高等数学公式
导数公式：
(tgx ) '=sec 2x (ctgx ) '=-csc 2x (secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a x ) '=a x ln a
1
(loga x ) '=
x ln a
基本积分表：
(arcsinx ) '=
1
-x 2
1
(arccosx ) '=-
-x 21
(arctgx ) '=
1+x 2
1
(arcctgx ) '=-
1+x 2
⎰tgxdx =-ln cos x +C ⎰ctgxdx =ln sin x +C
⎰sec xdx =ln sec x +tgx +C ⎰csc xdx =ln csc x -ctgx +C
dx 1x
=arctg +C ⎰a 2+x 2a a dx 1x -a
=ln ⎰x 2-a 22a x +a +C dx 1a +x
=⎰a 2-x 22a ln a -x +C dx x
=arcsin +C ⎰a 2-x 2
a
π
2
n
dx 2
⎰cos 2x =⎰sec xdx =tgx +C dx 2
⎰sin 2x =⎰csc xdx =-ctgx +C
⎰sec x ⋅tgx dx =sec x +C ⎰csc x ⋅ctgxdx =-csc x +C
a x
⎰a dx =ln a +C
x
⎰shxdx =chx +C ⎰chxdx =shx +C ⎰
dx x 2±a 2
=ln(x +x 2±a 2) +C
π
2
I n =⎰sin xdx =⎰cos n xdx =
n -1
I n -2n
⎰⎰⎰
x 2a 22
x +a dx =x +a +ln(x +x 2+a 2) +C
22x 2a 2222
x -a dx =x -a -ln x +x 2-a 2+C
22x 2a 2x 222
a -x dx =a -x +arcsin +C
22a
2
2
三角函数的有理式积分：
2u 1-u 2x 2du
sin x =， cos x =， u =tg ， dx =
21+u 21+u 21+u 2
一些初等函数： 两个重要极限：
e x -e -x
双曲正弦:shx =
2e x +e -x
双曲余弦:chx =
2
shx e x -e -x
双曲正切:thx ==x
chx e +e -x arshx =ln(x +x 2+1）archx =±ln(x +x 2-1)
11+x
arthx =ln
21-x
三角函数公式： ·诱导公式：
lim
sin x
=1
x →0x
1
lim (1+) x =e =2. [**************]... x →∞x
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =
tg α±tg β1 tg α⋅tg βctg α⋅ctg β 1
ctg (α±β) =
ctg β±ctg α
sin α+sin β=2sin
α+β
22α+βα-β
sin α-sin β=2cos sin
22α+βα-β
cos α+cos β=2cos cos
22α+βα-β
cos α-cos β=2sin sin
22
cos
α-β
·倍角公式：
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=cos 2α-sin 2αctg 2α-1
ctg 2α=
2ctg α2tg α
tg 2α=
1-tg 2α
·半角公式：
sin 3α=3sin α-4sin 3αcos 3α=4cos 3α-3cos α3tg α-tg 3αtg 3α=
1-3tg 2α
sin tg
α
2
=±=±
-cos α+cos cos =±222
1-cos α1-cos αsin αα+cos α1+cos αsin α
== ctg =±==
1+cos αsin α1+cos α21-cos αsin α1-cos α
a b c
===2R ·余弦定理：c 2=a 2+b 2-2ab cos C sin A sin B sin C
α
2
·正弦定理：
·反三角函数性质：arcsin x =
π
2
-arccos x arctgx =
π
2
-arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
(uv )
(n )
k (n -k ) (k )
=∑C n u v k =0
n
=u (n ) v +nu (n -1) v '+
n (n -1) (n -2) n (n -1) (n -k +1) (n -k ) (k )
u v ''+ +u v + +uv (n )
2! k !
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a )
f (b ) -f (a ) f '(ξ)
=
F (b ) -F (a ) F '(ξ)
曲率：
当F (x ) =x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式：ds =+y '2dx , 其中y '=tg α平均曲率：K =
∆α
∆α:从M 点到M '点，切线斜率的倾角变化量；∆s ：M M '弧长。∆s
y ''∆αd α
M 点的曲率：K =lim ==.
