分式的知识点及典型例题分析
1、分式的定义：
例：下列式子中，
时，分式没有意义 例3：当x 时，分式
1x
有意义。 例4：当x 时，分式有意义 22
x-1x+1
9a215xy5a-b3a-b15
、8a2b、-、、、2-、、 232x-yam64x+y
22
x2-1
例5：当x 时，分式的值为0
x+1
a-2
11x2+13xy13例6：如果分式的值为为零,则a的值为( ) A. ±2 B.2 C. 、、、、、a+中分式的个数为（ ） （A） 2 a+2x2πm2x+y
（B） 3 （C） 4 (D) 5
练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .
-2 D.以上全不对
x2-x
例7：能使分式2的值为零的所有x的值是 （ ）
x-1
A x=0 B x=1 Cx=0 或x=1 Dx=0或x=±1
2x-7x1-5a2b2x2-x-2xy⑴； ⑵ -；⑶；⑷；⑸2-；⑹2.
x+523baπ2x+y2
（2）下列式子，哪些是分式？
3、分式的基本性质的应用：
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不
变。 例1：
a37x1bx+xyy3-； 2；； ；；-+. 5x+48+π45x-2yy
AA⋅C
=
BB⋅C
2、分式有，无意义，分式的值为零 （1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；
（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；
（3）使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。 例1：当x 时，分式
AA÷C
=
BB÷C(C≠0)
xy6x(y+z)5(3a+1)5==成立,则a的取值 ； ；如果=
7(3a+1)7aabyy+z3(y+z)2
范围是________； 例2：如果把分式
a+2b
中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ） a+b
2x+11
有意义； 例2：分式中，当x=____x-52-x
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变
xy
例3：如果把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
x+y
A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍
例3：下列式子正确的是( ) A
yzy+z2x+y-a+y
=0 B.=-1 C.-+=
xx-x2x+ya-y
-a
例4：根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
a-b
aaaaA B C - D -
-a-ba+ba-ba+b
例5：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，
D.
c-dc+dc-d-c+d
-==0 aaa
mmmm2-3m
-例4：化简的结果是（ ）A、 B、 C、 2
m+3m+3m-39-m
D、
0.2x-0.012
=；
-x-0.05
m
3-m
4、分式的约分及最简分式：
①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质． ③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式） 约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。 第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。 例1：下列式子（1）
3-x()=1； -4x2y
例5：约分： ；= ；=
3xy2xyx2-96xy2
11
x+y=3x+5y。
0.6x-y6、分式的乘，除，乘方：
acac
〃=. bdbd
acadad
分式的除法：除法法则：÷=〃=
bdbcbc
分式的乘法：乘法法测：
分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(
b-ab-aa-bx-y1
==-1；=；（2）；（3）22
c-aa-ca-bx-yx-y
（4）
-x+yx-y
=中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个
-x-yx+y
an
).b
例2：下列约分正确的是（ ）
x6x+yx+y12xy213
=0； C、2=； D、2= A、2=x； B、
x+yxx+xyx4xy2
anan
分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：()=n(n为正整数)
bb
例题：
116x3y456x426x2-25x4
a÷a∙÷例1、计算：（1） （2） （3） ∙101367
a125a100a15x39y
A. 4
例4：分式
B. 3 C. 2 D. 1
1a
，的最简公分母是 . 2
a-42a-4
a-ba2b2-a4x-2x2-25
∙∙2例2、计算：（4）2 （5） （6）2
x+5x-4a+abab-aa2-1a+1
÷ 2
a+4a+4a+2
2x3-8xx+2x2-2x+12-2x
⨯÷例3、计算：（1）2；（2）
x+1x+4x+42x-4x2-1
例5：分式
1-1
,的最简公分母为 。
x2-y2x2+xy
8、分式的加减：
分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。 2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。
通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。
6、分式的通分及最简公分母：
通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解） 例1：分式
112
,2,的最简公分母是（ ） m+nm-n2m-n
2
2
2
22
22n2a2+3a2-4
+2例1：-例2：2=
mma-1a-1
2
A．(m+n)(m-n) B．(m-n) C．(m+n)(m-n) 例3：D．m-n 例2：对分式
2
2
yxx+2yy2x
+= 例4：2= +-22222
x-yy-xx-yy-xx-y
ab4m-1
++ （2） （3） a-bb-am+3m+3
例4、计算：（1）
yx1
，2，通分时， 最简公分母是（ ） 2x3y4xy
2３
a2b2
-
(a-b)2(b-a)2
２
A．２４xy B．１２ｘｙ Ｃ．２４ｘｙ Ｄ．１２ｘｙ
（4）
２２２
x2-1x+y-x-1x2+y2
例3：下面各分式：2,2,,2，其中最简分式有（ ）个。 22
x+1x-yx+xx-y
bab14x-1122
+2++ （5） （6） +.
