管理运筹学_第三版答案

1、解:

C 3

6 x1

a.可行域为 OABC。

b.等值线为图中虚线所示。

c.由图可知,最优解为 B 点,最优解: x1

=

O

0.1

0.6

x1

x1

= 0.2

有唯一解 x2

= 0.6 函数值为 3.6

b 无可行解 c 无界解

d 无可行解

e 无穷多解

12

15

x2

=

,最优目标函数值:

20 x 92

f 有唯一解 3 函数值为3 8

x 3

12

3、解:

a 标准形式:

max f = 3x1

+ 2x2

+ 0s1

+ 0s2

+ 0s3

x + + =

30 91 2x s

x + 2 2 1

31

2 x+ s =

13

2

2 9

x +

+ s = 21

x x2

3

s s ≥ 0

b 标准形式:

1

, x2

, s1,

,

2

3

max f = − x x s s

41

− 63

− 01

− 02

3 x− x − s = 6 1

2 1 x + + = 1

2x s 10

2

2

7 x1

− 6x2

= 4

x1

, x2

,

c 标准形式:

s, s ≥ 0

1

2

= − +x'x'

' − max f 2 − 2 x s s

0 − 02

1 2

2

1

− x + x ' − '

+ = x s 3

5

5 70

1

2

2

1

2x'

− 5x'

+ 5x'

= 50 1 2

2

x'

+ x'

− ' − = 30 31 22

2x s x, '

x2 2

2

',x2

',, s ≥ 0

1 s1

2

4 、解:

z = x + x + +

标准形式: max 10 5 s s

1 2 0 0

x + 4 + x+ 1 s =

2

2 31

2

xs

=

x +

2

1

5

1

2

9 8

x, x, , s ≥ 0

s2

1

2

1

1

2

s= 2, s= 0

5 、解:

f = x + x + + + min 11 8 s s s

1 2 标准形式: 0 0 0

x + 2 − s = 20

x1

10

− =

x +

3 3x s 18

2 2

36 x +

2

11

1 2 3

4

1

− =

9x

2

2

1

s

3

x

1

2

3

s= 0, s= 0, s= 13 6 、解: b 1 ≤ c≤ 3

1

≥ 0 s s 1

, x, s, ,

2

3

c 2 ≤ c≤ 6

2

x= 6 x= 4 d

12

e

x∈ [ ]8 x = 16 − 2x

1

2

f 变化。原斜率从 −

3

7、解: 模型:

max z = 500x+ 400x

1

2

2 1

变为 − 1

2x≤ 300

1

1

2

3x≤ 540

x x ≤ 440 2+ 2 x x ≤ 300 1.2+ 1.5 , ≥ 0 x x2

21

21

2

1

a x= 150 x= 70 即目标函数最优值是 103000 b 2,4 有剩余,分别是 330,15。均为松弛变量 c 50, 0 ,200, 0 额外利润 250 d 在 [0,500]变化,最优解不变。 e 在 400 到正无穷变化,最优解不变。

f 不变

8 、解:

a

b

a 模型: min f = 8x+ 3x

50x+ 100x≤ 1200000

a

b

5x+ 4x≥ 60000

a

b

100x≥ 300000 , x ≥ 0 xb

基金 a,b 分别为 4000,10000。 回报率:60000

ba

b 模型变为: max z = 5x+ 4x

a

b

50x+ 100x≤ 1200000 100x≥ 300000 , x ≥ 0 xb

a

b

ba

1

2

推导出: x= 18000 x= 3000

故基金 a 投资 90 万,基金 b 投资 30 万。

第 3 章 线性规划问题的计算机求解

1、解:

a x= 150 x= 70

1

2

目标函数最优值 103000

b 1,3 使用完 2,4 没用完 0,330,0,15 c 50,0,200,0

含义: 1 车间每增加 1 工时,总利润增加 50 元

3 车间每增加 1 工时,总利润增加 200 元 2、4 车间每增加 1 工时,总利润不增加。 d 3 车间,因为增加的利润最大

e 在 400 到正无穷的范围内变化,最优产品的组合不变 f 不变 因为在 [0,500]的范围内

g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时,约束条

件 1 的右边值在 [200,440]变化,对偶价格仍为 50(同理解释其他约束条件) h 100×50=5000 对偶价格不变 i 能

j 不发生变化 允许增加的百分比与允许减少的百分比之和没有超出 100% k 发生变化 2、解:

a 4000 10000 62000

b 约束条件 1:总投资额增加 1 个单位,风险系数则降低 0.057

约束条件 2:年回报额增加 1 个单位,风险系数升高 2.167 c 约束条件 1 的松弛变量是 0,约束条件 2 的剩余变量是 0

约束条件 3 为大于等于,故其剩余变量为 700000 d 当 c不变时, c在 3.75 到正无穷的范围内变化,最优解不变

2

1

当 c不变时, c在负无穷到 6.4 的范围内变化,最优解不变

1

2

e 约束条件 1 的右边值在 [780000,1500000]变化,对偶价格仍为 0.057(其他 同理)

f 不能 ,理由见百分之一百法则二 3 、解:

a 18000 3000 102000 153000 b 总投资额的松弛变量为 0 基金 b 的投资额的剩余变量为 0 c 总投资额每增加 1 个单位,回报额增加 0.1

基金 b 的投资额每增加 1 个单位,回报额下降 0.06 d c不变时, c在负无穷到 10 的范围内变化,其最优解不变

1

2

c不变时, c在 2 到正无穷的范围内变化,其最优解不变

2

1

e 约束条件 1 的右边值在 300000 到正无穷的范围内变化,对偶价格仍为 0.1

约束条件 2 的右边值在 0 到 1200000 的范围内变化,对偶价格仍为-0.06 600000 300000 = 100% 故对偶价格不变

900000 900000 f

4、解:

a 8.5

x= x= 1.5

1

2

x= 0

3x= 1 最优目标函数 18.5

4

b 约束条件 2 和 3 对偶价格为 2 和 3.5

c 选择约束条件 3,最优目标函数值 22

d 在负无穷到 5.5 的范围内变化,其最优解不变,但此时最优目标函数值变化 e 在 0 到正无穷的范围内变化,其最优解不变,但此时最优目标函数值变化 5、解:

a 约束条件 2 的右边值增加 1 个单位,目标函数值将增加 3.622 b

x产品的利润提高到 0.703,才有可能大于零或生产

2

c 根据百分之一百法则判定,最优解不变

15 65

d + > 100 % 根据百分之一百法则二,我们不能判定

− 30 − 9.189

因为

111.25 15

其对偶价格是否有变化

第 4 章 线性规划在工商管理中的应用

1、解:为了用最少的原材料得到 10 台锅炉,需要混合使用 14 种下料方 428

639

850

547

969

1180

剩余

758

设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9, x10,x11,x12,x13,x14,则可列出下面的数学模型: min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s.t. 2x1+x2+x3+x4 ≥ 80

x2+3x5+2x6+2x7+x8+x9+x10≥ 350 x3+x6+2x8+x9+3x11+x12+x13≥ 420

x4+x7+x9+2x10+x12+2x13+3x14 ≥ 10

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x1=40,x2=0,x3=0,x4=0,x5=116.667,x6=0,x7=0,x8=0, x9=0,x10=0,x11=140,x12=0,x13=0,x14=3.333 最优值为 300。

2、解:从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次,设 xi 表示第 i 班次安排的临时 工的人数,则可列出下面的数学模型:

min f=16(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11) s.t. x1+1 ≥ 9

x1+x2+1 ≥ 9 x1+x2+x3+2 ≥ 9 x1+x2+x3+x4+2 ≥ 3

x2+x3+x4+x5+1 ≥ 3

x3+x4+x5+x6+2 x4+x5+x6+x7+1 x6+x7+x8+x9+2

≥ 3 ≥ 6 ≥ 12

x5+x6+x7+x8+2 ≥ 12

x7+x8+x9+x10+1 ≥ 7 x8+x9+x10+x11+1 ≥ 7

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x1=8,x2=0,x3=1,x4=1,x5=0,x6=4,x7=0,x8=6,x9=0, x10=0,x11=0 最优值为 320。

a、 在满足对职工需求的条件下,在 10 时安排 8 个临时工,12 时新安排 1

个临时工,13 时新安排 1 个临时工,15 时新安排 4 个临时工,17 时新

安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。

b、 这时付给临时工的工资总额为 80 元,一共需要安排 20 个临时工的班

次。

约束 对偶价格 松弛/剩余变量

------- ------------------ -------------

1 0 -4

2 0 0

3 2 0

4 9 0

5 0 -4

6 5 0

7 0 0

8 0 0

9 0 -4

10 0 0

11 0 0

根据剩余变量的数字分析可知,可以让 11 时安排的 8 个人工作 3 小时,13 时安排的 1 个人工作 3 小时,可使得总成本更小。

C、设在 11:00-12:00 这段时间内有 x个班是 4 小时, y个班是 3 小时;

1

1

设在 12:00-13:00 这段时间内有 x个班是 4 小时, y个班是 3 小时;其他时

2

2

段也类似。

则:由题意可得如下式子:

11

11

=

∑ x + ∑ y

i=1 1

1

min z 1612

i=1

S.T + y + ≥

1 9 x1

+ + + y + ≥ xyx2

1 9

+ + + + + y + ≥

1 +1 9

xyxyx3

≥ + + + + + + y +

1+1 3

xxyxyx4

+ + + + + + y + ≥

1 3

xxyxyx5

≥ + + + + + + y +

1+ 1 3

xxyxyx6

+ + + + + + y + ≥

1 6

xxyxyx7

≥ + + + + + + y +

1+1 12

xxyxyx8

≥ + + + + + + y +

1+1 12

xxyxyx9

+ + + + + + y + ≥

1 7

xxyxyx10

+ + + + + + y + ≥

1 7

xxyxyx11

x≥ 0, y≥ 0 i=1,2,…,11

11

1

2

1

1

2

2

3

1

2

2

3

3

4

2

3

3

4

4

5

3

4

4

5

5

6

4

5

5

6

6

7

5

6

6

7

7

8

6

7

7

8

8

9

7

8

8

9

9

10

8

9

9

10

10

11

i

i

稍微变形后,用管理运筹学软件求解可得:总成本最小为 264 元。

安排如下:y1=8( 即在此时间段安排 8 个 3 小时的班),y3=1,y5=1,y7=4,x8=6 这样能比第一问节省:320-264=56 元。

3、解:设生产 A、B、C 三种产品的数量分别为 x1,x2,x3,则可列出下面的

数学模型:

max z=10 x1+12 x2+14 x2 s.t. x1+1.5x2+4x3≤ 2000 2x1+1.2x2+x3 ≤ 1000

x1≤ 200 x2≤ 250 x3 ≤ 100 x1,x2,x3≥ 0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x1=200,x2=250,x3=100 最优值为 6400。

a、在资源数量及市场容量允许的条件下,生产 A 200 件,B 250 件,C 100

件,可使生产获利最多。

b、A、B、C 的市场容量的对偶价格分别为 10 元,12 元,14 元。材料、台

时的对偶价格均为 0。说明 A 的市场容量增加一件就可使总利润增加 10

元,B 的市场容量增加一件就可使总利润增加 12 元,C 的市场容量增加 一件就可使总利润增加 14 元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都

