5.汇报交流。
生展示汇报打电话的方案。师将学生分组成果贴到黑板上。
师：刚才这组同学是把要通知的15名同学分成了3组。我们把这种通知的方法叫做分组通知，（板书：分组）用时7分钟。（板书：7分）
师：有不是分3组的吗？生：有，我分5组。师：用时多少分钟？生：7分钟。
师：分3组用7分钟，分5组也是用7分钟，把组分得越多用的时间越少吗？
生：不是。
师：但是，分组通知后确实比逐个通知省时，这是为什么呢？
生：同学帮着老师打电话。
师：老师通知完3个同学后，3个同学同时一起往下打，如果老师和同学都一起不闲着地打，会不会更省时间呢？摆摆看？
6.再次探究。
师巡视找到用时更少的方案——用4分钟，拿到台前展示。
生：汇报自己方案。
师：我们一起来把这个小组的方案整理到黑板上。
师：（摆学具）第1分钟老师最多可以通知几名同学？
生：1名。
师：第2分钟这个队员谁可以通知？为什么可以通知？
生：老师和第1分钟通知的同学都可以通知，因为他们都知道了消息，都具备了通知的条件。
师：第2分钟最多可以通知几人？生：2人。
师：第3分钟最多可以通知多少人？生：4人。
师：说说第4分钟怎样通知？生：老师和前3分钟知道消息的人同时通知，可以通知8人。
师：通知完了吗？生：通知完了。师：用了多少分钟？生：4分钟。
师：（板书：4分）太棒了，只用了4分钟就通知完了。老师祝贺你，思考出这么好的方案。
7.比较方案。
师：上周末晚上8点，老师接到一个紧急通知，要求15名舞蹈队员第二天早上演出，（出示照片）你认为可以用哪些方式通知？
生：打电话，发短信……
师：刚才有同学说用打电话的方式通知，今天我们就来研究打电话中的数学问题。（板书课题：打电话）
2.设疑思考。
师：如果每1分钟通知1名队员，通知完15名队员共需要多少分钟？（板书：15分）
师：是怎样打的？生：一个一个地打？
师：一个一个地打，叫逐个打可以吗？生：可以。（师板书：逐个）
师：是这样吗？（教师摆教具□——○）谁来说说这图表示的意思？
生：用“□”代表老师，用“○”代表学生，用“——”表示老师与学生通了电话。
师：如果你是老师，你会这样打吗？生：不会！
师：同学们也这样认为？生：是的。
师：你们的意思是……可能还有比这个更快的方法？
生：是的。
【评析】用学生身边熟悉的素材引入
教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》五年级下册第132~133页。
教学目标：
1.利用校园生活的情境，通过画图的方式使学生找到打电话的最优方法。
2.渗透数形结合的思想，发现其隐含的规律，培养学生借助图形解决问题和归纳推理的思维能力。
3.通过具体事例进一步体会优化思想在解决实际问题中的应用，形成寻找解决问题最优方案的意识。
教学重点：通过图表的方式发现“打电话”隐含的规律。
教学难点：探究“打电话”省时的最优方案。
教具、学具：课件、磁钉、磁板、彩色笔。
教学过程：
一、创设情境，提出问题1.创境导入。
李正荣执教（云南省楚雄师范学院附属小学）
管尤跃评析（云南省教育科学研究院）
冯树云评析（云南省楚雄师范学院附属小学）
课题，激发学生的学习兴趣，体现“数学来源于生活”的理念。通过对“逐个”通知方案的直观演示启发学生自觉地运用图示的方法解决数学问题，既为小组合作设计方案打下基础，又能培养学生良好的思维习惯。
二、探讨策略，逐步优化1.独立思考。
师：请同学们先独立思考。2.小组交流。
师：把自己的想法在四人小组里交流。3.合作探究。
