恒力做功和变力做功的计算
1．如图，两个与水平面夹角相同的力F 1和F 2作用在质量相等的物体上，使物体在水平面内做匀速直线运动。甲图中F 1为拉力，乙图中F 2为推力，当两物体经相同位移时，F 1和F 2对物体做功分别为W 1和W 2，若两物体与水平面的动摩擦因数相同，则
A ．W 1>W2 B ．W 1=W2 C ．W 1
A. W1=W2=W3 B.W 1
3. （双选） 一质量为 m的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点。小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图2-7-3所示，则拉力F 所做的功为
A. mg l cos θ B. mg l (1－cos θ) C. F l cos θ D. F l sinθ
2-7-3
4．如图甲，质量为m 的物块与倾角为 的斜面相对静止，当斜面沿水平面向左匀速运动位移s 时，求物体所受重力、支持力、摩擦力做的功。
图甲
图乙
5. 人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量为m 的物体。如图所示，已知人拉绳子从A 到B 的过程中，物体由静止被提升了高度为h ，且人在B 处时，物体的速度为v ，求人在整个过程中拉力做的功的大小是多少？（忽略人的高度）
6. 如图，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的滑块，距挡板P 为s 0，以速度v 0沿斜面上滑，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力，若滑块每次与挡板相碰均无能量损失，求滑块在斜面上经过的总路程是多少？
7. 如图，斜面高H ，倾角为θ，滑块质量为m ，与斜面的动摩擦因数为μ，计算滑块由上端滑到底端过程中外力对物体做的总功。
机车的两种启动问题 （机车存在一个额定功率）
机车的功率P =F ·υ，式中F 为机车的牵引力，并非机车受的合外力.
1．机车以恒定的功率启动时，若运动过程中所受阻力f 不变，由于牵引力为F =
P
υ
，根据牛顿第二定律可得F-f=ma，可见机车在
启动过程中随着速度的增大，加速度变小，当其加速度a =0时，机车的速度达到最大为υm
=P f
，以后机车将做匀速直线运动，其υ-t 图
像如图5-1-2所示.
2．以恒定加速度a 启动
机车以恒定加速度动后，开始牵引力不变，机车做匀加速直线运动；当其速度增加一定值υ时，其功率达到最大值P ，此时有
P υ
-f=ma
，以后其速度继续增加，由于机车的牵引力减小，从
而加速度也减小，直至a =0时，机车速度υ达到最大值υm ，以后将以υm
1．汽车的质量为2000kg ，汽车发动机的额定功率为8KW ，它在平直的公路上行驶时所受的阻力是4000N ，试求：
（1）汽车保持额定功率从静止起动后达到的最大速度是多少？
2
（2）若汽车以2m/s的加速度做匀加速直线运动，可维持多长时间？
（3）若汽车达到最大速度后，突然阻力变为原来的两倍，将做什么运动？
2．汽车发动机的功率为60kW ，若其总质量为5t ，在水平路面上行驶时，所受阻力恒定
为5. 0⨯10N ，试求：
（1）汽车所能达到的最大速度
（2）若汽车以0.5m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，这一过程能维持多长时间。
3．质量m = 1t 的小汽车，以额定功率行驶在平直公路上的最大速度是v m 1 = 12m/s
，开上
3
=
P f
做匀速直线运动. 其υ-t 图像如图5-1-3所示.