不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓 C 产品的市场,如果

要增加资源,则应在 975 到正无穷上增加材料数量,在 800 到正无穷上

增加机器台时数。

4、解:设白天调查的有孩子的家庭的户数为 x11,白天调查的无孩子的家庭的户

数为 x12,晚上调查的有孩子的家庭的户数为 x21,晚上调查的无孩子的家庭 的户数为 x22,则可建立下面的数学模型: min f=25x11+20x12+30x21+24x22 s.t. x11+x12+x21+x22≥ 2000

x11+x12 = x21+x22 x11+x21≥ 700

x12+x22≥ 450

x11, x12, x21, x22 ≥ 0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x11=700,x12=300,x21=0,x22=1000 最优值为 47500。

a、白天调查的有孩子的家庭的户数为 700 户,白天调查的无孩子的家庭的户

数为 300 户,晚上调查的有孩子的家庭的户数为 0,晚上调查的无孩子的

家庭的户数为 1000 户,可使总调查费用最小。

b、白天调查的有孩子的家庭的费用在 20-26 元之间,总调查费用不会变化;

白天调查的无孩子的家庭的费用在 19-25 元之间,总调查费用不会变化; 晚上调查的有孩子的家庭的费用在 29-无穷之间,总调查费用不会变化;

晚上调查的无孩子的家庭的费用在-20-25 元之间,总调查费用不会变 化。

c、调查的总户数在 1400-无穷之间,总调查费用不会变化;

有孩子家庭的最少调查数在 0-1000 之间,总调查费用不会变化; 无孩子家庭的最少调查数在负无穷-1300 之间,总调查费用不会变化。

5、解:设第 i 个月签订的合同打算租用 j 个月的面积为 xij,则需要建立下面的 数学模型:

min f=2800(x11+x21+x31+x41)+4500(x12+x22+x32)+6000(x13+x23)

+7300 x14

s.t.x11+x12+x13+x14≥ 15

x12+x13+x14+x21+x22+x23 ≥ 10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥ 20 x14+x23+x32+x41≥ 12 xij ≥ 0,i,j=1,2,3,4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x11=5,x12=0,x13=10,x14=0,x21=0,x22=0,x23=0,x31=10, x32=0,x41=0

最优值为 102000。

即:在一月份租用 500 平方米一个月,租用 1000 平方米三个月;在三月 份租用 1000 平方米一个月,可使所付的租借费最小。

6、解:设 xij表示第 i 种类型的鸡需要第 j 种饲料的量,可建立下面的数学模型:

max z=9(x11+x12+x13)+7(x21+x22+x23)+8(x31+x32+x33)-5.5

(x11+x21+x31)-4(x12+x22+x32)-5(x13+x23+x33)

s.t. x11≥ 0.5(x11+x12+x13)

x12≤ 0.2(x11+x12+x13) x21≥0.3(x21+x22+x23) x23 ≤ 0.3(x21+x22+x23)

x33≥ 0.5(x31+x32+x33)

x11+x21+x31 ≤ 30 x12+x22+x32≤ 30 x13+x23+x33≤30

xij ≥ 0,i,j=1,2,3

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x11=30,x12=10,x13=10,x21=0,x22=0,x23=0,x31=0, x32=20,x33=20 最优值为 365。

即:生产雏鸡饲料 50 吨,不生产蛋鸡饲料,生产肉鸡饲料 40 吨。

7、

设 Xi——第 i 个月生产的产品 I 数量

Yi——第 i 个月生产的产品 II 数量

Zi,Wi 分别为第 i 个月末产品 I、II 库存数

S1i,S2i分别为用于第(i+1)个月库存的自有及租借的仓库容积(立方米)。则

可建立如下模型:

5

12

12

+ y + s x + y

+ ∑ z = ∑ + ∑ s

min (5x8 ) (4.5 7 ) ( 1.5 )

i

i=1

i

i=6

i i

i=1

1i 2i

s.t.

X1-10000=Z1 X2+Z1-10000=Z2

X3+Z2-10000=Z3 X4+Z3-10000=Z4 X5+Z4-30000=Z5 X6+Z5-30000=Z6 X7+Z6-30000=Z7 X8+Z7-30000=Z8 X9+Z8-30000=Z9

X10+Z9-100000=Z10 X11+Z10-100000=Z11

X12+Z11-100000=Z12

Y1-50000=W1 Y2+W1-50000=W2 Y3+W2-15000=W3 Y4+W3-15000=W4 Y5+W4-15000=W5 Y6+W5-15000=W6 Y7+W6-15000=W7 Y8+W7-15000=W8

Y9+W8-15000=W9 Y10+W9-50000=W10 Y11+W10-50000=W11

Y12+W11-50000=W12

S1i≤15000 1≤i≤12 Xi+Yi≤120000 1≤i≤12

0.2Zi+0.4Wi=S1i+S2i 1≤i≤12 Xi≥0, Yi≥0, Zi≥0, Wi≥0, S1i≥0, S2i≥0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为: 最优值= 4910500

X1=10000, X2=10000, X3=10000, X4=10000, X5=30000, X6=30000, X7=30000, X8=45000, X9=105000, X10=70000, X11=70000, X12=70000; Y1= 50000, Y2=50000, Y3=15000, Y4=15000, Y5=15000,

Y6=15000, Y7=15000, Y8=15000, Y9=15000, Y10=50000, Y11=50000, Y12=50000; Z8=15000, Z9=90000, Z10 =60000, Z1=30000; S18=3000, S19=15000, S110=12000, S111=6000; S28=3000;

其余变量都等于 0

8、解:设第 i 个车间生产第 j 种型号产品的数量为 xij,可建立下面的数学模型: max z=25(x11+x21+x31+x41+x51)+20(x12+x32+x42+x52)+17(x13

+x23+x43+x53)+11(x14+x24+x44)

s.t. x11+x21+x31+x41+x51 ≤ 1400

x12+x32+x42+x52≥ 300 x12+x32+x42+x52 ≤ 800 x13+x23+x43+x53≤ 8000 x14+x24+x44≥ 700

5x11+7x12+6x13+5x14 ≤ 18000

6x21+3x23+3x24≤ 15000 4x31+3x32 ≤ 14000

3x41+2x42+4x43+2x44≤ 12000 2x51+4x52+5x53≤ 10000

xij ≥ 0,i=1,2,3,4,5 j=1,2,3,4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x11=0,x12=0,x13=1000,x14=2400,x21=0,x23=5000,x24=0, x31=1400,x32=800,x41=0,x42=0,x43=0,x44=6000,x51=0,

x52=0,x53=2000 最优值为 279400

9、解:设第一个月正常生产 x1,加班生产 x2,库存 x3;第二个月正常生产 x4,

加班生产 x5,库存 x6;第三个月正常生产 x7,加班生产 x8,库存 x9;第 四个月正常生产 x10,加班生产 x11,可建立下面的数学模型:

min f = 200(x1+x4+x7+x10)+300(x2+x5+x8+x11)+60(x3+x6

+x9)

s.t.

x1≤4000 x4≤4000 x7≤4000 x10≤4000 x3≤1000 x6≤1000 x9≤1000 x2≤1000 x5≤1000 x8≤1000 x11≤1000

x1+ x2- x3=4500 x3+ x4+ x5- x6=3000 x6+ x7+ x8- x9=5500 x9+ x10+ x11=4500

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11≥0

计算结果是:

minf= 3710000 元

x1=4000 吨,x2=500 吨,x3=0 吨,x4=4000 吨, x5=0 吨 x6=1000 吨, x7=4000 吨, x8=500 吨, x9=0 吨, x10=4000 吨,x11=500 吨。

第 5 章

单纯形法

1、解:表中 a、c、e、f 是可行解,a、b、f 是基本解,a、f 是基本可行解。

2、解:a、该线性规划的标准型为: max 5 x1+9 x2

s.t.0.5 x1+x2+s1=8

x1+x2-s2=10

0.25 x1+0.5 x2-s3=6

x1,x2,s1,s2,s3≥0.

b、有两个变量的值取零,因为有三个基变量、两个非基变量,非基变量

取零。

c、(4,6,0,0,-2) d、(0,10,-2,0,-1)

e、不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。

3 0 0 0 0 0 0

6 30* 25 0 0 0

b、线性规划模型为:

max 6 x1+30 x2+25 x3 s.t.3 x1+x2+s1 = 40

2 x1+x3+s2= 50 2 x1+x2-x3+s3=20

x1,x2,x3,s1,s2,s3≥0

c、初始解的基为(s1,s2,s3),初始解为(0,0,0,40,50,20),

对应的目标函数值为 0。

d、第一次迭代时,入基变量是 x2,出基变量为 s3。

4、解:最优解为(2.25,0),最优值为 9。

X2

1

5、解:a、最优解为(2,5,4),最优值为 84。

b、最优解为(0,0,4),最优值为-4。

6、解:a、有无界解

b、最优解为(0.714,2.143,0),最优值为-2.144。

7、解:a、无可行解

b、最优解为(4,4),最优值为 28。 c、有无界解

d、最优解为(4,0,0),最优值为 8。

第 6 章 单纯形法的灵敏度分析与对偶

1

a. c1≤24 b. c2≥6 c. cs2≤8

2

a. c1≥-0.5 b. -2≤c3≤0 c. cs2≤0.5

3

a. b1≥150

b. 0≤b2≤83.333 c. 0≤b3≤150

4

a. b1≥-4 b. 0≤b2≤300 c. b3≥4

5 a. b. c. d. e.

利润变动范围 c1≤3,故当 c1=2 时最优解不变 根据材料的对偶价格为 1 判断,此做法不利 0≤b2≤45

最优解不变,故不需要修改生产计划

此时生产计划不需要修改,因为新的产品计算的检验数为-12 小于零,对原生 产计划没有影响。

6

均为唯一最优解,根据从计算机输出的结果看出,如果松弛或剩余变量为零且对 应的对偶价格也为零,或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时,可

知此线性规划有无穷多组解。 7

a. min f= 10y1+20y2.

s.t. y1+y2≥2,

y1+5y2≥1, y1+y2≥1, y1, y2≥0.

b. max z= 100 y1+200 y2. s.t. 1/2 y1+4 y2≤4,

2 y1+6 y2≤4,

2 y1+3 y2≤2,

y1, y2≥0.