师：那让我们动手吧。请看大屏幕，（课件出示要求）请同学们合作设计一个更省时的打电话的方案。可用小白板上的磁钉摆，也可以在白板上画或者在草稿纸上画。清楚了吗？
生：清楚了。
师：好！开始。（播放背景音乐）4.巡视指导。
师有目的地找到学生不同的设计方案。（适时给学生白板）
小学数学教育2011.7-8
师：在黑板上这三个方案中你喜欢哪一种方案？
生：第三个。师：为什么喜欢？生：省时（节约时间）。师：为什么省时？
生：老师和学生都不闲着（一起打）。8.得出结论。
师：同学们说得很好，只要每个接到通知的队员立即和老师一起通知其他的队员，每个人都不闲着，直到通知完全部队员为止，所需的时间最少。
师：第三个方案可以叫怎么打呢？生：不闲着、一起打、同时打……师：不闲着、一起打、同时打，也就是没有人闲着，我们叫它不空闲可以吗？
生：可以。（师板书：不空闲）
师：同学们，你们真了不起，我们研究的内容、设计的这种方案，是我国伟大的数学家华罗庚提出的优化思想在生活中的实际运用。（板书：优化）
【评析】尊重学生已有的知识和生活
生：宰相就是利用了我们今天发现的“后一个数总是前一个数的2倍”规律巧妙地获得了国王的粮食，救济了很多灾民。
师：这就是被爱因斯坦称为“世界第八大奇迹”的市场倍增学的来历。
师：生活中的细胞分裂、核裂变都是倍增的现象，这次日本核电危机就是核裂变产生的巨大能量没有得到有效控制的结果。关于倍增问题，同学们课后可以上网学习。
【评析】精心设计练习，学以致用，加
一分钟的２倍。
师：好样的。
师：第二行又有什么规律呢？生：后一分钟接到通知的总人数是前一分钟的２倍加1。
师：你善于观察，更善于思考，又发现了规律。
3.练习。
师：根据我们发现的规律5分钟最多可以通知多少人？
生：31人。
师：6分钟、7分钟会算吗？生：会。
师：我们知道通知7名同学最少要3分钟的时间，那么通知8名同学呢？
生：4分钟。师：9名呢？生：还是4分钟。
师：谁能用一句话来说一说通知几名到几名同学至少要4分钟？
生：8～15名都要4分钟。
【评析】通过填表、猜想第4分钟的情
深对所学知识的理解，体会数学在生活中的应用，深化优化思想策略，增强学生学习数学的兴趣，达成了有效的教学目标。
五、回顾总结，反思策略
师：通过这一节课的学习活动你有哪些收获？
生：……
师：同学们，生活中许多事情利用数学知识去合理安排，就能节省宝贵的时间，提高工作效率。希望大家把今天学到的知识运用到学习和生活中，做一个有计划、讲效率的好学生。
【评析】回顾所学知识，进行简单梳
况培养学生的类推能力，层层递进，通过数形结合让学生自己发现归纳最优方案的规律，体验成功的喜悦。在这个学习“支架”的帮助下，降低了学习的难度，学生的探究活动有了方向，用发现的规律解决问题已是水到渠成，使学习达到事半功倍的效果。无论是设计图还是表格都只是一种手段，是引导学生经历生活问题“数学化”“模型化”的过程，目的是要启发学生在后续的学习中也能自主地运用这些直观手段帮助自己建立不同的数学模型。
四、拓展运用，巩固升华
师：5分钟最多可以通知几名同学？生：31名。
师：如果通知50人，最少需要花多少时间就能通知到每个人？你是怎么想的？
生：6分钟。因为5分钟最多可以通知31名同学，6分钟最多通知的同学已经比50人多了。
师：我们今天学习的知识在生活中经常用到，接下来一起来听个“宰相与国王”的故事。（播放课件）
师：同学们，第64格里会是多少麦粒呢？一起来看看。（课件演示）
师：宰相聪明吗？生：聪明。
师：他运用了我们今天学的什么知识？