每前进20m 升高1m 的山坡时最大速度是v m 2 = 8m/s。如果这两种情况中车所受的摩擦力相等，求： （1）摩擦阻力
（2）汽车发动机的功率
（3）车沿原山坡下行时的最大速度v m 3。（g 取10m/s2）
4. 一列火车总质量为M=500t（t 是吨），机车发动机的额定功率为P =6⨯105W ，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力f 为车重的0.01倍，g=10m/s2。求： （1）火车在水平轨道上行驶的最大速率；
（2）在水平轨道上，发动机以额定动率P 工作，当行驶速度为v 1=1m /s 和 v 2=10m /s 时，列车的瞬时加速度各是多少？
（3）在水平轨道上以速度v =10m /s 匀速行驶时，发动机的实际功率是多少？
（4）若火车从静止开始，保持0.5m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间。
16. (12分) 汽车发动机的功率为60 kW,汽车的质量为4 t,当它行驶在坡度为0.02（sina=0.02）的长直公路上时, 如图, 所受阻力为车重的0.1倍(g＝10 m/s2), 求： (1)汽车所能达到的最大速度V m =？
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动, 则此过程能维持多长时间？
(3)当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时, 汽车做功多少？ (4)在10 s末汽车的即时功率为多大？
功和功率练习
1. 如图所示四种情况下，物体都是在大小相同的力F 作用下，沿水平移动相同的距离，则力F 对物体做的功说法不正确的是（其中α
(1)μ=0 (2)μ≠0 (3)μ=0 (4)μ≠0
A. W 1>W 2 B. W 1=W 4 C. W 1>W 4 D. W 2>W 3
2. 汽车的额定功率为90 kw ，路面的阻力为f , 汽车行驶的最大速度为v , 则 A. 如果阻力为2f, 汽车最大速度为v /2
B. 如果汽车的牵引力为原来的二倍, 汽车的最大速度为2v
C. 如果汽车的牵引力变为原来的1/2,汽车的额定功率就变为45 KW D. 如果汽车做匀速运动, 汽车发动机的输出功率大于90 KW
3．一物体在粗糙的水平面上受到水平拉力的作用，在一段时间内的速度随时间变化情况如图所示。g=10m/s。则拉力的功率随时间的变化图像可能是
2
4. 汽车在平直公路上以速度v 0匀速行驶，发动机功率为P ，牵引力为F 0, t 1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t 2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动，能正确表示这一过程中汽车牵引力F 和速度v 随时间t 变化的图象是
5．如图所示，两个完全相同的小球A 、B ，在同一高度处以相同大小的初速度v 0分别水平抛
出和竖直向上抛出，下列说法正确的是 A ．两小球落地时的速度相同
B ．两小球落地时，重力的瞬时功率相同 C ．从开始运动至落地，重力对两小球做功相同
第1题图
6． (08浙江温州十校联考) 物体放在水平地面上，在水平拉力的作用下，沿水平方向运动，在0~6 s 内其速度与时间关系的图象和拉力的功率与时间关系的图象如下图所示，由图象可以求得物体的质量为（取g =10 m/s） A. C.
7．质量为2千克的物体，放在摩擦系数
μ=0.1的水平面上，在水平拉力F 的作用下，由静止开始运动，拉力做的功W 和物体发生的位移S 之间的关系如图所示。（取g=10m/s2） (1)此物体在OA 段和AB 段分别做什么运动？ (2)拉力的最大功率为多少瓦？
D ．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
5335
kg kg
B. D.
109910
kg kg
5
10
S(m)
8．（填空）如图为一质量为2000kg 的汽车从静止开始运动的速度时间图像，图像中0A 段为直线，根据图线求：
（1） 汽车在匀加速的阶段的牵引力F=__________ （2） 汽车的额定功率P=_________________
5
t /s
动能定理
应用动能定理的优越性与基本解题步骤
例1．如图所示，质量m=1kg的木块静止在高h=1.2m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数μ=0.2，用水平推力F=20N，使木块产生位移S 1=3m时撤去，木块又滑行S 2=1m时飞出平台, 求木块落地时速度的大小？（空气阻力不计，g=10m/s）
小结：应用动能定理的基本步骤：
1．确定研究对象（尤其是多体问题）和研究过程，画出物理过程分析图： 2．对研究对象的每个运动过程进行受力分析和运动情况分析； 3．确定出研究对象在研究过程中合外力的功和初末状态的动能； 4．由动能定理列出方程，求出结果；（注意：统一单位求解. ） 5．对结果进行分析和讨论.
