三角函数
1、α的终边与
ππ
的终边关于直线y =x 对称，则α＝_____。（答：2k π+, k ∈Z ） 63
α
若α是第二象限角，则是第_____象限角（答：一、三）；
2
已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm 2）一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为_____________
2、三角函数的定义：
（1）设a
2
； 5
（2）设α是第三、四象限角，sin α=_______（答：（－1，) ）； 3. 三角函数线（1）若-
2m -3
，则m 的取值范围是4-m
32
T
B S
O M x
π
8
c o θs ) ；
（2）若α为锐角，则α,sin α, tan α的大小关系为_______ （答：sin α
（3）函数y =+2c o x s +l g 2s (i x n +3) 的定义域是_______（答：
t a n θ
(2k π-
π
3
, 2k π+
2π
](k ∈Z ) ） 3
4. 同角三角函数的基本关系式：
m -34-2m π5
(
m +5m +5212tan αsin α-3cos α2
=-1，则（2）已知＝____；sin α+sin αcos α+2＝___（答：
tan α-1sin α+cos α
513
-；）； 35
（3）已知f (cosx ) =cos 3x ，则f (sin30) 的值为______（答：－1）。
（1）已知sin θ=5. 三角函数诱导公式
9π7π+tan(-) +sin 21π的值为________（答：）； -4623+2sin(π-2) ⋅cos(π+2) 的值为________
4
（2）已知sin(540+α) =-，则co s(α-270) =______，若α为第二象限角，则
5
43[sin(180 -α) +cos(α-360 )]2
--________。（答：；） =
5100tan(180+α)
（1）cos 6 “知一求二”
t 2-1
（1）若 sin x ±cos x =t ，则sin x cos x = __（答：±) ，特别提醒：这里
2
t ∈[；
（2）若α∈(0,π),sin αcos α=-，求cos α-
sin α的值。（答：12
（3）若α∈(0,π),sin α+cos α=，求tan α的值。（答：-）；
5
7、正弦函数y =sin x (x ∈R ) 、余弦函数y =cos x (x ∈R ) 的性质：
（1）定义域值域
①已知函数f (x ) =2a sin(2x -
π
⎡π⎤
) +b 的定义域为⎢0, ⎥，值域为[-5,1]，求a 和b 3⎣2⎦
的值。
π4π
②函数y =3cos 2x -4cos x +1, x ∈(, ) 的值域为33
函数y =
2sin x +3
的值域为________________
2sin x +2
2
已知5cos
α+4cos 2β=4cos α, 则cos 2α+cos 2β的取值范围是_______________.
⎡16⎤
. ⎥⎣25⎦
答案: ⎢0,
③设-
π
6
≤x ≤
π
，求函数y =log 2(1+sin x ) +log 2(1-sin x ) 的最大值和最小值． 4
2
④是否存在实数a ，使得函数y =sin x +a cos x +
53π
a -，在闭区间［0，］上的最822
大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．
答案:a =1.5
（2）周期性： (1)若f (x ) =sin (2) 函数f (x ) =cos(
πx
3
，则f (1) +f (2) +(3f ) ++(20f 03) ＝___（答：0）；
1π
x -的最小正周期为____（答：π）； 23ππ
(3) 设函数f (x ) =2sin(x +) ，若对任意x ∈R 都有f (x 1) ≤f (x ) ≤f (x 2) 成立，则
25
|x 1-x 2|的最小值为____（答：2）
（4）奇偶性与对称性： （1）函数y =sin
⎛5π⎫
-2x ⎪的奇偶性是______（答：偶函数）； ⎝2⎭
函数y =lg(sinx 的奇偶性是______ ；答：奇函数
（2）已知函数f (x ) =ax +bsin x +1(a,b 为常数），且f (5) =7，则f (-5) =______（答：－5）；
（3）定义在R 上的函数f (x ) 既是偶函数又是周期函数，若f (x ) 的最小正周期是π，且当
3
π时，f (x ) =sin x ，则f (5π) 的值为
x ∈[0, ]
2
3
（5）单调性：
16、形如y =A sin(ωx +ϕ) 的函数：
f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0，|ϕ|
π
2
) 15π
示，则f (x ) ＝_____（答：f (x ) =2sin(x +) ）；
23
（1）函数y =2sin(2x -
π
4
) -1的图象经过怎样的变换才能得到y =sin x 的图象？（答：
y =2sin(2x -) -1向上平移1个单位得y =2sin(2x -) 的图象，再向左平移个单位
448
得y =2sin 2x 的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y =2sin x 的图象，最后将纵坐标缩小
1
到原来的即得y =sin x 的图象）；
2
x πx
(2) 要得到函数y =cos(-) 的图象，只需把函数y =sin 的图象向___平移____个单
