双曲线
双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义
一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F 1和F 2之间的距离即2a
取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x，y) 为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0) 、(c，0) ．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：
两边再平方，整理得：c 2-a 2x 2-a 2y 2=a 2c 2-a 2
由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设c 2-a 2=b 2 (b＞0) ，代入上式得：
x 2y 2
双曲线的标准方程：2-2=1
a b
()()
两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。坐标轴上
的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。 实轴长、虚轴长、焦距间的关系：c 2=a 2+b 2，
②双曲线的第二定义
x 2y 2
与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：2-2=1，我们将c 2=a 2+b 2代入，
a b
y 2+x ±c c
= 可得：2
a a
x ±
c
所以有：双曲线的第二定义可描述为：
a 2
平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0) 的距离与到定直线l (x =±) 的距离之比为
c
c
常数e =(c >a >0)的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双
a
曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率：
2c c
=，叫做双曲线的离心率； （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e =
2a a
（2）范围：e >1；
（3）双曲线形状与e 的关系：
b c 2-a 2c 22k ===-1=e -1； 2a a a
因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；
（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜) 情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：
x 2y 2a 2
对于2-2=1来说，相对于左焦点F 1(-c , 0) 对应着左准线l 1:x =-，相对于右焦点
c a b
a 2
F 2(c , 0) 对应着右准线l 2:x =；
c
a 2b 2
>0，焦点到准线的距离p =位置关系：x ≥a >（也叫焦参数）； c c
y 2x 2a 2
对于2-2=1来说，相对于下焦点F 1(0, -c ) 对应着下准线l 1:y =-；相对于上焦点F 2(0, c ) 对
c a b
a 2
应着上准线
l 2:y =。
3、双曲线的焦半径：
双曲线上任意一点M 与双曲线焦点F 1、F 2的连线段，叫做双曲线的焦半径。
x 2y 2
设双曲线2-2=1 (a >0, b >0) ，F 1, F 2是其左右焦点，
a b MF 1MF 1
=e ， ∴=e ，∴MF 1=a +ex 0；同理 MF 2=a -ex 0； 2d 1a
x 0+
c
即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：其中F 1、F 2分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点
⎧⎪MF 1=a +ex 0 ⎨⎪⎩MF 2=a -ex 0
同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式： ⎧⎪MF 1=a +ey 0⎨⎪⎩MF 2=a -ey 0
二、双曲线的性质
1、轨迹上一点的取值范围：x ≥a 或x ≤-a （焦点在x 轴上）或者y ≥a 或y ≤-a （焦点在y 轴上）。
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA ＇│=2a； B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB ＇│=2b。
