第三章 多维随机变量及其分布
1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X ，Y 如下：
, ⎧⎪0, 若第一次取出的是正品
X =⎨
⎪⎩1, 若第一次取出的是次品 , ⎧⎪0, 若第二次取出的是正品Y =⎨
⎪⎩1, 若第二次取出的是次品
试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。
解：（1）放回抽样情况
由于每次取物是独立的。由独立性定义知。
P (X=i, Y=j)=P (X=i) P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=
或写成
（2）不放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=
101025
⋅=
1212361025
⋅=
1212362105
⋅=
121236221
⋅=
121236
10945
⋅=
[1**********]
⋅=
121166
P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=
或写成
21010
⋅=
121166211
⋅=
121166
3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示Y 的联合分布律。
解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j ) ，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为
P {X=0, Y=2 }=
22
C 2C 24C 7
=
1 35=6 356 35
P {X=1, Y=1 }=
112C 3C 2C 2
4
C 7121C 3C 2C 2
4
C 722C 3C 24C 7
P {X=1, Y=2 }==
P {X=2, Y=0 }==
3 35=12 35
P {X=2, Y=1 }=
211C 3C 2C 2
4
C 7
22C 3C 24C 731C 3C 24C 731C 3C 24C 7
P {X=2, Y=2 }==
3 352 352 35
P {X=3, Y=0 }==
P {X=3, Y=1 }==
P {X=3, Y=2 }=0
⎧⎪k (6-x -y ), 0
5.[三] 设随机变量（X ，Y ）概率密度为f (x , y ) =⎨
⎪0, 其它⎩
（1）确定常数k 。 （3）求P (X
（2）求P {X
分析：利用P {(X , Y)∈G}=
⎰⎰f (x , y ) dx dy =⎰⎰f (x , y ) dx dy 再化为累次积分，其
G
G ⋂D o
⎧0
中D o =⎨(x , y ) ⎬
2
解：（1）∵1=
⎰⎰
+∞+∞
-∞-∞
f (x , y ) dx dy =
⎰⎰
212
k (6-x -y ) dydx ，∴k =
3
8
1 8
（2）P (X
⎰⎰
1
dx
312
8
(6-x -y ) dy =
（3）P (X ≤1. 5) =P (X ≤1. 5, Y
⎰
1. 50
dx ⎰
127(6-x -y ) dy = 2832
4
⎰
20
dx
⎰
4-x 0
12
(6-x -y ) dy = 83
6．（1）求第1题中的随机变量（X 、Y
（2）求第2题中的随机变量（X 、Y 解：（1）① 放回抽样（第1题）
0 1
25
365 36
5 361 36
边缘分布律为
X P i ·
0 1
Y
0 1
5616
P ·j
5616
② 不放回抽样（第1题）
0 1
边缘分布为
45 6610 66
X P i ·
1
10 661 66
Y
0 1
5616
P ·j
5616
（2）（X ，Y ）的联合分布律如下
2
3
解： X 的边缘分布律
X 0 1
P i ·
Y 的边缘分布律
Y 1 3
13316
P ·j 888887.[五] 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
⎧⎪4. 8y (2-x )
f (x , y ) =⎨
⎪⎩0
解：f X (x ) =
2
8
0≤x ≤1, 0≤y ≤x 其它
求边缘概率密度.
⎰
+∞
-∞
⎧x 4. 8y (2-x ) dy =2. 4x 2(2-x )
⎪
f (x , y ) dy =⎨0
⎪⎩0
⎰
0≤x ≤1其它
f Y (y ) =⎰
+∞
-∞
1⎧⎪⎰4. 8y (2-x ) dx =2. 4y (3-4y +y 2) 0≤y ≤1
f (x , y ) dx =⎨y
⎪其它⎩0
8.[六] 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
-y ⎧⎪e , 0
求边缘概率密度。 f (x , y ) =⎨
⎪⎩0, 其它.