242
位（答：）；要将函数y =sin 2x 的图象向右平移m 个单位，得到的图象恰好关于x =对称，则m 的最小值是
（3）若函数f (x )=2sin x +sin x x ∈[0, 2π]的图象与直线y =k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是
（答：(0,1)）
πππ
π2
π
6
5π 12
()
（4）设ω>0，函数f(x)=2sinωx 在[- 答案：0
ππ
, ]上为增函数，那么ω的取值范围是_____ 34
3 2
317317
21042104
（5）研究函数y =A sin(ωx +ϕ) 性质的方法：
5π
π,k π+](k ∈Z ) ）；
31212
33πx π
](k ∈Z ) ）（2）y =log 1cos(+) 的递减区间是_______（答：[6k π-π, 6k π+；
44342
ππ2π
（3）设函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A ≠0, ω>0, -
（1）函数y =sin(-2x +
π
) 的递减区间是______（答：[k π-
的周期是π，则
223
A 、f (x ) 的图象过点(0, ) B 、f (x ) 在区间[
1
25π2π
, ]上是减函数 123
C 、f (x ) 的图象的一个对称中心是(5π, 0) D 、f (x ) 的最大值是A （答：C ）；
12
（4）对于函数f (x )=2sin 2x +
⎪给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象3⎭
ππ
关于直线x =成轴对称；③图象可由函数y =2sin 2x 的图像向左平移个单位得到；④
123π
图像向左平移个单位，即得到函数y =2cos 2x 的图像。其中正确结论是_______（答：
12
②④）；（5）已知函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ) 图象与直线y =1的交点中，距离最近两点间
⎛
⎝
π⎫
的距离为π
3
，那么此函数的周期是_______（答：π）
y =sin 2x , y =sin x 的周期都是π, y =sin x +cos x 的周期为π
2
，y =|2s i x -n π1π
63+2=) y |, -6
+2s ，i y n =|(tan 3x |的周期不变；)
而
三角函数
1、α的终边与
ππ
的终边关于直线y =x 对称，则α＝_____。（答：2k π+, k ∈Z ） 63
α
若α是第二象限角，则是第_____象限角（答：一、三）；
2
已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm 2）一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为_____________
2、三角函数的定义：
（1）设a
2
； 5
（2）设α是第三、四象限角，sin α=_______（答：（－1，) ）； 3. 三角函数线（1）若-
2m -3
，则m 的取值范围是4-m
32
T
B S
O M x
π
8
c o θs ) ；
（2）若α为锐角，则α,sin α, tan α的大小关系为_______ （答：sin α
（3）函数y =+2c o x s +l g 2s (i x n +3) 的定义域是_______（答：
t a n θ
(2k π-
π
3
, 2k π+
2π
](k ∈Z ) ） 3
4. 同角三角函数的基本关系式：
m -34-2m π5
(
m +5m +5212tan αsin α-3cos α2
=-1，则（2）已知＝____；sin α+sin αcos α+2＝___（答：
tan α-1sin α+cos α
513
-；）； 35
（3）已知f (cosx ) =cos 3x ，则f (sin30) 的值为______（答：－1）。
（1）已知sin θ=5. 三角函数诱导公式
9π7π+tan(-) +sin 21π的值为________（答：）； -4623+2sin(π-2) ⋅cos(π+2) 的值为________
4
（2）已知sin(540+α) =-，则co s(α-270) =______，若α为第二象限角，则
5
43[sin(180 -α) +cos(α-360 )]2
--________。（答：；） =
5100tan(180+α)
（1）cos 6 “知一求二”
t 2-1
（1）若 sin x ±cos x =t ，则sin x cos x = __（答：±) ，特别提醒：这里
2
t ∈[；
（2）若α∈(0,π),sin αcos α=-，求cos α-
sin α的值。（答：12
（3）若α∈(0,π),sin α+cos α=，求tan α的值。（答：-）；
5
7、正弦函数y =sin x (x ∈R ) 、余弦函数y =cos x (x ∈R ) 的性质：
（1）定义域值域
①已知函数f (x ) =2a sin(2x -
π
⎡π⎤
) +b 的定义域为⎢0, ⎥，值域为[-5,1]，求a 和b 3⎣2⎦
的值。
π4π
②函数y =3cos 2x -4cos x +1, x ∈(, ) 的值域为33
函数y =
2sin x +3
的值域为________________
2sin x +2
2
已知5cos
α+4cos 2β=4cos α, 则cos 2α+cos 2β的取值范围是_______________.
