矩阵理论ppt

矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是 十分重要的，但是特征值的计算一般是非常

麻烦的，尤其当矩阵的阶数比较高时，要精

确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因此， 由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范 围就显得尤为重要．本节将主要给出特征值 的估计与圆盘定理，以及谱半径的估计．

特殊矩阵的特征值： 实对称矩阵（厄米特矩阵）：特征值在实轴上

幂等矩阵：特征值为0或1

正交矩阵（酉矩阵）：特征值位于单位圆上

4.5 特征值的估计

一.特征值的界

nn A  ( a )  C 定理：设 的特征值为 1 , ij

, n ，则

l  max  aij ( A 1 )

1 j  n i 1

n

l  max  aij ( A  ) (l  1, 2, , n)

1i  n j 1

n



l 1

n

2

l

  aij

i , j 1

n

2

( Schur )

证明 由舒尔定理，存在酉矩阵 U 使得

U H AU  T ． 其中 T 为上三角矩阵， T 的对角线元素 t ii (i  1,2,, n) 为 A 的特征

值，于是

2 2 2 2  | t |  | t |  | t |  T |  |     i ii ii ij

n

n

n

2 F

．

i 1

i 1

i 1

i j

由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以

| 

i 1

n

i

|  T

2

2 F

 A F．

2

结论中等号成立当且仅当

2 | t |  ij  0 ． i j

即 T 为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当 A 酉相似于对角阵， 即 A 为正规矩阵．

 3  i  2  3i 2i    例 已知矩阵 A  1 0 0   0  1 0  

的一个特征值是2 ，估计另外两个特征值的 上界.

解 因为

A F  4  25, 所以

2

2,3  5.

二. 特征值的包含区域

nn A  ( a )  C , 定义 设 ij

称由不等式

z  aii  Ri

在复平面上确定的区域为矩阵A 的第i个 Gerschgorin圆（盖尔圆），并用记号 Gi 来表 示. 其中 Ri  Ri ( A)   aij 半径

n

(i  1, , n).

j 1 j i

称为盖尔圆 Gi 的

定理（圆盘定理 1） 设 A  (aij )  C

nn

，则 A 的一切特

征值都在它的 n 个盖尔圆的并集之内，即 A 的任一特征值  满 足

  S   Si ．

i 1

n

设  为 A 的特征值，其对应的特征向量为 x ( x  0) ，即 Ax  x ，写成分量形式为 证明

a

j 1

n

ij

x j  xi ， （ i  1,2,, n ）

或

(  aii ) xi   aij x j ． （ i  1,2,, n ）

j 1 ji

n

设 x t 为 x 的各分量中模最大的一个，则 xt  0 ，在上式中当 i  t 时 有

(  att ) xt   atj x j ，

j 1 j t

n

两边除以 x t 并取模得

|   att |  | atj | 

j 1 j t

n

n

xj xt

  | atj |  Rt ，

j 1 j t

n

所以   S t ，即   S   S i ．

i 1

例 估计矩阵

0.1 0.2  1  0. 5 3 0.1  A  1 0.3 1   0.2  0.3  0.1

的特征值的范围.

解 A的4 个盖尔圆为 z  1  0.6, z  3  0.8

0.3   0.2  0.5    4

z  1  1.8, z  4  0.6

在复平面的图：

那么，A的全部特征值就在这四个盖尔圆并起来

的区域之中.

连通区域：区域中的任意两点都可以用位于该

区域内的一条折线连接起来的区域.

连通部分：交结为一起的盖尔圆所构成的最大 连通区域.

定理 （圆盘定理2）在矩阵A所

有盖尔圆组成的任一连通部分中，含有A的特征

值的个数等于该连通部分的盖尔圆的个数.