23∆s →0∆s ds (1+y ')
直线：K =0; 1
半径为a 的圆：K =.
a
定积分的近似计算：
b
矩形法：⎰f (x ) ≈
a b
b -a
(y 0+y 1+ +y n -1) n
b -a 1
[(y 0+y n ) +y 1+ +y n -1]n 2
b -a
[(y 0+y n ) +2(y 2+y 4+ +y n -2) +4(y 1+y 3+ +y n -1)]3n
梯形法：⎰f (x ) ≈
a
b
抛物线法：⎰f (x ) ≈
a
定积分应用相关公式：
功：W =F ⋅s
水压力：F =p ⋅A
m m
引力：F =k 122, k 为引力系数
r
b 1
函数的平均值：y =f (x ) dx
b -a ⎰a 12
f (t ) dt ⎰b -a a
多元函数微分法及应用
b
全微分：dz =
∂z ∂z ∂u ∂u ∂u dx +dy du =dx +dy +dz ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
全微分的近似计算：∆z ≈dz =f x (x , y ) ∆x +f y (x , y ) ∆y 多元复合函数的求导法：
dz ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (t ), v (t )]=⋅+⋅
dt ∂u ∂t ∂v ∂t
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (x , y ), v (x , y )]=⋅+⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
当u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 时，du =
∂u ∂u ∂v ∂v
dx +dy dv =dx +dy ∂x ∂y ∂x ∂y
隐函数的求导公式：
F x F F dy dy d 2y ∂∂
隐函数F (x , y ) =0=-2=(-x ) ＋(-x ) ⋅
dx F y ∂x F y ∂y F y dx dx F y F ∂z ∂z
隐函数F (x , y , z ) =0=-x =-
∂x F z ∂y F z
∂F ⎧F (x , y , u , v ) =0∂(F , G ) ∂u
隐函数方程组： J ==⎨∂G ∂(u , v ) ⎩G (x , y , u , v ) =0
∂u
∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-⋅=-⋅∂x J ∂(x , v ) ∂x J ∂(u , x ) ∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-⋅=-⋅∂y J ∂(y , v ) ∂y J ∂(u , y )
多元函数的极值及其求法：
∂F
∂v =F u ∂G G u ∂v
F v G v
设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0，令：f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B , f yy (x 0, y 0) =C ⎧⎧A
⎨⎪AC -B >0时，
⎩A >0, (x 0, y 0) 为极小值⎪⎪2
则：值⎨AC -B
重积分及其应用：
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰⎰f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ
D
D '
曲面z =f (x , y ) 的面积A =⎰⎰
D
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪1+ ⎪+ dxdy ⎪
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭
2
2
=
M x
=M
⎰⎰x ρ(x , y ) d σ
D
⎰⎰ρ(x , y ) d σ
D
D
, =
M y M
=
⎰⎰y ρ(x , y ) d σ
D
⎰⎰ρ(x , y ) d σ
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x 轴I x =⎰⎰y 2ρ(x , y ) d σ, 对于y 轴I y =⎰⎰x 2ρ(x , y ) d σ平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点M (0, 0, a ), (a >0) 的引力：F ={F x , F y , F z }，其中：F x =f ⎰⎰
D
ρ(x , y ) xd σ
(x +y +a )
2
2
22
F y =f ⎰⎰3
D
ρ(x , y ) yd σ
(x +y +a )
2
2
22
F z =-fa ⎰⎰3
D
ρ(x , y ) xd σ
(x +y +a )
2
2
3
22
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y '=f (x , y ) 或 P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式，解法：
⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx 得：G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。
dy y
=f (x , y ) =ϕ(x , y ) ，即写成的函数，解法：dx x
y dy du du dx du y 设u =，则=u +x ，u +=ϕ(u ) ，∴=代替u ，
x dx dx dx x ϕ(u ) -u x 齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy
1+P (x ) y =Q (x )
dx
-P (x ) dx
当Q (x ) =0时, 为齐次方程，y =Ce ⎰
P (x ) dx -P (x ) dx 当Q (x ) ≠0时，为非齐次方程，y =(⎰Q (x ) e ⎰dx +C ) e ⎰
dy
2+P (x ) y =Q (x ) y n ，(n ≠0, 1)
dx
全微分方程：
如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微分方程，即：
