第9章 振动 作 业
一、教材：选择填空题 1～5；计算题：13，14，18 二、附加题
（一）、选择题
1、一沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，振动方程用余弦函数表示，
4
如果该振子的初相为π，则t=0时，质点的位置在： D
3
（A）过x=(C) 过x=-
11
A处，向负方向运动； (B) 过x=A处，向正方向运动； 2211
A处，向负方向运动； (D) 过x=-A处，向正方向运动。 22
2、一物体作简谐振动，振动方程为：x=Acos(ωt+π/4 )
在t=T/4(T为周期)时刻，物体的加速度为： B
(A) -2Aω2. (B) 2Aω2. (C) -3Aω22. (D) 3Aω22.
（二）、计算题
1、一物体沿x轴做简谐运动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时， 物体的位移x 0= 0.06m，且向x轴正向运动．求： （1）此简谐运动的运动方程；
（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度； 解：（1）x=0.12cos⎛πt-π⎫m
⎪
⎝
3⎭
π⎫m/s π⎫m/s2 ⎛2（2）v=-0.12πsin⎛πt-a=-0.12πcos πt-⎪ ⎪
⎝
3⎭
⎝
3⎭
t = T/4时
x=0.12cπs=6≈3m 0.10
6π
v=-0.12πsin=-0.06π≈-0.19
m/s
6
2π
a=-0.12π2cos=-0.06π≈-1.02 m/s
6
2、一物体沿x轴做简谐运动，振幅A = 10.0cm，周期T = 2.0s．当t = 0时， 物体的位移x 0= -5cm，且向x轴负方向运动．求： （1）简谐运动方程；
（2）t = 0.5s时，物体的位移；
（3）何时物体第一次运动到x = 5cm处？
（4）再经过多少时间物体第二次运动到x = 5cm处？
解：（1）x=0.1cos⎛πt+2π⎫m
⎝
⎪3⎭
π2π⎫7π（2）t = 0.5s时，x=0.1cos⎛+=0.1cos≈-0.087m ⎪
⎝2
3⎭
6
（3）利用旋转矢量法，第一次运动到x = 5cm处，相位是5π=πt1+2π
3
3
所以 t1=1s
（3）利用旋转矢量法，第二次运动到x = 5cm处，相位是7π=πt2+2π
3
3
52
所以 t2=5s ∆t=t2-t1=-1==0.67s
333
3、若简谐振动方程为x=0.1cos[20πt+π/4]m，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相；
（2）t=2s时的位移、速度和加速度. 解：(1)可用比较法求解.
据x=Acos[ωt+ϕ]=0.1cos[20πt+π/4]
得：振幅A=0.1m，角频率ω=20πrad/s，频率ν=ω/2π=10s-1， 周期T=1/ν=0.1s，ϕ=π/4rad
（2）t=2s时，振动相位为：ϕ=20πt+π/4=(40π+π/4)rad 据x=Acosϕ，ν=-Aωsinϕ，a=-Aω2cosϕ=-ω2x得 x=0.0707m,ν=-4.44m/s,a=-279m/s2
4、一简谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程. 解：设所求方程为x=Acos(ωt+ϕ)
当t=0时：x1=-5cm,v10 据旋转矢量图可以看出， ϕt=2=-π+2π=3π/2rad
所以，2秒内相位的改变量∆ϕ=ϕt=2-ϕt=0=3π/2-2π/3=5π/6rad
题图4
据∆ϕ=ω∆t可求出：ω=∆ϕ/∆t=5π/12rad/s
52
于是：所求振动方程为：x=0.1cos(πt+π)(SI)
123
5、一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向轴正方向运动，求：
（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；
（2）物体从x=-0.03m处向x轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？
解：设该物体的振动方程为x=Acos(ωt+ϕ) 依题意知：ω=2π/T=πrad/s,A=0.06m 据ϕ=±cos-1
x0
得ϕ=±π/3(rad) A
由于v0>0,应取ϕ=-π/3(rad) 可得：x=0.06cos(πt-π/3)
（1）t=0.5s时，振动相位为：ϕ=πt-π/3=π/6rad 据x=Acosϕ,得x=0.052m,
v=-Aωsinϕ,v=-0.094m/s,
a=-Aω2cosϕ=-ω2x a=-0.512m/s2
（2）由A旋转矢量图可知，物体从x=-0.03mm处向x轴负方向运动，到达平衡位置时，A矢量转过的角度为∆ϕ=5π/6，该过程所需时间为：
∆t=∆ϕ/ω=0.833s
题图5
第10章 波动 作 业
一、教材：选择填空题 1～5；计算题：12，13，14， 21，30 二、附加题
（一）、选择题
1、一平面简谐波的波动方程为y = 0.1cos(3πt－πx+π) (SI). t = 0时的波形曲线如图所示，则： C
(A) O点的振幅为-0.1m . (B) 波长为3m . (C) a、b两点间相位差为π/2 . (D) 波速为9m/s .