例2. 如图，在一个固定盒子里有一个质量为m=1kg的滑块，它与盒子底面的动摩擦因数为μ=0.1，开始时滑块在盒子中央以足够大的速度v 0=5m/s向右运动，与
图 6-3-12
盒子两壁碰撞若干次后速度减小为零，若盒子长为L=2m，滑块与盒壁碰撞没有能量损失，求整个过程中物体与两壁碰撞的次数。（g=10m/s2）
例题3、如图9所示，质量为m 的物体静放在水平平台上， 系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮牵在人的手里，已知物体m 跟平台之间的动摩擦因数为μ，定滑轮到人手的竖直距离为l , 地面的人牵着绳子以速度v ,向右匀速行走，则在人从平台边缘开始向右行至绳与水平方向夹角θ为45︒处的过程中，人对物体m 所做的功为多大？
处理多物体问题
例题4. 如图所示，在光滑的水平面上有一平板小车M 正以速度v 向右运动，现在将一质量为m 的木块无初速度放在小车上，由于小车与木块之间的摩擦力作用，小车的速度将会发生变化，为了使小车保持原来的速度不变，必须及时对小车施加一个向右的水平力F ，当F 作用一段时间后，小车与木块刚好相对静止时，把它撤开，木块与小车的动摩擦因数为μ，求在上述过程中，水平恒力F 对小车所做的功。（附加：求小车与木块为系统摩擦力产生的热又是多少？）
8．物体A 和半径为r 的圆柱体B 用细绳相连接并跨过定滑轮，半径为R 的圆柱体C 穿过细 绳后搁在B 上，三个物体的质量分别为m A ＝0.8kg 、m B ＝m C ＝0.1kg 。现让他们由静止开始运动，B 下降h 1＝0.5m 后，C 被内有圆孔（半径为R`）的支架D 挡住（r ＜R`＜R ，而B 可穿过圆孔继续下降，当B 下降h 2＝0.3m 时才停下，运动的初末状态分别如图甲、乙所示。试求物体A 与水平面间的动摩擦因数。（不计滑轮的摩擦以及空气阻力，取g ＝10m/s2）
恒力做功和变力做功的计算
1．如图，两个与水平面夹角相同的力F 1和F 2作用在质量相等的物体上，使物体在水平面内做匀速直线运动。甲图中F 1为拉力，乙图中F 2为推力，当两物体经相同位移时，F 1和F 2对物体做功分别为W 1和W 2，若两物体与水平面的动摩擦因数相同，则
A ．W 1>W2 B ．W 1=W2 C ．W 1
A. W1=W2=W3 B.W 1
3. （双选） 一质量为 m的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点。小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图2-7-3所示，则拉力F 所做的功为
A. mg l cos θ B. mg l (1－cos θ) C. F l cos θ D. F l sinθ
2-7-3
4．如图甲，质量为m 的物块与倾角为 的斜面相对静止，当斜面沿水平面向左匀速运动位移s 时，求物体所受重力、支持力、摩擦力做的功。
图甲
图乙
5. 人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量为m 的物体。如图所示，已知人拉绳子从A 到B 的过程中，物体由静止被提升了高度为h ，且人在B 处时，物体的速度为v ，求人在整个过程中拉力做的功的大小是多少？（忽略人的高度）
6. 如图，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的滑块，距挡板P 为s 0，以速度v 0沿斜面上滑，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力，若滑块每次与挡板相碰均无能量损失，求滑块在斜面上经过的总路程是多少？
7. 如图，斜面高H ，倾角为θ，滑块质量为m ，与斜面的动摩擦因数为μ，计算滑块由上端滑到底端过程中外力对物体做的总功。
机车的两种启动问题 （机车存在一个额定功率）
机车的功率P =F ·υ，式中F 为机车的牵引力，并非机车受的合外力.
1．机车以恒定的功率启动时，若运动过程中所受阻力f 不变，由于牵引力为F =
P
υ
，根据牛顿第二定律可得F-f=ma，可见机车在
启动过程中随着速度的增大，加速度变小，当其加速度a =0时，机车的速度达到最大为υm
=P f
，以后机车将做匀速直线运动，其υ-t 图
像如图5-1-2所示.
