高中数学教学案例
——函数单调性
教学目的：理解函数单调性概念，掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性。 教学重点：函数单调性的概念与判断 一、问题情境
1. 情境：函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律。因此研究函数的性质是非常重要的。
2. 问题：2008年北京奥运会开幕式由原定的7月25日推迟到8月8日，你知道其中的原因吗？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征？ 二、学生活动
12
问题1 分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y= x以及y ＝x ≠0) 的图象, 并观察自变量变化时, 函数值有什么变化规律?
x
（1）
（2）
（3）
在学生画图的基础上, 引导学生观察图象, 获得信息:第一个图象从左往右上升,y 随 x 的增大而增大; 第二个图象从左往右下降, y随 x 的增大而减小. 对第三, 第四个图象进行讨论, 让学生知道函数这两个性质是对定义域内某个区间而言的, 是函数的局部性质.
问题2 能否用自己的语言来说明“图象呈逐渐上升趋势”与“图象呈逐渐下降趋势”的意思？ 讨论得到:
在相应区间上较大自变量对应较大函数值——图象呈逐渐上升趋势 在相应区间上较大自变量对应较小函数值——图象呈逐渐下降趋势 问题 3如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？
学生讨论老师指导
师:能不能说，由于x ＝1时，y ＝3；x ＝2时，y ＝5就说随着x 的增大，函数值y 也随着增大？ 生:不能. 应该对定义域内的每个自变量都成立 师:那我们在理解函数概念的时候要抓住什么关键词? 生:在定义域内的某个区间上, 都有
1
师:回答的很好, 反比例y x ≠0) 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 是减函数, 能否说它整个定义域上是减函数?
x 生:不能! 因为离开了定义域根本谈不上增减性.
师:继续考虑:我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的? 为什么? 生:不能因为此时函数是一个数.
师:对! 函数在某点上, 由于它的函数值是唯一确定的常数, 因而没有增减变化, 所以在求单调区间时, 若端点在定义域内, 包不包括端点都可以, 但我们要求”能逼则逼”.
那么, 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数y=f(x)的单调区间。 三、数学应用
例1如图所示是定义在[0，24]上的函数f(x)的图象, 说出f(x)的单调区间, 并回答每一个区间上, f(x)是增函数还是减函数?
例2
2
图5
学生总结：函数y ＝(x －1) 2与y ＝|x －1|－1的图象在x ≥1时随着x 值的增大而上升，在x ≤1时随着x 的值的增大而下降．所以，这两个函数在定义域上不是增函数 例3 证明函数f (x ) ＝－
1
－1在区间(－∞，0) 上是增函数． x
x x 1111
－1）－（－－1）＝－＝12x 1x 2x 2x 1x 1x 2
证明 设 x 1＜x 2＜0，则x 1－x 2＜0且x 1x 2＞0．因为 f (x 1) －f (x 2) ＝（－
＜0，即f (x 1) ＜f (x 2) ，所以，函数f (x ) ＝－
1
－1在区间(－∞，0) 上是增函数． x
例4 讨论函数f(x)=x 2-2ax+3在(-2,2)内的单调性 解: ∵f(x)=x 2-2ax+3=(x －a) 2+3- a 2, 对称轴为x=a, ∴若a ≤-2, 则f(x)=x 2-2ax+3在(-2,2)内是增函数;
若-2≤a ≤2, 则f(x)=x 2-2ax+3在(-2,a)内为减函数, 在(a,2)内为增函数； 若a ≥２，则f(x)=x 2-2ax+3在(-2,2)内为减函数。 四、课堂练习
课后练习第1、第2、第5题。 五、课堂小结
本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法． 六、课外作业
习题2．3：第1题、第2题、第4题、第8题。
七、教学总结
在本课的教学中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为函数单调性的“发现者”和“创造者”，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
创设数学情境是这种教学模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。这种教学模式主张以问题为连线组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，因此，如何引导学生提出问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。教师还要积极引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入。
高中数学教学案例
——函数单调性
教学目的：理解函数单调性概念，掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性。 教学重点：函数单调性的概念与判断 一、问题情境
1. 情境：函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律。因此研究函数的性质是非常重要的。
2. 问题：2008年北京奥运会开幕式由原定的7月25日推迟到8月8日，你知道其中的原因吗？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高”这一特征？ 二、学生活动
12
问题1 分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y= x以及y ＝x ≠0) 的图象, 并观察自变量变化时, 函数值有什么变化规律?