(A) y = 0.5cos[4π (t－x/8)－π/2] (cm) . (B) y
= 0.5cos[4π (t + x/8) + π/2] (cm) . (C) y = 0.5cos[4π (t + x/8)－π/2] (cm) .
2、某平面简谐波在t = 0.25s时波形如图所示
(D) y = 0.5cos[4π (t－x/8) + π/2] (cm) . 3、一平面简谐波在t=0时刻的波形曲线如图所示 ，则O点的振动初位相为： D
(A)0;
1(B)π;
2
(C)π;
3(D)π
2
选择题(3)
选择题
(4)
4、一平面简谐波 ，其振幅为A ，频率为v ，波沿x轴正方向传播 ，设t=t0时
刻波形如图所示 ，则x=0处质点振动方程为：B
ππ
(A)y=Acos[2πv(t+t0)+];(B)y=Acos[2πv(t-t0)+];
22
π
(C)y=Acos[2πv(t-t0)-];(D)y=Acos[2πv(t-t0)+π];
2
5、关于产生驻波的条件,以下说法正确的是： D (A) 任何两列波叠加都会产生驻波； (B) 任何两列相干波叠加都能产生驻波； (C) 两列振幅相同的相干波叠加能产生驻波；
(D) 两列振幅相同，在同一直线上沿相反方向传播的相干波叠加才能产生驻波. (二) 计算题
1、如图所示 ，一平面简谐波沿Ox轴传播 ，
x
波动方程为y=Acos[2π(vt-)+ϕ] ，
λ
求：1）P处质点的振动方程； 2）该质点的速度表达式与加速度表达式 。
L⎫⎛
解：1）P处质点的振动方程 y=Acos 2πvt+2π+ϕ⎪
λ⎭⎝
L⎫⎛
2）速度 v=-2πAνsin 2πvt+2π+ϕ⎪
λ⎭⎝
L⎫⎛
加速度 a=-4π2Aν2cos 2πvt+2π+ϕ⎪
λ⎭⎝
2、一列简谐波沿x轴正向传播，
在t1 = 0s，t2 = 0.25s时刻的波形如图所示．
求：（1）P点的振动表达式； （2）波动方程； 解：1）A=0.2m T=1s ω=2π
π
t=0时，cosϕ=0 向上运动 ϕ=- 2
P点的振动表达式 y=0.2cos 2πt-
⎛⎝
π⎫
⎪ m 2⎭
4
2) λ=0.45⨯=0.6m u=0.6s
3
t=0,x=0时 cosϕ=0 向下运动 ϕ=
π
2
⎛⎛x⎫π⎫
波动方程 y=0.2cos 2π t-⎪+⎪
⎝⎝0.6⎭2⎭
3、 一平面简谐波在媒质中以速度为u = 0.2m·s-1沿
πx轴正向传播，已知波线上A点（xA = 0.05m）的振动方程为yA=0.03cos(4πt-)
2
(m)． 求：（1）简谐波的波动方程；（2）x = -0.05m处质点P处的振动方程． x0.05⎫π⎫π⎫ m ⎛解：（1）y=0.03cos⎛4π⎛t-+-=0.03cos4πt-5x+() ⎪ 0.20.2⎪2⎪2⎭⎭⎝⎝⎝⎭
3π（2）x = -0.05m y=0.03cos⎛ 4πt+
2⎝
⎫ m ⎪⎭
4、一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A=10cm，波的角频率ω=7πrad/s，当t=1.0s时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，而
x=20cm处的b质点正通过y=5.0cm点向y轴正方向运动.设该波波长λ>10cm，求该平面波的波方程.