由圆盘定理 2 可知， 由一个盖尔圆组成的连通部分有且仅有一个特 征值， 由两个盖尔圆组成的连通部分有且仅有两个特征值， 但可能这两 个特征值都落在一个圆盘中，而另一个圆盘中没有特征值．

0.8   1 2  例 矩阵 A   的特征方程为     0.4  0 ，所以   0.5 0   

A 的特征值为

1 

A 的两个盖尔圆为

由于

1  0.6 i 2

，

2 

1  0.6 i 2

．

| z  1 | 0.8 ，

| z | 0.5 ．

| 1 || 2 | 0.4  0.63  0.5 ． 所以这两个特征值都不落在圆盘 | z | 0.5 内．

推论 1

设 n 阶矩阵 A 的 n 个盖尔圆两两互不相交（都是孤

立的） ，则 A 相似于对角矩阵．

推论 2 设 n 阶实矩阵 A 的 n 个盖尔圆两两互不相交， 则 A的 特征值全为实数． 证明 因为 A 为实矩阵，所以 A 的 n 个盖尔圆都关于实轴对

称．又由这 n 个盖尔圆两两互不相交知， A 的 n 个特征值互不相 等，且每个盖尔圆内恰含有一个特征值．因为，如果实矩阵有复 特征值，则一定成对出现，且在复平面上关于实轴对称，所以若 有一个复特征值在某个盖尔圆内，则与其成共轭的特征值也一定 在该盖尔圆内，这与圆盘定理 2 的结论相矛盾，所以 A 的特征值 都是实数．

例证明 n 阶矩阵

2 1 1   2  n n n  1 4 1  1  An n n     1 1 1    2n  n n n 

能与对角矩阵相似，且 A 的特征值都是实数． 证明 A 的 n 个盖尔圆为 S1 ： | z  2 | 1 ，

n 1 S k ： | z  2k | ． (k  2,3,, n) n 它们两两互不相交，又因为 A 为实矩阵，所以由推论 2 知 A 的特

征值都是实数．

定义 设 A  (aij )  C

nn

，则称圆盘

S j  { z | z  a jj | Rj , z  C } 为矩阵 A 在复平面上的第 j 个列盖尔圆（ j  1,2,, n ） ，其中

Rj  Rj ( A)   | aij | （ j  1,2,, n ）称为 S j 的半径．

i 1 i j n

因为矩阵 A 与 A 有相同的特征值，所以若对矩阵 A 应用圆 盘定理 1 与圆盘定理 2，则得到关于矩阵 A 的列的圆盘定理．

推论 3 设 A  (aij )  C

nn

T

T

，则 A 的一切特征值都在它的 n

n

个列盖尔圆的并集之

内，即 A 的任一特征值  满足

 G   Gj ．

j 1

推论 4 设矩阵 A 的 n 个列盖尔圆中有 k 个互相连通且与其 余 n  k 个不相交，则这个连通区域中恰有 A 的 k 个特征值 (当

A 的主对角线上有相同元素时，则按重复次数计算，有特征值相

同时也按重复次数计算)．

推论 5 设 A  (aij )  C 域

n

nn

，则 A 的一切特征值都在平面区

n

T  ( Si )  (  G j )

i 1

j 1

之中．

取行盖尔圆的并集与列盖尔圆的并集的交一般可以得到比较满意的特征值估

计．

0.5  2   0.25 1  2i 例 隔离矩阵 A   0.5 0.25   0.25 0.5  解 A 的四个行盖尔圆为 S1 : | z  2 | 1 ， S 2 : S 3 : | z  1 | 1.25 ， S 4 :

集 S 3  S 4 含有 A 的两个特征值．

0.25 0 1 0.5

0.25   0.25  的特征值．  0.5   2  2i  

| z  (1  2i) | 0.5 ， | z  (2  2i) | 1.25 ．

其中 S1 与 S 2 是孤立的圆盘，因而各含有 A 的一个特征值， S 3 与 S 4 连通，并

A 的四个列盖尔圆为  : | z  (1  2i) | 1.25 ，  : | z  2 | 1 ， S2 S1  : | z  1 | 0.75 ， S4  : | z  (2  2i) | 1 ． S3  与 S4  内，  是孤立的圆盘，因而含在 S 3  S 4 内的两个特征值一个在 S 3 其中 S 3  内． 一个在 S 4

盖尔圆定理的应用：矩阵特征值的隔离.

