否受大小、方向不变的恒力作用，两者不要混淆．
2．速度分解的一般原则是按实际效果来进行分解，常用的思维方法有两种：一种是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的方向；另一种是先确定合运动的速度方向(物体实际的运动方向就是合速度的方向) ，然后确定由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．
3．根据曲线运动的轨迹和受力的关系——运动轨迹弯向合外力一侧，确定出物体运动的轨迹．
4．对于较复杂的运动，要善于将其分解为两个不同的运动，从而按运动的合成与分解的一般方法求解有关问题．
二、平抛运动
一、平抛运动物体的运动
1．求以下三种情况下平抛运动的时间(如图1所示)
图1
t a ＝
2v tan αx t b ＝ t c ＝ g g v 0
总结：(1)平抛运动的时间取决于 (a ) ：物体下落的高度
(b ) ：初速度v 0及斜面倾角 (c ) ：抛点到竖直墙的距离及v 0
(2)(a ) 中的水平位移x ＝v 0，取决于v 0和下落高度h.
g
2．速度的变化规律
(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v 0.
(2)任意相等时间间隔Δt 内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv ＝Δv y ＝g Δt. 3．位移变化规律
(1)任意相等时间间隔Δt 内的水平位移不变，即Δx ＝v 0Δt.
(2)连续相等的时间间隔Δt 内，竖直方向上的位移差不变，即Δy ＝g Δt 2. 4．平抛运动的两个重要推论
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛) 运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
图2
v gt
证明：如图2所示，由平抛运动规律得：tan α＝
v 0v 0
12gt y 2gt tan θ＝x v 0t 2v 0
所以tan α＝2tan θ
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛) 运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
证明：如图2所示，设平抛物体的初速度为v 0，从原点O 运动到A 点的时间为t ，A 点坐标为(x，y) ，B 点坐标为(x′，0) ．则
1
x ＝v 0t ，y ＝2，v y ＝gt ，
2v y x
又tan α＝，解得x ′＝.
v 0x －x ′2
即末状态速度方向的反向延长线与x 轴的交点必为此时水平位移的中点．
【例1】(全国高考Ⅰ) 如图3所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( ) A ．tan φ＝sin θB ．tan φ＝cos θ C ．
tan
φ
＝tan θD ．tan φ＝2tan θ
图3
例1D [本题考查平抛运动的有关知识，本题为中等难度题目．由平抛运动知识可得：
12v y gt y 2gt
对速度分解有tan φ＝tan θ＝＝，所以有：tan φ＝2tan θ.]
v 0v 0x v 0t 2v 0
[规范思维] 本题考查平抛运动的基本处理方法，也考查了斜面的制约关系．平抛物体
y
落在斜面上，就确定了水平位移和竖直位移的几何关系，即tan θ此式可称为斜面的
x
制约方程) ．此外利用推论解题很便捷．本题的结果实际上是平抛运动的一个重要推论tan φ＝2tan θ.
[针对训练1] (2010·北京理综·22) 如图4，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O 点水平飞出，经3.0s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50kg . 不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g 取
2
10m /s ) 求：
(1)A点与O 点的距离L ；
(2)运动员离开O 点时的速度大小；
图4
1．(1)75m (2)20m/s
1
解析(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有L sin37°2
2
2gt
A 点与O 点的距离L ＝75m
2sin37°
(2)设运动员离开O 点时的速度大小为v 0，运动员在水平方向做匀速直线运动，
L cos37°
即L cos37°＝v 0t 解得v 0＝＝20m/s
t
【例2】(2010·全国Ⅰ·18) 一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图5中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
11
A ．tan θB ．2tan θC D
tan θ2tan θ
图5
12gt
v 0y 2
例2D [设小球的初速度为v 0，飞行时间为t . 由速度三角形可得tan θ. 故有gt x v 0t
1
，答案为D.] 2tan θ
[规范思维] 本题中，斜面制约的是速度方向．物体垂直落在斜面上，就确定了速度方向．
[针对训练2] (2010·天津河西期末) 如图6所示，以v 0＝10m /s 的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上，按g ＝10 m /s 2考虑，以下结论中不正确的是( )
A ．物体飞行时间是3s
B ．物体撞击斜面时的速度大小为20m /s C ．物体飞行的时间是2s D ．物体下降的距离是10m
图6
v 0v y 3
2．AB [考查平抛运动．竖直方向的速度v y ＝3m/s，运动时间t ＝
tan30°g 10v s ＝3s ，A 正确，C 错误；合速度大小v 20m/s，B 正确；物体下落的竖直距
sin30°
1
离y ＝2＝15m ，D 错误．]
2
【例3】(2008.江苏单科.13) 抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L 、网高h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g) (1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度v 1水平发出，落在球台的P 1点(如图7中实线所示) ，求P 1点距O 点的距离x 1. (2)若球在O 点正上方以速度v 2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P 2点(如图中虚线所示) ，求v 2的大小．
(3)若球在O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P 3处，求发球点距O 点的高度h 3.
图7
L 4 (2) (3)h g 22h 3
解析 (1)设发球时飞行时间为t 1，根据平抛运动规律 例3 (1)v 1
1h 1＝gt 2①
21x 1＝v 1t 1②
③ g
(2)设发球高度为h 2，飞行时间为t 2，根据平抛运动规律
1h 2＝gt 2④
22x 2＝v 2t 2⑤
乒乓球反弹前后水平分速度不变，最大高度不变 故h 2＝h ⑥ 2x 2＝L ⑦
L 联立④⑤⑥⑦式，得v 2＝
22h 联立以上两式，解得x 1＝v 11
(3)如下图所示，发球高度为h 3，飞行时间为t 3，根据平抛运动得h 3gt 2⑨
23
x 3＝
v 3t 3⑩
且3x 3＝2L ⑪
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t ，水平距离为x ，有
1
h 3－h ＝gt 2⑫
2
x ＝v 3t ⑬
由几何关系知x 3＋x ＝L ⑭
4
联立⑨～⑭式，解得h 3h
3
[规范思维] 本题以乒乓球发球为背景，考查学生读题、审题及挖掘信息的能力、建模能力．问题设置有台阶、有铺垫，难度逐渐增加：第(1)问已知平抛的竖直高度和初速度求水平位移，难度较小；第(2)问认识到发球的对称性才可解答；第(3)问不仅能从对称性分析，还要恰当列式，熟练推导． 二、类平抛运动物体的运动 1．类平抛运动的受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2．类平抛运动的运动特点
在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加
F 合
速度a ＝m
3．类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向) 的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为a x 、a y ，初速度v 0分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向上列方程求解．
图8
【例4】在光滑的水平面内，一质量m ＝1kg 的质点以速度v 0＝10m /s 沿x 轴正方向运动，经过原点后受一沿竖直向上(沿y 轴正向) 的恒力F ＝15 N 作用，直线OA 与x 轴成α＝37˚，如图8所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m /s 2，sin 37˚＝0.6，cos 37˚＝0.8) ．求： (1)如果质点的运动轨迹与直线OA 相交于P 点，质点从O 点到P 点所经历的时间以及P 点的坐标；
(2)质点经过P 点的速度大小．
例4 (1)3s (30m,22.5m) (2)513m/s
解析 (1)质点在水平方向上不受外力作用做匀速直线运动，竖直方向上受恒力F 和重
F －mg 15－102
力mg 作用做匀加速直线运动．由牛顿第二定律得a ＝＝5 m/s2
m 1
1
设质点从O 点到P 点经历的时间为t ，P 点坐标为(x P ，y P ) ，则x P ＝v 0t ，y P ＝2
2
y 又tan α＝t ＝3s ，x P ＝30m ，y P ＝22.5m
x P
(2)质点经过P 点时沿y 方向的速度v y ＝at ＝15m/s
故P 点的速度大小v P ＝v 0＋v y ＝513m/s
[规范思维] 类平抛运动是指物体受恒力作用且恒力方向与初速度方向垂直的运动，其运动规律与平抛运动的规律相同，处理方法与平抛运动问题的处理方法亦相同，但需注意的是不一定按竖直方向和水平方向进行分解，而是按初速度方向和合外力方向来分解． 思维提升
1．平抛运动的条件是①只受重力作用；②初速度不为0，且方向水平．
三、圆周运动
一、圆周运动的运动学分析 1．匀速圆周运动
(1)特点：线速度的大小不变，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
(2)性质：是线速度大小不变而方向时刻变化的变速曲线运动，是加速度大小不变而方向时刻改变的变加速曲线运动．
(3)向心加速度和向心力：仅存在向心加速度．向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．
(4)质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．传动装置特点
(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同． (2)皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮) 传动的两轮边缘上各点线速度大小相等． (3)在讨论v 、ω、r 三者关系时，应采用控制变量法，即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系．
【例1】(宁夏理综高考.30) 如图3所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2. 已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
图3
A. 从动轮做顺时针转动B. 从动轮做逆时针转动
r r C.