a2-93-aa+bb-a22-xx2-42+x
8、分式的混合运算：
例1：42x1x+3x2-2x2-16÷x-4+x+4 例2：x+1-x2-1∙x+1
x2+4x+3
例3：(x-2x+2x2-2x4x+2-x-2)∙x2 例4：⎛ ⎝2-⎫xx+3⎪⎭
∙x+1 9、分式其他类型试题：
例1：先化简，再对a取一个合适的数，代入求值
a+1a-3a2-6a+a-3-a+2÷9
a2-4
例2：已知
4ABx+C
x(x2
+4)=x+x2
+4
，则A=_____,B=_____,C=______；aa2
-ab+b2
例3：如果
b=2，则a2+b2
= 10、解分式方程：
（1）分式方程化为整式方程（2）解整式方程（3）检验 （4）给出结论
例1:解方程：
x-216x+2-x+2
x2-4=x-2
例2：已知：关于x的方程1+ax-3=x-4
3-x
无解，求a的值。 例3：分式方程xm
x-3+1=x-3
有增根，则m=
11、分式的应用题：
（1）列方程应用题的步骤 审； 设； 找； 列； 解； 验； 答
（2）有几种类型 a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
b.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题： 基本公式：工作量=工时×工效．
d.顺水逆水问题: v
顺水
=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．
例1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要______ 小时。
例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ）
A
120x+6=180x B 120x-6=180x C 120x=180120x+6 D x=180
x-6 例3：某煤厂原计划x天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，
因此提前2天完成任务，列出方程为（ ） A
120x-2=120x-3 B 120x=120x+2-3 C 120120
x+2=x-3 D 120x=120
x-2
-3 例1：A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆
流返回A地，共用去9
小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
例1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这
段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A、
v1+v22千米 B、v1v2v千米 C、2v1v2
千米 D、无法确定 1+v2v1+v2
分式的知识点及典型例题分析
1、分式的定义：
例：下列式子中，
时，分式没有意义 例3：当x 时，分式
1x
有意义。 例4：当x 时，分式有意义 22
x-1x+1
9a215xy5a-b3a-b15
、8a2b、-、、、2-、、 232x-yam64x+y
22
x2-1
例5：当x 时，分式的值为0
x+1
a-2
11x2+13xy13例6：如果分式的值为为零,则a的值为( ) A. ±2 B.2 C. 、、、、、a+中分式的个数为（ ） （A） 2 a+2x2πm2x+y
（B） 3 （C） 4 (D) 5
练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .
-2 D.以上全不对
x2-x
例7：能使分式2的值为零的所有x的值是 （ ）
x-1
A x=0 B x=1 Cx=0 或x=1 Dx=0或x=±1
2x-7x1-5a2b2x2-x-2xy⑴； ⑵ -；⑶；⑷；⑸2-；⑹2.
x+523baπ2x+y2
（2）下列式子，哪些是分式？
3、分式的基本性质的应用：
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不
变。 例1：
a37x1bx+xyy3-； 2；； ；；-+. 5x+48+π45x-2yy
AA⋅C
=
BB⋅C
2、分式有，无意义，分式的值为零 （1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；
（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；
（3）使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。 例1：当x 时，分式
AA÷C
=
BB÷C(C≠0)
xy6x(y+z)5(3a+1)5==成立,则a的取值 ； ；如果=
7(3a+1)7aabyy+z3(y+z)2
范围是________； 例2：如果把分式
a+2b
中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ） a+b
2x+11
有意义； 例2：分式中，当x=____x-52-x
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变
xy
例3：如果把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
x+y
A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍
例3：下列式子正确的是( ) A
yzy+z2x+y-a+y
=0 B.=-1 C.-+=
xx-x2x+ya-y
-a
例4：根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
a-b
aaaaA B C - D -
-a-ba+ba-ba+b
例5：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，
D.