设 A  (aij ) nn , 构造对角矩阵

D  diag (d1 , d 2 ,

其中 d1 , d 2 ,

di B  DAD  (aij ) nn dj

1

, dn )

, d n 都是正数. 由于

所以B 与A 的特征值相同.

 20 5 0.8    的特征 例 隔离矩阵 A   4 10 1   1 2 10i  值.  

解 A 的3个盖尔圆为

G1： z  20  5.8, G2： z  10  5; G3： z  10i  3

G3

G2

G1

选取 D=diag（1，1，2）

 20 5 0.4    则 1 B  DAD   4 10 0.5   2 4 10i    的3个盖尔圆为 ' ' G3 G1： z  20  5.4,

G： z  10  4.5;

' 2

G： z  10i  6

' 3

G

' 2

G

' 1

因为 5.4+4.5=9.9 10，4.5+6=10.5  10 2 ' ' ' G , G 与 G 5.4+6=11.4  10 5 ，所以 1 2 3 互不 相交，因而3个特征值在分别在该3个盖尔圆中.

例 如果矩阵 A  (aij ) nn , 按行（列）严格对 角占优，则

det A  0.

证 设  是A 的任一特征值，则存在 i使

  Gi , 于是可得

如果

  aii  Ri   aij

j i

  0, 则有

aii   aij

j i

这与A按行严格对角占优矛盾，故应有   0,

所以 det A  0.

例

估计矩阵

的特征值范围。 解

1 1   2 1  2 4 4   1 1  2 i 0  1  4 4 A 1  1 1 2  1 4 2   1 1 1   2  2  2 i  4  2

A的四个盖尔圆为

2i

G2

1 G1 : z  2  1 ，G 2 : z  1  2 i  2 5 5 G3 : z  1  ， G4 : z  2  2i  4 4

画在复平面

上如图： 于是A的全部特征值在这四个 盖尔圆的并集中。

G3

-2 -1 0

i

G1

1 -i 2

G4

-2i

例

估计矩阵

的特征值范围。 解

1 1   2 1  2 4 4   1 1  2 i 0  1  4 4 A 1  1 1 2  1 4 2   1 1  1    2  2 i  4  2 2

A的四个盖尔圆为

1 G1 : z  2  1 ，G 2 : z  1  2 i  2 5 5 G3 : z  1  ， G4 : z  2  2i  4 4

A的四个列盖尔圆为

~ G2

2i

5 ~ ~ G1 : z  2  1 ，G 2 : z  1  2 i  4 3 ~ ~ G4 : z  2  2i  1 G3 : z  1  ， 4

画在复平面上如图：

可见A的四个特征值位于

G2

G3 ~

-2 -1

i 0 -i

G3

~ 1G 2

1

G1

G4

~ G4

-2i

四个孤立圆盘

~ ~ G1， G 2， G 3， G4

中，

且各圆盘中仅有A的一个特征值。

例

试估计矩阵

0.11 0.02   1   A   0.02 0.5 0.01   0.01 0.14 0.9   

的特征值

分布范围， 并适当选择一组正数， 使A的三个盖尔圆 互不相交。 解 A的三个盖尔圆为

G1 : z  1  0.13，G 2 : z  0.5  0.03，G3 : z  0.9  0.15

作图:

G2

0 0.5

G3

1.0

G1

取

1  1, 2  10, 3  1， D  diag(1, 10, 1) 则 ，

0.011 0.02   1   1 0.5 0.1  B  DAD   0.2  0.01 0.014 0.9   

~ ~ ~ G1 : z  1  0.031 ，G 2 : z  0.5  0.3， G3 : z  0.9  0.024

~ G2

G2

0

0.5

B的三个盖尔圆为：

G3

~ ~ G G 3 G1 1

1.0

综合考虑知，

在

~ ~ 中各有A的一个特征值。 G1， G 2， G3

矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是 十分重要的，但是特征值的计算一般是非常

麻烦的，尤其当矩阵的阶数比较高时，要精

确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因此， 由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范 围就显得尤为重要．本节将主要给出特征值 的估计与圆盘定理，以及谱半径的估计．