从动轮的转速为n D. 从动轮的转速为r 2r 1
例1BC [因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动而转动，所以从动轮做逆时针转动；由于通过皮带传动且转动过程中皮带不打滑，皮带与轮边缘的线速度相
nr 1
等，所以由2πnr 1＝2πn 2r 2得，从动轮的转速为n 2＝答案为B 、C.]
r 2
[规范思维] 分析传动问题要抓住关键的两点： (1)同一轮轴上的各点角速度相同；(2)皮带不打滑(或齿轮传动) 时，轮边缘各点的线速度大小相同．这两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出
正确的结论．
[针对训练1] 如图4所示，轮O 1、O 3固定在同一转轴上，轮O 1、O 2用皮带连接且不打滑．在O 1、O 2、O 3三个轮的边缘各取一点A 、B 、C ，已知三个轮的半径比r 1∶r 2∶r 3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B 、C 三点的线速度大小之比v A ∶v B ∶v C ； (2)A、B 、C 三点的角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ；
(3)A、B 、C 三点的向心加速度大小之比a A ∶a B ∶a C .
图4
1．(1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶1
解析 (1)令v A ＝v ，由于转动时不打滑，所以v B ＝v . 因ωA ＝ωC ，由公式v ＝ωr知，当
1
角速度一定时，线速度跟半径成正比，故v c ＝v ，所以v A ∶v B ∶v C ＝2∶2∶1.
2
v
(2)令ωA ＝ω，由于共轴转动，所以ωC ＝ω. 因v A ＝v B ，由公式ω＝知，当线速度一定
r
时，角速度跟半径成反比，故ωB ＝2ω. 所以ωA ∶ωB ∶ωC ＝1∶2∶1.
v 2
(3)令A 点向心加速度为a A ＝a ，因v A ＝v B ，由公式a ＝r
速度跟半径成反比，所以a B ＝2a . 又因为ωA ＝ωC ，由公式a ＝ω2r 知，当角速度一定时，
1
向心加速度跟半径成正比，故a C ＝. 所以a A ∶a B ∶a C ＝2∶4∶1.
2
二、圆周运动中的动力学问题分析 1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
(1)圆周可看成是牛顿第二定律应用的进一步延伸．将牛顿第二定律F ＝ma 应用于圆周
v 24π22运动，F 就是向心力，a 就是向心加速度，即得：F ＝ma n ＝m ＝mωR ＝m R R T (2)基本思路
①明确研究对象．
②分析运动情况：即做什么性质的圆周运动(匀速圆周运动？变速圆周运动？) ；确定轨道所在的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向．
③分析受力情况(注意不要把向心力作为某一性质的力进行分析) ，在向心方向求合外力(即选定向心方向为正方向) ．
④由牛顿第二定律列方程，根据已知量和要求量选择合适的向心加速度公式． ⑤求解或进行必要的讨论．
【例2】(2010·山东省泰安市高三第二轮复习质量检测) 如图5所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 沿半径指向圆心，a 与c 垂直，下列说法正确的是( )
A ．当转盘匀速转动时，P 受摩擦力方向为a 方向
B ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为b 方向
C ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为c 方向
D ．当转盘减速转动时，P 受摩擦力方向可能为d 方向
图5
例2BD [圆周运动，向心方向一定受力．匀速圆周运动，切向方向不受力；变速圆周运动，切向方向一定受力．加速沿a 方向，减速沿a 反方向．摩擦力即为向心方向和切向方向这两个方向上受到的力的合力．由此可判断B 、D 正确．]
[规范思维] (1)首先确定物体做什么性质的圆周运动：匀速圆周运动，合外力指向圆心；非匀速圆周运动，合外力有两个分力：沿半径指向圆心方向的合外力提供向心力，改变物体的速度方向；沿切线方向的分力产生切向加速度，改变速度的大小．(2)再根据合加速度的方向判断静摩擦力的方向．
【例3】如图6所示，在光滑的水平面上有两个质量相同的球A 和球B ，A 、B 之间以及B 球与固定点O 之间分别用两段轻绳相连并以相同的角速度绕着O 点做匀速圆周运动，如果OB ＝2AB ，则绳OB 与绳BA 的张力之比为( )
A ．2∶1B ．3∶2C ．5∶3D ．5∶2
图6
例3C [设AB 段长为l ，分别对A 、B 受力分析如图所示
由牛顿第二定律得
F OB －F AB ＝m ·2lω2①
F BA ＝m ·3lω2②
由牛顿第三定律知F AB 与F BA 大小相等
联立①②解得：F OB ＝5mlω2，F AB ＝3mlω2]
[规范思维] 通过此题进一步强化应用牛顿第二定律解题的思路：明确研究对象；隔离物体进行受力分析；明确圆心及半径；应用牛顿第二定律列方程．正确的进行受力分析仍是解题的关键．
[针对训练2] 2009年10月10日，美国空军“雷鸟”飞行表演队在泰国首都曼谷进行了精彩的飞行表演．飞行员驾机在竖直平面内做圆环特技飞行，若圆环半径为1000m ，飞行速度为100m /s
，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重力的多
少倍．(g＝10 m /s 2)
2．见解析
解析 如右图所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg 和向上的支持力F N1，合力
提供向心力即F n1＝F N1－mg ；在最高点时，飞行员受向下的重力mg 和向下的压力F N2，
m v 2合力提供向心力即F n2＝F N2＋mg . 两个向心力大小相等且F n ＝F n1＝F n2＝ r
m v 2m v 2在最低点：F N1－mg ＝F N1＝＋mg r r 2F v 解得：＋1＝2 mg rg
m v 2m v 2在最高点：F N2＋mg ＝F N2＝－mg r r 2F v 解得：－1＝0 mg rg
即飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重力的两倍，飞至最高点时，飞行员对座椅无压力．
思维提升
1．注意区分匀速直线运动与匀速圆周运动的不同．匀速直线运动是平衡态，加速度为零，所受合力为零；匀速圆周运动是非平衡态，速度方向在变化，一定有加速度，也一定受力的作用．
2
．向心力是效果力，是物体实际所受性质力的分力或合力，在分析物体所受力的个数
时，不应分析向心力．
易错点评
1．在传动问题中要注意区分轴传动与带(或摩擦) 传动两种情况．轴传动时，共轴各轮角速度相等；带(或摩擦) 传动时，各轮边缘线速度相等．解题中应挖掘出这一隐含条件．
2．匀速圆周运动具有周期性，解题中要特别注意由周期性所引起的多解问题．
3．在变速圆周运动中，合力与合加速度都不指向圆心，向心力与向心加速度只是合力与合加速度的一个分量．
4．对于圆周运动中的临界问题，找到临界状态，列出临界条件下的平衡方程或牛顿第二定律方程是解题的关键．
四、圆周运动规律的应用
圆周运动规律在实际中的应用
1．圆锥摆类问题分析
图4
圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图4所示，拉力(或弹力) 和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．
v 2F 合＝F n ＝mg tan θ＝m R
其运动情况也相似，都在水平面内做圆周运动，圆心在水平面内，常见的圆锥摆类模型还有：火车转弯(如图5所示) ；杂技节目“飞车走壁”(如图6所示) ；飞机在水平面内的盘旋(如图7所示)
图5 图6
图7
【例1】(广东高考) 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图8所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
图8
例 g tan θ r ＋L sin θ
解析 设转盘转动角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ
座椅到中心轴的距离：R ＝r ＋L sin θ①
对座椅受力分析有：F n ＝mg tan θ＝mRω2②
g tan θ联立①②两式得：ω＝ r ＋L sin θ
[针对训练1] (2009·广东单科)(1)为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破．飞机在河道上空高H 处以速度v 0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标．求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小．(不计空气阻力)
(2)如图9所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m 的小物块．求：
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
图
9
1
．
(1)v 0 g v 0＋2gH
mgH mgR 2gH ② R R ＋H R ＋H [针对训练2] 铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L ＝1 435 mm ，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km /h 为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)．
2．(1)hr ＝33 m2 75 mm (2)54 km/h
2．竖直面内的圆周运动问题分析 (2)①
图10 (1)绳(单轨，无支撑，水流星模型) ：绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力(如图10所示) ．
mv 2
这种情况下有F ＋mg ＝mg ，所以小球通过最高点的条件是v gR ，通过最高点R
的最小速度v min ＝①当v>gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
②当v
图11
(2)外轨(单轨，有支撑，汽车过拱桥模型) ，只能给物体支持力，而不能有拉力(如图11所示) ．
有支撑的汽车，弹力只可能向上，在这种情况下有：
mv 2
mg
－F ＝≤mg ， R
所以v ≤，
物体经过最高点的最大速度v max ＝gR ，
此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．
(3)杆(双轨，有支撑) ：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图12所示．
图12
①过最高点的临界条件：v ＝0.
