圆锥曲线专题训练三 22
1．直线y =x ―1被双曲线2x ―y =3所截得的弦的中点坐标是（ C ） A ．(1, 2) B ．(―2, ―1) C ．(―1, ―2) D ．(2, 1) 2．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆
x
2
2
+y =1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，
2
设直线m 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ D ） A ．2
B ．－2 C ．
12
D ．－
12
3．椭圆ax 2+by2=1与直线y=1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为
32
，则
a b
的值为（ A ） A ．
32
B ．
233
C ．
932
D ．
12
2327
4．中心为(0, 0) ，一焦点为F (0, 52) ，截直线y =3x －2所得弦的中点的横坐标为圆方程为（ A ） A ．
x
2
的椭
25
+
y
2
75
=1 B ．
x
2
75
+
y
2
25
=1 C ．
2x
2
75
+
2y
2
25
=1 D ．
2x
2
25
+
2y
2
75
=1
5．过点P （1,1）的直线与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，且P 点恰好是弦AB 的中点，则AB 的斜率为 2 ； 6．已知椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1，以及椭圆内一点P (4, 2)，则以P 为中点的弦所在的直线的斜率
12
12
是（ B ） A ．
x
2
B ．－ C ．2 D ．－2
7．过椭圆
9
94y
+
y
2
4
=1内一点M (2,0) 引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是
(x -1) +
22
=1；
8．点P(8，1) 平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程2x －y －15＝0； 9．已知椭圆x 2+2y2=4,则以（1,1
）为中点的弦长为
3
；
10．已知中心在原点，顶点A 1, A 2在x
轴上，离心率为
3
的双曲线经过点P (6,6)
（I ）求双曲线的方程；(II)动直线l 经过∆A 1P A 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点
M , N ，问是否存在直线l 使G 平分线段M N 。试证明你的结论。
【解析】（I ）设所求的双曲线方程为
x a
22
-
y b
22
=1 e =
且双曲线经过点P (6,6) ，所
以所求的双曲线方程为
x
2
9
-
y
2
12
=1。
(II)由条件P , A 1, A 2的坐标分别为(6,6) 、(-3, 0) 、(3,0) ，∴G 点坐标为(2,2) 假设存在直线l 使G (2,2) 平分线段M N , 设M , N 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)
22
⎧⎪12x 1-9y 1=108.......(1)
(1) ∴⎨-
22
⎪⎩12x 2-9y 2=108.......(2)
2
2
2
2
得(2)
12(x 1-x 2) =9(y 1-y 2) (x 1+x 2)(x 1-x 2) =9(y 1+y 2)(y 1-y 2)
又
x 1+x 2
2
=2,
y 1+y 2
2
=2, 即x 1+x 2=4, y 1+y 2=4. ∴
y 1-y 2x 1-x 2
=
43
=k M N =k 1
⎧12x 2-9y 2=108
4⎪
∴l 的方程为y -2=(x -2) 由⎨ 4
3⎪y -2=(x -2)
3⎩
消去y 整理得x -4x +28=0 =(-4) -4⨯28
11．已知某椭圆的焦点是F 1(－4,0) ，F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F1B|＋|F2B|=10,椭圆上不同的两点A （x 1,y 1），C （x 2，y 2）满足条件：|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列，
（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx+m，求m 的取值范围。 解：（1）
x
2
22
9
-
y
2
12
=1（2）求弦AC 中点的横坐标为4
（3）点差法得m 的取值范围为－16/5
圆锥曲线专题训练三 22
1．直线y =x ―1被双曲线2x ―y =3所截得的弦的中点坐标是（ C ） A ．(1, 2) B ．(―2, ―1) C ．(―1, ―2) D ．(2, 1) 2．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆
x
2
2
+y =1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，
2
设直线m 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ D ） A ．2
B ．－2 C ．
12
D ．－
12
3．椭圆ax 2+by2=1与直线y=1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为
32
，则
a b
的值为（ A ） A ．
32
B ．
233
C ．
932
D ．
12
2327
4．中心为(0, 0) ，一焦点为F (0, 52) ，截直线y =3x －2所得弦的中点的横坐标为圆方程为（ A ） A ．
x
2
的椭
25
+
y
2
75
=1 B ．
x
2
75
+
y
2
25
=1 C ．
2x
2
75
+
2y
2
25
=1 D ．
2x
2
25
+
2y
2
75
=1
5．过点P （1,1）的直线与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，且P 点恰好是弦AB 的中点，则AB 的斜率为 2 ； 6．已知椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1，以及椭圆内一点P (4, 2)，则以P 为中点的弦所在的直线的斜率
12
12
是（ B ） A ．
x
2
B ．－ C ．2 D ．－2
7．过椭圆
9
94y
+
y
2
4
=1内一点M (2,0) 引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是
(x -1) +
22
=1；
8．点P(8，1) 平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程2x －y －15＝0； 9．已知椭圆x 2+2y2=4,则以（1,1
）为中点的弦长为
3
；
10．已知中心在原点，顶点A 1, A 2在x
轴上，离心率为
3
的双曲线经过点P (6,6)
（I ）求双曲线的方程；(II)动直线l 经过∆A 1P A 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点
M , N ，问是否存在直线l 使G 平分线段M N 。试证明你的结论。
【解析】（I ）设所求的双曲线方程为
x a
22
-
y b
22
=1 e =
且双曲线经过点P (6,6) ，所
以所求的双曲线方程为
x
2
9
-
y
2
12
=1。
(II)由条件P , A 1, A 2的坐标分别为(6,6) 、(-3, 0) 、(3,0) ，∴G 点坐标为(2,2) 假设存在直线l 使G (2,2) 平分线段M N , 设M , N 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)
22
⎧⎪12x 1-9y 1=108.......(1)
(1) ∴⎨-
22
⎪⎩12x 2-9y 2=108.......(2)
2
2
2
2
得(2)
12(x 1-x 2) =9(y 1-y 2) (x 1+x 2)(x 1-x 2) =9(y 1+y 2)(y 1-y 2)
又
x 1+x 2
2
=2,
y 1+y 2
2
=2, 即x 1+x 2=4, y 1+y 2=4. ∴
y 1-y 2x 1-x 2
=
43
=k M N =k 1
⎧12x 2-9y 2=108
4⎪
∴l 的方程为y -2=(x -2) 由⎨ 4
3⎪y -2=(x -2)
3⎩
消去y 整理得x -4x +28=0 =(-4) -4⨯28
11．已知某椭圆的焦点是F 1(－4,0) ，F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F1B|＋|F2B|=10,椭圆上不同的两点A （x 1,y 1），C （x 2，y 2）满足条件：|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列，
（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx+m，求m 的取值范围。 解：（1）
x
2
22
9
-
y
2
12
=1（2）求弦AC 中点的横坐标为4
（3）点差法得m 的取值范围为－16/5