年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”„„等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
盈亏问题
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于
分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的
差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）； 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平 年：一年有365天。
① 份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
② 出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②
抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于
2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n 个物体放在m 个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有: ①k=[n/m ]+1个物体：当n 不能被m 整除时。
②k=n/m个物体：当n 能被m 整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X 的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。 基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a 1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n 表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d 表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用a n 表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn 表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a 1 ,a n , d, n, s n ,, 通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。 基本公式：通项公式：a n = a1+（n －1）d ；
通项＝首项＋（项数一1) ×公差；
数列和公式：s n ,= (a1+ an ) ×n ÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (an + a1) ÷d ＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（a n －a 1）； ）÷（n －1）
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的
22表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×10+3×10+4。
n-1n-2n-3n-4n-5n-721=An ×10+An-1×10+An-2×10+An-3×10+An-4×10+An-6×10+„„+A3×10+A2×10+A1
0 ×10
0１注意：N =１；N =N（其中N 是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
n-1n-2n-3n-4n-5n-7 +An-1×2+An-2×2+An-3×2+An-4×2+An-6×2（2）= An ×2
210 +„„+A3×2+A2×2+A1×2
注意：An 不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n 次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n 类方法，在第一类方法中有m 1种不同方法，在第二类方
法中有m 2种不同方法„„，在第n 类方法中有m n 种不同方法，那么完成这件任
务共有：m 1+ m2....... +mn 种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行，做第1步有m 1种方法，不管第1步
用哪一种方法，第2步总有m 2种方法„„不管前面n-1步用哪种方法，第n 步
总有m n 种方法，那么完成这件任务共有：m 1×m 2....... ×m n 种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+„+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+„+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+„+行数×列数
质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中a 1、a 2、a 3„„a n 都是合数N 的质因数，且a 1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)ׄ„×(rn +1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
约数与倍数
约数和倍数：若整数a 能够被b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最
大公约数。
最大公约数的性质：
1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘
以m 。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最
小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48„„；
18的倍数有：18、36、54、72„„；
那么12和18的公倍数有：36、72、108„„；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a ，除以一个自然数b ，得到一个整数商c ，而且没有余数，那么叫
做a 能被b 整除或b 能整除a ，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a 、b 能被c 整除，那么（a+b）与（a-b ）也能被c 整除。
2. 如果a 能被b 整除，c 是整数，那么a 乘以c 也能被b 整除。
3. 如果a 能被b 整除，b 又能被c 整除，那么a 也能被c 整除。
4. 如果a 能被b 、c 整除，那么a 也能被b 和c 的最小公倍数整除。
余数及其应用
基本概念：对任意自然数a 、b 、q 、r ，如果使得a ÷b=q„„r ，且0
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a 、b 除以c 的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a 与b 的和除以c 的余数等于a 除以c 的余数加上b 除以c 的余数的和除以c 的余数。 ④a 与b 的积除以c 的余数等于a 除以c 的余数与b 除以c 的余数的积除以c 的余数。
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a 、b 除以m 的余数相同，则称a 、b 对于模m 同余。
②已知三个整数a 、b 、m ，如果m|a-b，就称a 、b 对于模m 同余，记作a ≡b(mod m)，读作a 同余于b 模m 。
二、同余的性质：
①自身性：a ≡a(mod m)；
②对称性：若a ≡b(mod m)，则b ≡a(mod m)；
③传递性：若a ≡b(mod m)，b ≡c(mod m)，则a ≡ c(mod m)；
④和差性：若a ≡b(mod m)，c ≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c ≡b-d(mod m)； ⑤相乘性：若a ≡ b(mod m) ，c ≡d(mod m)，则a ×c ≡ b×d(mod m)；
n n ⑥乘方性：若a ≡b(mod m)，则a ≡b (mod m)；
⑦同倍性:若a ≡ b(mod m)，整数c ，则a ×c ≡ b×c(mod m×c) ；
三、关于乘方的预备知识：
A a ×b a b ①若A=a×b ，则M =M=（M ）
B c+dc d ②若B=c+d则M =M=M×M
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M ，n 表示M 的各个数位上数字的和，则M ≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M ，X 表示M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示M 的各个偶数数位上数字的
和，则M ≡Y-X 或M ≡11-（X-Y ）(mod 11)；
p-1五、费尔马小定理：如果p 是质数（素数），a 是自然数，且a 不能被p 整除，则a ≡1(mod p) 。
分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A 、分量发生变化，总量不变。B 、总量发生变化，但其中有的分量不变。C 、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。 ⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。 ②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。 ③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。 ⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”„„等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