8.

a. min f= -10 y1+50 y2+20 y3-20 y4. s.t. -2 y1+3 y2+ y3- y2≥1,

≥2, 3 y1+ y2

- y1+ y2+ y3- y2 =5, y1, y2, y2≥0, y3 没有非负限制。

b. max z= 6 y1-3 y2+2 y3-2 y4.

s.t. y1- y2- y3+ y4≤1, 2 y1+ y2+ y3- y4=3, -3 y1+2 y2- y3+ y4≤2, y1, y2, y4≥0, y3没有非负限制

9. 对偶单纯形为 max z=4 y1-8 y2+2 y3 s.t y1- y2≤1,

- y1- y2+ y3≤2, y1-2 y2- y3≤3, y1, y2, y3≥0

目标函数最优值为: 10 最优解: x1=6, x2=2, x3=0

第 7 章 运输问题

1.

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- ----- 1 0 250 0 50 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为: 19800

此问题的另外的解如下:

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- 1 0 250 50 0 2 400 0 0 0 3 0 0 300 200 此运输问题的成本或收益为: 19800

(2)如果 2 分厂产量提高到 600,则为产销不平衡问题

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- 1 0 250 0 0 2 400 0 0 200 3 0 0 350 0

----- -----

此运输问题的成本或收益为: 19050

注释:总供应量多出总需求量 200

第 1 个产地剩余 50 第 3 个产地剩余 150

(3)销地甲的需求提高后,也变为产销不平衡问题

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- ----- 1 50 250 0 0 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为: 19600

注释:总需求量多出总供应量 150

第 1 个销地未被满足,缺少 100 第 4 个销地未被满足,缺少 50

最优解如下

********************************************

至 销点

发点 1 2 3 4 5 6 8

-------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 1 0 0 100 0 0 200 0 0 2 0 0 0 0 350 0 0 150

3 0 50 0 100 0 0 0

4 0 100 0 0 0 0 0 0 5 150 0 50 0 0 0 0 0 此运输问题的成本或收益为: 1.050013E+07

7 250

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- -----

1 2 0 0

2 1 1 0

3 0 0 3

4 0 4 0

5 0 0 2

6 0 0 0

7 0 0 0

此运输问题的成本或收益为: 8465

此问题的另外的解如下:

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- -----

1 2 0 0

2 1 2 0

3 0 0 3

4 0 3 0 1 0 0 0 2 3 0 0 0 1

5 0 0 0 2

6 0 0 2 0

7 0 0 3 0

此运输问题的成本或收益为: 8465

最优解如下

********************************************

至 销点

发点 1 2 3 4 5 6 -------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 1 1100 0 300 200 0 0 2 0 1100 0 0 600 0 3 0 0 1100 0 0 0 4 0 0 0 1100 0 0 5 0 0 0 0 1000 100 6 0 0 0 0 0 1100 此运输问题的成本或收益为: 130000

5.

建立的运输模型如下

min f = 500x1+300 x2+550 x3+650 x4. s.t. 54 x1+49 x2+52 x3+64 x4≤1100, 57 x1+73 x2+69 x3+65 x4≤1000,

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4 5

-------- ----- ----- ----- ----- ----- 1 250 300 550 0 0 2 250 0 0 650 100

此运输问题的成本或收益为: 113300 6.

销量 20 10 0 10 0 20 5 0

b. 最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 -------- ----- ----- -----

1 0 0 15 2 20 5 0 3 0 5 5 此运输问题的成本或收益为: 145

c. 该运输问题只有一个最优解,因为其检验数均不为零

d. 最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 -------- ----- ----- -----

1 0 0 15 2 25 0 0 此运输问题的成本或收益为: 135

1.

第 8 章 整数规划

求解下列整数规划问题 max z=5x +8x2

1

a. s.t.

x +x

1 1 1

2 2

≤ 6, ≤ 45, ≥ 0,且为整数

2

5x +9x

2

x ,x

目标函数最优解为 :

1

x *=0,x *=5,z*=40。

b. max z=3x +2x

1

2

s.t.

2x +3x

1 1

2 2

≤ 14, ≤ 9,

为整数。

2

2x +x

x1,x2 0, x1且 目标函数最优解为 :

1

x *=3,x *=2.6667,z*=14.3334。

c. max z=7x +9x +3x

1

2

3

s.t.

-x +3x +x

1

2

3

≤ 7,

0-1变量。

7x +x +x ≤ 38,

1 2 3

且 为整数, 为x

x ,x ,x ≥ 0, x

1

2

3

1

3

目标函数最优解为 :

1

x *=5,x *=3,x *=0,z*=623

2。

2.解:设 xi为装到船上的第 i 种货物的件数,i=1,2,3,4,5。则该船装载的货 物取得最大价值目标函数的数学模型可写为:

max z=5x +10x +15x +18x +25x2 3 4 5 s.t.

20x +5x +10x +12x +25x ≤ 400000,

1

1 1 1

1 2 4

2

3

3 4

4 5

5

x +2x +3x +4x +5x ≤ 50000, x +4x

2

3

≤ 10000

≤ 750,

4

5

0.1x +0.2x +0.4x +0.1x +0.2x

x

i

≥ 0,且为整数,i=1 2 3 4 5

目标函数最优解为 :

1

x *=0,x *=0,x *=0,x *=2500,x *=2500,z*=107500 .3

2

4 5

3.解:设 xi为第 i 项工程,i=1,2,3,4,5,且 xi为 0-1 变量,并规定,

i ⎧

1, 当第 项工程被选定时, x= ⎨ i

⎩ ,当第 项工程没被选定时。

根据给定条件,使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为:

i

max z 20x+ 40x+ 20x+15x+ 30x s.t.

5x +4x +3x +7x +8x

1

2

3

4

5

≤ 25, ≤ 25,

1 1 1

2 2

2

3 3

3

4 4 4

5 5

5

x +7x +9x +4x +6x

8x +10x +2x +x +10x ≤ 25, 为 变量,i=1 2 3 4 5 x 0-1

i

目标函数最优解为 :

1

x *=1,x *=1,x *=1,x *=1,x *=0,z*=953

2

4 5

4.解:这是一个混合整数规划问题

设 x1、x2、x3分别为利用 A、B、C 设备生产的产品的件数,生产准备费

只有在利用该设备时才投入,为了说明固定费用的性质,设

⎧1,当利用第 种设备生产时,即i x >0,

i

y = ⎨ i

0 i x =0。 ⎩ ,当不利用第 种设备生产时,即

故其目标函数为:

i

min z 100y +300y +200y +7x +2x +5x

3 12 1 2 3

为了避免没有投入生产准备费就使用该设备生产,必须加以下的约束条件, M 为充分大的数。

x ≤ y M,

1 2 3

1 2 3

x ≤ y M, x ≤ y M ,

设 M=1000000

a. 该目标函数的数学模型为:

min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1

2 3 1 2 3

s.t.

x +x +x =2000,

1 2 3

0.5x +1.8x +1.0x

≤ 2000,

1

2

3

x ≤ 800,

1

x

≤ 1200, 2

x

≤ 1400, 3

x ≤ y M,

1 1 x ≤ y M, 2 2 x

≤ y M ,

3

3

x1

, ,x2

x3

≥ 0,且为整数, , , 为y1

y2

y3

0-1变量。 目标函数最优解x *=370,x *=231,x *=1399,y =1,y =1,y =1,z*=10647 为 : 1

3

b.该目标函数的数学模型为:

min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1

2 3 1 2 3

s.t.

x +x +x =2000,

1 2 3

0.5x +1.8x +1.0x ≤ 2500, 1

2

3

x ≤ 800,

1

x ≤ 1200,

2

x ≤ 1400,

3

x ≤ y M,

1 1 x ≤ y M, 2 2 x ≤ y M ,

3

3

x1

, ,x2

x3

≥ 0,且为整数, , , 为y1

y2

y3

0-1变量。

目标函数最优解为 : x *=0,x *=625,x *=1375,y =0,y =1,y =1,z*=8625 1

3

23 1 2

23

1 2

c.该目标函数的数学模型为:

min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1

2 3 1 2 3

s.t.

x +x +x =2000,

1 2 3

0.5x +1.8x +1.0x ≤ 2800, 1

2

3

x ≤ 800,

1

x ≤ 1200,

2

x ≤ 1400,

3

x ≤ y M,

1 1 x ≤ y M, 2 2 x ≤ y M ,

3

3

x1

, ,x2

x3

≥ 0,且为整数, , , 为y1

y2

y3

0-1变量。 目标函数最优解x *=0,x *=1000,x *=1000,y =0,y =1,y =1,z*=7500

23 1 为 :1

3

d.该目标函数的数学模型为:

min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1

2 3 1 2 3

s.t.

x +x +x =2000,

1 2 3

x ≤ 800, 1

x ≤ 1200,

2

x ≤ 1400,

3

x ≤ y M,

1 1 x ≤ y M,

2

2

x ≤ y M ,

3 3

,且为整数, , , 为 变量。

x , ,x x ≥ 0 y y 1

2

3

1

2y0-1

3

目标函数最优解x *=0,x *=1200,x *=800,y =0,y =1,y =1,z*=6900

23 1 为 :1

3

5.解:设 xij 为从 Di 地运往 Ri 地的运输量,i=1,2,3,4,j=1,2,3 分别代表从北京、上海、广州、武汉运往华北、华中、华南的货物件数,并规定,

⎧1 i

yi

= ⎨ ,当 地被选设库房,

0 i

该目标函数的数学模型为:⎩ ,当 地没被选设库房。

2

2

min z 45000y+ 50000y+ 70000y+ 40000y+ 200x+ 400x+ 500x

1

2

3

4

11

12

13

+300x21+ 250x +400x +600x +350x +300x +350x +150x +350x2223

43

31 32 33 41 42

s.t.

x +x +x +x =500,

11 12 13 11

21 22 23 12

31 32 33 13

2122 3132

41 42 43

1 23 33

x +x +x +x =800, x +x +x +x =700, x +x +x ≤ 1000y , x +x +x x +x +x y

2 1 3

2 4 4

3

4

≤ 1000y,

2

≤ 1000y,

3

4

x +x +x4142 43 ≤ 1000y,

≤ y ,

y +y +y +y ≤ 2, y +y ≤ 1,

,且为整数, 为 分量,i=1 2 3 4

x ≥ 0 y 0-1

ij

i

目标函数最优解为

x *=500,x *=0,x *=500,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,

11 41

42 12

13 43

21 1

2 22

3

23 4

31

32

33

x *=0,x *=800,x *=200,y =1,y =0,y =0,y =1,z*=625000

:

也就是说在北京和武汉建库房,北京向华北和华南各发货 500 件,武汉向华 中发货 800 件,向华南发货 200 件就能满足要求,即这就是最优解。

,当指派第 人去完成第 项工作时,

i i j j

6.解:引入 0-1 变量 xij,并令 x= ⎨⎧1

⎩ ,当不指派第 人去完成第 项工作时。

a.为使总消耗时间最少的目标函数的数学模型为:

ij

min z 20x+19x+ 20x+ 28x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +26x

11

12

13

14

21

22

23

2431

+16x +15x +18x +17x +20x +24x +19xs.t.