mv 2
②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即mg ＝v ＝，R
杆或轨道内壁对小球没有力的作用．
当0
当gR 时，小球受到重力和杆向下的拉力(或外轨道对球向下的压力) ．
图13
【例2】如图13所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.. 一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度) ．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范围．
5例≤h ≤5R 2
1解析 设物块在圆形轨道最高点的速度为v ，由机械能守恒得mgh ＝2mgR ＋m v 2① 2
物块在最高点受的力为重力mg 、轨道的压力F N . 重力与压力的合力提供向心力，有mg
v 2＋F N ＝m R
物块能通过最高点的条件是F N ≥0，即当F N ＝0，只有重力提供向心力时为通过最高点
v 2的临界条件，有mg ≤m ③ R
由②③式可得v ≥④
5由①④式得h ≥⑤ 2
按题的要求，F N ≤5mg ，代入②式得v 6gR ⑥
由①⑥式得h ≤5R ⑦
[规范思维] 解此题要注意两个临界条件的分析，特别要理解“物块能通过最高点”的临界条件的意义．
[针对训练3] 在2008年北京奥运会上，我国体操小将邹凯夺得单杠、自由体操、男子团体三枚金牌，以一届奥运会收获三金的佳绩与84年的体操王子李宁比肩．如图14所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间．他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．假设他的质量为60 kg ，要完成动作，则他运动到最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，取g ＝10 m /s 2)( )
图14
A ．600 NB ．2 400 NC ．3 000 ND ．3 600 N
3．C
[针对训练4] 如图15所示，小物块位于半径为R 的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v 02gR ，则物块( )
A ．立即做平抛运动B ．落地时水平位移为2R
C ．落地速度大小为gR D ．落地时速度方向与地面成60°角
图15
4．AC [物体恰好不受轨道的支持力的情况下(物体在最高点做圆周运动) 的临界条件是gR ，因为v 0＝2gR gR ，所以物体将从最高点开始做平抛运动，A 正
1确；由平抛运动的规律R ＝gt 2，x ＝v 0t ，可得：x ＝2R ，B 答案错误；落地时竖直分速
2
GMm R 一、万有引力定律及其应用 重力与重力加速度 1．关于重力 (1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零．各处位置均有mg ＝
(2)由于F n ＝mRω2非常小，所以对一般问题的研究认为F n ＝0，mg ＝
2．重力加速度
Mm (1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，G ＝R
GM mg ，g ＝R
(R为星球半径，M 为星球质量)
(2)星球上空某一高度h 处的重力加速度：
Mm GM G mg ′，g ′＝(R ＋h )(R ＋h )随着高度的增加，重力加速度逐渐减小．
【例1】(2009·江苏单科·3) 英国《新科学家(Ne w Scientist ) 》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ 1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的
M c 2
半径R 约为45km ，质量M 和半径R (其中c 为光速，G 为引力常量) ，R 2G
则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
GMm R
A ．108m /s 2B ．1010m /s 2
C ．1012m /s 2D ．1014m /s 2
GMm GM M 例1C [可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力，即mg ＝，即g ＝＝R R R
8222(3×10)c c 2g ＝1012 m/s2.] m/s＝1×2G 2R 2×45×10Mm [规范思维] 在星球表面，由mg ＝G GM ＝gR 2，若知星球表面重力加速度g R GM 和星球半径R ，可替换GM ，称为黄金代换；②g ＝，由重力加速度g 可将万有引力R 定律和其它规律相联系，如运动学公式，机械能守恒定律等，实现综合解题．
二、天体质量和密度的估算
1．解决天体圆周运动问题的一般思路
利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤
(1)两条线索
①万有引力提供向心力F ＝F n .
②重力近似等于万有引力提供向心力．
(2)两组公式
Mm v 24π22①G ＝mωr ＝r r T 22v 4π②mg r ＝m mω2r ＝m r 为轨道所在处重力加速度) r T 2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.
Mm gR 2M M 3g 由于G ＝mg ，故天体质量M ＝，天体密度ρ＝. R G V 434πGR πR 3
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 进行计算．
Mm 4π24π2r 3
①由万有引力等于向心力，即G r ，得出中心天体质量M ＝ r T GT M M 3πr 3
②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝ V 43GT R R 3
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，
3π则天体密度ρ＝. 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心GT 天体的密度．
【例2】已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g. 某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地心做圆周运
Mm 2π24π2h 3
动，由G m() h 得M ＝. h T 2GT 2
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
例2见解析
解析 (1)上面的结果是错误的，地球的半径R 在计算过程中不能忽略．
4π2(R ＋h )3Mm 2π2正确的解法和结果：G m ((R ＋h ) 得M ＝. T 2GT (R ＋h )2
GMm gR 2(2)解法一 在地面上的物体所受的万有引力近似等于重力，由＝mg ，解得M ＝. R G 23Mm 2π4πr 解法二 对月球绕地球做圆周运动，由G ＝m () 2r ，得M ＝r T 1GT 1
[规范思维] 本题给出了两种常用的求星球质量的方法：(1)已知卫星的轨道半径r 和周
期T 求质量(注意r 为卫星到天体球心的距离) ；(2)已知星球表面重力加速度g 、星球半
gR 2径R 和引力常量G ，由M ＝ G
三、对人造卫星的认识及变轨问题
1．人造卫星的动力学特征
万有引力提供向心力，即
Mm v 22πG ＝m ＝mrω2＝m() 2r r r T
2．人造卫星的运动学特征
Mm v 2(1)线速度v ：由G ＝m 得v ＝，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小． r r r
Mm GM (2)角速度ω：由G ＝mω2r 得ω＝，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小． r r Mm 4π2(3)周期：由G m ，得T ＝2r T GM
增大．
3．卫星的稳定运行与变轨运行分析
(1)什么情况下卫星稳定运行？
卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动．
Mm mv 2
满足的公式：G r r
(2)变轨运行分析：
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用) ，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行．
mv 2
①当v 增大时，所需向心力r
动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝r
知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．
mv 2
②当卫星的速度突然减小时，向心力r
此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由
v 知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利r
用了这一原理) ．
图3
【例3】(2010·江苏单科·6)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A
点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图3所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有( )
A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度
B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D ．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度
例3ABC [在椭圆轨道上运动，近地点的速度最大，远地点的速度最小，A 选项正确．由万有引力定律可知飞机在A 点受到的引力是个定值，由此结合牛顿第二定律可知飞机在A 点的加速度是个定值，故D 项错误．飞机从A 点进入轨道Ⅱ相对于轨道Ⅰ可看成向心运动，则可知飞机在轨道Ⅱ上A 点速度小于轨道Ⅰ上A 点速度，再结合动能定义
式可知B 选项正确．根据低轨道卫星的周期小，高轨道卫星周期大可知C 选项正确．综上知正确答案为A 、B 、C.]
