臧老师辅导课堂之 整体数学思想专项训练
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
一、整体运算：整体运算是着眼结构的整体性，根据问题的条件进行运算（如整体配方），达到简化解题思
路，确定解题的突破口或者总体思路。
1、（2013年四川凉山4分）化简： 1-
⎛
⎝1⎫
⎪(m+1) 的结果为 。 m +1⎭
C ．2
D ．3
⎧2x +y =4
2、（2013年四川凉山4分）已知方程组⎨，则x +y 的值为【 】A ．-1 B ．0
x +2y =5⎩
3、（2013年广西南宁3分）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第 一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为【 】
A 、19 B 、18 C 、16 D 、15 （4题图）
4、（2013年四川乐山3分）如图，在四边形ABCD 中，∠A=450，直线l 与边AB 、AD 分别相交于点M 、N 。
则∠1 ＋∠2 = 。
二、整体代换：整体代换是根据问题的条件，选择一个或几个元素（代数式等），将它们看成一个整体，进行等量代
换，达到减少计算量的目的。
1、 （2013年山东烟台3分）已知实数a ，b 分别满足a 2-6a +4=0，b 2-6b +4=0，且a≠b，则
A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－11
2、（2013年四川攀枝花4分）设x 1，x 2是方程2x ﹣3x ﹣3=0的两个实数根，则
2
2
b a
+的值是【 】
a b
x 1x 2
+的值为． x 2x 1
3、（2013年黑龙江牡丹江农垦3分）若关于x 的一元二次方程为ax +bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a ﹣b 的值
是【 】 A ．2018 B ．2008 C ．2014 D ．2012
4、（2013年湖北潜江、仙桃、天门、江汉油田3分）已知α，β是一元二次方程x ﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α+αβ+β
的值为【 】 A ．﹣1 B ．9 C ．23 D ．27
2
2
2
5、（2013年云南德宏3分）设a 、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是【 】 A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．3
6、（2013年福建福州4分）已知实数a 、b 满足：a +b =2，a -b =5，则(a +b )⋅(a -b )的值是。 7、（2013年福建福州）个不等实数m 、n 满足条件：m ﹣2m ﹣1=0，n ﹣2n ﹣1=0，则m +n的值是 ． 8、（13年贵州黔西南3分）已知x=1是一元二次方程x +ax+b=0的一个根，则代数式a +b+2ab的值是 9、（13年山东威海）若m -n =-1，则(m -n )-2m +2n 的值是【 】A. 3 B. 2 C. 1 D. ―1
10、13年江苏南通3分）已知x =2m +n +2和x =m +2n 时，多项式x 2+4x +6的值相等，且m -n +2≠0，则当
2
3
3
2222
222
x =3(m +n +1)时，多项式x 2+4x +6的值等于
11、 (13年湖南郴州3分）已知a+b=4，a ﹣b=3，则a ﹣b =． 12、（13年江苏泰州3分）若m=2n+1，则m ﹣4mn+4n的值是 13、13年江苏盐城3分）若x 2-2x =3，则代数式2x 2-4x -3的值为14、（13年山东日照4分）已知m 2-m =6，则1-2m 2+2m =. 15、（2013年山东枣庄4分）若a 2-b 2=，a -b =
2
22
2
1
61
，则a -b 的值为 3
16、（2013年四川内江5分）若m 2－n 2=6，且m －n=2，则m ＋n=． 17、（13年四川内江6分）在△ABC 中，已知∠C=90°，sinA +sinB =
7
，则sinA -sinB = 5
2⎛⎫
18、（2013年山东菏泽7分）已知m 是方程x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式m 2-m m -+1⎪的值．
m ⎭⎝
()
19、（2013年山东淄博8分）关于x 的一元二次方程(a -6)x 2-8x +9=0有实根． （1）求a 的最大整数值；
（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x 2-
32x -7
的值．
x 2-8x +11
⎛11⎫2x -y 2
20、（2013年四川乐山9分）化简并求值： ，其中x 、y 满足+x -2+2x -y -3=0 ()⎪÷22
⎝x -y x +y ⎭x -y
21、（2013年湖北宜昌8分）[背景资料]
一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（如图），采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a 元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时． [问题解决]
（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？
（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a 的值；
（3）在（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有
21
的人自带彩棉机采摘，的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付33
给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？
三、整体设元：整体设元是用新的参数去代替已知式或已知式中的某一部分，达到化繁为简、化难为易的目的。 1、（2013年江苏南京2分）计算 1----⎪++++⎪- 1-----⎪+++⎪ 结
⎝2345⎭⎝23456⎭⎝23456⎭⎝2345⎭果是 。
2、（2013年甘肃天水4分）观察下列运算过程：S=1+3+3+3+…+3②， ②﹣①得2S=3
2014
2
3
2012
⎛1111⎫⎛11111⎫⎛11111⎫⎛1111⎫
+3
2013
①， ①×3得3S=3+3+3+…+3
232013
+3
2014
32014-1232013
﹣1，S=．运用上面计算方法计算：1+5+5+5+…+5=
2
2
3
4
2013
3、（2013年湖南张家界8分）阅读材料：求1+2+2+2+2+…+2解：设S=1+2+2+2+2+…+2 2S=2+2+2+2+2+…+2
2
3
4
52
3
4
2012
的值．
+2
2013
，将等式两边同时乘以2得：
2013
+2
2014
将下式减去上式得2S ﹣S=2 即S=2
20142
2014
﹣1
﹣1
3
4
2013
即1+2+2+2+2+…+2请你仿照此法计算：
=2
2014
﹣1
（1）1+2+2+2+2+…+2
（2）1+3+3+3+3+…+3（其中n 为正整数）．
2
3
4
n
23410
四、整体变形、补形：整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，达到简化问