4、渐近线：
y b x 2y 2y 2b 2b 2
由2-2=1⇒2-2=-2，当x →∞, y →∞→±所以：双曲线的渐近线方程为：
x a a b x a x
b b
焦点在x 轴：y =±x ，焦点在y 轴：x =±y
a a
5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 右焦半径：r=│ex-a │ 左焦半径：r=│ex+a│
6、共轭双曲线
x 2y 2y 2x 2
-2=1 (a >0, b >0) 双曲线S: 2-2=1 (a >0, b >0) ，双曲线 s ':2
a b b a
双曲线S ＇的实轴是双曲线S 的虚轴 且双曲线S ＇的虚轴是双曲线S 的实轴时，称双曲线S ＇与双曲线S 为共轭双曲线。 特点： （1）共渐近线 （2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
7. 焦点到一条渐近线的距离
特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长．这个性质很重要． 三、例题求解：
b x 2y 2
例1：已知双曲线2-2=1 (a >0, b >0) 的渐近线是y =±x ，我们可以判断直线
a a b
y =kx +m 与双曲线的交点个数
①当直线y =kx +m 的斜率k =交点，如果
b
时，如果，显然它就是渐近线，与双曲线没有任何a
，则它与双曲线有一个只有一个交点。
⎛b b ⎫
②当直线y =kx +m 的斜率k ∈ -, ⎪时，则y =kx +m 与双曲线有两个交点。
⎝a a ⎭b ⎫⎛b ⎛⎫
③当直线y =kx +m 的斜率k ∈ -∞, -⎪⋃ ，∞⎪时，则y =kx +m 与与双曲线没有交点
a ⎭⎝a ⎝⎭
例2 已知直线与双曲线有两个不同的交点，试确定的范围．
解：由 从而 又因为
可得，
，解得
的渐近线方程是
，所以
． . 故
x 2y 2
例3 已知双曲线2-2=1 (a >0, b >0) 的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是
a b
2倍，则有双曲线的离心率是
解：由已知可知
, 所以
x 2y 2
=1上一点P 与左右焦点F 1, F 2构成∆F 1PF 2，例4 双曲线-求∆F 1PF 2的内切圆与边F 1F 2
94
的切点N 的坐标。
分析：设点P 在已知双曲线的右支上，要求点N 的坐标。即求ON 的长度，而
ON =OF 2-NF 2，其中OF 2=c =，只需求NF 2的长度，即NF 2是圆⊙M 的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。
解：设点P 在已知双曲线的右支上，由题意得NF 2=
PF 2+F 1F 2-PF 1
2
，
-2a +2c
=c -a ，又∴c =，a =3，∴NF 2=-3，又2
OF 2=c =，∴ON =OF 2-NF 2=-(-3)
PF 2-PF 1=-2a ，∴NF 2=
当点P 在已知双曲线的右支上时，切点N 为顶点(3, 0) , 当点P 在已知双曲线的左支上时，切点N 为顶点(-3, 0)
x 2y 2
-=1的左右焦点，P 在双曲线的左支上，∠PF 2F 1=α，例5 已知F 1、F 2是双曲线
916αβ
∠PF 1F 2=β，求tan ⋅cot 的值
22
分析：如右图，先做出∆PF 1F 2的内切圆⊙M ，则⊙M 切F 1F 2于点A ，MA 等于内切圆的
22
解：做出∆PF 1F 2的内切圆⊙M ，则⊙M 切F 1F 2于点A ，
αβαAM r r βAF 2c -a 2
，∴tan ===，cot ===， ∠MF 2F 1=，MF 1A =
222AF 2a +c 82AM r r
αβr 21∴tan ⋅cot =⋅=
228r 4
x 2y 2x 2
+=1的焦点， P 为曲线C 2:-y 2=1与C
1的一个交点，则例6 设F 1、F 2是曲线C 1:623
半径。且∠MF 2F 1=
α
，MF 1A =
β
的值
之间的关系。
=m =n ，不妨设m >n ，显然椭圆和双曲线共焦点(±2, 0) ，由椭圆和双曲线的定义可知m +n =26且m -n =23
∴m =6+3，n =6-3在三角形∆PF 1F 2中，由余弦定理可知
cos ∠F
1PF 2=
PF 1+PF 2-F 1F 2
2PF 1⋅PF 2
2
2
2
m 2+n 2-(2c ) 21==
2m n 3
=cos F 1PF 2=
1
3
x 2y 2
例7 已知F 1、F 2是双曲线2-2=1的左右焦点，过F 1作倾斜角为30o 的直线交双曲线右支
a b
于M 点，若MF 2垂直于x 轴，求双曲线的离心率.
