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已知全集U=R，非空集合
，
．
（Ⅰ）当
时，求（CuB）∩A；
（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解析
（Ⅰ）通过
，求出集合B，求出集合A，然后求出集合B的补集，即可求（CuB）∩A；
（Ⅱ）利用q是p的必要条件，说明A⊆B，列出a的关系式，然后求实数a的取值范围．
答案
解：（Ⅰ）A={x|2＜x＜3}，
当
时，，
，
∁UB=
，
∴（∁UB）∩A=
．
（Ⅱ）由若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．
由a2+2＞a，B={x|a＜x＜a2+2}
∴
，解得a≤-1或1≤a≤2．
点评
本题考查集合的基本运算，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力．
相似题2
已知函数
的一系列对应值如下表：
x
y-1131-113
（1）根据表格提供的数据求函数y=f（x）的解析式；
（2）（文）当x∈[0，2π]时，求方程f（x）=2B的解．
（3）（理）若对任意的实数a，函数y=f（kx）（k＞0），
的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，又当
时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解析
（1）由已知中表格中提供的数据，我们可以判断出函数的最值及周期，进而A，B与最值的关系，ω与周期的关系，确定出A，B，ω的值，代入最大值点的坐标后，即可求出φ的值，进而得到函数的解析式．
（2）由（1）中所得的B值，我们可以构造出一个三角方程，根据正弦函数的性质及已知中x∈[0，2π]，可求出对应的x值，得到答案．
（3）若函数y=f（kx）（k＞0），
的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，则函数的周期为
，又由当
时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，我们可以构造出一个关于m的不等式，解不等式即可得到实数m的取值范围．
答案
解：（1）依题意，
，∴ω=1
又
，解得
，解得
∴
为所求．
（2）文：由f（x）=2B，得
∵x∈[0，2π]，∴
∴
或
，即
为所求．
（3）理：由已知条件可知，函数
的周期为
，
又k＞0，∴k=3
令
，∵
，
∴
而sint在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
如图∴sint=s在
上有两个不同的解的充要条件是
，
∴方程f（x）=m恰有两个不同的解的充要条件是
．
（注：单调区间写成
、
也行；直接数形结合得到正确结果，也可）
点评
本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，三角方程的解法，正弦函数的图象和性质，其中（1）的关键是熟练掌握正弦型函数解析式中参数与函数性质的关系，（2）的关键是熟练掌握正弦型函数的性质，（3）的关键是将已知，结合正弦函数的性质，转化为一个关于m的不等式．
相似题3
关于函数f（x）=cos（2x-
）+cos（2x+
），有下列命题：
①y=f（x）的最大值为
；
②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y=f（x）在区间（
，
）上单调递减；
④将函数y=
cos2x的图象向左平移
个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
解析
利用两角和差的正余弦公式可把f（x）化为
，进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．
答案
解：函数f（x）=cos（2x-
）+cos（2x+
）=
=
=
=
．
∴函数f（x）的最大值为
，因此①正确；
周期T=
，因此②正确；
当
时，
，因此y=f（x）在区间（
，
）上单调递减，因此③正确；
将函数y=
cos2x的图象向左平移
个单位后，得到y=
=
=
=
，因此④不正确．
综上可知：①②③．
故答案为①②③．
点评
熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键．
相似题4
已知命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0（其中a≠0），命题q：实数x满足
≤0．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解析
（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；
（2）求出命题p的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．
答案
解：（1）若a=1，不等式为x2-4x+3＜0，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
若
≤0，则2＜x≤3，即q：2＜x≤3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即
，解得2＜x＜3，
则实数x的取值范围是2＜x＜3；
（2）∵x2-4ax+3a2＜0，
∴（x-a）（x-3a）＜0，
若a＞0，则不等式的解为a＜x＜3a，
若a＜0，则不等式的解为3a＜x＜a，
∵q：2＜x≤3，
∴若p是q的必要不充分条件，
则a＞0，且
，
即1＜a≤2，
则实数a的取值范围是1＜a≤2．
点评
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．
相似题5
设命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
．
（1）若a=1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
（2）非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析
本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是绝对值不等式及对数不等式的解法．
答案
解：（1）∵命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0，
∴由x2-4ax+3a2＜0，得（x-3a）（x-a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a=1时，1＜x＜3，
∴即p为真命题时，实数x的取值范围：1＜x＜3．
又∵命题q：实数x满足
．
由
解得即
∴所以q为真时，实数x的取值范围：2＜x≤3．
∵若p且q为真，
∴p真q真，则
⇔2＜x＜3
∴实数x的取值范围是（2，3）
（2）∵不妨设A={x|x≤a，或x≥3a}，B={x|x≤2，或x＞3}
∵非p是非q的充分不必要条件，
∴A⊊B．
∴0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．
点评
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