经验，让学生独立思考“打电话通知的省时方案”，然后在小组内讨论交流，再让学生进行前后两次小组合作探究，通过三种方案的比较，总结出“打电话通知的最优方案”，优化的思想也就渗透其中。
三、观察比较，发现规律1.师生合作对应板书填表。
师：在这个用时最少的方案里，还隐藏着一些数学规律，我们一起来找一找。
师：第1分钟刚接到电话的有几人？生：1人。师：第2分钟呢？生：2人。
师：第3分钟呢？第4分钟呢？生：4人、8人。
师：第1分钟接到通知的总人数是几人？生：1人。师：第2分钟呢？生：3人。
师：第3分钟呢？第4分钟呢？生：7人、15人。2.总结规律。
师：通过刚才填数你有什么发现？生：成倍数增加。师：说得再完整些好吗？
生：后一分钟刚接到电话的人数是前
理，在总结归纳中提升数学知识，使学生在获取知识的同时感受到数学的魅力。
【总评】
本节课围绕“还有更快打电话的方法吗”为探索主题，以提升学生思维为线索，设计精巧，层层推进，快捷有效，动静结合，达成目标。教学伊始，李老师以“接到通知要求15名舞蹈队员到校紧急演出”这一校园生活实例为素材，用打电话的方式如何尽快通知引入课题。学生通过“独立思考——小组交流——动手操作——合作探究——汇报交流——比较方案——得出结论”七个步骤经历了“逐个打电话方案太慢→分组打电话方案较快→不空闲打电话方案最快”的过程。课堂教学中教师借助学具小白板，让学生在合作探究过程中体会到成功的喜悦，在相互交流中分享到解决问题的策略，在比较总结中找到解决问题的最优方案，优化思想自然渗透在整个教学过程中。最后，教师指导学生图表结合，发现蕴含的数学规律，并运用这一规律解决实际问题，培养了学生应用数学知识解决实际问题的能力和归纳推理的能力。
（责任编辑牟永存）
小学数学教育2011.7-8
5.汇报交流。
生展示汇报打电话的方案。师将学生分组成果贴到黑板上。
师：刚才这组同学是把要通知的15名同学分成了3组。我们把这种通知的方法叫做分组通知，（板书：分组）用时7分钟。（板书：7分）
师：有不是分3组的吗？生：有，我分5组。师：用时多少分钟？生：7分钟。
师：分3组用7分钟，分5组也是用7分钟，把组分得越多用的时间越少吗？
生：不是。
师：但是，分组通知后确实比逐个通知省时，这是为什么呢？
生：同学帮着老师打电话。
师：老师通知完3个同学后，3个同学同时一起往下打，如果老师和同学都一起不闲着地打，会不会更省时间呢？摆摆看？
6.再次探究。
师巡视找到用时更少的方案——用4分钟，拿到台前展示。
生：汇报自己方案。
师：我们一起来把这个小组的方案整理到黑板上。
师：（摆学具）第1分钟老师最多可以通知几名同学？
生：1名。
师：第2分钟这个队员谁可以通知？为什么可以通知？
生：老师和第1分钟通知的同学都可以通知，因为他们都知道了消息，都具备了通知的条件。
师：第2分钟最多可以通知几人？生：2人。
师：第3分钟最多可以通知多少人？生：4人。
师：说说第4分钟怎样通知？生：老师和前3分钟知道消息的人同时通知，可以通知8人。
师：通知完了吗？生：通知完了。师：用了多少分钟？生：4分钟。
师：（板书：4分）太棒了，只用了4分钟就通知完了。老师祝贺你，思考出这么好的方案。
7.比较方案。
师：上周末晚上8点，老师接到一个紧急通知，要求15名舞蹈队员第二天早上演出，（出示照片）你认为可以用哪些方式通知？
生：打电话，发短信……
师：刚才有同学说用打电话的方式通知，今天我们就来研究打电话中的数学问题。（板书课题：打电话）
2.设疑思考。
师：如果每1分钟通知1名队员，通知完15名队员共需要多少分钟？（板书：15分）