解析：由题意的F 1F 2=2c ，MF 2=2c ⋅tan
π
6
=
2c 423
=c 由定义知c ，MF 1=
33cos 6
23
c =2a ，则e =3。 3
x 2y 2
例8 已知双曲线2-2=1的左右焦点分别为F 1(-c , 0) F 2(c , 0) 若双曲线上存在一点P 使得
a b
PF 1=2PF 2，求双曲线离心率的范围。 MF 1-MF 2=
解析：由双曲线的定义PF 1-PF 2=2a ，PF 1F 2中，结合双曲线的图像1=4a ，在∆PF
PF 1+PF 2≥F 1F 2，∴6a ≥2c ，即1≤e ≤3
x 2y 2
例9 已知双曲线2-2=1的左右焦点分别为F 1(-c , 0) F 2(c , 0) ，以F 1F 2为直径的圆与双曲线
a b
交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离心率。
ππ
解析：设P 为圆与双曲线在第二象限的交点，则∠F 1PF 2=，∠pF 1F 2=，在
23
ππ
Rt ∆F 1PF 2中，PF 2-PF 1=2c sin -2c cos =c (+1) =2a
33
c
∴e ==+1
a
x 2y 2
例10 已知双曲线2-2=1的左右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上任意一点，∠F 1PF 2的
a b
内角平分线为l ，过F 2做l 的垂线F 2M ，设垂足为M ，求点M 的轨迹。 解析：延长F 2M 交F 1P 于N 由角平分线及垂直关系得PF 2=PN ，有OM 是∆F 1F 2N 的中位11
=(PF 1-PN ) =(PF 1-PF 2) =a ，故=a 为定值，即点M 的轨迹222
是以坐标原点为圆心，a 为半径的圆（去掉与x 轴的交点） 方程为x 2+y 2=a 2(x ≠a )
线，从而OM =
NF 1
例11、已知⊙A ：(x +5) 2+y 2=49，⊙B ：(x -5) 2+y 2=1，若⊙P 与⊙A 内切与⊙B 外切，求⊙P 的圆心的轨迹方程。
解析：⊙A ：(x +5) 2+y 2=49，圆心A (-5, 0) ，半径r 1=7，
⊙B ：(x -5) 2+y 2=1圆心B (5, 0) ，半径r 2=1，由题意的PA =r -1，PB =r +1。
∴PB -=(r +1) -(r -7) =8，即P 是以A 、B 为焦点的双曲线的左支。
2a =8，a =4，2c =10，c =5，∴b 2=c 2-a 2=4。
x 2y 2
=1(x ≤-4) ∴P 点的轨迹为-
169
y 22
=1的左右焦点，M (-6, 6) 是双曲线内部一点，P 为双曲线例12、已知F 1、F 2是双曲线x -3
左支上一点，求PM +PF 1的最小值
解析：双曲线的定义PF 1-PF 2=2a =2，即PF 1=PF 2-2
PM +PF 1=PM +PF 2-2≥MF 2-2=(-6-2) 2+62-2=8
当且仅当F 2、P 、M 三点共线时“=”成立。
x 2y 2
例13、已知双曲线方程为2-2=1(a >b >0), 两焦点分别为F 1, F 2, 设焦点三角形PF 1F 2中
a b
θ
∠F 1PF 2=θ, 证明：S ∆F 1PF 2=b 2cot 。
2
证明
2
(2c ) 2=F 1F 2=PF 1+PF 2-2PF 1PF 2cos θ=(PF 1-PF 2) +2PF 1PF 2(1-cos θ)
2
2
2
∴PF 1PF 2=-又S ∆F 1PF 2=
(PF 1-PF 2) 2-4c 2
2(1-cos θ)
4c 2-4a 22b 2
==
2(1-cos θ) 1-cos θ
1
PF 1⋅PF 2sin θ 21sin θθ
=b 2cot 综上S ∆F 1PF 2=PF 1⋅PF 2sin θ=b 2
21-cos θ2
2222
例14①一个动圆与两个圆x ＋y =1和x ＋y －8x ＋12=0都外切，则动圆圆心的轨
迹是（ ）
②、已知两圆C 1:(x +4) 2+y 2=2，C 2:(x -4) 2+y 2=2，动圆M 与两圆都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程。
x 2y 2
例15、设F 1, F 2是双曲线-=1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，
1620
求点P 到焦点F 2的距离。
分析：已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式。
解析：由||PF 1|-|PF 2||=8及|PF 1|=9，得 |PF 2|=1或17。
2
由2a =8，c =36⇒c =6 知右支的顶点到F 1的距离为10，而已知|PF 1|=9，说明点P 在左支