特殊矩阵的特征值： 实对称矩阵（厄米特矩阵）：特征值在实轴上

幂等矩阵：特征值为0或1

正交矩阵（酉矩阵）：特征值位于单位圆上

4.5 特征值的估计

一.特征值的界

nn A  ( a )  C 定理：设 的特征值为 1 , ij

, n ，则

l  max  aij ( A 1 )

1 j  n i 1

n

l  max  aij ( A  ) (l  1, 2, , n)

1i  n j 1

n



l 1

n

2

l

  aij

i , j 1

n

2

( Schur )

证明 由舒尔定理，存在酉矩阵 U 使得

U H AU  T ． 其中 T 为上三角矩阵， T 的对角线元素 t ii (i  1,2,, n) 为 A 的特征

值，于是

2 2 2 2  | t |  | t |  | t |  T |  |     i ii ii ij

n

n

n

2 F

．

i 1

i 1

i 1

i j

由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以

| 

i 1

n

i

|  T

2

2 F

 A F．

2

结论中等号成立当且仅当

2 | t |  ij  0 ． i j

即 T 为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当 A 酉相似于对角阵， 即 A 为正规矩阵．

 3  i  2  3i 2i    例 已知矩阵 A  1 0 0   0  1 0  

的一个特征值是2 ，估计另外两个特征值的 上界.

解 因为

A F  4  25, 所以

2

2,3  5.

二. 特征值的包含区域

nn A  ( a )  C , 定义 设 ij

称由不等式

z  aii  Ri

在复平面上确定的区域为矩阵A 的第i个 Gerschgorin圆（盖尔圆），并用记号 Gi 来表 示. 其中 Ri  Ri ( A)   aij 半径

n

(i  1, , n).

j 1 j i

称为盖尔圆 Gi 的

定理（圆盘定理 1） 设 A  (aij )  C

nn

，则 A 的一切特

征值都在它的 n 个盖尔圆的并集之内，即 A 的任一特征值  满 足

  S   Si ．

i 1

n

设  为 A 的特征值，其对应的特征向量为 x ( x  0) ，即 Ax  x ，写成分量形式为 证明

a

j 1

n

ij

x j  xi ， （ i  1,2,, n ）

或

(  aii ) xi   aij x j ． （ i  1,2,, n ）

j 1 ji

n

设 x t 为 x 的各分量中模最大的一个，则 xt  0 ，在上式中当 i  t 时 有

(  att ) xt   atj x j ，

j 1 j t

n

两边除以 x t 并取模得

|   att |  | atj | 

j 1 j t

n

n

xj xt

  | atj |  Rt ，

j 1 j t

n

所以   S t ，即   S   S i ．

i 1

例 估计矩阵

0.1 0.2  1  0. 5 3 0.1  A  1 0.3 1   0.2  0.3  0.1

的特征值的范围.

解 A的4 个盖尔圆为 z  1  0.6, z  3  0.8

0.3   0.2  0.5    4

z  1  1.8, z  4  0.6

在复平面的图：

那么，A的全部特征值就在这四个盖尔圆并起来

的区域之中.

连通区域：区域中的任意两点都可以用位于该

区域内的一条折线连接起来的区域.

连通部分：交结为一起的盖尔圆所构成的最大 连通区域.

定理 （圆盘定理2）在矩阵A所

有盖尔圆组成的任一连通部分中，含有A的特征

值的个数等于该连通部分的盖尔圆的个数.