2．以恒定加速度a 启动
机车以恒定加速度动后，开始牵引力不变，机车做匀加速直线运动；当其速度增加一定值υ时，其功率达到最大值P ，此时有
P υ
-f=ma
，以后其速度继续增加，由于机车的牵引力减小，从
而加速度也减小，直至a =0时，机车速度υ达到最大值υm ，以后将以υm
1．汽车的质量为2000kg ，汽车发动机的额定功率为8KW ，它在平直的公路上行驶时所受的阻力是4000N ，试求：
（1）汽车保持额定功率从静止起动后达到的最大速度是多少？
2
（2）若汽车以2m/s的加速度做匀加速直线运动，可维持多长时间？
（3）若汽车达到最大速度后，突然阻力变为原来的两倍，将做什么运动？
2．汽车发动机的功率为60kW ，若其总质量为5t ，在水平路面上行驶时，所受阻力恒定
为5. 0⨯10N ，试求：
（1）汽车所能达到的最大速度
（2）若汽车以0.5m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，这一过程能维持多长时间。
3．质量m = 1t 的小汽车，以额定功率行驶在平直公路上的最大速度是v m 1 = 12m/s
，开上
3
=
P f
做匀速直线运动. 其υ-t 图像如图5-1-3所示.
每前进20m 升高1m 的山坡时最大速度是v m 2 = 8m/s。如果这两种情况中车所受的摩擦力相等，求： （1）摩擦阻力
（2）汽车发动机的功率
（3）车沿原山坡下行时的最大速度v m 3。（g 取10m/s2）
4. 一列火车总质量为M=500t（t 是吨），机车发动机的额定功率为P =6⨯105W ，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力f 为车重的0.01倍，g=10m/s2。求： （1）火车在水平轨道上行驶的最大速率；
（2）在水平轨道上，发动机以额定动率P 工作，当行驶速度为v 1=1m /s 和 v 2=10m /s 时，列车的瞬时加速度各是多少？
（3）在水平轨道上以速度v =10m /s 匀速行驶时，发动机的实际功率是多少？
（4）若火车从静止开始，保持0.5m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间。
16. (12分) 汽车发动机的功率为60 kW,汽车的质量为4 t,当它行驶在坡度为0.02（sina=0.02）的长直公路上时, 如图, 所受阻力为车重的0.1倍(g＝10 m/s2), 求： (1)汽车所能达到的最大速度V m =？
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动, 则此过程能维持多长时间？
(3)当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时, 汽车做功多少？ (4)在10 s末汽车的即时功率为多大？
功和功率练习
1. 如图所示四种情况下，物体都是在大小相同的力F 作用下，沿水平移动相同的距离，则力F 对物体做的功说法不正确的是（其中α
(1)μ=0 (2)μ≠0 (3)μ=0 (4)μ≠0
A. W 1>W 2 B. W 1=W 4 C. W 1>W 4 D. W 2>W 3
2. 汽车的额定功率为90 kw ，路面的阻力为f , 汽车行驶的最大速度为v , 则 A. 如果阻力为2f, 汽车最大速度为v /2
B. 如果汽车的牵引力为原来的二倍, 汽车的最大速度为2v
C. 如果汽车的牵引力变为原来的1/2,汽车的额定功率就变为45 KW D. 如果汽车做匀速运动, 汽车发动机的输出功率大于90 KW
3．一物体在粗糙的水平面上受到水平拉力的作用，在一段时间内的速度随时间变化情况如图所示。g=10m/s。则拉力的功率随时间的变化图像可能是
2
4. 汽车在平直公路上以速度v 0匀速行驶，发动机功率为P ，牵引力为F 0, t 1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t 2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动，能正确表示这一过程中汽车牵引力F 和速度v 随时间t 变化的图象是
5．如图所示，两个完全相同的小球A 、B ，在同一高度处以相同大小的初速度v 0分别水平抛
出和竖直向上抛出，下列说法正确的是 A ．两小球落地时的速度相同
B ．两小球落地时，重力的瞬时功率相同 C ．从开始运动至落地，重力对两小球做功相同
第1题图
6． (08浙江温州十校联考) 物体放在水平地面上，在水平拉力的作用下，沿水平方向运动，在0~6 s 内其速度与时间关系的图象和拉力的功率与时间关系的图象如下图所示，由图象可以求得物体的质量为（取g =10 m/s） A. C.