盈亏问题
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于
分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的
差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）； 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平 年：一年有365天。
① 份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
② 出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②
抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于
2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n 个物体放在m 个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有: ①k=[n/m ]+1个物体：当n 不能被m 整除时。
②k=n/m个物体：当n 能被m 整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X 的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。 基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a 1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n 表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d 表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用a n 表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn 表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a 1 ,a n , d, n, s n ,, 通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。 基本公式：通项公式：a n = a1+（n －1）d ；
通项＝首项＋（项数一1) ×公差；
数列和公式：s n ,= (a1+ an ) ×n ÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (an + a1) ÷d ＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（a n －a 1）； ）÷（n －1）
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的
22表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×10+3×10+4。
n-1n-2n-3n-4n-5n-721=An ×10+An-1×10+An-2×10+An-3×10+An-4×10+An-6×10+„„+A3×10+A2×10+A1
0 ×10
0１注意：N =１；N =N（其中N 是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
n-1n-2n-3n-4n-5n-7 +An-1×2+An-2×2+An-3×2+An-4×2+An-6×2（2）= An ×2
210 +„„+A3×2+A2×2+A1×2
注意：An 不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n 次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n 类方法，在第一类方法中有m 1种不同方法，在第二类方
法中有m 2种不同方法„„，在第n 类方法中有m n 种不同方法，那么完成这件任
务共有：m 1+ m2....... +mn 种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行，做第1步有m 1种方法，不管第1步
用哪一种方法，第2步总有m 2种方法„„不管前面n-1步用哪种方法，第n 步
总有m n 种方法，那么完成这件任务共有：m 1×m 2....... ×m n 种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+„+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+„+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+„+行数×列数
质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中a 1、a 2、a 3„„a n 都是合数N 的质因数，且a 1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)ׄ„×(rn +1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
约数与倍数
约数和倍数：若整数a 能够被b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最
大公约数。
最大公约数的性质：
1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘
以m 。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最
小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48„„；
18的倍数有：18、36、54、72„„；
那么12和18的公倍数有：36、72、108„„；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a ，除以一个自然数b ，得到一个整数商c ，而且没有余数，那么叫
做a 能被b 整除或b 能整除a ，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a 、b 能被c 整除，那么（a+b）与（a-b ）也能被c 整除。
2. 如果a 能被b 整除，c 是整数，那么a 乘以c 也能被b 整除。
3. 如果a 能被b 整除，b 又能被c 整除，那么a 也能被c 整除。
4. 如果a 能被b 、c 整除，那么a 也能被b 和c 的最小公倍数整除。
余数及其应用
基本概念：对任意自然数a 、b 、q 、r ，如果使得a ÷b=q„„r ，且0
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a 、b 除以c 的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a 与b 的和除以c 的余数等于a 除以c 的余数加上b 除以c 的余数的和除以c 的余数。 ④a 与b 的积除以c 的余数等于a 除以c 的余数与b 除以c 的余数的积除以c 的余数。
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a 、b 除以m 的余数相同，则称a 、b 对于模m 同余。
②已知三个整数a 、b 、m ，如果m|a-b，就称a 、b 对于模m 同余，记作a ≡b(mod m)，读作a 同余于b 模m 。
二、同余的性质：
①自身性：a ≡a(mod m)；
②对称性：若a ≡b(mod m)，则b ≡a(mod m)；
③传递性：若a ≡b(mod m)，b ≡c(mod m)，则a ≡ c(mod m)；
④和差性：若a ≡b(mod m)，c ≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c ≡b-d(mod m)； ⑤相乘性：若a ≡ b(mod m) ，c ≡d(mod m)，则a ×c ≡ b×d(mod m)；
n n ⑥乘方性：若a ≡b(mod m)，则a ≡b (mod m)；
⑦同倍性:若a ≡ b(mod m)，整数c ，则a ×c ≡ b×c(mod m×c) ；
三、关于乘方的预备知识：
A a ×b a b ①若A=a×b ，则M =M=（M ）
B c+dc d ②若B=c+d则M =M=M×M
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M ，n 表示M 的各个数位上数字的和，则M ≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M ，X 表示M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示M 的各个偶数数位上数字的
和，则M ≡Y-X 或M ≡11-（X-Y ）(mod 11)；
p-1五、费尔马小定理：如果p 是质数（素数），a 是自然数，且a 不能被p 整除，则a ≡1(mod p) 。
分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A 、分量发生变化，总量不变。B 、总量发生变化，但其中有的分量不变。C 、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。 ⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。 ②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。 ③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。 ⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。