[规范思维] 卫星的变轨问题注意区分这两种情况
(1)制动变轨：卫星的速率减小，卫星做向心运动，轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动；
(2)加速变轨：卫星的速率增大，卫星做离心运动，轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动．
四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星
1．环绕速度与发射速度的比较
近地卫星的环绕速度v ＝G ＝gR ＝7.9km /s ，通常称为第一宇宙速度，它是地球周R
围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．
不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ＝，其大小随半径的增大而减r
小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大．
2．地球同步卫星特点
(1)地球同步卫星只能在赤道上空．
(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期．
(3)地球同步卫星相对地面静止．
(4)同步卫星的高度是一定的．
【例4】我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的运行轨道是
1圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球81
1半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9km /s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为4
( )
A ．0.4km /sB ．1.8 km /sC ．11km /sD ．36 km /s
例4B [设地球的质量、半径分别为M 、R ，月球的质量、半径分别为M ′、r ，则M ′M 1GMm ＝，r ＝R . 在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为m 0，814R
M ′R 21622＝m 0g ，即GM ＝gR ；在月球表面，满足GM ′＝g ′r ，由此可得：g ＝Mr 81g ，地球表面的第一宇宙速度v 1＝7.9km/s，在月球表面，有v ′＝g ′r ＝16122g ×＝gR ＝7.9km /s≈1.8 km/s.] 81499
[规范思维] (1)解决此类题的关键：要明确卫星的第一宇宙速度等于最大环绕速度．
(2)解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但基本方法是不变的，即把天体的运动看成圆周运动，万有引力提供向心力．
五、双星问题
【例5】(2010·重庆理综) 月球与地球质量之比约为1∶80. 有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为( )
A ．1∶6400B ．1∶80
C ．80∶1D ．6400∶1
例5C [设地球和月球的质量分别为M 、m ，地月球心间距为r ，地球和月球的转动半
Mm Mm r m 径分别为r 1、r 2，由题意知ω1＝ω2＝ω，则＝Mω2r 1，G mω2r 2，所以＝r r r 2M
v 1r m 1. 二者转动角速度相同，可知地球和月球绕O 点运动的线速度大小之比为＝＝＝802r 2M
1，即月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比为80∶1，本题只有选项C 正确．] 80
[规范思维] 本题就是经典的双星模型．所谓双星模型，就是有一些天体的运动并非是一颗星以另一颗星为中心做圆周运动，而是两颗星都不是运动的中心，它们绕二者连线上的某一点做圆周运动，好像“被穿在一根杆上的两个小球”，以两个小球之间杆上的某一点为中心做圆周运动．解决这类问题的关键是挖掘出双星问题的根本特点——角速度相同，并以此列向心力方程．
六、万有引力定律与抛体运动的结合
【例6】(2011·象山北仓两城适应性考试) 在太阳系中有一颗行星的半径为R ，若在该星球表面以初速度v 0竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为H. 已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计(万有引力常量G 未知) ．则根据这些条件，可以求出的物理量是( )
A. 该行星的密度
B. 该行星的自转周期
C. 该星球的第一宇宙速度
D. 该行星附近运行的卫星的最小周期
v 20例6CD [由竖直上抛运动规律得g ＝ 2H 223v 0Mm gR M G ＝mg M ＝ρ＝G 未知，故A 错； R G 438πGRH R 3
根据已知条件不能分析行星的自转情况，B 错；
v 20R Mm 根据G mg ＝得v ＝gR ＝v 0，C 正确； R R 2H 2H
Mm 2πR ·2H 2π由G ＝m () 2R ＝mg 得T ＝2π＝2π2RH ，D 正确．] R T g v v 00
[规范思维] 天体表面的抛体运动经常与万有引力定律结合来求解围绕天体做匀速圆周运动的物体的有关物理量，解决问题的办法是通过抛体运动求天体表面的重力加速度，再根据万有引力定律求T 、ω、天体质量或密度．也可以先根据万有引力定律求重力加
21
曲线运动/万有引力与航天讲义 一、曲线运动、运动的合成与分解
一、对曲线运动规律的进一步理解 1．运动类型的判断
(1)判断物体是否做匀变速运动，要分析合外力是否为恒力．
(2)判断物体是否做曲线运动，要分析合外力方向是否与速度方向在同一条直线上． 2．运动类型的分类 (1)直线运动
①匀速直线运动，条件：F 合＝0.
②匀变速直线运动，条件：F 合为恒力、不等于零且与速度同线． ③非匀变速直线运动，条件：F 合为变力且与速度同线． (2)曲线运动
①匀变速曲线运动，条件：F 合≠0，为恒力且与速度不同线． ②非匀变速曲线运动，条件：F 合≠0，为变力且与速度不同线． 3．两个直线运动的合运动性质的判断
根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动．
12中保持二力方向不变，但
F
1突然增大到F 1＋ΔF ，则质点以后( ) A ．一定做匀变速曲线运动
B ．在相等时间内速度的变化一定相等 C ．可能做匀速直线运动 D ．可能做变加速曲线运动
例1AB [恒力F 1和F 2的合力仍为恒力，物体由静止开始做匀加速直线运动，若运动过程中F 1突然增大到F 1＋ΔF ，虽仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，故物体将做匀变速曲线运动，选项A 正确而C 、D 错误；由Δv ＝a ·Δt 可知，选项B 正确．] [规范思维] 先判断是曲线运动还是直线运动，方法是看合外力的方向与速度的方向是否在一条直线上；再判断加速度是否变化，方法是看F 合是否变化． [针对训练1] 下图中，能正确描述质点运动到P 点时的速度v 和加速度a 的方向关系的是( )
1．A [物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向，所受合外力(或加速度) 的方向指向曲线的凹侧．]
二、运动的合成和分解
1．原则：当定量研究一个较复杂的曲线运动时，往往按实际效果把它分解为两个方向上的直线运动．
2．运动的合成与分解的运算法则
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减．
(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图2所示．
图2
(3)两分运动垂直或正交分解后的合成a 合a x ＋a y ，v 合＝v x ＋v y ，x 合＝x 1＋x 2. 【例2】(2010·江苏单科·1) 如图3所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( ) A ．大小和方向均不变B ．大小不变，方向改变 C ．大小改变，方向不变D ．大小和方向均改变
图3
例2A [笔匀速向右移动时，x 随时间均匀增大，y 随时间均匀减小，说明橡皮水平方向匀速直线运动，竖直方向也是匀速直线运动，所以橡皮实际运动是匀速直线运动，A 正确．]
[规范思维] 首先按运动的效果将橡皮的运动分解为：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的运动，再由题给条件判断竖直分运动为匀速直线运动． [针对训练2] (2010·上海单科·12) 降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )
A ．下落的时间越短B ．下落的时间越长 C ．落地时速度越小D ．落地时速度越大
2．D [风沿水平方向吹，不影响竖直速度，故下落时间不变，A 、B 两项均错．风速越大，落地时合速度越大，故C 项错误，D 项正确．] 三、两种典型模型 1．小船过河问题模型
(1)涉及的三个速度：v 1：船在静水中的速度
v 2：水流的速度 v ：船的实际速度
(2)小船的实际运动是合运动，两个分运动分别是水流的运动和船相对静水的运动． (3)两种情景
①怎样渡河，过河时间最短？
d
船头正对河岸，渡河时间最短，t 短＝为河宽) ．
v 1
②怎样渡河，路径最短(v2
v 合速度垂直于河岸时，航程最短，x 短＝d ，船头指向上游，与河岸的夹角为α，cos α＝.