师：是怎样打的？生：一个一个地打？
师：一个一个地打，叫逐个打可以吗？生：可以。（师板书：逐个）
师：是这样吗？（教师摆教具□——○）谁来说说这图表示的意思？
生：用“□”代表老师，用“○”代表学生，用“——”表示老师与学生通了电话。
师：如果你是老师，你会这样打吗？生：不会！
师：同学们也这样认为？生：是的。
师：你们的意思是……可能还有比这个更快的方法？
生：是的。
【评析】用学生身边熟悉的素材引入
教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》五年级下册第132~133页。
教学目标：
1.利用校园生活的情境，通过画图的方式使学生找到打电话的最优方法。
2.渗透数形结合的思想，发现其隐含的规律，培养学生借助图形解决问题和归纳推理的思维能力。
3.通过具体事例进一步体会优化思想在解决实际问题中的应用，形成寻找解决问题最优方案的意识。
教学重点：通过图表的方式发现“打电话”隐含的规律。
教学难点：探究“打电话”省时的最优方案。
教具、学具：课件、磁钉、磁板、彩色笔。
教学过程：
一、创设情境，提出问题1.创境导入。
李正荣执教（云南省楚雄师范学院附属小学）
管尤跃评析（云南省教育科学研究院）
冯树云评析（云南省楚雄师范学院附属小学）
课题，激发学生的学习兴趣，体现“数学来源于生活”的理念。通过对“逐个”通知方案的直观演示启发学生自觉地运用图示的方法解决数学问题，既为小组合作设计方案打下基础，又能培养学生良好的思维习惯。
二、探讨策略，逐步优化1.独立思考。
师：请同学们先独立思考。2.小组交流。
师：把自己的想法在四人小组里交流。3.合作探究。
师：那让我们动手吧。请看大屏幕，（课件出示要求）请同学们合作设计一个更省时的打电话的方案。可用小白板上的磁钉摆，也可以在白板上画或者在草稿纸上画。清楚了吗？
生：清楚了。
师：好！开始。（播放背景音乐）4.巡视指导。
师有目的地找到学生不同的设计方案。（适时给学生白板）
小学数学教育2011.7-8
师：在黑板上这三个方案中你喜欢哪一种方案？
生：第三个。师：为什么喜欢？生：省时（节约时间）。师：为什么省时？
生：老师和学生都不闲着（一起打）。8.得出结论。
师：同学们说得很好，只要每个接到通知的队员立即和老师一起通知其他的队员，每个人都不闲着，直到通知完全部队员为止，所需的时间最少。
师：第三个方案可以叫怎么打呢？生：不闲着、一起打、同时打……师：不闲着、一起打、同时打，也就是没有人闲着，我们叫它不空闲可以吗？
生：可以。（师板书：不空闲）
师：同学们，你们真了不起，我们研究的内容、设计的这种方案，是我国伟大的数学家华罗庚提出的优化思想在生活中的实际运用。（板书：优化）
【评析】尊重学生已有的知识和生活
生：宰相就是利用了我们今天发现的“后一个数总是前一个数的2倍”规律巧妙地获得了国王的粮食，救济了很多灾民。
师：这就是被爱因斯坦称为“世界第八大奇迹”的市场倍增学的来历。
师：生活中的细胞分裂、核裂变都是倍增的现象，这次日本核电危机就是核裂变产生的巨大能量没有得到有效控制的结果。关于倍增问题，同学们课后可以上网学习。
【评析】精心设计练习，学以致用，加
一分钟的２倍。
师：好样的。
师：第二行又有什么规律呢？生：后一分钟接到通知的总人数是前一分钟的２倍加1。
师：你善于观察，更善于思考，又发现了规律。
3.练习。
师：根据我们发现的规律5分钟最多可以通知多少人？
生：31人。