解:f X (x ) =
⎰
+∞
-∞
⎧+∞e -y dy =e -x , x >0
⎪
f (x , y ) dy =⎨x
⎪x ≤0⎩0,
⎰
⎧+∞⎪
f Y (y ) =f (x , y ) dx =⎨
-∞
⎪⎩
⎰
⎰
y 0
e dx =ye , y >0,
0,
y ≤0,
-y -y
22
⎧⎪cx y , x ≤y ≤1
9.[七] 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f (x , y ) =⎨
⎪0, 其它⎩
（1）试确定常数c 。（2）求边缘概率密度。 解: l=
⎰⎰
-∞
+∞+∞-∞
f (x , y ) dxdy =
⎰dy ⎰
1+y -y
cx ydx =c
2
⎰
10
2421
y dy =c ⇒c = 3214
5
212⎧
1212
⎪⎰2x ydy =x (1-x 4), -1≤ X ~f X (x ) =⎨x 48
⎪0, ⎩
5⎧+y 21272⎪⎰d ydx =y Y ~f Y (y ) =⎨-42⎪0⎩
0≤y ≤1 其它
15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立。 解：放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
在放回抽样的情况下，X 和Y 是独立的 不放回抽样的情况：
P {X=0, Y=0 } =
25
36
5 365 361 36
10945
⋅=
121166
P {X=0}=
105= 126
1092105⋅+⋅= 121111116
P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=
5525
⨯=
6636
P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}
P {X=0}·P {Y=0} =
∴ X 和Y 不独立
16.[十四] 设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布。Y
⎧1y
⎪e 2, y >0
的概率密度为f Y (y ) =⎨2
⎪0, y ≤0. ⎩
（1）求X 和Y 的联合密度。（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
⎧⎪1, x ∈(0, 1) 解：（1）X 的概率密度为f X (x ) =⎨
⎪⎩0, 其它
Y 的概率密度为
⎧1-y
⎪e 2, y >0
f Y (y ) =⎨2且知X , Y 相互独立，
⎪0, y ≤0. ⎩
于是（X ，Y ）的联合密度为
y
⎧1-2⎪
f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) =⎨2e
⎪⎩0
00
其它
2
（2）由于a 有实跟根，从而判别式∆=4X -4Y ≥0
2
即：Y ≤X 记D ={(x , y ) |0
2
P (Y ≤X 2) =⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰dx ⎰
D
1
x 2
-1x 21-1-2
2
dy =-⎰dx ⎰de =1-⎰e 2dx
0002
y y
x 2
=1-2π⋅
e ⎰2π
1
0-
x 2
2
dx =1-2π(Φ(1) -Φ(2)) =1-2π(0. 8413-0. 5)
=1-2. 5066312⨯0. 3413=1-0. 8555=0. 1445
19.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为
-t
⎧⎪te , f (t ) =⎨
⎪⎩0
t >0t ≤0
并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）设第一周需要量为X ，它是随机变量 设第二周需要量为Y ，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为
-t ⎧⎪te , f (t ) =⎨
⎪⎩0
t >0t ≤0
Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X 和Y 的独立性可知：
⎧xe -x ye -y
f (x , y ) =⎨
0⎩
∵
z ≥0
x >0, y >0
其它
∴ 当z
当z>0时，由和的概率公式知
+∞-∞z
f z (z ) =⎰
f x (z -y ) f y (y ) dy
z 3-z -(z -y ) -y
=⎰(z -y ) e ⋅ye dy =e 06
∴
⎧z 3-z ⎪e ,
f z (z ) =⎨6
⎪⎩0
z >0z ≤0
⎧z 3-z
⎪e ,
（2）设z 表示前两周需要量，其概率密度为f z (z ) =⎨6
⎪⎩0
设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：
z >0z ≤0
-x ⎧⎪xe ,
f ξ(x ) =⎨
⎪⎩0
x >0x ≤0
z 与ξ相互独立 η= z +ξ表示前三周需要量 则：∵η≥0， 当u>0时
∴当u
f η(u ) = 0
f η(u ) =
=
⎰⎰
+∞-∞u 10
f (u -y ) f ξ(y ) dy (u -y ) 3e -(u -y ) ⋅ye -y dy
6
u 5-u =e 120
所以η的概率密度为
⎧u 5-u
e ⎪
f η(u ) =⎨120
⎪⎩0
u >0u ≤0
22.[二十二] 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。
解：设X 1，X 2，X 3，X 4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：
