分式的知识点及典型例题分析
1、分式的定义:
例:下列式子中,
时,分式没有意义 例3:当x 时,分式
1x
有意义。 例4:当x 时,分式有意义 22
x-1x+1
9a215xy5a-b3a-b15
、8a2b、-、、、2-、、 232x-yam64x+y
22
x2-1
例5:当x 时,分式的值为0
x+1
a-2
11x2+13xy13例6:如果分式的值为为零,则a的值为( ) A. ±2 B.2 C. 、、、、、a+中分式的个数为( ) (A) 2 a+2x2πm2x+y
(B) 3 (C) 4 (D) 5
练习题:(1)下列式子中,是分式的有 .
-2 D.以上全不对
x2-x
例7:能使分式2的值为零的所有x的值是 ( )
x-1
A x=0 B x=1 Cx=0 或x=1 Dx=0或x=±1
2x-7x1-5a2b2x2-x-2xy⑴; ⑵ -;⑶;⑷;⑸2-;⑹2.
x+523baπ2x+y2
(2)下列式子,哪些是分式?
3、分式的基本性质的应用:
分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不
变。 例1:
a37x1bx+xyy3-; 2;; ;;-+. 5x+48+π45x-2yy
AA⋅C
=
BB⋅C
2、分式有,无意义,分式的值为零 (1)使分式有意义:令分母≠0按解方程的方法去求解;
(2)使分式无意义:令分母=0按解方程的方法去求解;
(3)使分式值为零:令分子=0且分母≠0,注意:当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,那么要舍去。 例1:当x 时,分式
AA÷C
=
BB÷C(C≠0)
xy6x(y+z)5(3a+1)5==成立,则a的取值 ; ;如果=
7(3a+1)7aabyy+z3(y+z)2
范围是________; 例2:如果把分式
a+2b
中的a和b都扩大10倍,那么分式的值( ) a+b
2x+11
有意义; 例2:分式中,当x=____x-52-x
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变
xy
例3:如果把分式中的x和y都扩大2倍,即分式的值( )
x+y
A、扩大2倍; B、扩大4倍; C、不变; D缩小2倍
例3:下列式子正确的是( ) A
yzy+z2x+y-a+y
=0 B.=-1 C.-+=
xx-x2x+ya-y
-a
例4:根据分式的基本性质,分式可变形为( )
a-b
aaaaA B C - D -
-a-ba+ba-ba+b
例5:不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数,
D.
c-dc+dc-d-c+d
-==0 aaa
mmmm2-3m
-例4:化简的结果是( )A、 B、 C、 2
m+3m+3m-39-m
D、
0.2x-0.012
=;
-x-0.05
m
3-m
4、分式的约分及最简分式:
①约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分 ②分式约分的依据:分式的基本性质. ③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式. ④约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式) 约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。 第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。 例1:下列式子(1)
3-x()=1; -4x2y
例5:约分: ;= ;=
3xy2xyx2-96xy2
11
x+y=3x+5y。
0.6x-y6、分式的乘,除,乘方:
acac
〃=. bdbd
acadad
分式的除法:除法法则:÷=〃=
bdbcbc
分式的乘法:乘法法测:
分式的乘方:求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(
b-ab-aa-bx-y1
==-1;=;(2);(3)22
c-aa-ca-bx-yx-y
(4)
-x+yx-y
=中正确的是( )A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个
-x-yx+y
an
).b
例2:下列约分正确的是( )
x6x+yx+y12xy213
=0; C、2=; D、2= A、2=x; B、
x+yxx+xyx4xy2
anan
分式的乘方,是把分子、分母各自乘方.用式子表示为:()=n(n为正整数)
bb
例题:
116x3y456x426x2-25x4
a÷a∙÷例1、计算:(1) (2) (3) ∙101367
a125a100a15x39y
A. 4
例4:分式
B. 3 C. 2 D. 1
1a
,的最简公分母是 . 2
a-42a-4
a-ba2b2-a4x-2x2-25
∙∙2例2、计算:(4)2 (5) (6)2
x+5x-4a+abab-aa2-1a+1
÷ 2
a+4a+4a+2
2x3-8xx+2x2-2x+12-2x
⨯÷例3、计算:(1)2;(2)
x+1x+4x+42x-4x2-1
例5:分式
1-1
,的最简公分母为 。
x2-y2x2+xy
8、分式的加减:
分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。 2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。
通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,如果是单项式那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型,继续通分。
分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式与分式的加减。
6、分式的通分及最简公分母:
通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类:分母是多项式(要先把分母因式分解) 例1:分式
112
,2,的最简公分母是( ) m+nm-n2m-n
2
2
2
22
22n2a2+3a2-4
+2例1:-例2:2=
mma-1a-1
2
A.(m+n)(m-n) B.(m-n) C.(m+n)(m-n) 例3:D.m-n 例2:对分式
2
2
yxx+2yy2x
+= 例4:2= +-22222
x-yy-xx-yy-xx-y
ab4m-1
++ (2) (3) a-bb-am+3m+3
例4、计算:(1)
yx1
,2,通分时, 最简公分母是( ) 2x3y4xy
23
a2b2
-
(a-b)2(b-a)2
2
A.24xy B.12xy C.24xy D.12xy
(4)
222
x2-1x+y-x-1x2+y2
例3:下面各分式:2,2,,2,其中最简分式有( )个。 22
x+1x-yx+xx-y
bab14x-1122
+2++ (5) (6) +.
a2-93-aa+bb-a22-xx2-42+x
8、分式的混合运算:
例1:42x1x+3x2-2x2-16÷x-4+x+4 例2:x+1-x2-1∙x+1
x2+4x+3
例3:(x-2x+2x2-2x4x+2-x-2)∙x2 例4:⎛ ⎝2-⎫xx+3⎪⎭
∙x+1 9、分式其他类型试题:
例1:先化简,再对a取一个合适的数,代入求值
a+1a-3a2-6a+a-3-a+2÷9
a2-4
例2:已知
4ABx+C
x(x2
+4)=x+x2
+4
,则A=_____,B=_____,C=______;aa2
-ab+b2
例3:如果
b=2,则a2+b2
= 10、解分式方程:
(1)分式方程化为整式方程(2)解整式方程(3)检验 (4)给出结论
例1:解方程:
x-216x+2-x+2
x2-4=x-2
例2:已知:关于x的方程1+ax-3=x-4
3-x
无解,求a的值。 例3:分式方程xm
x-3+1=x-3
有增根,则m=
11、分式的应用题:
(1)列方程应用题的步骤 审; 设; 找; 列; 解; 验; 答
(2)有几种类型 a.行程问题:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.
b.数字问题: 在数字问题中要掌握十进制数的表示法. c.工程问题: 基本公式:工作量=工时×工效.
d.顺水逆水问题: v
顺水
=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.
例1:一项工程,甲需x小时完成,乙需y小时完成,则两人一起完成这项工程需要______ 小时。
例2:小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打6个字,小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟,则列方程正确的是( )
A
120x+6=180x B 120x-6=180x C 120x=180120x+6 D x=180
x-6 例3:某煤厂原计划x天生产120吨煤,由于采用新的技术,每天增加生产3吨,
因此提前2天完成任务,列出方程为( ) A
120x-2=120x-3 B 120x=120x+2-3 C 120120
x+2=x-3 D 120x=120
x-2
-3 例1:A、B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从B地逆
流返回A地,共用去9
小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程( )
例1:在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米,下坡时的速度为每小时V2千米,则他在这
段路上、下坡的平均速度是每小时( ) A、
v1+v22千米 B、v1v2v千米 C、2v1v2
千米 D、无法确定 1+v2v1+v2
分式的知识点及典型例题分析
1、分式的定义:
例:下列式子中,
时,分式没有意义 例3:当x 时,分式
1x
有意义。 例4:当x 时,分式有意义 22
x-1x+1
9a215xy5a-b3a-b15
、8a2b、-、、、2-、、 232x-yam64x+y
22
x2-1
例5:当x 时,分式的值为0
x+1
a-2
11x2+13xy13例6:如果分式的值为为零,则a的值为( ) A. ±2 B.2 C. 、、、、、a+中分式的个数为( ) (A) 2 a+2x2πm2x+y
(B) 3 (C) 4 (D) 5
练习题:(1)下列式子中,是分式的有 .