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已知全集U=R，非空集合
，
．
（Ⅰ）当
时，求（CuB）∩A；
（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解析
（Ⅰ）通过
，求出集合B，求出集合A，然后求出集合B的补集，即可求（CuB）∩A；
（Ⅱ）利用q是p的必要条件，说明A⊆B，列出a的关系式，然后求实数a的取值范围．
答案
解：（Ⅰ）A={x|2＜x＜3}，
当
时，，
，
∁UB=
，
∴（∁UB）∩A=
．
（Ⅱ）由若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．
由a2+2＞a，B={x|a＜x＜a2+2}
∴
，解得a≤-1或1≤a≤2．
点评
本题考查集合的基本运算，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力．
相似题2
已知函数
的一系列对应值如下表：
x
y-1131-113
（1）根据表格提供的数据求函数y=f（x）的解析式；
（2）（文）当x∈[0，2π]时，求方程f（x）=2B的解．
（3）（理）若对任意的实数a，函数y=f（kx）（k＞0），
的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，又当
时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解析
（1）由已知中表格中提供的数据，我们可以判断出函数的最值及周期，进而A，B与最值的关系，ω与周期的关系，确定出A，B，ω的值，代入最大值点的坐标后，即可求出φ的值，进而得到函数的解析式．
（2）由（1）中所得的B值，我们可以构造出一个三角方程，根据正弦函数的性质及已知中x∈[0，2π]，可求出对应的x值，得到答案．
（3）若函数y=f（kx）（k＞0），
的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，则函数的周期为
，又由当
时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，我们可以构造出一个关于m的不等式，解不等式即可得到实数m的取值范围．
答案
解：（1）依题意，
，∴ω=1
又
，解得
，解得
∴
为所求．
（2）文：由f（x）=2B，得
∵x∈[0，2π]，∴
∴
或
，即
为所求．
（3）理：由已知条件可知，函数
的周期为
，
又k＞0，∴k=3
令
，∵
，
∴
而sint在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
如图∴sint=s在
上有两个不同的解的充要条件是
，
∴方程f（x）=m恰有两个不同的解的充要条件是
．
（注：单调区间写成
、
也行；直接数形结合得到正确结果，也可）
点评
本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，三角方程的解法，正弦函数的图象和性质，其中（1）的关键是熟练掌握正弦型函数解析式中参数与函数性质的关系，（2）的关键是熟练掌握正弦型函数的性质，（3）的关键是将已知，结合正弦函数的性质，转化为一个关于m的不等式．
相似题3
关于函数f（x）=cos（2x-
）+cos（2x+
），有下列命题：
①y=f（x）的最大值为
；
②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y=f（x）在区间（
，
）上单调递减；
④将函数y=
cos2x的图象向左平移
个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
解析
利用两角和差的正余弦公式可把f（x）化为
，进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．
答案
解：函数f（x）=cos（2x-
）+cos（2x+
）=
=
=
=
．
∴函数f（x）的最大值为
，因此①正确；
周期T=
，因此②正确；
当
时，
，因此y=f（x）在区间（
，
）上单调递减，因此③正确；
将函数y=
cos2x的图象向左平移
个单位后，得到y=
=
=
=
，因此④不正确．
综上可知：①②③．
故答案为①②③．
点评
熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键．
相似题4
已知命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0（其中a≠0），命题q：实数x满足
≤0．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解析
（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；
（2）求出命题p的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．
答案
解：（1）若a=1，不等式为x2-4x+3＜0，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
若
≤0，则2＜x≤3，即q：2＜x≤3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即
，解得2＜x＜3，
则实数x的取值范围是2＜x＜3；
（2）∵x2-4ax+3a2＜0，
∴（x-a）（x-3a）＜0，
若a＞0，则不等式的解为a＜x＜3a，
若a＜0，则不等式的解为3a＜x＜a，
∵q：2＜x≤3，
∴若p是q的必要不充分条件，
则a＞0，且
，
即1＜a≤2，
则实数a的取值范围是1＜a≤2．
点评
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．
相似题5
设命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
．
（1）若a=1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
（2）非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析
本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是绝对值不等式及对数不等式的解法．
答案
解：（1）∵命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0，
∴由x2-4ax+3a2＜0，得（x-3a）（x-a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a=1时，1＜x＜3，
∴即p为真命题时，实数x的取值范围：1＜x＜3．
又∵命题q：实数x满足
．
由
解得即
∴所以q为真时，实数x的取值范围：2＜x≤3．
∵若p且q为真，
∴p真q真，则
⇔2＜x＜3
∴实数x的取值范围是（2，3）
（2）∵不妨设A={x|x≤a，或x≥3a}，B={x|x≤2，或x＞3}
∵非p是非q的充分不必要条件，
∴A⊊B．
∴0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．
点评
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．