2
f T (t ) =
1
e
2π⋅20
-
(t -160) 22⨯202
f {X
t -160
=u 200. 8413
u 22
1180(t -160) 2
dt ⎰-∞2⨯202202π1
180-60
du =Φ()
20
12⎰
1
-∞
e
-
查表
设N=min{X 1，X 2，X 3，X 4}
P {N>180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180}
=P {X >180}4={1－p [X
（1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0} （2）求V=max (X , Y ) 的分布律 （3）求U = min (X , Y ) 的分布律 解：（1）由条件概率公式
P {X =2, Y =2}
P {X=2|Y=2}=
P {Y =2}
= =
同理
P {Y=3|X=0}=
0. 05
0. 01+0. 03+0. 05+0. 05+0. 05+0. 080. 05
=0. 2 0. 25
1 3
（2）变量V=max{X , Y }
显然V 是一随机变量，其取值为 V ：0 1 2 3 4 5
P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0
P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =0.01+0.02+0.01=0.04
P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16
P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28
P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3} =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24
P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ …… + P {X=5，Y=3} =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28 （3）显然U 的取值为0，1，2，3
P {U=0}=P {X=0，Y=0}+……+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}
+ …… + P {Y=0，X=5}=0.28
同理 P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17 或缩写成表格形式
（2） （3）
V P k U P k
0 0
1
2
3
4
5
0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 0 0.28
1 0.30
2 0.25
3 0.17
（4）W =V +U 显然W 的取值为0，1，……8 P {W =0}=P {V =0 U =0}=0
P {W =1}=P {V =0, U =1}+P {V =1U =0}
∵ V =max{X ，Y }=0又U =min{X ，Y }=1不可能 上式中的P {V =0，U =1}=0，
又 P {V=1 U=0}=P {X =1 Y =0}+P {X=0 Y=1}=0.2 故 P {W =1}=P {V =0, U =1}+P {V =1，U =0}=0.2 P {W =2}=P {V+U=2}= P{V =2, U =0}+ P{V =1，U =1} = P{X =2 Y =0}+ P{X=0 Y=2}+P {X=1 Y=1}
=0.03+0.01+0.02=0.06
P {W =3}=P {V+U=3}= P{V =3, U =0}+ P{V =2，U =1} = P{X =3 Y =0}+ P{X=0，Y=3}+P {X=2，Y=1} + P{X=1，Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 P {W =4}= P{V =4, U =0}+ P{V =3，U =1}+P {V =2，U =2} =P {X =4 Y =0}+ P{X=3，Y=1}+P {X=1，Y=3} + P{X=2，Y=2} =0.19
P {W =5}= P{V+U=5}=P {V =5, U =0}+ P{V =5，U =1}
+P {V =3，U =2} =P {X =5 Y =0}+ P{X=5，Y=1}
+P {X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} =0.24
P {W =6}= P{V+U=6}=P {V =5, U =1}+ P{V =4，U =2}
+P {V =3，U =3} =P {X =5，Y =1}+ P{X=4，Y=2}
+P {X=3，Y=3} =0.19
P {W =7}= P{V+U=7}=P {V =5, U =2}+ P{V =4，U =3}
=P {V =5，U =2} +P {X =4，Y =3}=0.6+0.6=0.12
P {W =8}= P{V+U=8}=P {V =5, U =3}+ P{X =5，Y =3}=0.05 或列表为
W
P 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
[二十一] 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
-(x +y ) ⎧, ⎪be f (x , y ) =⎨⎪, ⎩00
（1）试确定常数b ；（2）求边缘概率密度f X (x ) ，f Y (y )