v 1
2．绳连物体问题模型
物体的实际运动为合运动，解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳方向的两个分量，根据绳连物体沿绳方向的分速度大小相同求解．
【例3】一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100m 远的一浮标处，已知快艇在静水中的速度v x 图象和水流的速度v y 图象如图4甲、乙所示，
则下列说法中错
误的是( )
图4
A ．快艇的运动轨迹为直线 B ．快艇的运动轨迹为曲线
C ．快艇最快到达浮标处的时间为20s
D ．快艇最快到达浮标处经过的位移大于100m
例3A [快艇实际运动的两个分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，且不在同一直线上，故快艇的运动轨迹为曲线，A 错，B 对．最快到达浮标处的方式是使v x 垂直
1
于河岸和浮标且保持图甲所示的加速度a ＝0.5 m/s22＝x ，代
2
入x ＝100m 有t ＝20s ，C 项正确．但际位移为x ′>100m，D 项正确．]
[规范思维] (1)首先根据运动的等时性确定船头垂直岸(即v x 垂直岸) 时最快．
(2)再将艇的运动分解为沿河岸的匀速直线运动和垂直于河岸的匀加速直线运动，并由此确定轨迹．
[针对训练3] 一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x 方向和y 方向上的分运动的速度随时间变化的规律如图5所示．关于物体的运动，下列说法中正确的是( ) A ．物体做匀变曲线运动 B ．物体做变加速直线运动
C ．物体运动的初速度大小是5m /s D ．物体运动的加速度大小是5m /s 2
图5
3．AC [根据运动的合成与分解v 合＝v x ＋v y ＝5m/s，C 正确．从图象得物体的加速度a ＝2 m/s2，由于物体在x 方向上做匀速直线运动，在y 方向上做匀加速直线运动，且合初速度的方向与合加速度的方向不共线，所以物体做匀变速曲线运动，A 正确．] 【例4】如图6所示，物体A 和B 质量均为m ，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B 放在水平面上，A 与悬绳竖直．用力F 拉B 沿水平面向左“匀速”运动过程中，绳对A 的拉力的大小( ) A ．大于mg B ．总等于mg
C ．一定小于mg D ．以上三项都不正确
图6
例4A
[物体B 向左的速度v B 是合速度，根据其效果，分解为如右图所示的两个速度v 1和v 2，其中v 2＝v A ，又因v 2＝v B cos θ，当物体B 向左匀速运动时，v B 大小不变，θ变小，cos θ增大，所以v 2增大，即物体A 向上做加速运动，由牛顿第二定律得F T －mg ＝ma ，可知：F T ＝mg ＋ma >mg ，故A 正确．]
[规范思维] (1)在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度．合速度就是物体实际运动的速度，由物体的实际运动情况确定，分速度由合速度所产生的实际效果利用平行四边形定则确定．
(2)对绳连物体的问题进行分析时，物体的速度一般分解为沿绳方向和垂直于绳方向两个分速度．
[针对训练4] 如图7所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O 与小球B 连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A 连接，杆两端固定且足够长，物块A 由静止从图示位置释放后，先沿杆向上运动．设某时刻物块A 运动的速度大小为v A ，小球B 运动的速度大小为v B ，轻绳与杆的夹角为θ.则( ) A ．v A ＝v B cos θ B ．v B ＝v A cos θ
C ．小球B 减小的势能等于物块A 增加的动能
D ．当物块A 上升到与滑轮等高时，它的机械能最大
图7
4．BD
[v A 可分解为沿绳方向和垂直绳方向的两个分速度，如右图所示．而小球B 的速度等于沿绳方向的分速度，即v B ＝v A cos θ，故B 正确；根据能量守恒可知，小球B 减小的势能等于物块A 增加的机械能和小球B 增加的动能之和，C 错；当物块A 上升到与滑轮等高时，v A 沿绳方向分速度为0，即v B ＝0，小球B 运动到最低点，减少的重力势能全部转化为A 的机械能，故此时A 的机械能最大，D 正确．] 思维提升
1．判断物体是否做曲线运动要紧紧抓住力的方向是否与速度方向在一条直线上；而物
体是否做匀变速运动，则要看物体是否受大小、方向不变的恒力作用，两者不要混淆．
2．速度分解的一般原则是按实际效果来进行分解，常用的思维方法有两种：一种是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的方向；另一种是先确定合运动的速度方向(物体实际的运动方向就是合速度的方向) ，然后确定由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．
3．根据曲线运动的轨迹和受力的关系——运动轨迹弯向合外力一侧，确定出物体运动的轨迹．
4．对于较复杂的运动，要善于将其分解为两个不同的运动，从而按运动的合成与分解的一般方法求解有关问题．
二、平抛运动
一、平抛运动物体的运动
1．求以下三种情况下平抛运动的时间(如图1所示)
图1
t a ＝
2v tan αx t b ＝ t c ＝ g g v 0
总结：(1)平抛运动的时间取决于 (a ) ：物体下落的高度
(b ) ：初速度v 0及斜面倾角 (c ) ：抛点到竖直墙的距离及v 0
(2)(a ) 中的水平位移x ＝v 0，取决于v 0和下落高度h.
g
2．速度的变化规律
(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v 0.
(2)任意相等时间间隔Δt 内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv ＝Δv y ＝g Δt. 3．位移变化规律
(1)任意相等时间间隔Δt 内的水平位移不变，即Δx ＝v 0Δt.
(2)连续相等的时间间隔Δt 内，竖直方向上的位移差不变，即Δy ＝g Δt 2. 4．平抛运动的两个重要推论
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛) 运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
图2
v gt
证明：如图2所示，由平抛运动规律得：tan α＝
v 0v 0
12gt y 2gt tan θ＝x v 0t 2v 0
所以tan α＝2tan θ
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛) 运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
证明：如图2所示，设平抛物体的初速度为v 0，从原点O 运动到A 点的时间为t ，A 点坐标为(x，y) ，B 点坐标为(x′，0) ．则
1
x ＝v 0t ，y ＝2，v y ＝gt ，
2v y x
又tan α＝，解得x ′＝.
v 0x －x ′2
即末状态速度方向的反向延长线与x 轴的交点必为此时水平位移的中点．
【例1】(全国高考Ⅰ) 如图3所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( ) A ．tan φ＝sin θB ．tan φ＝cos θ C ．
tan
φ
＝tan θD ．tan φ＝2tan θ
图3
例1D [本题考查平抛运动的有关知识，本题为中等难度题目．由平抛运动知识可得：
12v y gt y 2gt
对速度分解有tan φ＝tan θ＝＝，所以有：tan φ＝2tan θ.]
v 0v 0x v 0t 2v 0
[规范思维] 本题考查平抛运动的基本处理方法，也考查了斜面的制约关系．平抛物体
y
落在斜面上，就确定了水平位移和竖直位移的几何关系，即tan θ此式可称为斜面的
x
制约方程) ．此外利用推论解题很便捷．本题的结果实际上是平抛运动的一个重要推论tan φ＝2tan θ.
[针对训练1] (2010·北京理综·22) 如图4，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O 点水平飞出，经3.0s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50kg . 不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g 取
2
10m /s ) 求：
(1)A点与O 点的距离L ；
(2)运动员离开O 点时的速度大小；
图4
1．(1)75m (2)20m/s
1
解析(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有L sin37°2
2
2gt
A 点与O 点的距离L ＝75m
2sin37°
(2)设运动员离开O 点时的速度大小为v 0，运动员在水平方向做匀速直线运动，
L cos37°
即L cos37°＝v 0t 解得v 0＝＝20m/s
t
【例2】(2010·全国Ⅰ·18) 一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图5中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
11
A ．tan θB ．2tan θC D
tan θ2tan θ
图5
12gt
v 0y 2
例2D [设小球的初速度为v 0，飞行时间为t . 由速度三角形可得tan θ. 故有gt x v 0t
1
，答案为D.] 2tan θ
[规范思维] 本题中，斜面制约的是速度方向．物体垂直落在斜面上，就确定了速度方向．
[针对训练2] (2010·天津河西期末) 如图6所示，以v 0＝10m /s 的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上，按g ＝10 m /s 2考虑，以下结论中不正确的是( )
A ．物体飞行时间是3s
B ．物体撞击斜面时的速度大小为20m /s C ．物体飞行的时间是2s D ．物体下降的距离是10m
图6
v 0v y 3
2．AB [考查平抛运动．竖直方向的速度v y ＝3m/s，运动时间t ＝
tan30°g 10v s ＝3s ，A 正确，C 错误；合速度大小v 20m/s，B 正确；物体下落的竖直距
sin30°
1
离y ＝2＝15m ，D 错误．]
2
【例3】(2008.江苏单科.13) 抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L 、网高h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g) (1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度v 1水平发出，落在球台的P 1点(如图7中实线所示) ，求P 1点距O 点的距离x 1. (2)若球在O 点正上方以速度v 2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P 2点(如图中虚线所示) ，求v 2的大小．
(3)若球在O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P 3处，求发球点距O 点的高度h 3.