x +x +x +x =1,

11 21 31

12 22 32

13 23 33

14 24 34

3233 34 41 42 43 44

x +x +x +x =1, x +x +x +x =1, x +x +x =1, +x

41 11 12

42 21 22

43 31 32

44 41 42

x +x +x +x =1,

x +x +x +x =1,

x +x +x +x =1,

13 14

23 24

33 34

43 44

x +x +x +x =1,

,,,。 为 变量,

x 0-1 i=1 2 3 4 j=1 2 3 4

ij

目标函数最优解为 :

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,

11 34

12 41

13 42

14 43

21 44

22

23

24

31

32

33

x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,z*=71

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,

11 34

12 41

13 42

14 43

21 44

22

23

24

31

32

33

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,z*=71

即安排甲做 B 项工作,乙做 A 项工作,丙 C 项工作,丁 D 项工作,或者是

安排甲做 B 项工作,乙做 D 项工作,丙 C 项工作,丁 A 项工作,最少时间为 71

分钟。

b.为使总收益最大的目标函数的数学模型为: 将 a 中的目标函数改为求最大值即可。 目标函数最优解为 :

x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,

11 34

12 41

13 42

14 43

21 44

22

23

24

31

32

33

x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,z*=102

即安排甲做 D 项工作,乙做 C 项工作,丙 A 项工作,丁 B 项工作,最大收 益为 102。

c.由于工作多人少,我们假设有一个工人戊,他做各项工作的所需的时间均 为 0,该问题就变为安排 5 个人去做 5 项不同的工作的问题了,其目标函数的数

学模型为:

min z 20x+19x+ 20x+ 28x+17x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +20x+26x +16x +15x +18x +15x +17x +20x +24x +19x +16x32 33

11

12

13

14

15

21

22

23

31

2425

34 35 41 42 43

44 45

s.t.

x +x +x +x +x =1,

11 21

12 22

13 23

14 24

15 25

x +x +x +x +x =1, +x +x +x +x =1 , x

31 41 51 11 12 13 14 15

32 42 52 21 22 23 24 25

33 43 53 31 32 33 34 35

34 44 54 41 42 43 44 45

35 45 55 51 52 53 54 55

x +x +x +x +x =1,

x +x +x +x +x =1, x +x +x +x +x =1,

x +x +x +x +x =1, x +x +x +x +x =1, x +x +x +x +x =1, x +x +x +x x

ij

+x =1,

0-1 i=1 2 3 4 5 j=1 2 3 4 5 为 变量,

目标函数最优解为:

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,

11 32

12 33

13 34

14 35

15 41

21 42

22 43

23 44

24 45

25

31

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,z*=68

即安排甲做 B 项工作,乙做 A 项工作,丙做 C 项工作,丁做 E 项工作,最 少时间为 68 分钟。

d.该问题为人多任务少的问题,其目标函数的数学模型为:

min z 20x+19x+ 20x+ 28x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +26x +16x31 +15x +18x +17x +20x +24x +19x +16x +17x +20x +21x

11

12

13

14

21

22

23

24

32

3334

41 42 43 44

51 52 53 54

s.t.

≤ ,

x +x 1 +x +x12 13 14

11

x +x +x +x ≤ 1,

21 31 41 51 11 12 13 14

22 32 42 52 21 22 23 24

23 33 43 53 31 32 33 34

24

x +x +x +x

34 44

≤ 1, ≤ 1,

54 41 42 43 44

51 52 53 54

x +x +x +x ≤ 1,

x +x +x +x

x +x +x +x +x =1,

x +x +x +x +x =1, x +x +x +x +x =1, x +x +x +x +x =1, x

0-1 i=1 2 3 4 j=1 2 3 4 5 i为 变量, j

目标函数最优解为:

x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,

11

12 41

13 42

14 43

21 44

22 51

23 52

24 53

31 54

32

33

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,z*=69

34

x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,

11 34

12 41

13 42

14 43

21 44

22 51

23 52

24 53

31 54

32

33

x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,z*=69

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,

11 34

12 41

13 42

14 43

21 44

22 51

23 52

24 53

31 54

32

33

x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,z*=69

即安排乙做 D 项工作,丙做 C 项工作,丁做 A 项工作,戊做 B 项工作;或

安排乙做 A 项工作,丙做 C 项工作,丁做 D 项工作,戊做 B 项工作;或安排甲

做 B 项工作,丙做 C 项工作,丁做 D 项工作,戊做 A 项工作,最少时间为 69 分钟。

7.解:设飞机停留一小时的损失为 a 元,则停留两小时损失为 4a 元,停留 3

小时损失为 9 元,依次类推,对 A、B、C 三个城市建立的指派问题的效率矩阵 分别如下表所示:

城市 A

解得最优解为:

城市 B

解得最优解为:

或为:

城市 C

解得最优解为:

或为:

或为:

第 9 章 目标规划

1.某工厂试对产品 A、B 进行生产。市场需求并不是很稳定,因此对每种产

品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润。这两种产品都经过甲、乙两 台设备加工。已知产品 A 和 B 分别在甲和乙设备上的单位加工时间,甲、乙设备 的可用加工时间以及预期利润如下表所示,要求首先是保证在销售较差时,预期 利润不少于 5 千元,其次是要求销售良好时,预期利润尽量达到 1 万元。试建立

多目标规划模型并求解。

(百元/件)

1、解:设工厂生产 A 产品 x件,生产 B 产品 x件。按照生产要求,建立如下目

1

2

标规划模型:

min

( ) ( ) P d1 P d2 ⎧ x x ≤ 45 4+ 3

⎪ x x ≤ 30 ⎪2+ 5

⎪ x x = 50 ⎨5+ 5− d++d

⎪ x x − d+ d −=100

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1+

+

⎪8+ 62

1

2

2

+

1

2

i

⎩⎪x x d d, ,i,−

2

由管理运筹学软件先求解得: x

1

≥ 0, i = 1,

= 11.25, x = 0, d −=0, d −=10, d= 6.25, d= 0

+

+

2 1 2 1 2

由图解法或进一步计算可知,本题在求解结果未要求整数解的情况下,满意解有 无穷多个,为线段α (135 /14,15 / 7) (1 α )(45 / 4,0), α ∈[0,1] 上的任一点。

2、解:设食品厂商在电视上发布广告 x次,在报纸上发布广告 x次,在广播中

1

2

发布广告 x次。

3

目标规划模型为:

+

min ( )

11

+

( )−+( )

2

3

P d1 P d2 P d3 ⎧x≤

10 ⎪ ≤ 20 ⎪ xx 15

x + 5x

3

+ P d

( )

+

4 4

= 400

2

⎪ ≤ ⎪

x ⎪20+10 ⎨ x x

1

2

1

2

3

3

− d++d

1

1

x d

2

2

−=

⎪0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x −=0 0.3 − 0.3 + 0.7

2 3 − d++d ⎪ x 1 + − x x 20

⎪ + d = 2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪

⎪⎩x x x d d, , ,3 i,− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4 用管理运筹学软件先求下述问题:

3

3

1

2

3

4+

1

2

i

min d −

⎧x≤ 10 ⎪ ≤ ⎪x 20

15 x

13

1

x + 5x

2

= 400

⎪ ≤ ⎪

x ⎪20+10 ⎨ x x

1

2

1

2

3

3

− d++d

1

1

x d

2

2

−=

⎪0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x −=0 0.3 − 0.3 + 0.7

2 3 − d++d ⎪ x 1 + − x x 20

⎪ + d = 2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪

⎪⎩x x x d d, , ,3 i,− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4

3

3

1

2

3

4+

1

2

i

得: d−=0 ,将其作为约束条件求解下述问题:

1

min d −

2

⎧ ≤ x 10

20 ⎪⎪x2

1

≤ ⎪ ≤ ⎪x 15

x x + 5x

3

−=

1

1

400 0 = 0

3 − d++d 20+10 ⎪ x x x d ⎨0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x

1

2

1

2

3

2

2

1

2

3

3

3

−=

⎪ 0.3− 0.3+ 0.7− d++d 20 ⎪ + −

x x x + d = 2.5 + 0.5 + 0.3

2 3 − d4

⎪ 1 ⎪d −= 0 ⎪ 1

x x x d d, , ,, − ≥ 0, i = 1, 2,3, 4

4

+

1 2 3 i i

得最优值 d−=0 ,将其作为约束条件计算下述问题:

2

min d+

3

⎧x1≤ 10 ⎪ ≤ ⎪ 20 xx3 15 x + 5x −=400 2

⎪ ≤ ⎪

x

⎪20+10 3 − d1

++d1

1

2

⎪ x x x d −=0 0.7 − 0.3 − 0.3

⎨−⎪1 2 3 2

2

x

x x−+ +d −

= 0 ⎪ 0.31

− 0.32

+ 0.73

− d3

++d3 20

⎪ + −

x x x + d = 2.5 + 0.5 + 0.3

⎪ 1 2 3 − d4

4

⎪d −= 0

1

⎪⎪0

d2−

=

⎪x x x d d i

− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4

⎩ , , ,i

+,

1 2 3

得最优值 d3

+=0 ,将其作为约束条件计算下述问题:

min d+

4

⎧ ≤ x1

10

⎪⎪20 x2

≤ ⎪ ≤ ⎪x 3

x 15

x + 5x

−=

400 201

+102

3 − d1

++d1

⎪ x x x d −=

0 ⎪0.71

− 0.32

− 0.33

−2

++d2

⎪−

= x x x 0

⎨ 0.31

− 0.32

+ 0.73

− d3

++d3

⎪ +

x

x x + d =

20

⎪2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪d −=0 ⎪ 1 0 ⎪d −=

1

2

3

4

2

⎪⎪d3

+

=

⎪x x x d d −

, , ,+

得: ⎩ 1 2 ,3

i

i

≥ 0, i = 1, 2,3, 4

x = 9.474, x = 20, x = 2.105, d= 0, d −=0, d= 8.387, d −=0, d= 0, d −=7.368,

+

+

+

1

+

2 3 1 1 2 2 3 3

d= 14.316, d −=0,

4

4

所以食品厂商为了依次达到 4 个活动目标,需在电视上发布广告 9.474 次,报纸

上发布广告 20 次,广播中发布广告 2.105 次。(管理运筹学 2.0 可一次求解上述

问题)

3、解:(a)设该化工厂生产 x升粘合剂 A 和 x升粘合剂 B。则根据工厂要求,

1

2

建立以下目标规划模型:

+

min

( + d ) + ( + d ) + ( ) P d1 2 2 3 4 3 5

1

−= +5

80 ⎪3 x 12 x− d++d

⎪ + x − d+ d −=

2 2 2

100 ⎪ x

12 ⎪3 100 x + =

1

2

1

1+

1

+d−

⎨ −⎪d3

−1

3+

+ d

2

+

-

d

1

-

d1

d2 -

d

3

200 100

图 1 图解法求解

300

图解法求解如图 1:目标 1, 3 达不到,所以有满意解为 A 点 (150,120)。

4、解:设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品 A x件,生产产品 B x件。

1

2

+

+

min (

1

P d1 ⎧1+1

+ + d ) P d

( ) 2

2

3 −=

(a)目标规划模型为:

60 ⎪6 x 6 x− d++d

1

5 ⎪1

⎪ + x − d+ d −=

2

180 ⎨3 x 6 2 2

2

1

1+

1

x x d

⎪4+ 3−++d ⎪x x x d d ⎩ , , ,+,

1

2

3

3

i

−=

1300

1 2 3

i−

≥ 0, i = 1, 2,3

用图解法求解: 如图所示,所示解为区域 ABCD,有无穷多解。

(b)由上图可知,如果不考虑目标 1 和目标 2,仅仅把它们加工时间的最大限

度分别为 60 和 180 小时作为约束条件,而以利润最大化为目标,那么最优解为 C 点(360,0),即生产产品 A360 件,最大利润为 1420 元。结果与(a)是不相

同的,原因是追求利润最大化而不仅仅是要求利润不少于 1300 元。

(c)如果设目标 3 的优先权为 P1,目标 1 和目标 2 的优先权为 P2,则由上图可 知,满意解的区域依然是 ABCD,有无穷多解,与(a)的解是相同的,原因是

(a)和(c)所设定的目标只是优先级别不同,但都能够依次达到。

5.在环境污染日益得到重视的今天,越来越多的企业开始注重工业废水污

水排污。某纸张制造厂生产一般类型纸张的利润为 300 元/吨,每吨纸产生的工

业废水的处理费用为 30 元;生产某种特种纸张的利润为 500 元/吨,每吨特种

纸产生的工业废水的处理费用为 40 元。

该纸张制造厂近期目标如下:

目标 1:纸张利润不少于 15 万;

目标 2:工业废水的处理费用不超过 1 万元。

a.设目标 1 的优先权为 P,目标 2 的优先权为 P,P>P,建立目标规划模型

1

2

1

2

并用图解法求解。

b.若目标 2 的优先权为 P,目标 1 的优先权为 P,建立目标规划模型并求解。 所得的解是否与 a 中的解相同?

c. 若目标 2 的罚数权重为 5,目标 1 的罚数权重为 2,建立加权目标规划模 型求解。

1

2

5、解:设该纸张制造厂需要生产一般类型纸张 x吨,生产特种纸张 x吨。

1

2

(a)、目标规划模型为:

+

min

( )

P d1 P d2

⎧ x = 150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d , ,, − ≥ 0, i = 1, 2

( )

1

2

1

2

1

1+

1

2+

+

1 2 i i

+

+

= 0, x = 300, d −=0, d −=0, d= 0, d= 200

2 1 2 1 2

图解法略,求解得 x (b)、目标规划模型为:

1

+

( ) P d1

⎧ x −=150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d

⎩ , ,+, i− ≥ 0, i = 1,

1 2

2 = 250, d −=250, d −=0, d= 0, d= 0

= 0, x

2 1 2 1 2

图解法略,求解得 x

min P d( )

1

2

2

1

2

1

1+

1

2

i

+

+

1

+

由此可见,所得结果与(a)中的解是不相同的。 (c)、加权目标规划模型为: min P d(5 ++ d −

2 )

⎧ x −=150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d ⎩ , ,+, i− ≥ 0, i = 1, 2 1 2

= 0, x = 300, d −=250, d −=0, d= 0, d= 12000

1

2

1

1+

1

2

i

+

+

1 2 1

求解得 x

1

2 1 2 1 2

1、解:

C 3

6 x1

a.可行域为 OABC。

b.等值线为图中虚线所示。

c.由图可知,最优解为 B 点,最优解: x1

=

O

0.1

0.6

x1

x1

= 0.2

有唯一解 x2

= 0.6 函数值为 3.6

b 无可行解 c 无界解

d 无可行解

e 无穷多解

12

15

x2

=

,最优目标函数值:

20 x 92

f 有唯一解 3 函数值为3 8

x 3

12

3、解:

a 标准形式:

max f = 3x1

+ 2x2

+ 0s1

+ 0s2

+ 0s3

x + + =

30 91 2x s

x + 2 2 1

31

2 x+ s =

13

2

2 9

x +

+ s = 21

x x2

3

s s ≥ 0

b 标准形式:

1

, x2

, s1,

,

2

3

max f = − x x s s

41

− 63

− 01

− 02

3 x− x − s = 6 1

2 1 x + + = 1

2x s 10

2

2

7 x1

− 6x2

= 4

x1

, x2

,

c 标准形式:

s, s ≥ 0

1

2

= − +x'x'

' − max f 2 − 2 x s s

0 − 02

1 2

2

1

− x + x ' − '

+ = x s 3

5

5 70

1

2

2

1

2x'

− 5x'

+ 5x'

= 50 1 2

2

x'

+ x'

− ' − = 30 31 22

2x s x, '

x2 2

2

',x2

',, s ≥ 0

1 s1

2

4 、解:

z = x + x + +

标准形式: max 10 5 s s

1 2 0 0

x + 4 + x+ 1 s =

2

2 31

2

xs

=

x +

2

1

5

1

2

9 8

x, x, , s ≥ 0

s2

1

2

1

1

2

s= 2, s= 0

5 、解:

f = x + x + + + min 11 8 s s s

1 2 标准形式: 0 0 0

x + 2 − s = 20

x1

10

− =

x +

3 3x s 18

2 2

36 x +

2

11

1 2 3

4

1

− =

9x

2

2

1

s

3

x

1

2

3

s= 0, s= 0, s= 13 6 、解: b 1 ≤ c≤ 3

1

≥ 0 s s 1

, x, s, ,

2

3

c 2 ≤ c≤ 6

2

x= 6 x= 4 d

12

e

x∈ [ ]8 x = 16 − 2x

1

2

f 变化。原斜率从 −

3

7、解: 模型:

max z = 500x+ 400x

1

2

2 1

变为 − 1

2x≤ 300

1

1

2

3x≤ 540

x x ≤ 440 2+ 2 x x ≤ 300 1.2+ 1.5 , ≥ 0 x x2

21

21

2

1

a x= 150 x= 70 即目标函数最优值是 103000 b 2,4 有剩余,分别是 330,15。均为松弛变量 c 50, 0 ,200, 0 额外利润 250 d 在 [0,500]变化,最优解不变。 e 在 400 到正无穷变化,最优解不变。

f 不变

8 、解:

a

b

a 模型: min f = 8x+ 3x

50x+ 100x≤ 1200000

a

b

5x+ 4x≥ 60000

a

b

100x≥ 300000 , x ≥ 0 xb

基金 a,b 分别为 4000,10000。 回报率:60000

ba

b 模型变为: max z = 5x+ 4x

a

b

50x+ 100x≤ 1200000 100x≥ 300000 , x ≥ 0 xb

a

b

ba

1

2

推导出: x= 18000 x= 3000

故基金 a 投资 90 万,基金 b 投资 30 万。

第 3 章 线性规划问题的计算机求解

1、解:

a x= 150 x= 70

1

2

目标函数最优值 103000

b 1,3 使用完 2,4 没用完 0,330,0,15 c 50,0,200,0

含义: 1 车间每增加 1 工时,总利润增加 50 元

3 车间每增加 1 工时,总利润增加 200 元 2、4 车间每增加 1 工时,总利润不增加。 d 3 车间,因为增加的利润最大

e 在 400 到正无穷的范围内变化,最优产品的组合不变 f 不变 因为在 [0,500]的范围内

g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时,约束条

件 1 的右边值在 [200,440]变化,对偶价格仍为 50(同理解释其他约束条件) h 100×50=5000 对偶价格不变 i 能

j 不发生变化 允许增加的百分比与允许减少的百分比之和没有超出 100% k 发生变化 2、解:

a 4000 10000 62000

b 约束条件 1:总投资额增加 1 个单位,风险系数则降低 0.057

约束条件 2:年回报额增加 1 个单位,风险系数升高 2.167 c 约束条件 1 的松弛变量是 0,约束条件 2 的剩余变量是 0

约束条件 3 为大于等于,故其剩余变量为 700000 d 当 c不变时, c在 3.75 到正无穷的范围内变化,最优解不变

2

1

当 c不变时, c在负无穷到 6.4 的范围内变化,最优解不变

1

2

e 约束条件 1 的右边值在 [780000,1500000]变化,对偶价格仍为 0.057(其他 同理)

f 不能 ,理由见百分之一百法则二 3 、解:

a 18000 3000 102000 153000 b 总投资额的松弛变量为 0 基金 b 的投资额的剩余变量为 0 c 总投资额每增加 1 个单位,回报额增加 0.1

基金 b 的投资额每增加 1 个单位,回报额下降 0.06 d c不变时, c在负无穷到 10 的范围内变化,其最优解不变

1

2

c不变时, c在 2 到正无穷的范围内变化,其最优解不变

2

1

e 约束条件 1 的右边值在 300000 到正无穷的范围内变化,对偶价格仍为 0.1

约束条件 2 的右边值在 0 到 1200000 的范围内变化,对偶价格仍为-0.06 600000 300000 = 100% 故对偶价格不变

900000 900000 f

4、解:

a 8.5

x= x= 1.5

1

2

x= 0

3x= 1 最优目标函数 18.5

4

b 约束条件 2 和 3 对偶价格为 2 和 3.5

c 选择约束条件 3,最优目标函数值 22

d 在负无穷到 5.5 的范围内变化,其最优解不变,但此时最优目标函数值变化 e 在 0 到正无穷的范围内变化,其最优解不变,但此时最优目标函数值变化 5、解:

a 约束条件 2 的右边值增加 1 个单位,目标函数值将增加 3.622 b

x产品的利润提高到 0.703,才有可能大于零或生产

2

c 根据百分之一百法则判定,最优解不变

15 65

d + > 100 % 根据百分之一百法则二,我们不能判定

− 30 − 9.189

因为

111.25 15

其对偶价格是否有变化

第 4 章 线性规划在工商管理中的应用

1、解:为了用最少的原材料得到 10 台锅炉,需要混合使用 14 种下料方 428

639

850

547

969

1180

剩余

758

设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9, x10,x11,x12,x13,x14,则可列出下面的数学模型: min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s.t. 2x1+x2+x3+x4 ≥ 80

x2+3x5+2x6+2x7+x8+x9+x10≥ 350 x3+x6+2x8+x9+3x11+x12+x13≥ 420

x4+x7+x9+2x10+x12+2x13+3x14 ≥ 10

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x1=40,x2=0,x3=0,x4=0,x5=116.667,x6=0,x7=0,x8=0, x9=0,x10=0,x11=140,x12=0,x13=0,x14=3.333 最优值为 300。