（3）求函数U =max (X , Y ) 的分布函数。
解：（1）1=+∞+∞1+∞⎰⎰-∞-∞f (x , y ) dy dx =⎰⎰00be -(x +y ) dy dx =b [1-e -1]
∴ b =
（2）f X (x ) =1 -11-e ⎰+∞
-∞f (x , y ) dy
x ≤0或x ≥1
0
f Y (y ) =
⎰+∞-∞f (x , y ) dx y ≤0
y >0, ⎧0⎪=⎨1-(x +y ) be dx =e -y ⎪⎩0⎰
（3）F u (ω)=P {U ≤ u }=P {max(X , Y ) ≤u )=P {X ≤ u , Y ≤ u } 40
=F (u , u )= u
u u u -∞-∞f (x , y ) dx dy 0≤u
u ≥1, F U (u ) =⎰⎰u 1be -(x +y ) dx dy =1-e -u 00
41
第三章 多维随机变量及其分布
1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X ，Y 如下：
, ⎧⎪0, 若第一次取出的是正品
X =⎨
⎪⎩1, 若第一次取出的是次品 , ⎧⎪0, 若第二次取出的是正品Y =⎨
⎪⎩1, 若第二次取出的是次品
试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。
解：（1）放回抽样情况
由于每次取物是独立的。由独立性定义知。
P (X=i, Y=j)=P (X=i) P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=
或写成
（2）不放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=
101025
⋅=
1212361025
⋅=
1212362105
⋅=
121236221
⋅=
121236
10945
⋅=
[1**********]
⋅=
121166
P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=
或写成
21010
⋅=
121166211
⋅=
121166
3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示Y 的联合分布律。
解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j ) ，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为
P {X=0, Y=2 }=
22
C 2C 24C 7
=
1 35=6 356 35
P {X=1, Y=1 }=
112C 3C 2C 2
4
C 7121C 3C 2C 2
4
C 722C 3C 24C 7
P {X=1, Y=2 }==
P {X=2, Y=0 }==
3 35=12 35
P {X=2, Y=1 }=
211C 3C 2C 2
4
C 7
22C 3C 24C 731C 3C 24C 731C 3C 24C 7
P {X=2, Y=2 }==
3 352 352 35
P {X=3, Y=0 }==
P {X=3, Y=1 }==
P {X=3, Y=2 }=0
⎧⎪k (6-x -y ), 0
5.[三] 设随机变量（X ，Y ）概率密度为f (x , y ) =⎨
⎪0, 其它⎩
（1）确定常数k 。 （3）求P (X
（2）求P {X
分析：利用P {(X , Y)∈G}=
⎰⎰f (x , y ) dx dy =⎰⎰f (x , y ) dx dy 再化为累次积分，其
G
G ⋂D o
⎧0
中D o =⎨(x , y ) ⎬
2
解：（1）∵1=
⎰⎰
+∞+∞
-∞-∞
f (x , y ) dx dy =
⎰⎰
212
k (6-x -y ) dydx ，∴k =
3
8
1 8
（2）P (X
⎰⎰
1
dx
312
8
(6-x -y ) dy =
（3）P (X ≤1. 5) =P (X ≤1. 5, Y
⎰
1. 50
dx ⎰
127(6-x -y ) dy = 2832
4
⎰
20
dx
⎰
4-x 0
12
(6-x -y ) dy = 83
6．（1）求第1题中的随机变量（X 、Y
（2）求第2题中的随机变量（X 、Y 解：（1）① 放回抽样（第1题）
0 1
25
365 36
5 361 36
边缘分布律为
X P i ·
0 1
Y
0 1
5616
P ·j
5616
② 不放回抽样（第1题）
0 1
边缘分布为
45 6610 66
X P i ·
1
10 661 66
Y
0 1
5616
P ·j
5616
（2）（X ，Y ）的联合分布律如下
2
3
解： X 的边缘分布律
X 0 1
P i ·
Y 的边缘分布律
Y 1 3
13316
P ·j 888887.[五] 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
⎧⎪4. 8y (2-x )
f (x , y ) =⎨
⎪⎩0
解：f X (x ) =
2
8
0≤x ≤1, 0≤y ≤x 其它
求边缘概率密度.
⎰
+∞
-∞
⎧x 4. 8y (2-x ) dy =2. 4x 2(2-x )
⎪
f (x , y ) dy =⎨0
⎪⎩0
⎰
0≤x ≤1其它
f Y (y ) =⎰
+∞
-∞
1⎧⎪⎰4. 8y (2-x ) dx =2. 4y (3-4y +y 2) 0≤y ≤1
f (x , y ) dx =⎨y
⎪其它⎩0
8.[六] 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
-y ⎧⎪e , 0
求边缘概率密度。 f (x , y ) =⎨
⎪⎩0, 其它.