师：6分钟、7分钟会算吗？生：会。
师：我们知道通知7名同学最少要3分钟的时间，那么通知8名同学呢？
生：4分钟。师：9名呢？生：还是4分钟。
师：谁能用一句话来说一说通知几名到几名同学至少要4分钟？
生：8～15名都要4分钟。
【评析】通过填表、猜想第4分钟的情
深对所学知识的理解，体会数学在生活中的应用，深化优化思想策略，增强学生学习数学的兴趣，达成了有效的教学目标。
五、回顾总结，反思策略
师：通过这一节课的学习活动你有哪些收获？
生：……
师：同学们，生活中许多事情利用数学知识去合理安排，就能节省宝贵的时间，提高工作效率。希望大家把今天学到的知识运用到学习和生活中，做一个有计划、讲效率的好学生。
【评析】回顾所学知识，进行简单梳
况培养学生的类推能力，层层递进，通过数形结合让学生自己发现归纳最优方案的规律，体验成功的喜悦。在这个学习“支架”的帮助下，降低了学习的难度，学生的探究活动有了方向，用发现的规律解决问题已是水到渠成，使学习达到事半功倍的效果。无论是设计图还是表格都只是一种手段，是引导学生经历生活问题“数学化”“模型化”的过程，目的是要启发学生在后续的学习中也能自主地运用这些直观手段帮助自己建立不同的数学模型。
四、拓展运用，巩固升华
师：5分钟最多可以通知几名同学？生：31名。
师：如果通知50人，最少需要花多少时间就能通知到每个人？你是怎么想的？
生：6分钟。因为5分钟最多可以通知31名同学，6分钟最多通知的同学已经比50人多了。
师：我们今天学习的知识在生活中经常用到，接下来一起来听个“宰相与国王”的故事。（播放课件）
师：同学们，第64格里会是多少麦粒呢？一起来看看。（课件演示）
师：宰相聪明吗？生：聪明。
师：他运用了我们今天学的什么知识？
经验，让学生独立思考“打电话通知的省时方案”，然后在小组内讨论交流，再让学生进行前后两次小组合作探究，通过三种方案的比较，总结出“打电话通知的最优方案”，优化的思想也就渗透其中。
三、观察比较，发现规律1.师生合作对应板书填表。
师：在这个用时最少的方案里，还隐藏着一些数学规律，我们一起来找一找。
师：第1分钟刚接到电话的有几人？生：1人。师：第2分钟呢？生：2人。
师：第3分钟呢？第4分钟呢？生：4人、8人。
师：第1分钟接到通知的总人数是几人？生：1人。师：第2分钟呢？生：3人。
师：第3分钟呢？第4分钟呢？生：7人、15人。2.总结规律。
师：通过刚才填数你有什么发现？生：成倍数增加。师：说得再完整些好吗？
生：后一分钟刚接到电话的人数是前
理，在总结归纳中提升数学知识，使学生在获取知识的同时感受到数学的魅力。
【总评】
本节课围绕“还有更快打电话的方法吗”为探索主题，以提升学生思维为线索，设计精巧，层层推进，快捷有效，动静结合，达成目标。教学伊始，李老师以“接到通知要求15名舞蹈队员到校紧急演出”这一校园生活实例为素材，用打电话的方式如何尽快通知引入课题。学生通过“独立思考——小组交流——动手操作——合作探究——汇报交流——比较方案——得出结论”七个步骤经历了“逐个打电话方案太慢→分组打电话方案较快→不空闲打电话方案最快”的过程。课堂教学中教师借助学具小白板，让学生在合作探究过程中体会到成功的喜悦，在相互交流中分享到解决问题的策略，在比较总结中找到解决问题的最优方案，优化思想自然渗透在整个教学过程中。最后，教师指导学生图表结合，发现蕴含的数学规律，并运用这一规律解决实际问题，培养了学生应用数学知识解决实际问题的能力和归纳推理的能力。
（责任编辑牟永存）
小学数学教育2011.7-8