解：设平面简谐波的波长为λ，坐标原点处质点振动初相为ϕ，则该列平面简谐波的表达式可写成 y=0.1cos(7πt-2πx/λ+ϕ)(SI)
t=1.0s时x=10cm 处 y=0.1cos[7π-2π(0.1/λ)+ϕ]=0 因此时a质点向y轴负方向运动，故
1
7π-2π(0.1/λ)+ϕ=π
2而此时, b质点正通过y=0.05m处，有
y=0.1cos[7π-2π(0.2/λ)+ϕ]=0.05，且质点b向y轴正方向运动，故
(1)
1
7π-2π(0.2/λ)+ϕ=-π
3
(2)
由(1)、(2)两式联立得 λ=0.24m ， ϕ=-17π/3
所以，该平面简谐波的表达式为：y=0.1cos[7πt-
πx
0.12
-
17
π](SI) 3
5、如图，一平面波在介质中以波速u=20m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振
u
-2
动方程为y=3⨯10cos4πt(SI).
(1)以A点为坐标原点写出波方程；
(2)以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波方程. 解：(1)坐标为x处质点的振动相位为
ωt+ϕ=4π[t+(x/u)]=4π[t+(x/20)] 波的表达式为 y=3⨯10-2cos4π[t+(x/20)](SI) (2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为
x-5
ωt+ϕ'=4π[t+](SI)
20
x
波的表达式为 y=3⨯10-2cos[4π(t+)-π](SI)
20
6、火车以u=30m/s的速度行驶，汽笛的频率为ν0=650Hz.在铁路近旁的公路上坐在汽车里的人在下列情况听到火车鸣笛的声音频率分别是多少？ (1)汽车静止；
(2)汽车以v=45km/h的速度与火车同向行驶.（设空气中声速为v=340m/s） 解: (1)火车迎面而来 ν=火车背离而去 ν=
V
ν0=713Hz V-u
题图5
V
0=597Hz V+uV-v
(2)汽车在前 ν=ν0=687Hz
V-u
V+v
火车在前 ν=0=619Hz
V+u
第9章 振动 作 业
一、教材：选择填空题 1～5；计算题：13，14，18 二、附加题
（一）、选择题
1、一沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，振动方程用余弦函数表示，
4
如果该振子的初相为π，则t=0时，质点的位置在： D
3
（A）过x=(C) 过x=-
11
A处，向负方向运动； (B) 过x=A处，向正方向运动； 2211
A处，向负方向运动； (D) 过x=-A处，向正方向运动。 22
2、一物体作简谐振动，振动方程为：x=Acos(ωt+π/4 )
在t=T/4(T为周期)时刻，物体的加速度为： B
(A) -2Aω2. (B) 2Aω2. (C) -3Aω22. (D) 3Aω22.
（二）、计算题
1、一物体沿x轴做简谐运动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时， 物体的位移x 0= 0.06m，且向x轴正向运动．求： （1）此简谐运动的运动方程；
（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度； 解：（1）x=0.12cos⎛πt-π⎫m
⎪
⎝
3⎭
π⎫m/s π⎫m/s2 ⎛2（2）v=-0.12πsin⎛πt-a=-0.12πcos πt-⎪ ⎪
⎝
3⎭
⎝
3⎭
t = T/4时
x=0.12cπs=6≈3m 0.10
6π
v=-0.12πsin=-0.06π≈-0.19
m/s
6
2π
a=-0.12π2cos=-0.06π≈-1.02 m/s
6
2、一物体沿x轴做简谐运动，振幅A = 10.0cm，周期T = 2.0s．当t = 0时， 物体的位移x 0= -5cm，且向x轴负方向运动．求： （1）简谐运动方程；
（2）t = 0.5s时，物体的位移；
（3）何时物体第一次运动到x = 5cm处？
（4）再经过多少时间物体第二次运动到x = 5cm处？
解：（1）x=0.1cos⎛πt+2π⎫m
⎝
⎪3⎭
π2π⎫7π（2）t = 0.5s时，x=0.1cos⎛+=0.1cos≈-0.087m ⎪
⎝2
3⎭
6
（3）利用旋转矢量法，第一次运动到x = 5cm处，相位是5π=πt1+2π
3
3
所以 t1=1s
（3）利用旋转矢量法，第二次运动到x = 5cm处，相位是7π=πt2+2π
3
3
52
所以 t2=5s ∆t=t2-t1=-1==0.67s
333
3、若简谐振动方程为x=0.1cos[20πt+π/4]m，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相；
（2）t=2s时的位移、速度和加速度. 解：(1)可用比较法求解.