解:f X (x ) =
⎰
+∞
-∞
⎧+∞e -y dy =e -x , x >0
⎪
f (x , y ) dy =⎨x
⎪x ≤0⎩0,
⎰
⎧+∞⎪
f Y (y ) =f (x , y ) dx =⎨
-∞
⎪⎩
⎰
⎰
y 0
e dx =ye , y >0,
0,
y ≤0,
-y -y
22
⎧⎪cx y , x ≤y ≤1
9.[七] 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f (x , y ) =⎨
⎪0, 其它⎩
（1）试确定常数c 。（2）求边缘概率密度。 解: l=
⎰⎰
-∞
+∞+∞-∞
f (x , y ) dxdy =
⎰dy ⎰
1+y -y
cx ydx =c
2
⎰
10
2421
y dy =c ⇒c = 3214
5
212⎧
1212
⎪⎰2x ydy =x (1-x 4), -1≤ X ~f X (x ) =⎨x 48
⎪0, ⎩
5⎧+y 21272⎪⎰d ydx =y Y ~f Y (y ) =⎨-42⎪0⎩
0≤y ≤1 其它
15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立。 解：放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
在放回抽样的情况下，X 和Y 是独立的 不放回抽样的情况：
P {X=0, Y=0 } =
25
36
5 365 361 36
10945
⋅=
121166
P {X=0}=
105= 126
1092105⋅+⋅= 121111116
P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=
5525
⨯=
6636
P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}
P {X=0}·P {Y=0} =
∴ X 和Y 不独立
16.[十四] 设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布。Y
⎧1y
⎪e 2, y >0
的概率密度为f Y (y ) =⎨2
⎪0, y ≤0. ⎩
（1）求X 和Y 的联合密度。（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
⎧⎪1, x ∈(0, 1) 解：（1）X 的概率密度为f X (x ) =⎨
⎪⎩0, 其它
Y 的概率密度为
⎧1-y
⎪e 2, y >0
f Y (y ) =⎨2且知X , Y 相互独立，
⎪0, y ≤0. ⎩
于是（X ，Y ）的联合密度为
y
⎧1-2⎪
f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) =⎨2e
⎪⎩0
00
其它
2
（2）由于a 有实跟根，从而判别式∆=4X -4Y ≥0
2
即：Y ≤X 记D ={(x , y ) |0
2
P (Y ≤X 2) =⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰dx ⎰
D
1
x 2
-1x 21-1-2
2
dy =-⎰dx ⎰de =1-⎰e 2dx
0002
y y
x 2
=1-2π⋅
e ⎰2π
1
0-
x 2
2
dx =1-2π(Φ(1) -Φ(2)) =1-2π(0. 8413-0. 5)
=1-2. 5066312⨯0. 3413=1-0. 8555=0. 1445
19.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为
-t
⎧⎪te , f (t ) =⎨
⎪⎩0
t >0t ≤0
并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）设第一周需要量为X ，它是随机变量 设第二周需要量为Y ，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为
-t ⎧⎪te , f (t ) =⎨
⎪⎩0
t >0t ≤0
Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X 和Y 的独立性可知：
⎧xe -x ye -y
f (x , y ) =⎨
0⎩
∵
z ≥0
x >0, y >0
其它
∴ 当z
当z>0时，由和的概率公式知
+∞-∞z
f z (z ) =⎰
f x (z -y ) f y (y ) dy
z 3-z -(z -y ) -y
=⎰(z -y ) e ⋅ye dy =e 06
∴
⎧z 3-z ⎪e ,
f z (z ) =⎨6
⎪⎩0
z >0z ≤0
⎧z 3-z
⎪e ,
（2）设z 表示前两周需要量，其概率密度为f z (z ) =⎨6
⎪⎩0
设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：
z >0z ≤0
-x ⎧⎪xe ,
f ξ(x ) =⎨
⎪⎩0
x >0x ≤0
z 与ξ相互独立 η= z +ξ表示前三周需要量 则：∵η≥0， 当u>0时
∴当u
f η(u ) = 0
f η(u ) =
=
⎰⎰
+∞-∞u 10
f (u -y ) f ξ(y ) dy (u -y ) 3e -(u -y ) ⋅ye -y dy
6
u 5-u =e 120
所以η的概率密度为
⎧u 5-u
e ⎪
f η(u ) =⎨120
⎪⎩0
u >0u ≤0
22.[二十二] 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。
解：设X 1，X 2，X 3，X 4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：
2
f T (t ) =
1
e
2π⋅20
-
(t -160) 22⨯202
f {X
t -160
=u 200. 8413
u 22
1180(t -160) 2
dt ⎰-∞2⨯202202π1
180-60
du =Φ()
20
12⎰
1
-∞
e
-
查表
设N=min{X 1，X 2，X 3，X 4}
