八上分式的知识点及典型例题分析

分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义:

例:下列式子中,

时,分式没有意义 例3:当x 时,分式

1x

有意义。 例4:当x 时,分式有意义 22

x-1x+1

9a215xy5a-b3a-b15

、8a2b、-、、、2-、、 232x-yam64x+y

22

x2-1

例5:当x 时,分式的值为0

x+1

a-2

11x2+13xy13例6:如果分式的值为为零,则a的值为( ) A. ±2 B.2 C. 、、、、、a+中分式的个数为( ) (A) 2 a+2x2πm2x+y

(B) 3 (C) 4 (D) 5

练习题:(1)下列式子中,是分式的有 .

-2 D.以上全不对

x2-x

例7:能使分式2的值为零的所有x的值是 ( )

x-1

A x=0 B x=1 Cx=0 或x=1 Dx=0或x=±1

2x-7x1-5a2b2x2-x-2xy⑴; ⑵ -;⑶;⑷;⑸2-;⑹2.

x+523baπ2x+y2

(2)下列式子,哪些是分式?

3、分式的基本性质的应用:

分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不

变。 例1:

a37x1bx+xyy3-; 2;; ;;-+. 5x+48+π45x-2yy

AA⋅C

=

BB⋅C

2、分式有,无意义,分式的值为零 (1)使分式有意义:令分母≠0按解方程的方法去求解;

(2)使分式无意义:令分母=0按解方程的方法去求解;

(3)使分式值为零:令分子=0且分母≠0,注意:当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,那么要舍去。 例1:当x 时,分式

AA÷C

=

BB÷C(C≠0)

xy6x(y+z)5(3a+1)5==成立,则a的取值 ; ;如果=

7(3a+1)7aabyy+z3(y+z)2

范围是________; 例2:如果把分式

a+2b

中的a和b都扩大10倍,那么分式的值( ) a+b

2x+11

有意义; 例2:分式中,当x=____x-52-x

A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变

xy

例3:如果把分式中的x和y都扩大2倍,即分式的值( )

x+y

A、扩大2倍; B、扩大4倍; C、不变; D缩小2倍

例3:下列式子正确的是( ) A

yzy+z2x+y-a+y

=0 B.=-1 C.-+=

xx-x2x+ya-y

-a

例4:根据分式的基本性质,分式可变形为( )

a-b

aaaaA B C - D -

-a-ba+ba-ba+b

例5:不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数,

D.

c-dc+dc-d-c+d

-==0 aaa

mmmm2-3m

-例4:化简的结果是( )A、 B、 C、 2

m+3m+3m-39-m

D、

0.2x-0.012

=;

-x-0.05

m

3-m

4、分式的约分及最简分式:

①约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分 ②分式约分的依据:分式的基本性质. ③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式. ④约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式) 约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。 第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。 例1:下列式子(1)

3-x()=1; -4x2y

例5:约分: ;= ;=

3xy2xyx2-96xy2

11

x+y=3x+5y。

0.6x-y6、分式的乘,除,乘方:

acac

〃=. bdbd

acadad

分式的除法:除法法则:÷=〃=

bdbcbc

分式的乘法:乘法法测:

分式的乘方:求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(

b-ab-aa-bx-y1

==-1;=;(2);(3)22

c-aa-ca-bx-yx-y

(4)

-x+yx-y

=中正确的是( )A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个

-x-yx+y

an

).b

例2:下列约分正确的是( )

x6x+yx+y12xy213

=0; C、2=; D、2= A、2=x; B、

x+yxx+xyx4xy2

anan

分式的乘方,是把分子、分母各自乘方.用式子表示为:()=n(n为正整数)

bb

例题:

116x3y456x426x2-25x4

a÷a∙÷例1、计算:(1) (2) (3) ∙101367

a125a100a15x39y

A. 4

例4:分式

B. 3 C. 2 D. 1

1a

,的最简公分母是 . 2

a-42a-4

a-ba2b2-a4x-2x2-25

∙∙2例2、计算:(4)2 (5) (6)2

x+5x-4a+abab-aa2-1a+1

÷ 2

a+4a+4a+2

2x3-8xx+2x2-2x+12-2x

⨯÷例3、计算:(1)2;(2)

x+1x+4x+42x-4x2-1

例5:分式

1-1

,的最简公分母为 。

x2-y2x2+xy

8、分式的加减:

分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。 2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。

通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,如果是单项式那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型,继续通分。

分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式与分式的加减。

6、分式的通分及最简公分母:

通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类:分母是多项式(要先把分母因式分解) 例1:分式

112

,2,的最简公分母是( ) m+nm-n2m-n

2

2

2

22

22n2a2+3a2-4

+2例1:-例2:2=

mma-1a-1

2

A.(m+n)(m-n) B.(m-n) C.(m+n)(m-n) 例3:D.m-n 例2:对分式

2

2

yxx+2yy2x

+= 例4:2= +-22222

x-yy-xx-yy-xx-y

ab4m-1

++ (2) (3) a-bb-am+3m+3

例4、计算:(1)

yx1

,2,通分时, 最简公分母是( ) 2x3y4xy

23

a2b2

-

(a-b)2(b-a)2

A.24xy B.12xy C.24xy D.12xy

(4)

222

x2-1x+y-x-1x2+y2

例3:下面各分式:2,2,,2,其中最简分式有( )个。 22

x+1x-yx+xx-y

bab14x-1122

+2++ (5) (6) +.

a2-93-aa+bb-a22-xx2-42+x

8、分式的混合运算:

例1:42x1x+3x2-2x2-16÷x-4+x+4 例2:x+1-x2-1∙x+1

x2+4x+3

例3:(x-2x+2x2-2x4x+2-x-2)∙x2 例4:⎛ ⎝2-⎫xx+3⎪⎭

∙x+1 9、分式其他类型试题:

例1:先化简,再对a取一个合适的数,代入求值

a+1a-3a2-6a+a-3-a+2÷9

a2-4

例2:已知

4ABx+C

x(x2

+4)=x+x2

+4

,则A=_____,B=_____,C=______;aa2

-ab+b2

例3:如果

b=2,则a2+b2

= 10、解分式方程:

(1)分式方程化为整式方程(2)解整式方程(3)检验 (4)给出结论

例1:解方程:

x-216x+2-x+2

x2-4=x-2

例2:已知:关于x的方程1+ax-3=x-4

3-x

无解,求a的值。 例3:分式方程xm

x-3+1=x-3

有增根,则m=

11、分式的应用题:

(1)列方程应用题的步骤 审; 设; 找; 列; 解; 验; 答

(2)有几种类型 a.行程问题:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

b.数字问题: 在数字问题中要掌握十进制数的表示法. c.工程问题: 基本公式:工作量=工时×工效.

d.顺水逆水问题: v

顺水

=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.

例1:一项工程,甲需x小时完成,乙需y小时完成,则两人一起完成这项工程需要______ 小时。

例2:小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打6个字,小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟,则列方程正确的是( )

A

120x+6=180x B 120x-6=180x C 120x=180120x+6 D x=180

x-6 例3:某煤厂原计划x天生产120吨煤,由于采用新的技术,每天增加生产3吨,

因此提前2天完成任务,列出方程为( ) A

120x-2=120x-3 B 120x=120x+2-3 C 120120

x+2=x-3 D 120x=120

x-2

-3 例1:A、B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从B地逆

流返回A地,共用去9

小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程( )

例1:在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米,下坡时的速度为每小时V2千米,则他在这

段路上、下坡的平均速度是每小时( ) A、

v1+v22千米 B、v1v2v千米 C、2v1v2

千米 D、无法确定 1+v2v1+v2

分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义:

例:下列式子中,

时,分式没有意义 例3:当x 时,分式

1x

有意义。 例4:当x 时,分式有意义 22

x-1x+1

9a215xy5a-b3a-b15

、8a2b、-、、、2-、、 232x-yam64x+y

22

x2-1

例5:当x 时,分式的值为0

x+1

a-2

11x2+13xy13例6:如果分式的值为为零,则a的值为( ) A. ±2 B.2 C. 、、、、、a+中分式的个数为( ) (A) 2 a+2x2πm2x+y

(B) 3 (C) 4 (D) 5

练习题:(1)下列式子中,是分式的有 .

-2 D.以上全不对

x2-x

例7:能使分式2的值为零的所有x的值是 ( )

x-1

A x=0 B x=1 Cx=0 或x=1 Dx=0或x=±1

2x-7x1-5a2b2x2-x-2xy⑴; ⑵ -;⑶;⑷;⑸2-;⑹2.

x+523baπ2x+y2

(2)下列式子,哪些是分式?