图7
L 4 (2) (3)h g 22h 3
解析 (1)设发球时飞行时间为t 1，根据平抛运动规律 例3 (1)v 1
1h 1＝gt 2①
21x 1＝v 1t 1②
③ g
(2)设发球高度为h 2，飞行时间为t 2，根据平抛运动规律
1h 2＝gt 2④
22x 2＝v 2t 2⑤
乒乓球反弹前后水平分速度不变，最大高度不变 故h 2＝h ⑥ 2x 2＝L ⑦
L 联立④⑤⑥⑦式，得v 2＝
22h 联立以上两式，解得x 1＝v 11
(3)如下图所示，发球高度为h 3，飞行时间为t 3，根据平抛运动得h 3gt 2⑨
23
x 3＝
v 3t 3⑩
且3x 3＝2L ⑪
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t ，水平距离为x ，有
1
h 3－h ＝gt 2⑫
2
x ＝v 3t ⑬
由几何关系知x 3＋x ＝L ⑭
4
联立⑨～⑭式，解得h 3h
3
[规范思维] 本题以乒乓球发球为背景，考查学生读题、审题及挖掘信息的能力、建模能力．问题设置有台阶、有铺垫，难度逐渐增加：第(1)问已知平抛的竖直高度和初速度求水平位移，难度较小；第(2)问认识到发球的对称性才可解答；第(3)问不仅能从对称性分析，还要恰当列式，熟练推导． 二、类平抛运动物体的运动 1．类平抛运动的受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2．类平抛运动的运动特点
在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加
F 合
速度a ＝m
3．类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向) 的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为a x 、a y ，初速度v 0分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向上列方程求解．
图8
【例4】在光滑的水平面内，一质量m ＝1kg 的质点以速度v 0＝10m /s 沿x 轴正方向运动，经过原点后受一沿竖直向上(沿y 轴正向) 的恒力F ＝15 N 作用，直线OA 与x 轴成α＝37˚，如图8所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m /s 2，sin 37˚＝0.6，cos 37˚＝0.8) ．求： (1)如果质点的运动轨迹与直线OA 相交于P 点，质点从O 点到P 点所经历的时间以及P 点的坐标；
(2)质点经过P 点的速度大小．
例4 (1)3s (30m,22.5m) (2)513m/s
解析 (1)质点在水平方向上不受外力作用做匀速直线运动，竖直方向上受恒力F 和重
F －mg 15－102
力mg 作用做匀加速直线运动．由牛顿第二定律得a ＝＝5 m/s2
m 1
1
设质点从O 点到P 点经历的时间为t ，P 点坐标为(x P ，y P ) ，则x P ＝v 0t ，y P ＝2
2
y 又tan α＝t ＝3s ，x P ＝30m ，y P ＝22.5m
x P
(2)质点经过P 点时沿y 方向的速度v y ＝at ＝15m/s
故P 点的速度大小v P ＝v 0＋v y ＝513m/s
[规范思维] 类平抛运动是指物体受恒力作用且恒力方向与初速度方向垂直的运动，其运动规律与平抛运动的规律相同，处理方法与平抛运动问题的处理方法亦相同，但需注意的是不一定按竖直方向和水平方向进行分解，而是按初速度方向和合外力方向来分解． 思维提升
1．平抛运动的条件是①只受重力作用；②初速度不为0，且方向水平．
三、圆周运动
一、圆周运动的运动学分析 1．匀速圆周运动
(1)特点：线速度的大小不变，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
(2)性质：是线速度大小不变而方向时刻变化的变速曲线运动，是加速度大小不变而方向时刻改变的变加速曲线运动．
(3)向心加速度和向心力：仅存在向心加速度．向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．
(4)质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．传动装置特点
(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同． (2)皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮) 传动的两轮边缘上各点线速度大小相等． (3)在讨论v 、ω、r 三者关系时，应采用控制变量法，即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系．
【例1】(宁夏理综高考.30) 如图3所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2. 已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
图3
A. 从动轮做顺时针转动B. 从动轮做逆时针转动
r r C.
从动轮的转速为n D. 从动轮的转速为r 2r 1
例1BC [因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动而转动，所以从动轮做逆时针转动；由于通过皮带传动且转动过程中皮带不打滑，皮带与轮边缘的线速度相
nr 1
等，所以由2πnr 1＝2πn 2r 2得，从动轮的转速为n 2＝答案为B 、C.]
r 2
[规范思维] 分析传动问题要抓住关键的两点： (1)同一轮轴上的各点角速度相同；(2)皮带不打滑(或齿轮传动) 时，轮边缘各点的线速度大小相同．这两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出
正确的结论．
[针对训练1] 如图4所示，轮O 1、O 3固定在同一转轴上，轮O 1、O 2用皮带连接且不打滑．在O 1、O 2、O 3三个轮的边缘各取一点A 、B 、C ，已知三个轮的半径比r 1∶r 2∶r 3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B 、C 三点的线速度大小之比v A ∶v B ∶v C ； (2)A、B 、C 三点的角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ；
(3)A、B 、C 三点的向心加速度大小之比a A ∶a B ∶a C .
图4
1．(1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶1
解析 (1)令v A ＝v ，由于转动时不打滑，所以v B ＝v . 因ωA ＝ωC ，由公式v ＝ωr知，当
1
角速度一定时，线速度跟半径成正比，故v c ＝v ，所以v A ∶v B ∶v C ＝2∶2∶1.
2
v
(2)令ωA ＝ω，由于共轴转动，所以ωC ＝ω. 因v A ＝v B ，由公式ω＝知，当线速度一定
r
时，角速度跟半径成反比，故ωB ＝2ω. 所以ωA ∶ωB ∶ωC ＝1∶2∶1.
v 2
(3)令A 点向心加速度为a A ＝a ，因v A ＝v B ，由公式a ＝r
速度跟半径成反比，所以a B ＝2a . 又因为ωA ＝ωC ，由公式a ＝ω2r 知，当角速度一定时，
1
向心加速度跟半径成正比，故a C ＝. 所以a A ∶a B ∶a C ＝2∶4∶1.