P {N>180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180}
=P {X >180}4={1－p [X
（1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0} （2）求V=max (X , Y ) 的分布律 （3）求U = min (X , Y ) 的分布律 解：（1）由条件概率公式
P {X =2, Y =2}
P {X=2|Y=2}=
P {Y =2}
= =
同理
P {Y=3|X=0}=
0. 05
0. 01+0. 03+0. 05+0. 05+0. 05+0. 080. 05
=0. 2 0. 25
1 3
（2）变量V=max{X , Y }
显然V 是一随机变量，其取值为 V ：0 1 2 3 4 5
P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0
P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =0.01+0.02+0.01=0.04
P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16
P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28
P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3} =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24
P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ …… + P {X=5，Y=3} =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28 （3）显然U 的取值为0，1，2，3
P {U=0}=P {X=0，Y=0}+……+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}
+ …… + P {Y=0，X=5}=0.28
同理 P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17 或缩写成表格形式
（2） （3）
V P k U P k
0 0
1
2
3
4
5
0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 0 0.28
1 0.30
2 0.25
3 0.17
（4）W =V +U 显然W 的取值为0，1，……8 P {W =0}=P {V =0 U =0}=0
P {W =1}=P {V =0, U =1}+P {V =1U =0}
∵ V =max{X ，Y }=0又U =min{X ，Y }=1不可能 上式中的P {V =0，U =1}=0，
又 P {V=1 U=0}=P {X =1 Y =0}+P {X=0 Y=1}=0.2 故 P {W =1}=P {V =0, U =1}+P {V =1，U =0}=0.2 P {W =2}=P {V+U=2}= P{V =2, U =0}+ P{V =1，U =1} = P{X =2 Y =0}+ P{X=0 Y=2}+P {X=1 Y=1}
=0.03+0.01+0.02=0.06
P {W =3}=P {V+U=3}= P{V =3, U =0}+ P{V =2，U =1} = P{X =3 Y =0}+ P{X=0，Y=3}+P {X=2，Y=1} + P{X=1，Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 P {W =4}= P{V =4, U =0}+ P{V =3，U =1}+P {V =2，U =2} =P {X =4 Y =0}+ P{X=3，Y=1}+P {X=1，Y=3} + P{X=2，Y=2} =0.19
P {W =5}= P{V+U=5}=P {V =5, U =0}+ P{V =5，U =1}
+P {V =3，U =2} =P {X =5 Y =0}+ P{X=5，Y=1}
+P {X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} =0.24
P {W =6}= P{V+U=6}=P {V =5, U =1}+ P{V =4，U =2}
+P {V =3，U =3} =P {X =5，Y =1}+ P{X=4，Y=2}
+P {X=3，Y=3} =0.19
P {W =7}= P{V+U=7}=P {V =5, U =2}+ P{V =4，U =3}
=P {V =5，U =2} +P {X =4，Y =3}=0.6+0.6=0.12
P {W =8}= P{V+U=8}=P {V =5, U =3}+ P{X =5，Y =3}=0.05 或列表为
W
P 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
[二十一] 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
-(x +y ) ⎧, ⎪be f (x , y ) =⎨⎪, ⎩00
（1）试确定常数b ；（2）求边缘概率密度f X (x ) ，f Y (y )
（3）求函数U =max (X , Y ) 的分布函数。
解：（1）1=+∞+∞1+∞⎰⎰-∞-∞f (x , y ) dy dx =⎰⎰00be -(x +y ) dy dx =b [1-e -1]
∴ b =
（2）f X (x ) =1 -11-e ⎰+∞
-∞f (x , y ) dy
x ≤0或x ≥1
0
f Y (y ) =
⎰+∞-∞f (x , y ) dx y ≤0
y >0, ⎧0⎪=⎨1-(x +y ) be dx =e -y ⎪⎩0⎰
（3）F u (ω)=P {U ≤ u }=P {max(X , Y ) ≤u )=P {X ≤ u , Y ≤ u } 40
=F (u , u )= u
u u u -∞-∞f (x , y ) dx dy 0≤u
u ≥1, F U (u ) =⎰⎰u 1be -(x +y ) dx dy =1-e -u 00
41