上，此时，|PF 2|≥10，所以，点P 到焦点F 2的距离为17。
点评：此类问题可以是一解，也可以是两解，如：当|PF 1|≥10时，有两解；当2≤|PF 1|
x 2y 2
例16、如图，双曲线2-2=1(a >0, b >0)
a b
其焦点为F 1, F 2，过F 1作直线交双曲线的左支于A , B 两点，且|AB |=m ，则∆ABF 2的周长为
分析：本题中AF 1, AF 2，BF 1, BF 2都是焦半径，而∆ABF 2的周长恰好是这
四条焦半径之和，应用第一定义便可得。
解析：由⎨
⎧|AF 2|-|AF 1|=2a
⇒|AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=4a ；
⎩|BF 2|-|BF 1|=2a
由|AF 1|+|BF 1|=|AB |=m ，∴|AF 2|+|BF 2|=4a +m ； 故∆ABF 2的周长为|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a +2m 。
点评：本题结合定义，求出|AF 2|+|BF 2|，再求周长，简便易行；假如本题未给图形及条件“过F 1作直线交双曲线的左支于A , B 两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢？
x 2y 2
-2=1(b ∈N ) 的左、右两焦点分别为F 1, F 2，P 为双曲线上一点，若例17、已知双曲线
4b
|PF 1|⋅|PF 2|=|F 1F 2|2，且5
分析：欲求面积，首先要确定b 的值，由第一定义及|PF 1|⋅|PF 2|=|F 1F 2|可以构成方程组，通过方程组求得|PF 1|及|PF 2|的值。
2
⎧|PF 1|⋅|PF 2|=(2c ) 2⎧|PF 1|⋅|PF 2|=4(4+b 2) 解析：由c =4+b ，又⎨⇒⎨⇒
⎩||PF 1|-|PF 2||=4⎩||PF 1|-|PF 2||=4
2
2
⎧⎪|PF 1|+|PF 2|=45+b 2
⇒|PF 2|=25+b 2-2或|PF 2|=25+b 2+2， ⎨
⎪⎩||PF 1|-|PF 2||=4
由于|F 1F 2|
2|≤8，即2≤8，从而得b ≤4，因为b ∈N 且b ≠0，得b =1或2；
22
若b =1，则c =4+b =5，此时|F 1F 2|=2c =2
2
22
若b =2，则c =4+b =8，此时|F 1F 2|=2c =42>5，符合题意；
(|PF 1|-|PF 2|)2-2|PF 1|⋅|PF 2|3
那么cos ∠F 1PF 2==，从而sin ∠F 1PF 2=
2|PF 1|⋅
|PF 2|4
故∆
PF 1F 2的面积为S =
11 |PF 1|⋅|PF 2|sin ∠F 1PF 2=⨯=
222
点评：本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力；运算过程既要用要方程思想又要注重分类讨论
思想，体现了重思维、轻运算量这一大纲要求。
例18、解方程x 2+4x +7-x 2-4x +7=2
分析：对第一个式子配方，得
。联想两点间的距离公式，可设y
2=3，此时变为
222
解析：原方程可变为(x +2) +3-(x -2) +3=2，令y =3，
2222
则方程以变为(x +2) +y -(x -2) +y =2，显然，点(x , y ) 在以(-2, 0) ，(2, 0) 为焦点，实
y 2
=1。
轴长为2的双曲线上，易得其方程为x -3
2
⎧2y 2
=1⎪x -
由⎨，得x =±2。 3⎪y 2=3⎩
双曲线学生练习和重要结论
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （内切：P 在右支；外切：P
在左支） 5.
x 2y 2
若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）上，则过P 0的双曲线的切线方程是
a b
x 0x y 0y
-2=1. 2a b
x 2y 2
若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点
a b
x x y y
为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是02-02=1.
a b
x 2y 2
双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
a b
γ
∠F 1PF 2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S ∆F 1PF 2=b 2co t .
2
设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结
6.
7.
8.
AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
9. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A 2为双曲线实轴上的顶点，
A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
x 2y 2
10. AB 是双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M (x 0, y 0) 为AB 的中点，
a b b 2x 0b 2x 0
则K OM ⋅K AB =2，即K AB =2。
a y 0a y 0x 2y 2
11. 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
a b
x 0x y 0y x 02y 02
-2=2-2. 2a b a b
x 2y 2
12. 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
a b
x 2y 2x 0x y 0y -=-2. a 2b 2a 2b
双曲线
双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义
一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F 1和F 2之间的距离即2a
取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x，y) 为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0) 、(c，0) ．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：
两边再平方，整理得：c 2-a 2x 2-a 2y 2=a 2c 2-a 2
由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设c 2-a 2=b 2 (b＞0) ，代入上式得：
x 2y 2
双曲线的标准方程：2-2=1
a b
()()
两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。坐标轴上
的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。 实轴长、虚轴长、焦距间的关系：c 2=a 2+b 2，
②双曲线的第二定义
x 2y 2
与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：2-2=1，我们将c 2=a 2+b 2代入，
a b
y 2+x ±c c
= 可得：2
a a
x ±
c
所以有：双曲线的第二定义可描述为：
a 2
平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0) 的距离与到定直线l (x =±) 的距离之比为
c
c
常数e =(c >a >0)的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双
a
曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率：
2c c
=，叫做双曲线的离心率； （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e =
2a a
（2）范围：e >1；
（3）双曲线形状与e 的关系：
b c 2-a 2c 22k ===-1=e -1； 2a a a
因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；
（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜) 情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：
x 2y 2a 2
对于2-2=1来说，相对于左焦点F 1(-c , 0) 对应着左准线l 1:x =-，相对于右焦点
c a b
a 2
F 2(c , 0) 对应着右准线l 2:x =；
c
a 2b 2
>0，焦点到准线的距离p =位置关系：x ≥a >（也叫焦参数）； c c
y 2x 2a 2
对于2-2=1来说，相对于下焦点F 1(0, -c ) 对应着下准线l 1:y =-；相对于上焦点F 2(0, c ) 对
c a b
a 2
应着上准线
l 2:y =。
3、双曲线的焦半径：
双曲线上任意一点M 与双曲线焦点F 1、F 2的连线段，叫做双曲线的焦半径。
x 2y 2
设双曲线2-2=1 (a >0, b >0) ，F 1, F 2是其左右焦点，
a b MF 1MF 1
=e ， ∴=e ，∴MF 1=a +ex 0；同理 MF 2=a -ex 0； 2d 1a
x 0+
c
即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：其中F 1、F 2分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点
⎧⎪MF 1=a +ex 0 ⎨⎪⎩MF 2=a -ex 0