据x=Acos[ωt+ϕ]=0.1cos[20πt+π/4]
得：振幅A=0.1m，角频率ω=20πrad/s，频率ν=ω/2π=10s-1， 周期T=1/ν=0.1s，ϕ=π/4rad
（2）t=2s时，振动相位为：ϕ=20πt+π/4=(40π+π/4)rad 据x=Acosϕ，ν=-Aωsinϕ，a=-Aω2cosϕ=-ω2x得 x=0.0707m,ν=-4.44m/s,a=-279m/s2
4、一简谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程. 解：设所求方程为x=Acos(ωt+ϕ)
当t=0时：x1=-5cm,v10 据旋转矢量图可以看出， ϕt=2=-π+2π=3π/2rad
所以，2秒内相位的改变量∆ϕ=ϕt=2-ϕt=0=3π/2-2π/3=5π/6rad
题图4
据∆ϕ=ω∆t可求出：ω=∆ϕ/∆t=5π/12rad/s
52
于是：所求振动方程为：x=0.1cos(πt+π)(SI)
123
5、一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向轴正方向运动，求：
（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；
（2）物体从x=-0.03m处向x轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？
解：设该物体的振动方程为x=Acos(ωt+ϕ) 依题意知：ω=2π/T=πrad/s,A=0.06m 据ϕ=±cos-1
x0
得ϕ=±π/3(rad) A
由于v0>0,应取ϕ=-π/3(rad) 可得：x=0.06cos(πt-π/3)
（1）t=0.5s时，振动相位为：ϕ=πt-π/3=π/6rad 据x=Acosϕ,得x=0.052m,
v=-Aωsinϕ,v=-0.094m/s,
a=-Aω2cosϕ=-ω2x a=-0.512m/s2
（2）由A旋转矢量图可知，物体从x=-0.03mm处向x轴负方向运动，到达平衡位置时，A矢量转过的角度为∆ϕ=5π/6，该过程所需时间为：
∆t=∆ϕ/ω=0.833s
题图5
第10章 波动 作 业
一、教材：选择填空题 1～5；计算题：12，13，14， 21，30 二、附加题
（一）、选择题
1、一平面简谐波的波动方程为y = 0.1cos(3πt－πx+π) (SI). t = 0时的波形曲线如图所示，则： C
(A) O点的振幅为-0.1m . (B) 波长为3m . (C) a、b两点间相位差为π/2 . (D) 波速为9m/s .
(A) y = 0.5cos[4π (t－x/8)－π/2] (cm) . (B) y
= 0.5cos[4π (t + x/8) + π/2] (cm) . (C) y = 0.5cos[4π (t + x/8)－π/2] (cm) .