2
二、圆周运动中的动力学问题分析 1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
(1)圆周可看成是牛顿第二定律应用的进一步延伸．将牛顿第二定律F ＝ma 应用于圆周
v 24π22运动，F 就是向心力，a 就是向心加速度，即得：F ＝ma n ＝m ＝mωR ＝m R R T (2)基本思路
①明确研究对象．
②分析运动情况：即做什么性质的圆周运动(匀速圆周运动？变速圆周运动？) ；确定轨道所在的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向．
③分析受力情况(注意不要把向心力作为某一性质的力进行分析) ，在向心方向求合外力(即选定向心方向为正方向) ．
④由牛顿第二定律列方程，根据已知量和要求量选择合适的向心加速度公式． ⑤求解或进行必要的讨论．
【例2】(2010·山东省泰安市高三第二轮复习质量检测) 如图5所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 沿半径指向圆心，a 与c 垂直，下列说法正确的是( )
A ．当转盘匀速转动时，P 受摩擦力方向为a 方向
B ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为b 方向
C ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为c 方向
D ．当转盘减速转动时，P 受摩擦力方向可能为d 方向
图5
例2BD [圆周运动，向心方向一定受力．匀速圆周运动，切向方向不受力；变速圆周运动，切向方向一定受力．加速沿a 方向，减速沿a 反方向．摩擦力即为向心方向和切向方向这两个方向上受到的力的合力．由此可判断B 、D 正确．]
[规范思维] (1)首先确定物体做什么性质的圆周运动：匀速圆周运动，合外力指向圆心；非匀速圆周运动，合外力有两个分力：沿半径指向圆心方向的合外力提供向心力，改变物体的速度方向；沿切线方向的分力产生切向加速度，改变速度的大小．(2)再根据合加速度的方向判断静摩擦力的方向．
【例3】如图6所示，在光滑的水平面上有两个质量相同的球A 和球B ，A 、B 之间以及B 球与固定点O 之间分别用两段轻绳相连并以相同的角速度绕着O 点做匀速圆周运动，如果OB ＝2AB ，则绳OB 与绳BA 的张力之比为( )
A ．2∶1B ．3∶2C ．5∶3D ．5∶2
图6
例3C [设AB 段长为l ，分别对A 、B 受力分析如图所示
由牛顿第二定律得
F OB －F AB ＝m ·2lω2①
F BA ＝m ·3lω2②
由牛顿第三定律知F AB 与F BA 大小相等
联立①②解得：F OB ＝5mlω2，F AB ＝3mlω2]
[规范思维] 通过此题进一步强化应用牛顿第二定律解题的思路：明确研究对象；隔离物体进行受力分析；明确圆心及半径；应用牛顿第二定律列方程．正确的进行受力分析仍是解题的关键．
[针对训练2] 2009年10月10日，美国空军“雷鸟”飞行表演队在泰国首都曼谷进行了精彩的飞行表演．飞行员驾机在竖直平面内做圆环特技飞行，若圆环半径为1000m ，飞行速度为100m /s
，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重力的多
少倍．(g＝10 m /s 2)
2．见解析
解析 如右图所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg 和向上的支持力F N1，合力
提供向心力即F n1＝F N1－mg ；在最高点时，飞行员受向下的重力mg 和向下的压力F N2，
m v 2合力提供向心力即F n2＝F N2＋mg . 两个向心力大小相等且F n ＝F n1＝F n2＝ r
m v 2m v 2在最低点：F N1－mg ＝F N1＝＋mg r r 2F v 解得：＋1＝2 mg rg
m v 2m v 2在最高点：F N2＋mg ＝F N2＝－mg r r 2F v 解得：－1＝0 mg rg
即飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重力的两倍，飞至最高点时，飞行员对座椅无压力．
思维提升
1．注意区分匀速直线运动与匀速圆周运动的不同．匀速直线运动是平衡态，加速度为零，所受合力为零；匀速圆周运动是非平衡态，速度方向在变化，一定有加速度，也一定受力的作用．
2
．向心力是效果力，是物体实际所受性质力的分力或合力，在分析物体所受力的个数
时，不应分析向心力．
易错点评
1．在传动问题中要注意区分轴传动与带(或摩擦) 传动两种情况．轴传动时，共轴各轮角速度相等；带(或摩擦) 传动时，各轮边缘线速度相等．解题中应挖掘出这一隐含条件．
2．匀速圆周运动具有周期性，解题中要特别注意由周期性所引起的多解问题．
3．在变速圆周运动中，合力与合加速度都不指向圆心，向心力与向心加速度只是合力与合加速度的一个分量．
4．对于圆周运动中的临界问题，找到临界状态，列出临界条件下的平衡方程或牛顿第二定律方程是解题的关键．
四、圆周运动规律的应用
圆周运动规律在实际中的应用
1．圆锥摆类问题分析
图4
圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图4所示，拉力(或弹力) 和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．
v 2F 合＝F n ＝mg tan θ＝m R
其运动情况也相似，都在水平面内做圆周运动，圆心在水平面内，常见的圆锥摆类模型还有：火车转弯(如图5所示) ；杂技节目“飞车走壁”(如图6所示) ；飞机在水平面内的盘旋(如图7所示)
图5 图6
图7
【例1】(广东高考) 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图8所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
图8
例 g tan θ r ＋L sin θ
解析 设转盘转动角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ
座椅到中心轴的距离：R ＝r ＋L sin θ①
对座椅受力分析有：F n ＝mg tan θ＝mRω2②
g tan θ联立①②两式得：ω＝ r ＋L sin θ
[针对训练1] (2009·广东单科)(1)为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破．飞机在河道上空高H 处以速度v 0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标．求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小．(不计空气阻力)
(2)如图9所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m 的小物块．求：
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
图
9
1
．
(1)v 0 g v 0＋2gH
mgH mgR 2gH ② R R ＋H R ＋H [针对训练2] 铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L ＝1 435 mm ，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km /h 为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)．
2．(1)hr ＝33 m2 75 mm (2)54 km/h
2．竖直面内的圆周运动问题分析 (2)①
图10 (1)绳(单轨，无支撑，水流星模型) ：绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力(如图10所示) ．
mv 2
这种情况下有F ＋mg ＝mg ，所以小球通过最高点的条件是v gR ，通过最高点R
的最小速度v min ＝①当v>gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
②当v
图11
(2)外轨(单轨，有支撑，汽车过拱桥模型) ，只能给物体支持力，而不能有拉力(如图11所示) ．
有支撑的汽车，弹力只可能向上，在这种情况下有：
mv 2
mg
－F ＝≤mg ， R
所以v ≤，
物体经过最高点的最大速度v max ＝gR ，
此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．
(3)杆(双轨，有支撑) ：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图12所示．
图12
①过最高点的临界条件：v ＝0.
mv 2
②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即mg ＝v ＝，R
杆或轨道内壁对小球没有力的作用．
当0
当gR 时，小球受到重力和杆向下的拉力(或外轨道对球向下的压力) ．
图13
【例2】如图13所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.. 一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度) ．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范围．
5例≤h ≤5R 2
1解析 设物块在圆形轨道最高点的速度为v ，由机械能守恒得mgh ＝2mgR ＋m v 2① 2
物块在最高点受的力为重力mg 、轨道的压力F N . 重力与压力的合力提供向心力，有mg
v 2＋F N ＝m R
物块能通过最高点的条件是F N ≥0，即当F N ＝0，只有重力提供向心力时为通过最高点
v 2的临界条件，有mg ≤m ③ R
由②③式可得v ≥④
5由①④式得h ≥⑤ 2
按题的要求，F N ≤5mg ，代入②式得v 6gR ⑥
由①⑥式得h ≤5R ⑦
[规范思维] 解此题要注意两个临界条件的分析，特别要理解“物块能通过最高点”的临界条件的意义．
[针对训练3] 在2008年北京奥运会上，我国体操小将邹凯夺得单杠、自由体操、男子团体三枚金牌，以一届奥运会收获三金的佳绩与84年的体操王子李宁比肩．如图14所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间．他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．假设他的质量为60 kg ，要完成动作，则他运动到最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，取g ＝10 m /s 2)( )
图14
A ．600 NB ．2 400 NC ．3 000 ND ．3 600 N
3．C
[针对训练4] 如图15所示，小物块位于半径为R 的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v 02gR ，则物块( )
A ．立即做平抛运动B ．落地时水平位移为2R
C ．落地速度大小为gR D ．落地时速度方向与地面成60°角
图15
4．AC [物体恰好不受轨道的支持力的情况下(物体在最高点做圆周运动) 的临界条件是gR ，因为v 0＝2gR gR ，所以物体将从最高点开始做平抛运动，A 正
1确；由平抛运动的规律R ＝gt 2，x ＝v 0t ，可得：x ＝2R ，B 答案错误；落地时竖直分速
2
GMm R 一、万有引力定律及其应用 重力与重力加速度 1．关于重力 (1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零．各处位置均有mg ＝
(2)由于F n ＝mRω2非常小，所以对一般问题的研究认为F n ＝0，mg ＝
2．重力加速度
Mm (1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，G ＝R
GM mg ，g ＝R
(R为星球半径，M 为星球质量)
(2)星球上空某一高度h 处的重力加速度：
Mm GM G mg ′，g ′＝(R ＋h )(R ＋h )随着高度的增加，重力加速度逐渐减小．
【例1】(2009·江苏单科·3) 英国《新科学家(Ne w Scientist ) 》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ 1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的
M c 2
半径R 约为45km ，质量M 和半径R (其中c 为光速，G 为引力常量) ，R 2G
则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
GMm R
A ．108m /s 2B ．1010m /s 2
C ．1012m /s 2D ．1014m /s 2
GMm GM M 例1C [可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力，即mg ＝，即g ＝＝R R R
8222(3×10)c c 2g ＝1012 m/s2.] m/s＝1×2G 2R 2×45×10Mm [规范思维] 在星球表面，由mg ＝G GM ＝gR 2，若知星球表面重力加速度g R GM 和星球半径R ，可替换GM ，称为黄金代换；②g ＝，由重力加速度g 可将万有引力R 定律和其它规律相联系，如运动学公式，机械能守恒定律等，实现综合解题．
二、天体质量和密度的估算
1．解决天体圆周运动问题的一般思路
利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤
(1)两条线索
①万有引力提供向心力F ＝F n .