2、解:从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次,设 xi 表示第 i 班次安排的临时 工的人数,则可列出下面的数学模型:

min f=16(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11) s.t. x1+1 ≥ 9

x1+x2+1 ≥ 9 x1+x2+x3+2 ≥ 9 x1+x2+x3+x4+2 ≥ 3

x2+x3+x4+x5+1 ≥ 3

x3+x4+x5+x6+2 x4+x5+x6+x7+1 x6+x7+x8+x9+2

≥ 3 ≥ 6 ≥ 12

x5+x6+x7+x8+2 ≥ 12

x7+x8+x9+x10+1 ≥ 7 x8+x9+x10+x11+1 ≥ 7

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x1=8,x2=0,x3=1,x4=1,x5=0,x6=4,x7=0,x8=6,x9=0, x10=0,x11=0 最优值为 320。

a、 在满足对职工需求的条件下,在 10 时安排 8 个临时工,12 时新安排 1

个临时工,13 时新安排 1 个临时工,15 时新安排 4 个临时工,17 时新

安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。

b、 这时付给临时工的工资总额为 80 元,一共需要安排 20 个临时工的班

次。

约束 对偶价格 松弛/剩余变量

------- ------------------ -------------

1 0 -4

2 0 0

3 2 0

4 9 0

5 0 -4

6 5 0

7 0 0

8 0 0

9 0 -4

10 0 0

11 0 0

根据剩余变量的数字分析可知,可以让 11 时安排的 8 个人工作 3 小时,13 时安排的 1 个人工作 3 小时,可使得总成本更小。

C、设在 11:00-12:00 这段时间内有 x个班是 4 小时, y个班是 3 小时;

1

1

设在 12:00-13:00 这段时间内有 x个班是 4 小时, y个班是 3 小时;其他时

2

2

段也类似。

则:由题意可得如下式子:

11

11

=

∑ x + ∑ y

i=1 1

1

min z 1612

i=1

S.T + y + ≥

1 9 x1

+ + + y + ≥ xyx2

1 9

+ + + + + y + ≥

1 +1 9

xyxyx3

≥ + + + + + + y +

1+1 3

xxyxyx4

+ + + + + + y + ≥

1 3

xxyxyx5

≥ + + + + + + y +

1+ 1 3

xxyxyx6

+ + + + + + y + ≥

1 6

xxyxyx7

≥ + + + + + + y +

1+1 12

xxyxyx8

≥ + + + + + + y +

1+1 12

xxyxyx9

+ + + + + + y + ≥

1 7

xxyxyx10

+ + + + + + y + ≥

1 7

xxyxyx11

x≥ 0, y≥ 0 i=1,2,…,11

11

1

2

1

1

2

2

3

1

2

2

3

3

4

2

3

3

4

4

5

3

4

4

5

5

6

4

5

5

6

6

7

5

6

6

7

7

8

6

7

7

8

8

9

7

8

8

9

9

10

8

9

9

10

10

11

i

i

稍微变形后,用管理运筹学软件求解可得:总成本最小为 264 元。

安排如下:y1=8( 即在此时间段安排 8 个 3 小时的班),y3=1,y5=1,y7=4,x8=6 这样能比第一问节省:320-264=56 元。

3、解:设生产 A、B、C 三种产品的数量分别为 x1,x2,x3,则可列出下面的

数学模型:

max z=10 x1+12 x2+14 x2 s.t. x1+1.5x2+4x3≤ 2000 2x1+1.2x2+x3 ≤ 1000

x1≤ 200 x2≤ 250 x3 ≤ 100 x1,x2,x3≥ 0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x1=200,x2=250,x3=100 最优值为 6400。

a、在资源数量及市场容量允许的条件下,生产 A 200 件,B 250 件,C 100

件,可使生产获利最多。

b、A、B、C 的市场容量的对偶价格分别为 10 元,12 元,14 元。材料、台

时的对偶价格均为 0。说明 A 的市场容量增加一件就可使总利润增加 10

元,B 的市场容量增加一件就可使总利润增加 12 元,C 的市场容量增加 一件就可使总利润增加 14 元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都

不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓 C 产品的市场,如果

要增加资源,则应在 975 到正无穷上增加材料数量,在 800 到正无穷上

增加机器台时数。

4、解:设白天调查的有孩子的家庭的户数为 x11,白天调查的无孩子的家庭的户

数为 x12,晚上调查的有孩子的家庭的户数为 x21,晚上调查的无孩子的家庭 的户数为 x22,则可建立下面的数学模型: min f=25x11+20x12+30x21+24x22 s.t. x11+x12+x21+x22≥ 2000

x11+x12 = x21+x22 x11+x21≥ 700

x12+x22≥ 450

x11, x12, x21, x22 ≥ 0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x11=700,x12=300,x21=0,x22=1000 最优值为 47500。

a、白天调查的有孩子的家庭的户数为 700 户,白天调查的无孩子的家庭的户

数为 300 户,晚上调查的有孩子的家庭的户数为 0,晚上调查的无孩子的

家庭的户数为 1000 户,可使总调查费用最小。

b、白天调查的有孩子的家庭的费用在 20-26 元之间,总调查费用不会变化;

白天调查的无孩子的家庭的费用在 19-25 元之间,总调查费用不会变化; 晚上调查的有孩子的家庭的费用在 29-无穷之间,总调查费用不会变化;

晚上调查的无孩子的家庭的费用在-20-25 元之间,总调查费用不会变 化。

c、调查的总户数在 1400-无穷之间,总调查费用不会变化;

有孩子家庭的最少调查数在 0-1000 之间,总调查费用不会变化; 无孩子家庭的最少调查数在负无穷-1300 之间,总调查费用不会变化。

5、解:设第 i 个月签订的合同打算租用 j 个月的面积为 xij,则需要建立下面的 数学模型:

min f=2800(x11+x21+x31+x41)+4500(x12+x22+x32)+6000(x13+x23)

+7300 x14

s.t.x11+x12+x13+x14≥ 15

x12+x13+x14+x21+x22+x23 ≥ 10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥ 20 x14+x23+x32+x41≥ 12 xij ≥ 0,i,j=1,2,3,4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x11=5,x12=0,x13=10,x14=0,x21=0,x22=0,x23=0,x31=10, x32=0,x41=0

最优值为 102000。

即:在一月份租用 500 平方米一个月,租用 1000 平方米三个月;在三月 份租用 1000 平方米一个月,可使所付的租借费最小。

6、解:设 xij表示第 i 种类型的鸡需要第 j 种饲料的量,可建立下面的数学模型:

max z=9(x11+x12+x13)+7(x21+x22+x23)+8(x31+x32+x33)-5.5

(x11+x21+x31)-4(x12+x22+x32)-5(x13+x23+x33)

s.t. x11≥ 0.5(x11+x12+x13)

x12≤ 0.2(x11+x12+x13) x21≥0.3(x21+x22+x23) x23 ≤ 0.3(x21+x22+x23)

x33≥ 0.5(x31+x32+x33)

x11+x21+x31 ≤ 30 x12+x22+x32≤ 30 x13+x23+x33≤30

xij ≥ 0,i,j=1,2,3

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x11=30,x12=10,x13=10,x21=0,x22=0,x23=0,x31=0, x32=20,x33=20 最优值为 365。

即:生产雏鸡饲料 50 吨,不生产蛋鸡饲料,生产肉鸡饲料 40 吨。

7、

设 Xi——第 i 个月生产的产品 I 数量

Yi——第 i 个月生产的产品 II 数量

Zi,Wi 分别为第 i 个月末产品 I、II 库存数

S1i,S2i分别为用于第(i+1)个月库存的自有及租借的仓库容积(立方米)。则

可建立如下模型:

5

12

12

+ y + s x + y

+ ∑ z = ∑ + ∑ s

min (5x8 ) (4.5 7 ) ( 1.5 )

i

i=1

i

i=6

i i

i=1

1i 2i

s.t.

X1-10000=Z1 X2+Z1-10000=Z2

X3+Z2-10000=Z3 X4+Z3-10000=Z4 X5+Z4-30000=Z5 X6+Z5-30000=Z6 X7+Z6-30000=Z7 X8+Z7-30000=Z8 X9+Z8-30000=Z9

X10+Z9-100000=Z10 X11+Z10-100000=Z11

X12+Z11-100000=Z12

Y1-50000=W1 Y2+W1-50000=W2 Y3+W2-15000=W3 Y4+W3-15000=W4 Y5+W4-15000=W5 Y6+W5-15000=W6 Y7+W6-15000=W7 Y8+W7-15000=W8

Y9+W8-15000=W9 Y10+W9-50000=W10 Y11+W10-50000=W11

Y12+W11-50000=W12

S1i≤15000 1≤i≤12 Xi+Yi≤120000 1≤i≤12

0.2Zi+0.4Wi=S1i+S2i 1≤i≤12 Xi≥0, Yi≥0, Zi≥0, Wi≥0, S1i≥0, S2i≥0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为: 最优值= 4910500

X1=10000, X2=10000, X3=10000, X4=10000, X5=30000, X6=30000, X7=30000, X8=45000, X9=105000, X10=70000, X11=70000, X12=70000; Y1= 50000, Y2=50000, Y3=15000, Y4=15000, Y5=15000,

Y6=15000, Y7=15000, Y8=15000, Y9=15000, Y10=50000, Y11=50000, Y12=50000; Z8=15000, Z9=90000, Z10 =60000, Z1=30000; S18=3000, S19=15000, S110=12000, S111=6000; S28=3000;

其余变量都等于 0

8、解:设第 i 个车间生产第 j 种型号产品的数量为 xij,可建立下面的数学模型: max z=25(x11+x21+x31+x41+x51)+20(x12+x32+x42+x52)+17(x13

+x23+x43+x53)+11(x14+x24+x44)

s.t. x11+x21+x31+x41+x51 ≤ 1400

x12+x32+x42+x52≥ 300 x12+x32+x42+x52 ≤ 800 x13+x23+x43+x53≤ 8000 x14+x24+x44≥ 700

5x11+7x12+6x13+5x14 ≤ 18000

6x21+3x23+3x24≤ 15000 4x31+3x32 ≤ 14000

3x41+2x42+4x43+2x44≤ 12000 2x51+4x52+5x53≤ 10000

xij ≥ 0,i=1,2,3,4,5 j=1,2,3,4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为:

x11=0,x12=0,x13=1000,x14=2400,x21=0,x23=5000,x24=0, x31=1400,x32=800,x41=0,x42=0,x43=0,x44=6000,x51=0,

x52=0,x53=2000 最优值为 279400

9、解:设第一个月正常生产 x1,加班生产 x2,库存 x3;第二个月正常生产 x4,

加班生产 x5,库存 x6;第三个月正常生产 x7,加班生产 x8,库存 x9;第 四个月正常生产 x10,加班生产 x11,可建立下面的数学模型:

min f = 200(x1+x4+x7+x10)+300(x2+x5+x8+x11)+60(x3+x6

+x9)

s.t.