∂u ∂u
du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0=P (x , y ) =Q (x , y )
∂x ∂y ∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
f (x ) ≡0时为齐次d 2y dy
+P (x ) +Q (x ) y =f (x ) 2
dx dx f (x ) ≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y ''+p y '+qy =0，其中p , q 为常数；求解步骤：
1、写出特征方程：(∆) r 2+pr +q =0，其中r 2，r 的系数及常数项恰好是(*)式中y '', y ', y 的系数；2、求出(∆) 式的两个根r 1, r 2
3、根据r 1, r 2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：
y ''+p y '+qy =f (x ) ，p , q 为常数f (x ) =e λx P m (x ) 型，λ为常数；f (x ) =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型
高等数学公式
导数公式：
(tgx ) '=sec 2x (ctgx ) '=-csc 2x (secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a x ) '=a x ln a
1
(loga x ) '=
x ln a
基本积分表：
(arcsinx ) '=
1
-x 2
1
(arccosx ) '=-
-x 21
(arctgx ) '=
1+x 2
1
(arcctgx ) '=-
1+x 2
⎰tgxdx =-ln cos x +C ⎰ctgxdx =ln sin x +C
⎰sec xdx =ln sec x +tgx +C ⎰csc xdx =ln csc x -ctgx +C
dx 1x
=arctg +C ⎰a 2+x 2a a dx 1x -a
=ln ⎰x 2-a 22a x +a +C dx 1a +x
=⎰a 2-x 22a ln a -x +C dx x
=arcsin +C ⎰a 2-x 2
a
π
2
n
dx 2
⎰cos 2x =⎰sec xdx =tgx +C dx 2
⎰sin 2x =⎰csc xdx =-ctgx +C
⎰sec x ⋅tgx dx =sec x +C ⎰csc x ⋅ctgxdx =-csc x +C
a x
⎰a dx =ln a +C
x
⎰shxdx =chx +C ⎰chxdx =shx +C ⎰
dx x 2±a 2
=ln(x +x 2±a 2) +C
π
2
I n =⎰sin xdx =⎰cos n xdx =
n -1
I n -2n
⎰⎰⎰
x 2a 22
x +a dx =x +a +ln(x +x 2+a 2) +C
22x 2a 2222
x -a dx =x -a -ln x +x 2-a 2+C
22x 2a 2x 222
a -x dx =a -x +arcsin +C
22a
2
2
三角函数的有理式积分：
2u 1-u 2x 2du
sin x =， cos x =， u =tg ， dx =
21+u 21+u 21+u 2
一些初等函数： 两个重要极限：
e x -e -x
双曲正弦:shx =
2e x +e -x
双曲余弦:chx =
2
shx e x -e -x
双曲正切:thx ==x
chx e +e -x arshx =ln(x +x 2+1）archx =±ln(x +x 2-1)
11+x
arthx =ln
21-x
三角函数公式： ·诱导公式：
lim
sin x
=1
x →0x
1
lim (1+) x =e =2. [**************]... x →∞x
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =
tg α±tg β1 tg α⋅tg βctg α⋅ctg β 1
ctg (α±β) =
ctg β±ctg α
sin α+sin β=2sin
α+β
22α+βα-β
sin α-sin β=2cos sin
22α+βα-β
cos α+cos β=2cos cos
22α+βα-β
cos α-cos β=2sin sin
22
cos
α-β
·倍角公式：
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=cos 2α-sin 2αctg 2α-1
ctg 2α=
2ctg α2tg α
tg 2α=
1-tg 2α
·半角公式：
sin 3α=3sin α-4sin 3αcos 3α=4cos 3α-3cos α3tg α-tg 3αtg 3α=
1-3tg 2α
sin tg
α
2
=±=±
-cos α+cos cos =±222
1-cos α1-cos αsin αα+cos α1+cos αsin α
== ctg =±==
1+cos αsin α1+cos α21-cos αsin α1-cos α
a b c
===2R ·余弦定理：c 2=a 2+b 2-2ab cos C sin A sin B sin C
α
2
·正弦定理：
·反三角函数性质：arcsin x =
π
2
-arccos x arctgx =
π
2
-arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
(uv )
(n )
k (n -k ) (k )
=∑C n u v k =0
n
=u (n ) v +nu (n -1) v '+
n (n -1) (n -2) n (n -1) (n -k +1) (n -k ) (k )
u v ''+ +u v + +uv (n )
2! k !
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a )
f (b ) -f (a ) f '(ξ)
=
F (b ) -F (a ) F '(ξ)
曲率：
当F (x ) =x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式：ds =+y '2dx , 其中y '=tg α平均曲率：K =
∆α
∆α:从M 点到M '点，切线斜率的倾角变化量；∆s ：M M '弧长。∆s
y ''∆αd α
M 点的曲率：K =lim ==.