2、某平面简谐波在t = 0.25s时波形如图所示
(D) y = 0.5cos[4π (t－x/8) + π/2] (cm) . 3、一平面简谐波在t=0时刻的波形曲线如图所示 ，则O点的振动初位相为： D
(A)0;
1(B)π;
2
(C)π;
3(D)π
2
选择题(3)
选择题
(4)
4、一平面简谐波 ，其振幅为A ，频率为v ，波沿x轴正方向传播 ，设t=t0时
刻波形如图所示 ，则x=0处质点振动方程为：B
ππ
(A)y=Acos[2πv(t+t0)+];(B)y=Acos[2πv(t-t0)+];
22
π
(C)y=Acos[2πv(t-t0)-];(D)y=Acos[2πv(t-t0)+π];
2
5、关于产生驻波的条件,以下说法正确的是： D (A) 任何两列波叠加都会产生驻波； (B) 任何两列相干波叠加都能产生驻波； (C) 两列振幅相同的相干波叠加能产生驻波；
(D) 两列振幅相同，在同一直线上沿相反方向传播的相干波叠加才能产生驻波. (二) 计算题
1、如图所示 ，一平面简谐波沿Ox轴传播 ，
x
波动方程为y=Acos[2π(vt-)+ϕ] ，
λ
求：1）P处质点的振动方程； 2）该质点的速度表达式与加速度表达式 。
L⎫⎛
解：1）P处质点的振动方程 y=Acos 2πvt+2π+ϕ⎪
λ⎭⎝
L⎫⎛
2）速度 v=-2πAνsin 2πvt+2π+ϕ⎪
λ⎭⎝
L⎫⎛
加速度 a=-4π2Aν2cos 2πvt+2π+ϕ⎪
λ⎭⎝
2、一列简谐波沿x轴正向传播，
在t1 = 0s，t2 = 0.25s时刻的波形如图所示．
求：（1）P点的振动表达式； （2）波动方程； 解：1）A=0.2m T=1s ω=2π
π
t=0时，cosϕ=0 向上运动 ϕ=- 2
P点的振动表达式 y=0.2cos 2πt-
⎛⎝
π⎫
⎪ m 2⎭
4
2) λ=0.45⨯=0.6m u=0.6s
3
t=0,x=0时 cosϕ=0 向下运动 ϕ=
π
2
⎛⎛x⎫π⎫
波动方程 y=0.2cos 2π t-⎪+⎪
⎝⎝0.6⎭2⎭
3、 一平面简谐波在媒质中以速度为u = 0.2m·s-1沿
πx轴正向传播，已知波线上A点（xA = 0.05m）的振动方程为yA=0.03cos(4πt-)
2
(m)． 求：（1）简谐波的波动方程；（2）x = -0.05m处质点P处的振动方程． x0.05⎫π⎫π⎫ m ⎛解：（1）y=0.03cos⎛4π⎛t-+-=0.03cos4πt-5x+() ⎪ 0.20.2⎪2⎪2⎭⎭⎝⎝⎝⎭
3π（2）x = -0.05m y=0.03cos⎛ 4πt+
2⎝
⎫ m ⎪⎭
4、一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A=10cm，波的角频率ω=7πrad/s，当t=1.0s时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，而
x=20cm处的b质点正通过y=5.0cm点向y轴正方向运动.设该波波长λ>10cm，求该平面波的波方程.
解：设平面简谐波的波长为λ，坐标原点处质点振动初相为ϕ，则该列平面简谐波的表达式可写成 y=0.1cos(7πt-2πx/λ+ϕ)(SI)
t=1.0s时x=10cm 处 y=0.1cos[7π-2π(0.1/λ)+ϕ]=0 因此时a质点向y轴负方向运动，故
1
7π-2π(0.1/λ)+ϕ=π
2而此时, b质点正通过y=0.05m处，有
y=0.1cos[7π-2π(0.2/λ)+ϕ]=0.05，且质点b向y轴正方向运动，故
(1)
1
7π-2π(0.2/λ)+ϕ=-π
3
(2)
由(1)、(2)两式联立得 λ=0.24m ， ϕ=-17π/3
所以，该平面简谐波的表达式为：y=0.1cos[7πt-
πx
0.12
-
17
π](SI) 3
5、如图，一平面波在介质中以波速u=20m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振
u
-2
动方程为y=3⨯10cos4πt(SI).
(1)以A点为坐标原点写出波方程；
(2)以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波方程. 解：(1)坐标为x处质点的振动相位为
ωt+ϕ=4π[t+(x/u)]=4π[t+(x/20)] 波的表达式为 y=3⨯10-2cos4π[t+(x/20)](SI) (2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为
x-5
ωt+ϕ'=4π[t+](SI)
20
x
波的表达式为 y=3⨯10-2cos[4π(t+)-π](SI)
20
6、火车以u=30m/s的速度行驶，汽笛的频率为ν0=650Hz.在铁路近旁的公路上坐在汽车里的人在下列情况听到火车鸣笛的声音频率分别是多少？ (1)汽车静止；
(2)汽车以v=45km/h的速度与火车同向行驶.（设空气中声速为v=340m/s） 解: (1)火车迎面而来 ν=火车背离而去 ν=
V
ν0=713Hz V-u
题图5
V
0=597Hz V+uV-v
(2)汽车在前 ν=ν0=687Hz
V-u
V+v
火车在前 ν=0=619Hz
V+u