c-dc+dc-d-c+d
-==0 aaa
mmmm2-3m
-例4：化简的结果是（ ）A、 B、 C、 2
m+3m+3m-39-m
D、
0.2x-0.012
=；
-x-0.05
m
3-m
4、分式的约分及最简分式：
①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质． ③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式） 约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。 第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。 例1：下列式子（1）
3-x()=1； -4x2y
例5：约分： ；= ；=
3xy2xyx2-96xy2
11
x+y=3x+5y。
0.6x-y6、分式的乘，除，乘方：
acac
〃=. bdbd
acadad
分式的除法：除法法则：÷=〃=
bdbcbc
分式的乘法：乘法法测：
分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(
b-ab-aa-bx-y1
==-1；=；（2）；（3）22
c-aa-ca-bx-yx-y
（4）
-x+yx-y
=中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个
-x-yx+y
an
).b
例2：下列约分正确的是（ ）
x6x+yx+y12xy213
=0； C、2=； D、2= A、2=x； B、
x+yxx+xyx4xy2
anan
分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：()=n(n为正整数)
bb
例题：
116x3y456x426x2-25x4
a÷a∙÷例1、计算：（1） （2） （3） ∙101367
a125a100a15x39y
A. 4
例4：分式
B. 3 C. 2 D. 1
1a
，的最简公分母是 . 2
a-42a-4
a-ba2b2-a4x-2x2-25
∙∙2例2、计算：（4）2 （5） （6）2
x+5x-4a+abab-aa2-1a+1
÷ 2
a+4a+4a+2
2x3-8xx+2x2-2x+12-2x
⨯÷例3、计算：（1）2；（2）
x+1x+4x+42x-4x2-1
例5：分式
1-1
,的最简公分母为 。
x2-y2x2+xy
8、分式的加减：
分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。 2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。
通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。
6、分式的通分及最简公分母：
通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解） 例1：分式
112
,2,的最简公分母是（ ） m+nm-n2m-n
2
2
2
22
22n2a2+3a2-4
+2例1：-例2：2=
mma-1a-1
2
A．(m+n)(m-n) B．(m-n) C．(m+n)(m-n) 例3：D．m-n 例2：对分式
2
2
yxx+2yy2x
+= 例4：2= +-22222
x-yy-xx-yy-xx-y
ab4m-1
++ （2） （3） a-bb-am+3m+3
例4、计算：（1）
yx1
，2，通分时， 最简公分母是（ ） 2x3y4xy
2３
a2b2
-
(a-b)2(b-a)2
２
A．２４xy B．１２ｘｙ Ｃ．２４ｘｙ Ｄ．１２ｘｙ
（4）
２２２
x2-1x+y-x-1x2+y2
例3：下面各分式：2,2,,2，其中最简分式有（ ）个。 22
x+1x-yx+xx-y
bab14x-1122
+2++ （5） （6） +.
a2-93-aa+bb-a22-xx2-42+x
8、分式的混合运算：
例1：42x1x+3x2-2x2-16÷x-4+x+4 例2：x+1-x2-1∙x+1
x2+4x+3
例3：(x-2x+2x2-2x4x+2-x-2)∙x2 例4：⎛ ⎝2-⎫xx+3⎪⎭
∙x+1 9、分式其他类型试题：
例1：先化简，再对a取一个合适的数，代入求值
a+1a-3a2-6a+a-3-a+2÷9
a2-4
例2：已知
4ABx+C
x(x2
+4)=x+x2
+4
，则A=_____,B=_____,C=______；aa2
-ab+b2
例3：如果
b=2，则a2+b2
= 10、解分式方程：
（1）分式方程化为整式方程（2）解整式方程（3）检验 （4）给出结论
例1:解方程：
x-216x+2-x+2
x2-4=x-2
例2：已知：关于x的方程1+ax-3=x-4
3-x
无解，求a的值。 例3：分式方程xm
x-3+1=x-3
有增根，则m=
11、分式的应用题：
（1）列方程应用题的步骤 审； 设； 找； 列； 解； 验； 答
（2）有几种类型 a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
b.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题： 基本公式：工作量=工时×工效．
d.顺水逆水问题: v
顺水
=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．
例1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要______ 小时。
例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ）
A
120x+6=180x B 120x-6=180x C 120x=180120x+6 D x=180
x-6 例3：某煤厂原计划x天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，
因此提前2天完成任务，列出方程为（ ） A
120x-2=120x-3 B 120x=120x+2-3 C 120120
x+2=x-3 D 120x=120
x-2
-3 例1：A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆
流返回A地，共用去9
小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
例1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这
段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A、
v1+v22千米 B、v1v2v千米 C、2v1v2
千米 D、无法确定 1+v2v1+v2