3、分式的基本性质的应用:

分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不

变。 例1:

a37x1bx+xyy3-; 2;; ;;-+. 5x+48+π45x-2yy

AA⋅C

=

BB⋅C

2、分式有,无意义,分式的值为零 (1)使分式有意义:令分母≠0按解方程的方法去求解;

(2)使分式无意义:令分母=0按解方程的方法去求解;

(3)使分式值为零:令分子=0且分母≠0,注意:当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,那么要舍去。 例1:当x 时,分式

AA÷C

=

BB÷C(C≠0)

xy6x(y+z)5(3a+1)5==成立,则a的取值 ; ;如果=

7(3a+1)7aabyy+z3(y+z)2

范围是________; 例2:如果把分式

a+2b

中的a和b都扩大10倍,那么分式的值( ) a+b

2x+11

有意义; 例2:分式中,当x=____x-52-x

A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变

xy

例3:如果把分式中的x和y都扩大2倍,即分式的值( )

x+y

A、扩大2倍; B、扩大4倍; C、不变; D缩小2倍

例3:下列式子正确的是( ) A

yzy+z2x+y-a+y

=0 B.=-1 C.-+=

xx-x2x+ya-y

-a

例4:根据分式的基本性质,分式可变形为( )

a-b

aaaaA B C - D -

-a-ba+ba-ba+b

例5:不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数,

D.

c-dc+dc-d-c+d

-==0 aaa

mmmm2-3m

-例4:化简的结果是( )A、 B、 C、 2

m+3m+3m-39-m

D、

0.2x-0.012

=;

-x-0.05

m

3-m

4、分式的约分及最简分式:

①约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分 ②分式约分的依据:分式的基本性质. ③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式. ④约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式) 约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。 第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。 例1:下列式子(1)

3-x()=1; -4x2y

例5:约分: ;= ;=

3xy2xyx2-96xy2

11

x+y=3x+5y。

0.6x-y6、分式的乘,除,乘方:

acac

〃=. bdbd

acadad

分式的除法:除法法则:÷=〃=

bdbcbc

分式的乘法:乘法法测:

分式的乘方:求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(

b-ab-aa-bx-y1

==-1;=;(2);(3)22

c-aa-ca-bx-yx-y

(4)

-x+yx-y

=中正确的是( )A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个

-x-yx+y

an

).b

例2:下列约分正确的是( )

x6x+yx+y12xy213

=0; C、2=; D、2= A、2=x; B、

x+yxx+xyx4xy2

anan

分式的乘方,是把分子、分母各自乘方.用式子表示为:()=n(n为正整数)

bb

例题:

116x3y456x426x2-25x4

a÷a∙÷例1、计算:(1) (2) (3) ∙101367

a125a100a15x39y

A. 4

例4:分式

B. 3 C. 2 D. 1

1a

,的最简公分母是 . 2

a-42a-4

a-ba2b2-a4x-2x2-25

∙∙2例2、计算:(4)2 (5) (6)2

x+5x-4a+abab-aa2-1a+1

÷ 2

a+4a+4a+2

2x3-8xx+2x2-2x+12-2x

⨯÷例3、计算:(1)2;(2)

x+1x+4x+42x-4x2-1

例5:分式

1-1

,的最简公分母为 。

x2-y2x2+xy

8、分式的加减:

分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。 2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。

通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,如果是单项式那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型,继续通分。

分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式与分式的加减。

6、分式的通分及最简公分母:

通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类:分母是多项式(要先把分母因式分解) 例1:分式

112

,2,的最简公分母是( ) m+nm-n2m-n

2

2

2

22

22n2a2+3a2-4

+2例1:-例2:2=

mma-1a-1

2

A.(m+n)(m-n) B.(m-n) C.(m+n)(m-n) 例3:D.m-n 例2:对分式

2

2

yxx+2yy2x

+= 例4:2= +-22222

x-yy-xx-yy-xx-y

ab4m-1

++ (2) (3) a-bb-am+3m+3

例4、计算:(1)

yx1

,2,通分时, 最简公分母是( ) 2x3y4xy

23

a2b2

-

(a-b)2(b-a)2

A.24xy B.12xy C.24xy D.12xy

(4)

222

x2-1x+y-x-1x2+y2

例3:下面各分式:2,2,,2,其中最简分式有( )个。 22

x+1x-yx+xx-y

bab14x-1122

+2++ (5) (6) +.

a2-93-aa+bb-a22-xx2-42+x

8、分式的混合运算:

例1:42x1x+3x2-2x2-16÷x-4+x+4 例2:x+1-x2-1∙x+1

x2+4x+3

例3:(x-2x+2x2-2x4x+2-x-2)∙x2 例4:⎛ ⎝2-⎫xx+3⎪⎭

∙x+1 9、分式其他类型试题:

例1:先化简,再对a取一个合适的数,代入求值

a+1a-3a2-6a+a-3-a+2÷9

a2-4

例2:已知

4ABx+C

x(x2

+4)=x+x2

+4

,则A=_____,B=_____,C=______;aa2

-ab+b2

例3:如果

b=2,则a2+b2

= 10、解分式方程:

(1)分式方程化为整式方程(2)解整式方程(3)检验 (4)给出结论

例1:解方程:

x-216x+2-x+2

x2-4=x-2

例2:已知:关于x的方程1+ax-3=x-4

3-x

无解,求a的值。 例3:分式方程xm

x-3+1=x-3

有增根,则m=

11、分式的应用题:

(1)列方程应用题的步骤 审; 设; 找; 列; 解; 验; 答

(2)有几种类型 a.行程问题:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

b.数字问题: 在数字问题中要掌握十进制数的表示法. c.工程问题: 基本公式:工作量=工时×工效.

d.顺水逆水问题: v

顺水

=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.