同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式： ⎧⎪MF 1=a +ey 0⎨⎪⎩MF 2=a -ey 0
二、双曲线的性质
1、轨迹上一点的取值范围：x ≥a 或x ≤-a （焦点在x 轴上）或者y ≥a 或y ≤-a （焦点在y 轴上）。
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA ＇│=2a； B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB ＇│=2b。
4、渐近线：
y b x 2y 2y 2b 2b 2
由2-2=1⇒2-2=-2，当x →∞, y →∞→±所以：双曲线的渐近线方程为：
x a a b x a x
b b
焦点在x 轴：y =±x ，焦点在y 轴：x =±y
a a
5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 右焦半径：r=│ex-a │ 左焦半径：r=│ex+a│
6、共轭双曲线
x 2y 2y 2x 2
-2=1 (a >0, b >0) 双曲线S: 2-2=1 (a >0, b >0) ，双曲线 s ':2
a b b a
双曲线S ＇的实轴是双曲线S 的虚轴 且双曲线S ＇的虚轴是双曲线S 的实轴时，称双曲线S ＇与双曲线S 为共轭双曲线。 特点： （1）共渐近线 （2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
7. 焦点到一条渐近线的距离
特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长．这个性质很重要． 三、例题求解：
b x 2y 2
例1：已知双曲线2-2=1 (a >0, b >0) 的渐近线是y =±x ，我们可以判断直线
a a b
y =kx +m 与双曲线的交点个数
①当直线y =kx +m 的斜率k =交点，如果
b
时，如果，显然它就是渐近线，与双曲线没有任何a
，则它与双曲线有一个只有一个交点。
⎛b b ⎫
②当直线y =kx +m 的斜率k ∈ -, ⎪时，则y =kx +m 与双曲线有两个交点。
⎝a a ⎭b ⎫⎛b ⎛⎫
③当直线y =kx +m 的斜率k ∈ -∞, -⎪⋃ ，∞⎪时，则y =kx +m 与与双曲线没有交点
a ⎭⎝a ⎝⎭
例2 已知直线与双曲线有两个不同的交点，试确定的范围．
解：由 从而 又因为
可得，
，解得
的渐近线方程是
，所以
． . 故
x 2y 2
例3 已知双曲线2-2=1 (a >0, b >0) 的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是
a b
2倍，则有双曲线的离心率是
解：由已知可知
, 所以
x 2y 2
=1上一点P 与左右焦点F 1, F 2构成∆F 1PF 2，例4 双曲线-求∆F 1PF 2的内切圆与边F 1F 2
94
的切点N 的坐标。
分析：设点P 在已知双曲线的右支上，要求点N 的坐标。即求ON 的长度，而
ON =OF 2-NF 2，其中OF 2=c =，只需求NF 2的长度，即NF 2是圆⊙M 的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。
解：设点P 在已知双曲线的右支上，由题意得NF 2=
PF 2+F 1F 2-PF 1
2
，
-2a +2c
=c -a ，又∴c =，a =3，∴NF 2=-3，又2
OF 2=c =，∴ON =OF 2-NF 2=-(-3)
PF 2-PF 1=-2a ，∴NF 2=
当点P 在已知双曲线的右支上时，切点N 为顶点(3, 0) , 当点P 在已知双曲线的左支上时，切点N 为顶点(-3, 0)
x 2y 2
-=1的左右焦点，P 在双曲线的左支上，∠PF 2F 1=α，例5 已知F 1、F 2是双曲线
916αβ
∠PF 1F 2=β，求tan ⋅cot 的值
22
分析：如右图，先做出∆PF 1F 2的内切圆⊙M ，则⊙M 切F 1F 2于点A ，MA 等于内切圆的
22
解：做出∆PF 1F 2的内切圆⊙M ，则⊙M 切F 1F 2于点A ，
αβαAM r r βAF 2c -a 2
，∴tan ===，cot ===， ∠MF 2F 1=，MF 1A =
222AF 2a +c 82AM r r
αβr 21∴tan ⋅cot =⋅=
228r 4
x 2y 2x 2
+=1的焦点， P 为曲线C 2:-y 2=1与C
1的一个交点，则例6 设F 1、F 2是曲线C 1:623
半径。且∠MF 2F 1=
α
，MF 1A =
β
的值
之间的关系。
=m =n ，不妨设m >n ，显然椭圆和双曲线共焦点(±2, 0) ，由椭圆和双曲线的定义可知m +n =26且m -n =23
∴m =6+3，n =6-3在三角形∆PF 1F 2中，由余弦定理可知
cos ∠F
1PF 2=
PF 1+PF 2-F 1F 2
2PF 1⋅PF 2
2
2
2
m 2+n 2-(2c ) 21==
2m n 3
=cos F 1PF 2=
1
3
x 2y 2
例7 已知F 1、F 2是双曲线2-2=1的左右焦点，过F 1作倾斜角为30o 的直线交双曲线右支
a b
于M 点，若MF 2垂直于x 轴，求双曲线的离心率.