x1≤4000 x4≤4000 x7≤4000 x10≤4000 x3≤1000 x6≤1000 x9≤1000 x2≤1000 x5≤1000 x8≤1000 x11≤1000

x1+ x2- x3=4500 x3+ x4+ x5- x6=3000 x6+ x7+ x8- x9=5500 x9+ x10+ x11=4500

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11≥0

计算结果是:

minf= 3710000 元

x1=4000 吨,x2=500 吨,x3=0 吨,x4=4000 吨, x5=0 吨 x6=1000 吨, x7=4000 吨, x8=500 吨, x9=0 吨, x10=4000 吨,x11=500 吨。

第 5 章

单纯形法

1、解:表中 a、c、e、f 是可行解,a、b、f 是基本解,a、f 是基本可行解。

2、解:a、该线性规划的标准型为: max 5 x1+9 x2

s.t.0.5 x1+x2+s1=8

x1+x2-s2=10

0.25 x1+0.5 x2-s3=6

x1,x2,s1,s2,s3≥0.

b、有两个变量的值取零,因为有三个基变量、两个非基变量,非基变量

取零。

c、(4,6,0,0,-2) d、(0,10,-2,0,-1)

e、不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。

3 0 0 0 0 0 0

6 30* 25 0 0 0

b、线性规划模型为:

max 6 x1+30 x2+25 x3 s.t.3 x1+x2+s1 = 40

2 x1+x3+s2= 50 2 x1+x2-x3+s3=20

x1,x2,x3,s1,s2,s3≥0

c、初始解的基为(s1,s2,s3),初始解为(0,0,0,40,50,20),

对应的目标函数值为 0。

d、第一次迭代时,入基变量是 x2,出基变量为 s3。

4、解:最优解为(2.25,0),最优值为 9。

X2

1

5、解:a、最优解为(2,5,4),最优值为 84。

b、最优解为(0,0,4),最优值为-4。

6、解:a、有无界解

b、最优解为(0.714,2.143,0),最优值为-2.144。

7、解:a、无可行解

b、最优解为(4,4),最优值为 28。 c、有无界解

d、最优解为(4,0,0),最优值为 8。

第 6 章 单纯形法的灵敏度分析与对偶

1

a. c1≤24 b. c2≥6 c. cs2≤8

2

a. c1≥-0.5 b. -2≤c3≤0 c. cs2≤0.5

3

a. b1≥150

b. 0≤b2≤83.333 c. 0≤b3≤150

4

a. b1≥-4 b. 0≤b2≤300 c. b3≥4

5 a. b. c. d. e.

利润变动范围 c1≤3,故当 c1=2 时最优解不变 根据材料的对偶价格为 1 判断,此做法不利 0≤b2≤45

最优解不变,故不需要修改生产计划

此时生产计划不需要修改,因为新的产品计算的检验数为-12 小于零,对原生 产计划没有影响。

6

均为唯一最优解,根据从计算机输出的结果看出,如果松弛或剩余变量为零且对 应的对偶价格也为零,或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时,可

知此线性规划有无穷多组解。 7

a. min f= 10y1+20y2.

s.t. y1+y2≥2,

y1+5y2≥1, y1+y2≥1, y1, y2≥0.

b. max z= 100 y1+200 y2. s.t. 1/2 y1+4 y2≤4,

2 y1+6 y2≤4,

2 y1+3 y2≤2,

y1, y2≥0.

8.

a. min f= -10 y1+50 y2+20 y3-20 y4. s.t. -2 y1+3 y2+ y3- y2≥1,

≥2, 3 y1+ y2

- y1+ y2+ y3- y2 =5, y1, y2, y2≥0, y3 没有非负限制。

b. max z= 6 y1-3 y2+2 y3-2 y4.

s.t. y1- y2- y3+ y4≤1, 2 y1+ y2+ y3- y4=3, -3 y1+2 y2- y3+ y4≤2, y1, y2, y4≥0, y3没有非负限制

9. 对偶单纯形为 max z=4 y1-8 y2+2 y3 s.t y1- y2≤1,

- y1- y2+ y3≤2, y1-2 y2- y3≤3, y1, y2, y3≥0

目标函数最优值为: 10 最优解: x1=6, x2=2, x3=0

第 7 章 运输问题

1.

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- ----- 1 0 250 0 50 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为: 19800

此问题的另外的解如下:

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- 1 0 250 50 0 2 400 0 0 0 3 0 0 300 200 此运输问题的成本或收益为: 19800

(2)如果 2 分厂产量提高到 600,则为产销不平衡问题

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- 1 0 250 0 0 2 400 0 0 200 3 0 0 350 0

----- -----

此运输问题的成本或收益为: 19050

注释:总供应量多出总需求量 200

第 1 个产地剩余 50 第 3 个产地剩余 150

(3)销地甲的需求提高后,也变为产销不平衡问题

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- ----- 1 50 250 0 0 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为: 19600

注释:总需求量多出总供应量 150

第 1 个销地未被满足,缺少 100 第 4 个销地未被满足,缺少 50

最优解如下

********************************************

至 销点

发点 1 2 3 4 5 6 8

-------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 1 0 0 100 0 0 200 0 0 2 0 0 0 0 350 0 0 150

3 0 50 0 100 0 0 0

4 0 100 0 0 0 0 0 0 5 150 0 50 0 0 0 0 0 此运输问题的成本或收益为: 1.050013E+07

7 250

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- -----

1 2 0 0

2 1 1 0

3 0 0 3

4 0 4 0

5 0 0 2

6 0 0 0

7 0 0 0

此运输问题的成本或收益为: 8465

此问题的另外的解如下:

起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- -----

1 2 0 0

2 1 2 0

3 0 0 3

4 0 3 0 1 0 0 0 2 3 0 0 0 1

5 0 0 0 2

6 0 0 2 0

7 0 0 3 0

此运输问题的成本或收益为: 8465

最优解如下

********************************************

至 销点

发点 1 2 3 4 5 6 -------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 1 1100 0 300 200 0 0 2 0 1100 0 0 600 0 3 0 0 1100 0 0 0 4 0 0 0 1100 0 0 5 0 0 0 0 1000 100 6 0 0 0 0 0 1100 此运输问题的成本或收益为: 130000

5.

建立的运输模型如下

min f = 500x1+300 x2+550 x3+650 x4. s.t. 54 x1+49 x2+52 x3+64 x4≤1100, 57 x1+73 x2+69 x3+65 x4≤1000,

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4 5

-------- ----- ----- ----- ----- ----- 1 250 300 550 0 0 2 250 0 0 650 100

此运输问题的成本或收益为: 113300 6.

销量 20 10 0 10 0 20 5 0

b. 最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 -------- ----- ----- -----

1 0 0 15 2 20 5 0 3 0 5 5 此运输问题的成本或收益为: 145

c. 该运输问题只有一个最优解,因为其检验数均不为零

d. 最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 -------- ----- ----- -----

1 0 0 15 2 25 0 0 此运输问题的成本或收益为: 135

1.

第 8 章 整数规划

求解下列整数规划问题 max z=5x +8x2

1

a. s.t.

x +x

1 1 1

2 2

≤ 6, ≤ 45, ≥ 0,且为整数

2

5x +9x

2

x ,x

目标函数最优解为 :

1

x *=0,x *=5,z*=40。

b. max z=3x +2x

1

2

s.t.

2x +3x

1 1

2 2

≤ 14, ≤ 9,

为整数。

2

2x +x

x1,x2 0, x1且 目标函数最优解为 :

1

x *=3,x *=2.6667,z*=14.3334。

c. max z=7x +9x +3x

1

2

3

s.t.

-x +3x +x

1

2

3

≤ 7,

0-1变量。

7x +x +x ≤ 38,

1 2 3

且 为整数, 为x

x ,x ,x ≥ 0, x

1

2

3

1

3

目标函数最优解为 :

1

x *=5,x *=3,x *=0,z*=623

2。

2.解:设 xi为装到船上的第 i 种货物的件数,i=1,2,3,4,5。则该船装载的货 物取得最大价值目标函数的数学模型可写为:

max z=5x +10x +15x +18x +25x2 3 4 5 s.t.

20x +5x +10x +12x +25x ≤ 400000,

1

1 1 1

1 2 4

2

3

3 4

4 5

5

x +2x +3x +4x +5x ≤ 50000, x +4x

2

3

≤ 10000

≤ 750,

4

5

0.1x +0.2x +0.4x +0.1x +0.2x

x

i

≥ 0,且为整数,i=1 2 3 4 5

目标函数最优解为 :

1

x *=0,x *=0,x *=0,x *=2500,x *=2500,z*=107500 .3

2

4 5

3.解:设 xi为第 i 项工程,i=1,2,3,4,5,且 xi为 0-1 变量,并规定,

i ⎧

1, 当第 项工程被选定时, x= ⎨ i

⎩ ,当第 项工程没被选定时。

根据给定条件,使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为:

i

max z 20x+ 40x+ 20x+15x+ 30x s.t.