例1:一项工程,甲需x小时完成,乙需y小时完成,则两人一起完成这项工程需要______ 小时。

例2:小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打6个字,小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟,则列方程正确的是( )

A

120x+6=180x B 120x-6=180x C 120x=180120x+6 D x=180

x-6 例3:某煤厂原计划x天生产120吨煤,由于采用新的技术,每天增加生产3吨,

因此提前2天完成任务,列出方程为( ) A

120x-2=120x-3 B 120x=120x+2-3 C 120120

x+2=x-3 D 120x=120

x-2

-3 例1:A、B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从B地逆

流返回A地,共用去9

小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程( )

例1:在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米,下坡时的速度为每小时V2千米,则他在这

段路上、下坡的平均速度是每小时( ) A、

v1+v22千米 B、v1v2v千米 C、2v1v2

千米 D、无法确定 1+v2v1+v2


相关内容

  • 典型课教案9.1分式及其基本性质
  • 一.教学目标: 9.1 分式及其基本性质 1.知识与技能目标: (1).能用分式表示现实情景中的数量关系,体会分式的模型思想,进一步发展符号感: (2).了解分式和有理式的概念,明确分式与整式的区别: (3).理解并掌握分式有意义.无意义及其值为零的条件. 2.过程与方法目标: (1).让学生在判断 ...

  • 初二数学分式典型例题复习和考点总结
  • 第十六章分式知识点和典型例习题 [知识网络] [思想方法] 1.转化思想 转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法.分式乘法:分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法.同分母的分式加 ...

  • 分式方程的解
  • 分式方程的解法 今天我说课的内容是新人教版八年级数学下册<分式方程>的复习课第一课时,我将从以下几方面进行介绍. 一 教材的地位和作用: 本节内容从以前所学过的分式方程的概念出发,介绍分式方程的求解方法.跟这部分内容有关联的是后面列方程解应用题,学好这一节课,将为下节课的学习打下基础. ...

  • 二次根式知识点,典型例题,练习题
  • 第六章二次根式的知识点.典型例题及相应的练习 1.二次根式的概念: 1.定义:一般地,形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式.当a≥0时,√ā表示a的算术平方根,当a小于0时,非二次根式(在一元二次方程中,若根号下为负数,则无实数根) 概念:式子√ā(a≥0)叫二次根式.√ā(a≥0)是一个非负数. ...

  • 分式相加减
  • 分式的加减 一.教案 教学目标 1.知识与技能:理解并掌握同分母分式.异分母分式的加减法法则,并能熟练应用法则 进行计算:分式加减法则的学习要到达自动化的程度. 2.过程与方法:通过分数加减与分式加减的对比,异分母分式加减转化为同分母分式的加 减,学生进一步学习"类比"和&quo ...

  • 苏教版初中数学八年级下册教案(全册)[1]
  • 苏教版小学数学八年级下册教案(全册) 第七章 教学目标与要求: (1)了解不等式的意义,掌握不等式的基本性质. (2)会解一元一次不等式(组),能正确用轴表示解集. (3)能够根据具体问题中的数量关系,用一元一次不等式(组),解决简单的问题. 知识梳理: (1)不等式及基本性质: (2)一元一次不等 ...

  • 初中数学分式教案
  • 第十六章 分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一. 教学目标 1. 了解分式.有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二.重点.难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有 ...

  • 从分数到分式案例反思
  • 案例一 16.1.1从分数到分式 一. 教学目标 1. 了解分式概念. 2.理解分式有意义的条件:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二.重点.难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 3. 认知难点与突 ...

  • 浅谈初中数学开放性试题的解题技巧
  • 浅谈初中数学开放性试题的解题技巧 摘要:近几年在初中数学各省.市的中考题中,出现了一批符合学生年龄特点和认知水平.设计优美.个性独特的开放题.开放题打破传统模式,构思新颖,使人耳目一新.数学开放题被认为是当前培养创新意识.创造能力的最富有价值的数学问题,加大数学开放题在中考命题中的力度,是应试教育向 ...