7．质量为2千克的物体，放在摩擦系数
μ=0.1的水平面上，在水平拉力F 的作用下，由静止开始运动，拉力做的功W 和物体发生的位移S 之间的关系如图所示。（取g=10m/s2） (1)此物体在OA 段和AB 段分别做什么运动？ (2)拉力的最大功率为多少瓦？
D ．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
5335
kg kg
B. D.
109910
kg kg
5
10
S(m)
8．（填空）如图为一质量为2000kg 的汽车从静止开始运动的速度时间图像，图像中0A 段为直线，根据图线求：
（1） 汽车在匀加速的阶段的牵引力F=__________ （2） 汽车的额定功率P=_________________
5
t /s
动能定理
应用动能定理的优越性与基本解题步骤
例1．如图所示，质量m=1kg的木块静止在高h=1.2m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数μ=0.2，用水平推力F=20N，使木块产生位移S 1=3m时撤去，木块又滑行S 2=1m时飞出平台, 求木块落地时速度的大小？（空气阻力不计，g=10m/s）
小结：应用动能定理的基本步骤：
1．确定研究对象（尤其是多体问题）和研究过程，画出物理过程分析图： 2．对研究对象的每个运动过程进行受力分析和运动情况分析； 3．确定出研究对象在研究过程中合外力的功和初末状态的动能； 4．由动能定理列出方程，求出结果；（注意：统一单位求解. ） 5．对结果进行分析和讨论.
例2. 如图，在一个固定盒子里有一个质量为m=1kg的滑块，它与盒子底面的动摩擦因数为μ=0.1，开始时滑块在盒子中央以足够大的速度v 0=5m/s向右运动，与
图 6-3-12
盒子两壁碰撞若干次后速度减小为零，若盒子长为L=2m，滑块与盒壁碰撞没有能量损失，求整个过程中物体与两壁碰撞的次数。（g=10m/s2）
例题3、如图9所示，质量为m 的物体静放在水平平台上， 系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮牵在人的手里，已知物体m 跟平台之间的动摩擦因数为μ，定滑轮到人手的竖直距离为l , 地面的人牵着绳子以速度v ,向右匀速行走，则在人从平台边缘开始向右行至绳与水平方向夹角θ为45︒处的过程中，人对物体m 所做的功为多大？
处理多物体问题
例题4. 如图所示，在光滑的水平面上有一平板小车M 正以速度v 向右运动，现在将一质量为m 的木块无初速度放在小车上，由于小车与木块之间的摩擦力作用，小车的速度将会发生变化，为了使小车保持原来的速度不变，必须及时对小车施加一个向右的水平力F ，当F 作用一段时间后，小车与木块刚好相对静止时，把它撤开，木块与小车的动摩擦因数为μ，求在上述过程中，水平恒力F 对小车所做的功。（附加：求小车与木块为系统摩擦力产生的热又是多少？）
8．物体A 和半径为r 的圆柱体B 用细绳相连接并跨过定滑轮，半径为R 的圆柱体C 穿过细 绳后搁在B 上，三个物体的质量分别为m A ＝0.8kg 、m B ＝m C ＝0.1kg 。现让他们由静止开始运动，B 下降h 1＝0.5m 后，C 被内有圆孔（半径为R`）的支架D 挡住（r ＜R`＜R ，而B 可穿过圆孔继续下降，当B 下降h 2＝0.3m 时才停下，运动的初末状态分别如图甲、乙所示。试求物体A 与水平面间的动摩擦因数。（不计滑轮的摩擦以及空气阻力，取g ＝10m/s2）