由圆盘定理 2 可知， 由一个盖尔圆组成的连通部分有且仅有一个特 征值， 由两个盖尔圆组成的连通部分有且仅有两个特征值， 但可能这两 个特征值都落在一个圆盘中，而另一个圆盘中没有特征值．

0.8   1 2  例 矩阵 A   的特征方程为     0.4  0 ，所以   0.5 0   

A 的特征值为

1 

A 的两个盖尔圆为

由于

1  0.6 i 2

，

2 

1  0.6 i 2

．

| z  1 | 0.8 ，

| z | 0.5 ．

| 1 || 2 | 0.4  0.63  0.5 ． 所以这两个特征值都不落在圆盘 | z | 0.5 内．

推论 1

设 n 阶矩阵 A 的 n 个盖尔圆两两互不相交（都是孤

立的） ，则 A 相似于对角矩阵．

推论 2 设 n 阶实矩阵 A 的 n 个盖尔圆两两互不相交， 则 A的 特征值全为实数． 证明 因为 A 为实矩阵，所以 A 的 n 个盖尔圆都关于实轴对

称．又由这 n 个盖尔圆两两互不相交知， A 的 n 个特征值互不相 等，且每个盖尔圆内恰含有一个特征值．因为，如果实矩阵有复 特征值，则一定成对出现，且在复平面上关于实轴对称，所以若 有一个复特征值在某个盖尔圆内，则与其成共轭的特征值也一定 在该盖尔圆内，这与圆盘定理 2 的结论相矛盾，所以 A 的特征值 都是实数．

例证明 n 阶矩阵

2 1 1   2  n n n  1 4 1  1  An n n     1 1 1    2n  n n n 

能与对角矩阵相似，且 A 的特征值都是实数． 证明 A 的 n 个盖尔圆为 S1 ： | z  2 | 1 ，

n 1 S k ： | z  2k | ． (k  2,3,, n) n 它们两两互不相交，又因为 A 为实矩阵，所以由推论 2 知 A 的特

征值都是实数．

定义 设 A  (aij )  C

nn

，则称圆盘

S j  { z | z  a jj | Rj , z  C } 为矩阵 A 在复平面上的第 j 个列盖尔圆（ j  1,2,, n ） ，其中

Rj  Rj ( A)   | aij | （ j  1,2,, n ）称为 S j 的半径．

i 1 i j n

因为矩阵 A 与 A 有相同的特征值，所以若对矩阵 A 应用圆 盘定理 1 与圆盘定理 2，则得到关于矩阵 A 的列的圆盘定理．

推论 3 设 A  (aij )  C

nn

T

T

，则 A 的一切特征值都在它的 n

n

个列盖尔圆的并集之

内，即 A 的任一特征值  满足

 G   Gj ．

j 1

推论 4 设矩阵 A 的 n 个列盖尔圆中有 k 个互相连通且与其 余 n  k 个不相交，则这个连通区域中恰有 A 的 k 个特征值 (当

A 的主对角线上有相同元素时，则按重复次数计算，有特征值相

同时也按重复次数计算)．

推论 5 设 A  (aij )  C 域

n

nn

，则 A 的一切特征值都在平面区

n

T  ( Si )  (  G j )

i 1

j 1

之中．

取行盖尔圆的并集与列盖尔圆的并集的交一般可以得到比较满意的特征值估

计．

0.5  2   0.25 1  2i 例 隔离矩阵 A   0.5 0.25   0.25 0.5  解 A 的四个行盖尔圆为 S1 : | z  2 | 1 ， S 2 : S 3 : | z  1 | 1.25 ， S 4 :

集 S 3  S 4 含有 A 的两个特征值．

0.25 0 1 0.5

0.25   0.25  的特征值．  0.5   2  2i  

| z  (1  2i) | 0.5 ， | z  (2  2i) | 1.25 ．

其中 S1 与 S 2 是孤立的圆盘，因而各含有 A 的一个特征值， S 3 与 S 4 连通，并

A 的四个列盖尔圆为  : | z  (1  2i) | 1.25 ，  : | z  2 | 1 ， S2 S1  : | z  1 | 0.75 ， S4  : | z  (2  2i) | 1 ． S3  与 S4  内，  是孤立的圆盘，因而含在 S 3  S 4 内的两个特征值一个在 S 3 其中 S 3  内． 一个在 S 4

盖尔圆定理的应用：矩阵特征值的隔离.

