一元二次方程的有理根与整数根初级(一)
求解一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的整数根，在全国初中生数学联赛或竞赛中几乎年年都有。首先——我以为——学生应关注：二次项系数是否可以为零；其次是：题目隐含了⊿≥0。这两点是细节，也是比较容易疏忽的地方。
一般而言，求解一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的整数根的方法，不外乎以下几种：
方法一：可以用根的判别式⊿=b2－ 4ac必须是完全平方数，
用不定方程的方法；
方法二：用整数的性质；
方法三：利用韦达定理，得到两个整数。
[例题1]当 m是什么整数时，方程(m2－1)x2-6(3m－1)＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
分析 1° m2－1≠0，m≠±1．⊿=36(m－3)2＞0，所以m≠3．
2°当然是因式分解，有：
[（m－1）x－6 ] [（m＋1）x－12 ]＝0
即： x1＝6/（m－1），x2＝12/（m＋1）
3°（m－1）是6的正约数；（m＋1）是12的正约数。
后面就没有什么了，注意第一点的条件限制。
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
[例题2]关于x的方程m2x2－(3m2－8m)x＋2m2－13m＋15=0
(其中m是非负整数)至少有一个整数根，求m的值．
分析 本题仅仅是看上去复杂一点，其实一样。
1°养成好的习惯：m≠0，（否则不成立）
因式分解得：
[m x－（2 m－3）][ m x－（m－5）]＝0
2°有 x1＝2－3/m， x2＝1－5/m
所以只要m是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
3°最后检验一下是否满足：“至少有一个整数根”
[例题3]关于x的二次方程mx2－(m－1)x＋1＝0有有理根。
求非零整数m的值。
分析 整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数。
（注意：以下是最常用的方法，也是套路做法，必须掌握，并熟练使用）
1°令：Δ=(m－1)2－4m＝n2，（n是非负整数）
2°则有 m2－6m＋1＝n2，即 (m－3)2－n2=8，
(m－3＋n)(m－3－n)＝8。
3° m－3＋n与m－3－n同奇同偶。以下略，答案是：m＝6。
技巧一点的话，可以：
∵ m－3＋n≥m－3－n，
又(m－3＋n)+(m－3－n)=2(m－3)，
∴m－3＋n与m－3－n同奇偶，
本题比较简单，这样做就有点浪费脑细胞了。
[例题4] 关于x的方程mx2+2(m－3)x+(m－2)=0
至少有一个整数解，且m是整数，求m的值．
分析：1° 当m=0时，原方程变成x＝－1/3，无整数解．
2°当m≠0时，⊿＝4(m－3)2－4m(m－2)＝4(9－4m)
令9－4m=n2，且n是正奇数，
显然n≠3，（n＝3时，m＝0不成立）
由求根公式：x1＝－1＋4/（n＋3），x2＝－1＋4/（3－n ）
∵ n为正奇数，n可取1，5，7，
∴ m=2，或－4，或－10．
一元二次方程的有理根与整数根初级(一)
求解一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的整数根，在全国初中生数学联赛或竞赛中几乎年年都有。首先——我以为——学生应关注：二次项系数是否可以为零；其次是：题目隐含了⊿≥0。这两点是细节，也是比较容易疏忽的地方。
一般而言，求解一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的整数根的方法，不外乎以下几种：
方法一：可以用根的判别式⊿=b2－ 4ac必须是完全平方数，
用不定方程的方法；
方法二：用整数的性质；
方法三：利用韦达定理，得到两个整数。
[例题1]当 m是什么整数时，方程(m2－1)x2-6(3m－1)＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
分析 1° m2－1≠0，m≠±1．⊿=36(m－3)2＞0，所以m≠3．
2°当然是因式分解，有：
[（m－1）x－6 ] [（m＋1）x－12 ]＝0
即： x1＝6/（m－1），x2＝12/（m＋1）
3°（m－1）是6的正约数；（m＋1）是12的正约数。
后面就没有什么了，注意第一点的条件限制。
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
[例题2]关于x的方程m2x2－(3m2－8m)x＋2m2－13m＋15=0
(其中m是非负整数)至少有一个整数根，求m的值．
分析 本题仅仅是看上去复杂一点，其实一样。
1°养成好的习惯：m≠0，（否则不成立）
因式分解得：
[m x－（2 m－3）][ m x－（m－5）]＝0
2°有 x1＝2－3/m， x2＝1－5/m
所以只要m是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
3°最后检验一下是否满足：“至少有一个整数根”
[例题3]关于x的二次方程mx2－(m－1)x＋1＝0有有理根。
求非零整数m的值。
分析 整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数。
（注意：以下是最常用的方法，也是套路做法，必须掌握，并熟练使用）
1°令：Δ=(m－1)2－4m＝n2，（n是非负整数）
2°则有 m2－6m＋1＝n2，即 (m－3)2－n2=8，
(m－3＋n)(m－3－n)＝8。
3° m－3＋n与m－3－n同奇同偶。以下略，答案是：m＝6。
技巧一点的话，可以：
∵ m－3＋n≥m－3－n，
又(m－3＋n)+(m－3－n)=2(m－3)，
∴m－3＋n与m－3－n同奇偶，
本题比较简单，这样做就有点浪费脑细胞了。
[例题4] 关于x的方程mx2+2(m－3)x+(m－2)=0
至少有一个整数解，且m是整数，求m的值．
分析：1° 当m=0时，原方程变成x＝－1/3，无整数解．
2°当m≠0时，⊿＝4(m－3)2－4m(m－2)＝4(9－4m)
令9－4m=n2，且n是正奇数，
显然n≠3，（n＝3时，m＝0不成立）
由求根公式：x1＝－1＋4/（n＋3），x2＝－1＋4/（3－n ）
∵ n为正奇数，n可取1，5，7，
∴ m=2，或－4，或－10．