题或减少运算量的目的。整体补形是根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，建立题设条件与特殊的图形之间的关系，突出问题本质，找到较简洁的解题方法。
1、（2013年新疆乌鲁木齐4分）如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为
2、（2013年辽宁沈阳12分）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD =S△BCD ． 应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF，AF 与BE 交于点O ． （1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；
（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积．
探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的的面积．
1
，请直接写出△ABC 4
3、（2013年四川乐山12分）阅读下列材料：
如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 、N 分别在边AB 、BC 上，且MN ∥AD ，记AD=a，BC=b，若则有结论：MN =
A M m
=，M B n
bm +an
。
m +n
请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，3，BE 、CF 是△ABC 的两条角平分线，过EF 上一点P 分别作△ABC 三边的垂线段PP 1、PP 2、PP 3，交BC 于点P 1，交AB 于点P 2，交AC 于点P 3。
（1）若点P 为线段EF 的中点，求证：PP 1=PP2＋PP 3；
（2）若点P 在线段．．EF 上任意位置时，试探究PP 1、PP 2、PP 3的数量关系，给出证明。
4、（ 2013年广西钦州3分）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A 地到B 地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E 为AB 的中点，AH ＞HB ，判断三人行进路线长度的大小关系为【 】
A ．甲＜乙＜丙 B ．乙＜丙＜甲 C ．丙＜乙＜甲 D ．甲=乙=丙
5、（2013年山东烟台10分）已知，点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（不与A ，B 重合），分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．
（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，的数量关系式 ； （2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
6、（2013年山东菏泽3分）如图，▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=450，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为 ．
7、（2013年吉林长春9分）探究：如图①，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE ⊥CD 于点E ．若AE=10，求四边形ABCD 的面积．
应用：如图②，在四边形ABCD 中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE ⊥BC 于点E ．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD 的面积为 ．
臧老师辅导课堂之 整体数学思想专项训练
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
一、整体运算：整体运算是着眼结构的整体性，根据问题的条件进行运算（如整体配方），达到简化解题思
路，确定解题的突破口或者总体思路。
1、（2013年四川凉山4分）化简： 1-
⎛
⎝1⎫
⎪(m+1) 的结果为 。 m +1⎭
C ．2
D ．3
⎧2x +y =4
2、（2013年四川凉山4分）已知方程组⎨，则x +y 的值为【 】A ．-1 B ．0
x +2y =5⎩
3、（2013年广西南宁3分）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第 一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为【 】
A 、19 B 、18 C 、16 D 、15 （4题图）
4、（2013年四川乐山3分）如图，在四边形ABCD 中，∠A=450，直线l 与边AB 、AD 分别相交于点M 、N 。
则∠1 ＋∠2 = 。
二、整体代换：整体代换是根据问题的条件，选择一个或几个元素（代数式等），将它们看成一个整体，进行等量代
换，达到减少计算量的目的。
1、 （2013年山东烟台3分）已知实数a ，b 分别满足a 2-6a +4=0，b 2-6b +4=0，且a≠b，则
A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－11
2、（2013年四川攀枝花4分）设x 1，x 2是方程2x ﹣3x ﹣3=0的两个实数根，则
2
2
b a
+的值是【 】
a b
x 1x 2
+的值为． x 2x 1
3、（2013年黑龙江牡丹江农垦3分）若关于x 的一元二次方程为ax +bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a ﹣b 的值
是【 】 A ．2018 B ．2008 C ．2014 D ．2012
4、（2013年湖北潜江、仙桃、天门、江汉油田3分）已知α，β是一元二次方程x ﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α+αβ+β
的值为【 】 A ．﹣1 B ．9 C ．23 D ．27
2
2
2
5、（2013年云南德宏3分）设a 、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是【 】 A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．3
6、（2013年福建福州4分）已知实数a 、b 满足：a +b =2，a -b =5，则(a +b )⋅(a -b )的值是。 7、（2013年福建福州）个不等实数m 、n 满足条件：m ﹣2m ﹣1=0，n ﹣2n ﹣1=0，则m +n的值是 ． 8、（13年贵州黔西南3分）已知x=1是一元二次方程x +ax+b=0的一个根，则代数式a +b+2ab的值是 9、（13年山东威海）若m -n =-1，则(m -n )-2m +2n 的值是【 】A. 3 B. 2 C. 1 D. ―1
10、13年江苏南通3分）已知x =2m +n +2和x =m +2n 时，多项式x 2+4x +6的值相等，且m -n +2≠0，则当
2
3
3
2222
222
x =3(m +n +1)时，多项式x 2+4x +6的值等于
11、 (13年湖南郴州3分）已知a+b=4，a ﹣b=3，则a ﹣b =． 12、（13年江苏泰州3分）若m=2n+1，则m ﹣4mn+4n的值是 13、13年江苏盐城3分）若x 2-2x =3，则代数式2x 2-4x -3的值为14、（13年山东日照4分）已知m 2-m =6，则1-2m 2+2m =. 15、（2013年山东枣庄4分）若a 2-b 2=，a -b =