设 A  (aij ) nn , 构造对角矩阵

D  diag (d1 , d 2 ,

其中 d1 , d 2 ,

di B  DAD  (aij ) nn dj

1

, dn )

, d n 都是正数. 由于

所以B 与A 的特征值相同.

 20 5 0.8    的特征 例 隔离矩阵 A   4 10 1   1 2 10i  值.  

解 A 的3个盖尔圆为

G1： z  20  5.8, G2： z  10  5; G3： z  10i  3

G3

G2

G1

选取 D=diag（1，1，2）

 20 5 0.4    则 1 B  DAD   4 10 0.5   2 4 10i    的3个盖尔圆为 ' ' G3 G1： z  20  5.4,

G： z  10  4.5;

' 2

G： z  10i  6

' 3

G

' 2

G

' 1

因为 5.4+4.5=9.9 10，4.5+6=10.5  10 2 ' ' ' G , G 与 G 5.4+6=11.4  10 5 ，所以 1 2 3 互不 相交，因而3个特征值在分别在该3个盖尔圆中.

例 如果矩阵 A  (aij ) nn , 按行（列）严格对 角占优，则

det A  0.

证 设  是A 的任一特征值，则存在 i使

  Gi , 于是可得

如果

  aii  Ri   aij

j i

  0, 则有

aii   aij

j i

这与A按行严格对角占优矛盾，故应有   0,

所以 det A  0.

例

估计矩阵

的特征值范围。 解

1 1   2 1  2 4 4   1 1  2 i 0  1  4 4 A 1  1 1 2  1 4 2   1 1 1   2  2  2 i  4  2

A的四个盖尔圆为

2i

G2

1 G1 : z  2  1 ，G 2 : z  1  2 i  2 5 5 G3 : z  1  ， G4 : z  2  2i  4 4

画在复平面

上如图： 于是A的全部特征值在这四个 盖尔圆的并集中。

G3

-2 -1 0

i

G1

1 -i 2

G4

-2i

例

估计矩阵

的特征值范围。 解

1 1   2 1  2 4 4   1 1  2 i 0  1  4 4 A 1  1 1 2  1 4 2   1 1  1    2  2 i  4  2 2

A的四个盖尔圆为

1 G1 : z  2  1 ，G 2 : z  1  2 i  2 5 5 G3 : z  1  ， G4 : z  2  2i  4 4

A的四个列盖尔圆为

~ G2

2i

5 ~ ~ G1 : z  2  1 ，G 2 : z  1  2 i  4 3 ~ ~ G4 : z  2  2i  1 G3 : z  1  ， 4

画在复平面上如图：

可见A的四个特征值位于

G2

G3 ~

-2 -1

i 0 -i

G3

~ 1G 2

1

G1

G4

~ G4

-2i

四个孤立圆盘

~ ~ G1， G 2， G 3， G4

中，

且各圆盘中仅有A的一个特征值。

例

试估计矩阵

0.11 0.02   1   A   0.02 0.5 0.01   0.01 0.14 0.9   

的特征值

分布范围， 并适当选择一组正数， 使A的三个盖尔圆 互不相交。 解 A的三个盖尔圆为

G1 : z  1  0.13，G 2 : z  0.5  0.03，G3 : z  0.9  0.15

作图:

G2

0 0.5

G3

1.0

G1

取

1  1, 2  10, 3  1， D  diag(1, 10, 1) 则 ，

0.011 0.02   1   1 0.5 0.1  B  DAD   0.2  0.01 0.014 0.9   

~ ~ ~ G1 : z  1  0.031 ，G 2 : z  0.5  0.3， G3 : z  0.9  0.024

~ G2

G2

0

0.5

B的三个盖尔圆为：

G3

~ ~ G G 3 G1 1

1.0

综合考虑知，

在

~ ~ 中各有A的一个特征值。 G1， G 2， G3