解析：由题意的F 1F 2=2c ，MF 2=2c ⋅tan
π
6
=
2c 423
=c 由定义知c ，MF 1=
33cos 6
23
c =2a ，则e =3。 3
x 2y 2
例8 已知双曲线2-2=1的左右焦点分别为F 1(-c , 0) F 2(c , 0) 若双曲线上存在一点P 使得
a b
PF 1=2PF 2，求双曲线离心率的范围。 MF 1-MF 2=
解析：由双曲线的定义PF 1-PF 2=2a ，PF 1F 2中，结合双曲线的图像1=4a ，在∆PF
PF 1+PF 2≥F 1F 2，∴6a ≥2c ，即1≤e ≤3
x 2y 2
例9 已知双曲线2-2=1的左右焦点分别为F 1(-c , 0) F 2(c , 0) ，以F 1F 2为直径的圆与双曲线
a b
交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离心率。
ππ
解析：设P 为圆与双曲线在第二象限的交点，则∠F 1PF 2=，∠pF 1F 2=，在
23
ππ
Rt ∆F 1PF 2中，PF 2-PF 1=2c sin -2c cos =c (+1) =2a
33
c
∴e ==+1
a
x 2y 2
例10 已知双曲线2-2=1的左右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上任意一点，∠F 1PF 2的
a b
内角平分线为l ，过F 2做l 的垂线F 2M ，设垂足为M ，求点M 的轨迹。 解析：延长F 2M 交F 1P 于N 由角平分线及垂直关系得PF 2=PN ，有OM 是∆F 1F 2N 的中位11
=(PF 1-PN ) =(PF 1-PF 2) =a ，故=a 为定值，即点M 的轨迹222
是以坐标原点为圆心，a 为半径的圆（去掉与x 轴的交点） 方程为x 2+y 2=a 2(x ≠a )
线，从而OM =
NF 1
例11、已知⊙A ：(x +5) 2+y 2=49，⊙B ：(x -5) 2+y 2=1，若⊙P 与⊙A 内切与⊙B 外切，求⊙P 的圆心的轨迹方程。
解析：⊙A ：(x +5) 2+y 2=49，圆心A (-5, 0) ，半径r 1=7，
⊙B ：(x -5) 2+y 2=1圆心B (5, 0) ，半径r 2=1，由题意的PA =r -1，PB =r +1。
∴PB -=(r +1) -(r -7) =8，即P 是以A 、B 为焦点的双曲线的左支。
2a =8，a =4，2c =10，c =5，∴b 2=c 2-a 2=4。
x 2y 2
=1(x ≤-4) ∴P 点的轨迹为-
169
y 22
=1的左右焦点，M (-6, 6) 是双曲线内部一点，P 为双曲线例12、已知F 1、F 2是双曲线x -3
左支上一点，求PM +PF 1的最小值
解析：双曲线的定义PF 1-PF 2=2a =2，即PF 1=PF 2-2
PM +PF 1=PM +PF 2-2≥MF 2-2=(-6-2) 2+62-2=8
当且仅当F 2、P 、M 三点共线时“=”成立。
x 2y 2
例13、已知双曲线方程为2-2=1(a >b >0), 两焦点分别为F 1, F 2, 设焦点三角形PF 1F 2中
a b
θ
∠F 1PF 2=θ, 证明：S ∆F 1PF 2=b 2cot 。
2
证明
2
(2c ) 2=F 1F 2=PF 1+PF 2-2PF 1PF 2cos θ=(PF 1-PF 2) +2PF 1PF 2(1-cos θ)
2
2
2
∴PF 1PF 2=-又S ∆F 1PF 2=
(PF 1-PF 2) 2-4c 2
2(1-cos θ)
4c 2-4a 22b 2
==
2(1-cos θ) 1-cos θ
1
PF 1⋅PF 2sin θ 21sin θθ
=b 2cot 综上S ∆F 1PF 2=PF 1⋅PF 2sin θ=b 2
21-cos θ2
2222
例14①一个动圆与两个圆x ＋y =1和x ＋y －8x ＋12=0都外切，则动圆圆心的轨
迹是（ ）
②、已知两圆C 1:(x +4) 2+y 2=2，C 2:(x -4) 2+y 2=2，动圆M 与两圆都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程。
x 2y 2
例15、设F 1, F 2是双曲线-=1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，
1620
求点P 到焦点F 2的距离。
分析：已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式。
解析：由||PF 1|-|PF 2||=8及|PF 1|=9，得 |PF 2|=1或17。
2
由2a =8，c =36⇒c =6 知右支的顶点到F 1的距离为10，而已知|PF 1|=9，说明点P 在左支
上，此时，|PF 2|≥10，所以，点P 到焦点F 2的距离为17。
点评：此类问题可以是一解，也可以是两解，如：当|PF 1|≥10时，有两解；当2≤|PF 1|
x 2y 2
例16、如图，双曲线2-2=1(a >0, b >0)
a b
其焦点为F 1, F 2，过F 1作直线交双曲线的左支于A , B 两点，且|AB |=m ，则∆ABF 2的周长为
分析：本题中AF 1, AF 2，BF 1, BF 2都是焦半径，而∆ABF 2的周长恰好是这
四条焦半径之和，应用第一定义便可得。
解析：由⎨
⎧|AF 2|-|AF 1|=2a