23∆s →0∆s ds (1+y ')
直线：K =0; 1
半径为a 的圆：K =.
a
定积分的近似计算：
b
矩形法：⎰f (x ) ≈
a b
b -a
(y 0+y 1+ +y n -1) n
b -a 1
[(y 0+y n ) +y 1+ +y n -1]n 2
b -a
[(y 0+y n ) +2(y 2+y 4+ +y n -2) +4(y 1+y 3+ +y n -1)]3n
梯形法：⎰f (x ) ≈
a
b
抛物线法：⎰f (x ) ≈
a
定积分应用相关公式：
功：W =F ⋅s
水压力：F =p ⋅A
m m
引力：F =k 122, k 为引力系数
r
b 1
函数的平均值：y =f (x ) dx
b -a ⎰a 12
f (t ) dt ⎰b -a a
多元函数微分法及应用
b
全微分：dz =
∂z ∂z ∂u ∂u ∂u dx +dy du =dx +dy +dz ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
全微分的近似计算：∆z ≈dz =f x (x , y ) ∆x +f y (x , y ) ∆y 多元复合函数的求导法：
dz ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (t ), v (t )]=⋅+⋅
dt ∂u ∂t ∂v ∂t
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (x , y ), v (x , y )]=⋅+⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
当u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 时，du =
∂u ∂u ∂v ∂v
dx +dy dv =dx +dy ∂x ∂y ∂x ∂y
隐函数的求导公式：
F x F F dy dy d 2y ∂∂
隐函数F (x , y ) =0=-2=(-x ) ＋(-x ) ⋅
dx F y ∂x F y ∂y F y dx dx F y F ∂z ∂z
隐函数F (x , y , z ) =0=-x =-
∂x F z ∂y F z
∂F ⎧F (x , y , u , v ) =0∂(F , G ) ∂u
隐函数方程组： J ==⎨∂G ∂(u , v ) ⎩G (x , y , u , v ) =0
∂u
∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-⋅=-⋅∂x J ∂(x , v ) ∂x J ∂(u , x ) ∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-⋅=-⋅∂y J ∂(y , v ) ∂y J ∂(u , y )
多元函数的极值及其求法：
∂F
∂v =F u ∂G G u ∂v
F v G v
设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0，令：f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B , f yy (x 0, y 0) =C ⎧⎧A
⎨⎪AC -B >0时，
⎩A >0, (x 0, y 0) 为极小值⎪⎪2
则：值⎨AC -B
重积分及其应用：
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰⎰f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ
D
D '
曲面z =f (x , y ) 的面积A =⎰⎰
D
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪1+ ⎪+ dxdy ⎪
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭
2
2
=
M x
=M
⎰⎰x ρ(x , y ) d σ
D
⎰⎰ρ(x , y ) d σ
D
D
, =
M y M
=
⎰⎰y ρ(x , y ) d σ
D
⎰⎰ρ(x , y ) d σ
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x 轴I x =⎰⎰y 2ρ(x , y ) d σ, 对于y 轴I y =⎰⎰x 2ρ(x , y ) d σ平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点M (0, 0, a ), (a >0) 的引力：F ={F x , F y , F z }，其中：F x =f ⎰⎰
D
ρ(x , y ) xd σ
(x +y +a )
2
2
22
F y =f ⎰⎰3
D
ρ(x , y ) yd σ
(x +y +a )
2
2
22
F z =-fa ⎰⎰3
D
ρ(x , y ) xd σ
(x +y +a )
2
2
3
22
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y '=f (x , y ) 或 P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式，解法：
⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx 得：G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。
dy y
=f (x , y ) =ϕ(x , y ) ，即写成的函数，解法：dx x
y dy du du dx du y 设u =，则=u +x ，u +=ϕ(u ) ，∴=代替u ，
x dx dx dx x ϕ(u ) -u x 齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy
1+P (x ) y =Q (x )
dx
-P (x ) dx
当Q (x ) =0时, 为齐次方程，y =Ce ⎰
P (x ) dx -P (x ) dx 当Q (x ) ≠0时，为非齐次方程，y =(⎰Q (x ) e ⎰dx +C ) e ⎰
dy
2+P (x ) y =Q (x ) y n ，(n ≠0, 1)
dx
全微分方程：
如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微分方程，即：
∂u ∂u
du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0=P (x , y ) =Q (x , y )
∂x ∂y ∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
f (x ) ≡0时为齐次d 2y dy
+P (x ) +Q (x ) y =f (x ) 2
dx dx f (x ) ≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y ''+p y '+qy =0，其中p , q 为常数；求解步骤：
1、写出特征方程：(∆) r 2+pr +q =0，其中r 2，r 的系数及常数项恰好是(*)式中y '', y ', y 的系数；2、求出(∆) 式的两个根r 1, r 2
3、根据r 1, r 2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：
y ''+p y '+qy =f (x ) ，p , q 为常数f (x ) =e λx P m (x ) 型，λ为常数；f (x ) =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型