②重力近似等于万有引力提供向心力．
(2)两组公式
Mm v 24π22①G ＝mωr ＝r r T 22v 4π②mg r ＝m mω2r ＝m r 为轨道所在处重力加速度) r T 2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R.
Mm gR 2M M 3g 由于G ＝mg ，故天体质量M ＝，天体密度ρ＝. R G V 434πGR πR 3
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 进行计算．
Mm 4π24π2r 3
①由万有引力等于向心力，即G r ，得出中心天体质量M ＝ r T GT M M 3πr 3
②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝ V 43GT R R 3
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，
3π则天体密度ρ＝. 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心GT 天体的密度．
【例2】已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g. 某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地心做圆周运
Mm 2π24π2h 3
动，由G m() h 得M ＝. h T 2GT 2
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
例2见解析
解析 (1)上面的结果是错误的，地球的半径R 在计算过程中不能忽略．
4π2(R ＋h )3Mm 2π2正确的解法和结果：G m ((R ＋h ) 得M ＝. T 2GT (R ＋h )2
GMm gR 2(2)解法一 在地面上的物体所受的万有引力近似等于重力，由＝mg ，解得M ＝. R G 23Mm 2π4πr 解法二 对月球绕地球做圆周运动，由G ＝m () 2r ，得M ＝r T 1GT 1
[规范思维] 本题给出了两种常用的求星球质量的方法：(1)已知卫星的轨道半径r 和周
期T 求质量(注意r 为卫星到天体球心的距离) ；(2)已知星球表面重力加速度g 、星球半
gR 2径R 和引力常量G ，由M ＝ G
三、对人造卫星的认识及变轨问题
1．人造卫星的动力学特征
万有引力提供向心力，即
Mm v 22πG ＝m ＝mrω2＝m() 2r r r T
2．人造卫星的运动学特征
Mm v 2(1)线速度v ：由G ＝m 得v ＝，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小． r r r
Mm GM (2)角速度ω：由G ＝mω2r 得ω＝，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小． r r Mm 4π2(3)周期：由G m ，得T ＝2r T GM
增大．
3．卫星的稳定运行与变轨运行分析
(1)什么情况下卫星稳定运行？
卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动．
Mm mv 2
满足的公式：G r r
(2)变轨运行分析：
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用) ，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行．
mv 2
①当v 增大时，所需向心力r
动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝r
知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．
mv 2
②当卫星的速度突然减小时，向心力r
此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由
v 知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利r
用了这一原理) ．
图3
【例3】(2010·江苏单科·6)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A
点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图3所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有( )
A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度
B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D ．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度
例3ABC [在椭圆轨道上运动，近地点的速度最大，远地点的速度最小，A 选项正确．由万有引力定律可知飞机在A 点受到的引力是个定值，由此结合牛顿第二定律可知飞机在A 点的加速度是个定值，故D 项错误．飞机从A 点进入轨道Ⅱ相对于轨道Ⅰ可看成向心运动，则可知飞机在轨道Ⅱ上A 点速度小于轨道Ⅰ上A 点速度，再结合动能定义
式可知B 选项正确．根据低轨道卫星的周期小，高轨道卫星周期大可知C 选项正确．综上知正确答案为A 、B 、C.]
[规范思维] 卫星的变轨问题注意区分这两种情况
(1)制动变轨：卫星的速率减小，卫星做向心运动，轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动；
(2)加速变轨：卫星的速率增大，卫星做离心运动，轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动．
四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星
1．环绕速度与发射速度的比较
近地卫星的环绕速度v ＝G ＝gR ＝7.9km /s ，通常称为第一宇宙速度，它是地球周R
围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．
不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ＝，其大小随半径的增大而减r
小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大．
2．地球同步卫星特点
(1)地球同步卫星只能在赤道上空．
(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期．
(3)地球同步卫星相对地面静止．
(4)同步卫星的高度是一定的．
【例4】我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的运行轨道是
1圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球81
1半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9km /s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为4
( )
A ．0.4km /sB ．1.8 km /sC ．11km /sD ．36 km /s
例4B [设地球的质量、半径分别为M 、R ，月球的质量、半径分别为M ′、r ，则M ′M 1GMm ＝，r ＝R . 在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为m 0，814R
M ′R 21622＝m 0g ，即GM ＝gR ；在月球表面，满足GM ′＝g ′r ，由此可得：g ＝Mr 81g ，地球表面的第一宇宙速度v 1＝7.9km/s，在月球表面，有v ′＝g ′r ＝16122g ×＝gR ＝7.9km /s≈1.8 km/s.] 81499
[规范思维] (1)解决此类题的关键：要明确卫星的第一宇宙速度等于最大环绕速度．
(2)解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但基本方法是不变的，即把天体的运动看成圆周运动，万有引力提供向心力．
五、双星问题
【例5】(2010·重庆理综) 月球与地球质量之比约为1∶80. 有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为( )
A ．1∶6400B ．1∶80
C ．80∶1D ．6400∶1
例5C [设地球和月球的质量分别为M 、m ，地月球心间距为r ，地球和月球的转动半
Mm Mm r m 径分别为r 1、r 2，由题意知ω1＝ω2＝ω，则＝Mω2r 1，G mω2r 2，所以＝r r r 2M
v 1r m 1. 二者转动角速度相同，可知地球和月球绕O 点运动的线速度大小之比为＝＝＝802r 2M
1，即月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比为80∶1，本题只有选项C 正确．] 80
[规范思维] 本题就是经典的双星模型．所谓双星模型，就是有一些天体的运动并非是一颗星以另一颗星为中心做圆周运动，而是两颗星都不是运动的中心，它们绕二者连线上的某一点做圆周运动，好像“被穿在一根杆上的两个小球”，以两个小球之间杆上的某一点为中心做圆周运动．解决这类问题的关键是挖掘出双星问题的根本特点——角速度相同，并以此列向心力方程．
六、万有引力定律与抛体运动的结合
【例6】(2011·象山北仓两城适应性考试) 在太阳系中有一颗行星的半径为R ，若在该星球表面以初速度v 0竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为H. 已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计(万有引力常量G 未知) ．则根据这些条件，可以求出的物理量是( )
A. 该行星的密度
B. 该行星的自转周期
C. 该星球的第一宇宙速度
D. 该行星附近运行的卫星的最小周期
v 20例6CD [由竖直上抛运动规律得g ＝ 2H 223v 0Mm gR M G ＝mg M ＝ρ＝G 未知，故A 错； R G 438πGRH R 3
根据已知条件不能分析行星的自转情况，B 错；
v 20R Mm 根据G mg ＝得v ＝gR ＝v 0，C 正确； R R 2H 2H
Mm 2πR ·2H 2π由G ＝m () 2R ＝mg 得T ＝2π＝2π2RH ，D 正确．] R T g v v 00
[规范思维] 天体表面的抛体运动经常与万有引力定律结合来求解围绕天体做匀速圆周运动的物体的有关物理量，解决问题的办法是通过抛体运动求天体表面的重力加速度，再根据万有引力定律求T 、ω、天体质量或密度．也可以先根据万有引力定律求重力加
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