⇒|AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=4a ；
⎩|BF 2|-|BF 1|=2a
由|AF 1|+|BF 1|=|AB |=m ，∴|AF 2|+|BF 2|=4a +m ； 故∆ABF 2的周长为|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a +2m 。
点评：本题结合定义，求出|AF 2|+|BF 2|，再求周长，简便易行；假如本题未给图形及条件“过F 1作直线交双曲线的左支于A , B 两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢？
x 2y 2
-2=1(b ∈N ) 的左、右两焦点分别为F 1, F 2，P 为双曲线上一点，若例17、已知双曲线
4b
|PF 1|⋅|PF 2|=|F 1F 2|2，且5
分析：欲求面积，首先要确定b 的值，由第一定义及|PF 1|⋅|PF 2|=|F 1F 2|可以构成方程组，通过方程组求得|PF 1|及|PF 2|的值。
2
⎧|PF 1|⋅|PF 2|=(2c ) 2⎧|PF 1|⋅|PF 2|=4(4+b 2) 解析：由c =4+b ，又⎨⇒⎨⇒
⎩||PF 1|-|PF 2||=4⎩||PF 1|-|PF 2||=4
2
2
⎧⎪|PF 1|+|PF 2|=45+b 2
⇒|PF 2|=25+b 2-2或|PF 2|=25+b 2+2， ⎨
⎪⎩||PF 1|-|PF 2||=4
由于|F 1F 2|
2|≤8，即2≤8，从而得b ≤4，因为b ∈N 且b ≠0，得b =1或2；
22
若b =1，则c =4+b =5，此时|F 1F 2|=2c =2
2
22
若b =2，则c =4+b =8，此时|F 1F 2|=2c =42>5，符合题意；
(|PF 1|-|PF 2|)2-2|PF 1|⋅|PF 2|3
那么cos ∠F 1PF 2==，从而sin ∠F 1PF 2=
2|PF 1|⋅
|PF 2|4
故∆
PF 1F 2的面积为S =
11 |PF 1|⋅|PF 2|sin ∠F 1PF 2=⨯=
222
点评：本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力；运算过程既要用要方程思想又要注重分类讨论
思想，体现了重思维、轻运算量这一大纲要求。
例18、解方程x 2+4x +7-x 2-4x +7=2
分析：对第一个式子配方，得
。联想两点间的距离公式，可设y
2=3，此时变为
222
解析：原方程可变为(x +2) +3-(x -2) +3=2，令y =3，
2222
则方程以变为(x +2) +y -(x -2) +y =2，显然，点(x , y ) 在以(-2, 0) ，(2, 0) 为焦点，实
y 2
=1。
轴长为2的双曲线上，易得其方程为x -3
2
⎧2y 2
=1⎪x -
由⎨，得x =±2。 3⎪y 2=3⎩
双曲线学生练习和重要结论
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （内切：P 在右支；外切：P
在左支） 5.
x 2y 2
若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）上，则过P 0的双曲线的切线方程是
a b
x 0x y 0y
-2=1. 2a b
x 2y 2
若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点
a b
x x y y
为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是02-02=1.
a b
x 2y 2
双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
a b
γ
∠F 1PF 2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S ∆F 1PF 2=b 2co t .
2
设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结
6.
7.
8.
AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
9. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A 2为双曲线实轴上的顶点，
A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
x 2y 2
10. AB 是双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M (x 0, y 0) 为AB 的中点，
a b b 2x 0b 2x 0
则K OM ⋅K AB =2，即K AB =2。
a y 0a y 0x 2y 2
11. 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
a b
x 0x y 0y x 02y 02
-2=2-2. 2a b a b
x 2y 2
12. 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
a b
x 2y 2x 0x y 0y -=-2. a 2b 2a 2b