x
（1）
（2）
（3）
在学生画图的基础上, 引导学生观察图象, 获得信息:第一个图象从左往右上升,y 随 x 的增大而增大; 第二个图象从左往右下降, y随 x 的增大而减小. 对第三, 第四个图象进行讨论, 让学生知道函数这两个性质是对定义域内某个区间而言的, 是函数的局部性质.
问题2 能否用自己的语言来说明“图象呈逐渐上升趋势”与“图象呈逐渐下降趋势”的意思？ 讨论得到:
在相应区间上较大自变量对应较大函数值——图象呈逐渐上升趋势 在相应区间上较大自变量对应较小函数值——图象呈逐渐下降趋势 问题 3如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？
学生讨论老师指导
师:能不能说，由于x ＝1时，y ＝3；x ＝2时，y ＝5就说随着x 的增大，函数值y 也随着增大？ 生:不能. 应该对定义域内的每个自变量都成立 师:那我们在理解函数概念的时候要抓住什么关键词? 生:在定义域内的某个区间上, 都有
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师:回答的很好, 反比例y x ≠0) 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 是减函数, 能否说它整个定义域上是减函数?
x 生:不能! 因为离开了定义域根本谈不上增减性.
师:继续考虑:我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的? 为什么? 生:不能因为此时函数是一个数.
师:对! 函数在某点上, 由于它的函数值是唯一确定的常数, 因而没有增减变化, 所以在求单调区间时, 若端点在定义域内, 包不包括端点都可以, 但我们要求”能逼则逼”.
那么, 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数y=f(x)的单调区间。 三、数学应用
例1如图所示是定义在[0，24]上的函数f(x)的图象, 说出f(x)的单调区间, 并回答每一个区间上, f(x)是增函数还是减函数?
例2
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图5
学生总结：函数y ＝(x －1) 2与y ＝|x －1|－1的图象在x ≥1时随着x 值的增大而上升，在x ≤1时随着x 的值的增大而下降．所以，这两个函数在定义域上不是增函数 例3 证明函数f (x ) ＝－
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－1在区间(－∞，0) 上是增函数． x
x x 1111
－1）－（－－1）＝－＝12x 1x 2x 2x 1x 1x 2
证明 设 x 1＜x 2＜0，则x 1－x 2＜0且x 1x 2＞0．因为 f (x 1) －f (x 2) ＝（－
＜0，即f (x 1) ＜f (x 2) ，所以，函数f (x ) ＝－
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－1在区间(－∞，0) 上是增函数． x
例4 讨论函数f(x)=x 2-2ax+3在(-2,2)内的单调性 解: ∵f(x)=x 2-2ax+3=(x －a) 2+3- a 2, 对称轴为x=a, ∴若a ≤-2, 则f(x)=x 2-2ax+3在(-2,2)内是增函数;
若-2≤a ≤2, 则f(x)=x 2-2ax+3在(-2,a)内为减函数, 在(a,2)内为增函数； 若a ≥２，则f(x)=x 2-2ax+3在(-2,2)内为减函数。 四、课堂练习
课后练习第1、第2、第5题。 五、课堂小结
本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法． 六、课外作业
习题2．3：第1题、第2题、第4题、第8题。
七、教学总结
在本课的教学中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为函数单调性的“发现者”和“创造者”，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
创设数学情境是这种教学模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。这种教学模式主张以问题为连线组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，因此，如何引导学生提出问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。教师还要积极引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入。