⎡16⎤
. ⎥⎣25⎦
答案: ⎢0,
③设-
π
6
≤x ≤
π
，求函数y =log 2(1+sin x ) +log 2(1-sin x ) 的最大值和最小值． 4
2
④是否存在实数a ，使得函数y =sin x +a cos x +
53π
a -，在闭区间［0，］上的最822
大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．
答案:a =1.5
（2）周期性： (1)若f (x ) =sin (2) 函数f (x ) =cos(
πx
3
，则f (1) +f (2) +(3f ) ++(20f 03) ＝___（答：0）；
1π
x -的最小正周期为____（答：π）； 23ππ
(3) 设函数f (x ) =2sin(x +) ，若对任意x ∈R 都有f (x 1) ≤f (x ) ≤f (x 2) 成立，则
25
|x 1-x 2|的最小值为____（答：2）
（4）奇偶性与对称性： （1）函数y =sin
⎛5π⎫
-2x ⎪的奇偶性是______（答：偶函数）； ⎝2⎭
函数y =lg(sinx 的奇偶性是______ ；答：奇函数
（2）已知函数f (x ) =ax +bsin x +1(a,b 为常数），且f (5) =7，则f (-5) =______（答：－5）；
（3）定义在R 上的函数f (x ) 既是偶函数又是周期函数，若f (x ) 的最小正周期是π，且当
3
π时，f (x ) =sin x ，则f (5π) 的值为
x ∈[0, ]
2
3
（5）单调性：
16、形如y =A sin(ωx +ϕ) 的函数：
f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0，|ϕ|
π
2
) 15π
示，则f (x ) ＝_____（答：f (x ) =2sin(x +) ）；
23
（1）函数y =2sin(2x -
π
4
) -1的图象经过怎样的变换才能得到y =sin x 的图象？（答：
y =2sin(2x -) -1向上平移1个单位得y =2sin(2x -) 的图象，再向左平移个单位
448
得y =2sin 2x 的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y =2sin x 的图象，最后将纵坐标缩小
1
到原来的即得y =sin x 的图象）；
2
x πx
(2) 要得到函数y =cos(-) 的图象，只需把函数y =sin 的图象向___平移____个单
242
位（答：）；要将函数y =sin 2x 的图象向右平移m 个单位，得到的图象恰好关于x =对称，则m 的最小值是
（3）若函数f (x )=2sin x +sin x x ∈[0, 2π]的图象与直线y =k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是
（答：(0,1)）
πππ
π2
π
6
5π 12
()
（4）设ω>0，函数f(x)=2sinωx 在[- 答案：0
ππ
, ]上为增函数，那么ω的取值范围是_____ 34
3 2
317317
21042104
（5）研究函数y =A sin(ωx +ϕ) 性质的方法：
5π
π,k π+](k ∈Z ) ）；
31212
33πx π
](k ∈Z ) ）（2）y =log 1cos(+) 的递减区间是_______（答：[6k π-π, 6k π+；
44342
ππ2π
（3）设函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A ≠0, ω>0, -
（1）函数y =sin(-2x +
π
) 的递减区间是______（答：[k π-
的周期是π，则
223
A 、f (x ) 的图象过点(0, ) B 、f (x ) 在区间[
1
25π2π
, ]上是减函数 123
C 、f (x ) 的图象的一个对称中心是(5π, 0) D 、f (x ) 的最大值是A （答：C ）；
12
（4）对于函数f (x )=2sin 2x +
⎪给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象3⎭
ππ
关于直线x =成轴对称；③图象可由函数y =2sin 2x 的图像向左平移个单位得到；④
123π
图像向左平移个单位，即得到函数y =2cos 2x 的图像。其中正确结论是_______（答：
12
②④）；（5）已知函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ) 图象与直线y =1的交点中，距离最近两点间
⎛
⎝
π⎫
的距离为π
3
，那么此函数的周期是_______（答：π）
y =sin 2x , y =sin x 的周期都是π, y =sin x +cos x 的周期为π
2
，y =|2s i x -n π1π
63+2=) y |, -6
+2s ，i y n =|(tan 3x |的周期不变；)
而