2
22
2
1
61
，则a -b 的值为 3
16、（2013年四川内江5分）若m 2－n 2=6，且m －n=2，则m ＋n=． 17、（13年四川内江6分）在△ABC 中，已知∠C=90°，sinA +sinB =
7
，则sinA -sinB = 5
2⎛⎫
18、（2013年山东菏泽7分）已知m 是方程x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式m 2-m m -+1⎪的值．
m ⎭⎝
()
19、（2013年山东淄博8分）关于x 的一元二次方程(a -6)x 2-8x +9=0有实根． （1）求a 的最大整数值；
（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x 2-
32x -7
的值．
x 2-8x +11
⎛11⎫2x -y 2
20、（2013年四川乐山9分）化简并求值： ，其中x 、y 满足+x -2+2x -y -3=0 ()⎪÷22
⎝x -y x +y ⎭x -y
21、（2013年湖北宜昌8分）[背景资料]
一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（如图），采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a 元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时． [问题解决]
（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？
（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a 的值；
（3）在（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有
21
的人自带彩棉机采摘，的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付33
给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？
三、整体设元：整体设元是用新的参数去代替已知式或已知式中的某一部分，达到化繁为简、化难为易的目的。 1、（2013年江苏南京2分）计算 1----⎪++++⎪- 1-----⎪+++⎪ 结
⎝2345⎭⎝23456⎭⎝23456⎭⎝2345⎭果是 。
2、（2013年甘肃天水4分）观察下列运算过程：S=1+3+3+3+…+3②， ②﹣①得2S=3
2014
2
3
2012
⎛1111⎫⎛11111⎫⎛11111⎫⎛1111⎫
+3
2013
①， ①×3得3S=3+3+3+…+3
232013
+3
2014
32014-1232013
﹣1，S=．运用上面计算方法计算：1+5+5+5+…+5=
2
2
3
4
2013
3、（2013年湖南张家界8分）阅读材料：求1+2+2+2+2+…+2解：设S=1+2+2+2+2+…+2 2S=2+2+2+2+2+…+2
2
3
4
52
3
4
2012
的值．
+2
2013
，将等式两边同时乘以2得：
2013
+2
2014
将下式减去上式得2S ﹣S=2 即S=2
20142
2014
﹣1
﹣1
3
4
2013
即1+2+2+2+2+…+2请你仿照此法计算：
=2
2014
﹣1
（1）1+2+2+2+2+…+2
（2）1+3+3+3+3+…+3（其中n 为正整数）．
2
3
4
n
23410
四、整体变形、补形：整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，达到简化问
题或减少运算量的目的。整体补形是根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，建立题设条件与特殊的图形之间的关系，突出问题本质，找到较简洁的解题方法。
1、（2013年新疆乌鲁木齐4分）如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为
2、（2013年辽宁沈阳12分）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD =S△BCD ． 应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF，AF 与BE 交于点O ． （1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；
（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积．
探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的的面积．
1
，请直接写出△ABC 4
3、（2013年四川乐山12分）阅读下列材料：
如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 、N 分别在边AB 、BC 上，且MN ∥AD ，记AD=a，BC=b，若则有结论：MN =
A M m
=，M B n
bm +an
。
m +n
请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，3，BE 、CF 是△ABC 的两条角平分线，过EF 上一点P 分别作△ABC 三边的垂线段PP 1、PP 2、PP 3，交BC 于点P 1，交AB 于点P 2，交AC 于点P 3。
（1）若点P 为线段EF 的中点，求证：PP 1=PP2＋PP 3；
（2）若点P 在线段．．EF 上任意位置时，试探究PP 1、PP 2、PP 3的数量关系，给出证明。
4、（ 2013年广西钦州3分）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A 地到B 地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E 为AB 的中点，AH ＞HB ，判断三人行进路线长度的大小关系为【 】
A ．甲＜乙＜丙 B ．乙＜丙＜甲 C ．丙＜乙＜甲 D ．甲=乙=丙
5、（2013年山东烟台10分）已知，点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（不与A ，B 重合），分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．
（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，的数量关系式 ； （2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
6、（2013年山东菏泽3分）如图，▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=450，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为 ．
7、（2013年吉林长春9分）探究：如图①，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE ⊥CD 于点E ．若AE=10，求四边形ABCD 的面积．
应用：如图②，在四边形ABCD 中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE ⊥BC 于点E ．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD 的面积为 ．