-2 D.以上全不对
x2-x
例7:能使分式2的值为零的所有x的值是 ( )
x-1
A x=0 B x=1 Cx=0 或x=1 Dx=0或x=±1
2x-7x1-5a2b2x2-x-2xy⑴; ⑵ -;⑶;⑷;⑸2-;⑹2.
x+523baπ2x+y2
(2)下列式子,哪些是分式?
3、分式的基本性质的应用:
分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不
变。 例1:
a37x1bx+xyy3-; 2;; ;;-+. 5x+48+π45x-2yy
AA⋅C
=
BB⋅C
2、分式有,无意义,分式的值为零 (1)使分式有意义:令分母≠0按解方程的方法去求解;
(2)使分式无意义:令分母=0按解方程的方法去求解;
(3)使分式值为零:令分子=0且分母≠0,注意:当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,那么要舍去。 例1:当x 时,分式
AA÷C
=
BB÷C(C≠0)
xy6x(y+z)5(3a+1)5==成立,则a的取值 ; ;如果=
7(3a+1)7aabyy+z3(y+z)2
范围是________; 例2:如果把分式
a+2b
中的a和b都扩大10倍,那么分式的值( ) a+b
2x+11
有意义; 例2:分式中,当x=____x-52-x
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变
xy
例3:如果把分式中的x和y都扩大2倍,即分式的值( )
x+y
A、扩大2倍; B、扩大4倍; C、不变; D缩小2倍
例3:下列式子正确的是( ) A
yzy+z2x+y-a+y
=0 B.=-1 C.-+=
xx-x2x+ya-y
-a
例4:根据分式的基本性质,分式可变形为( )
a-b
aaaaA B C - D -
-a-ba+ba-ba+b
例5:不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数,
D.
c-dc+dc-d-c+d
-==0 aaa
mmmm2-3m
-例4:化简的结果是( )A、 B、 C、 2
m+3m+3m-39-m
D、
0.2x-0.012
=;
-x-0.05
m
3-m
4、分式的约分及最简分式:
①约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分 ②分式约分的依据:分式的基本性质. ③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式. ④约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式) 约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。 第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。 例1:下列式子(1)
3-x()=1; -4x2y
例5:约分: ;= ;=
3xy2xyx2-96xy2
11
x+y=3x+5y。
0.6x-y6、分式的乘,除,乘方:
acac
〃=. bdbd
acadad
分式的除法:除法法则:÷=〃=
bdbcbc
分式的乘法:乘法法测:
分式的乘方:求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(
b-ab-aa-bx-y1
==-1;=;(2);(3)22
c-aa-ca-bx-yx-y
(4)
-x+yx-y
=中正确的是( )A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个
-x-yx+y
an
).b
例2:下列约分正确的是( )
x6x+yx+y12xy213
=0; C、2=; D、2= A、2=x; B、
x+yxx+xyx4xy2
anan
分式的乘方,是把分子、分母各自乘方.用式子表示为:()=n(n为正整数)
bb
例题:
116x3y456x426x2-25x4
a÷a∙÷例1、计算:(1) (2) (3) ∙101367
a125a100a15x39y
A. 4
例4:分式
B. 3 C. 2 D. 1
1a
,的最简公分母是 . 2
a-42a-4
a-ba2b2-a4x-2x2-25
∙∙2例2、计算:(4)2 (5) (6)2
x+5x-4a+abab-aa2-1a+1
÷ 2
a+4a+4a+2
2x3-8xx+2x2-2x+12-2x
⨯÷例3、计算:(1)2;(2)
x+1x+4x+42x-4x2-1
例5:分式
1-1
,的最简公分母为 。
x2-y2x2+xy
8、分式的加减:
分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。 2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。
通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,如果是单项式那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型,继续通分。
分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式与分式的加减。
6、分式的通分及最简公分母:
通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类:分母是多项式(要先把分母因式分解) 例1:分式
112
,2,的最简公分母是( ) m+nm-n2m-n
2
2
2
22
22n2a2+3a2-4
+2例1:-例2:2=
mma-1a-1
2
A.(m+n)(m-n) B.(m-n) C.(m+n)(m-n) 例3:D.m-n 例2:对分式
2
2
yxx+2yy2x
+= 例4:2= +-22222
x-yy-xx-yy-xx-y
ab4m-1
++ (2) (3) a-bb-am+3m+3
例4、计算:(1)
yx1
,2,通分时, 最简公分母是( ) 2x3y4xy
23
a2b2
-
(a-b)2(b-a)2
2
A.24xy B.12xy C.24xy D.12xy
(4)
222
x2-1x+y-x-1x2+y2
例3:下面各分式:2,2,,2,其中最简分式有( )个。 22
x+1x-yx+xx-y
bab14x-1122
+2++ (5) (6) +.
a2-93-aa+bb-a22-xx2-42+x
8、分式的混合运算:
例1:42x1x+3x2-2x2-16÷x-4+x+4 例2:x+1-x2-1∙x+1
x2+4x+3
例3:(x-2x+2x2-2x4x+2-x-2)∙x2 例4:⎛ ⎝2-⎫xx+3⎪⎭
∙x+1 9、分式其他类型试题:
例1:先化简,再对a取一个合适的数,代入求值
a+1a-3a2-6a+a-3-a+2÷9
a2-4
例2:已知
4ABx+C
x(x2
+4)=x+x2
+4
,则A=_____,B=_____,C=______;aa2
-ab+b2
例3:如果
b=2,则a2+b2
= 10、解分式方程:
(1)分式方程化为整式方程(2)解整式方程(3)检验 (4)给出结论
例1:解方程:
x-216x+2-x+2
x2-4=x-2
例2:已知:关于x的方程1+ax-3=x-4
3-x
无解,求a的值。 例3:分式方程xm
x-3+1=x-3
有增根,则m=
11、分式的应用题:
(1)列方程应用题的步骤 审; 设; 找; 列; 解; 验; 答
(2)有几种类型 a.行程问题:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.
b.数字问题: 在数字问题中要掌握十进制数的表示法. c.工程问题: 基本公式:工作量=工时×工效.
d.顺水逆水问题: v
顺水
=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.
例1:一项工程,甲需x小时完成,乙需y小时完成,则两人一起完成这项工程需要______ 小时。
例2:小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打6个字,小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟,则列方程正确的是( )
A
120x+6=180x B 120x-6=180x C 120x=180120x+6 D x=180
x-6 例3:某煤厂原计划x天生产120吨煤,由于采用新的技术,每天增加生产3吨,
因此提前2天完成任务,列出方程为( ) A
120x-2=120x-3 B 120x=120x+2-3 C 120120
x+2=x-3 D 120x=120
x-2
-3 例1:A、B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从B地逆
流返回A地,共用去9
小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程( )
例1:在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米,下坡时的速度为每小时V2千米,则他在这
段路上、下坡的平均速度是每小时( ) A、
v1+v22千米 B、v1v2v千米 C、2v1v2
千米 D、无法确定 1+v2v1+v2