5x +4x +3x +7x +8x

1

2

3

4

5

≤ 25, ≤ 25,

1 1 1

2 2

2

3 3

3

4 4 4

5 5

5

x +7x +9x +4x +6x

8x +10x +2x +x +10x ≤ 25, 为 变量,i=1 2 3 4 5 x 0-1

i

目标函数最优解为 :

1

x *=1,x *=1,x *=1,x *=1,x *=0,z*=953

2

4 5

4.解:这是一个混合整数规划问题

设 x1、x2、x3分别为利用 A、B、C 设备生产的产品的件数,生产准备费

只有在利用该设备时才投入,为了说明固定费用的性质,设

⎧1,当利用第 种设备生产时,即i x >0,

i

y = ⎨ i

0 i x =0。 ⎩ ,当不利用第 种设备生产时,即

故其目标函数为:

i

min z 100y +300y +200y +7x +2x +5x

3 12 1 2 3

为了避免没有投入生产准备费就使用该设备生产,必须加以下的约束条件, M 为充分大的数。

x ≤ y M,

1 2 3

1 2 3

x ≤ y M, x ≤ y M ,

设 M=1000000

a. 该目标函数的数学模型为:

min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1

2 3 1 2 3

s.t.

x +x +x =2000,

1 2 3

0.5x +1.8x +1.0x

≤ 2000,

1

2

3

x ≤ 800,

1

x

≤ 1200, 2

x

≤ 1400, 3

x ≤ y M,

1 1 x ≤ y M, 2 2 x

≤ y M ,

3

3

x1

, ,x2

x3

≥ 0,且为整数, , , 为y1

y2

y3

0-1变量。 目标函数最优解x *=370,x *=231,x *=1399,y =1,y =1,y =1,z*=10647 为 : 1

3

b.该目标函数的数学模型为:

min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1

2 3 1 2 3

s.t.

x +x +x =2000,

1 2 3

0.5x +1.8x +1.0x ≤ 2500, 1

2

3

x ≤ 800,

1

x ≤ 1200,

2

x ≤ 1400,

3

x ≤ y M,

1 1 x ≤ y M, 2 2 x ≤ y M ,

3

3

x1

, ,x2

x3

≥ 0,且为整数, , , 为y1

y2

y3

0-1变量。

目标函数最优解为 : x *=0,x *=625,x *=1375,y =0,y =1,y =1,z*=8625 1

3

23 1 2

23

1 2

c.该目标函数的数学模型为:

min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1

2 3 1 2 3

s.t.

x +x +x =2000,

1 2 3

0.5x +1.8x +1.0x ≤ 2800, 1

2

3

x ≤ 800,

1

x ≤ 1200,

2

x ≤ 1400,

3

x ≤ y M,

1 1 x ≤ y M, 2 2 x ≤ y M ,

3

3

x1

, ,x2

x3

≥ 0,且为整数, , , 为y1

y2

y3

0-1变量。 目标函数最优解x *=0,x *=1000,x *=1000,y =0,y =1,y =1,z*=7500

23 1 为 :1

3

d.该目标函数的数学模型为:

min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1

2 3 1 2 3

s.t.

x +x +x =2000,

1 2 3

x ≤ 800, 1

x ≤ 1200,

2

x ≤ 1400,

3

x ≤ y M,

1 1 x ≤ y M,

2

2

x ≤ y M ,

3 3

,且为整数, , , 为 变量。

x , ,x x ≥ 0 y y 1

2

3

1

2y0-1

3

目标函数最优解x *=0,x *=1200,x *=800,y =0,y =1,y =1,z*=6900

23 1 为 :1

3

5.解:设 xij 为从 Di 地运往 Ri 地的运输量,i=1,2,3,4,j=1,2,3 分别代表从北京、上海、广州、武汉运往华北、华中、华南的货物件数,并规定,

⎧1 i

yi

= ⎨ ,当 地被选设库房,

0 i

该目标函数的数学模型为:⎩ ,当 地没被选设库房。

2

2

min z 45000y+ 50000y+ 70000y+ 40000y+ 200x+ 400x+ 500x

1

2

3

4

11

12

13

+300x21+ 250x +400x +600x +350x +300x +350x +150x +350x2223

43

31 32 33 41 42

s.t.

x +x +x +x =500,

11 12 13 11

21 22 23 12

31 32 33 13

2122 3132

41 42 43

1 23 33

x +x +x +x =800, x +x +x +x =700, x +x +x ≤ 1000y , x +x +x x +x +x y

2 1 3

2 4 4

3

4

≤ 1000y,

2

≤ 1000y,

3

4

x +x +x4142 43 ≤ 1000y,

≤ y ,

y +y +y +y ≤ 2, y +y ≤ 1,

,且为整数, 为 分量,i=1 2 3 4

x ≥ 0 y 0-1

ij

i

目标函数最优解为

x *=500,x *=0,x *=500,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,

11 41

42 12

13 43

21 1

2 22

3

23 4

31

32

33

x *=0,x *=800,x *=200,y =1,y =0,y =0,y =1,z*=625000

:

也就是说在北京和武汉建库房,北京向华北和华南各发货 500 件,武汉向华 中发货 800 件,向华南发货 200 件就能满足要求,即这就是最优解。

,当指派第 人去完成第 项工作时,

i i j j

6.解:引入 0-1 变量 xij,并令 x= ⎨⎧1

⎩ ,当不指派第 人去完成第 项工作时。

a.为使总消耗时间最少的目标函数的数学模型为:

ij

min z 20x+19x+ 20x+ 28x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +26x

11

12

13

14

21

22

23

2431

+16x +15x +18x +17x +20x +24x +19xs.t.

x +x +x +x =1,

11 21 31

12 22 32

13 23 33

14 24 34

3233 34 41 42 43 44

x +x +x +x =1, x +x +x +x =1, x +x +x =1, +x

41 11 12

42 21 22

43 31 32

44 41 42

x +x +x +x =1,

x +x +x +x =1,

x +x +x +x =1,

13 14

23 24

33 34

43 44

x +x +x +x =1,

,,,。 为 变量,

x 0-1 i=1 2 3 4 j=1 2 3 4

ij

目标函数最优解为 :

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,

11 34

12 41

13 42

14 43

21 44

22

23

24

31

32

33

x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,z*=71

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,

11 34

12 41

13 42

14 43

21 44

22

23

24

31

32

33

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,z*=71

即安排甲做 B 项工作,乙做 A 项工作,丙 C 项工作,丁 D 项工作,或者是

安排甲做 B 项工作,乙做 D 项工作,丙 C 项工作,丁 A 项工作,最少时间为 71

分钟。

b.为使总收益最大的目标函数的数学模型为: 将 a 中的目标函数改为求最大值即可。 目标函数最优解为 :

x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,

11 34

12 41

13 42

14 43

21 44

22

23

24

31

32

33

x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,z*=102

即安排甲做 D 项工作,乙做 C 项工作,丙 A 项工作,丁 B 项工作,最大收 益为 102。

c.由于工作多人少,我们假设有一个工人戊,他做各项工作的所需的时间均 为 0,该问题就变为安排 5 个人去做 5 项不同的工作的问题了,其目标函数的数

学模型为:

min z 20x+19x+ 20x+ 28x+17x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +20x+26x +16x +15x +18x +15x +17x +20x +24x +19x +16x32 33

11

12

13

14

15

21

22

23

31

2425

34 35 41 42 43

44 45

s.t.

x +x +x +x +x =1,

11 21

12 22

13 23

14 24

15 25

x +x +x +x +x =1, +x +x +x +x =1 , x

31 41 51 11 12 13 14 15

32 42 52 21 22 23 24 25

33 43 53 31 32 33 34 35

34 44 54 41 42 43 44 45

35 45 55 51 52 53 54 55

x +x +x +x +x =1,

x +x +x +x +x =1, x +x +x +x +x =1,

x +x +x +x +x =1, x +x +x +x +x =1, x +x +x +x +x =1, x +x +x +x x

ij

+x =1,

0-1 i=1 2 3 4 5 j=1 2 3 4 5 为 变量,

目标函数最优解为:

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,

11 32

12 33

13 34

14 35

15 41

21 42

22 43

23 44

24 45

25

31

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,z*=68

即安排甲做 B 项工作,乙做 A 项工作,丙做 C 项工作,丁做 E 项工作,最 少时间为 68 分钟。

d.该问题为人多任务少的问题,其目标函数的数学模型为:

min z 20x+19x+ 20x+ 28x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +26x +16x31 +15x +18x +17x +20x +24x +19x +16x +17x +20x +21x

11

12

13

14

21

22

23

24

32

3334

41 42 43 44

51 52 53 54

s.t.

≤ ,

x +x 1 +x +x12 13 14

11

x +x +x +x ≤ 1,

21 31 41 51 11 12 13 14

22 32 42 52 21 22 23 24

23 33 43 53 31 32 33 34

24

x +x +x +x

34 44

≤ 1, ≤ 1,

54 41 42 43 44

51 52 53 54

x +x +x +x ≤ 1,

x +x +x +x

x +x +x +x +x =1,

x +x +x +x +x =1, x +x +x +x +x =1, x +x +x +x +x =1, x

0-1 i=1 2 3 4 j=1 2 3 4 5 i为 变量, j

目标函数最优解为:

x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,

11

12 41

13 42

14 43

21 44

22 51

23 52

24 53

31 54

32

33

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,z*=69

34

x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,

11 34

12 41

13 42

14 43

21 44

22 51

23 52

24 53

31 54

32

33

x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,z*=69

x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,

11 34

12 41

13 42

14 43

21 44

22 51

23 52

24 53

31 54

32

33

x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,z*=69

即安排乙做 D 项工作,丙做 C 项工作,丁做 A 项工作,戊做 B 项工作;或

安排乙做 A 项工作,丙做 C 项工作,丁做 D 项工作,戊做 B 项工作;或安排甲

做 B 项工作,丙做 C 项工作,丁做 D 项工作,戊做 A 项工作,最少时间为 69 分钟。

7.解:设飞机停留一小时的损失为 a 元,则停留两小时损失为 4a 元,停留 3

小时损失为 9 元,依次类推,对 A、B、C 三个城市建立的指派问题的效率矩阵 分别如下表所示:

城市 A

解得最优解为:

城市 B

解得最优解为:

或为:

城市 C

解得最优解为:

或为:

或为:

第 9 章 目标规划

1.某工厂试对产品 A、B 进行生产。市场需求并不是很稳定,因此对每种产

品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润。这两种产品都经过甲、乙两 台设备加工。已知产品 A 和 B 分别在甲和乙设备上的单位加工时间,甲、乙设备 的可用加工时间以及预期利润如下表所示,要求首先是保证在销售较差时,预期 利润不少于 5 千元,其次是要求销售良好时,预期利润尽量达到 1 万元。试建立

多目标规划模型并求解。

(百元/件)

1、解:设工厂生产 A 产品 x件,生产 B 产品 x件。按照生产要求,建立如下目

1

2

标规划模型:

min

( ) ( ) P d1 P d2 ⎧ x x ≤ 45 4+ 3

⎪ x x ≤ 30 ⎪2+ 5

⎪ x x = 50 ⎨5+ 5− d++d

⎪ x x − d+ d −=100

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1+

+

⎪8+ 62

1

2

2

+

1

2

i

⎩⎪x x d d, ,i,−

2

由管理运筹学软件先求解得: x

1

≥ 0, i = 1,

= 11.25, x = 0, d −=0, d −=10, d= 6.25, d= 0

+

+

2 1 2 1 2

由图解法或进一步计算可知,本题在求解结果未要求整数解的情况下,满意解有 无穷多个,为线段α (135 /14,15 / 7) (1 α )(45 / 4,0), α ∈[0,1] 上的任一点。

2、解:设食品厂商在电视上发布广告 x次,在报纸上发布广告 x次,在广播中

1

2

发布广告 x次。

3

目标规划模型为:

+

min ( )

11

+

( )−+( )

2

3

P d1 P d2 P d3 ⎧x≤

10 ⎪ ≤ 20 ⎪ xx 15

x + 5x

3

+ P d

( )

+

4 4

= 400

2

⎪ ≤ ⎪

x ⎪20+10 ⎨ x x

1

2

1

2

3

3

− d++d

1

1

x d

2

2

−=

⎪0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x −=0 0.3 − 0.3 + 0.7

2 3 − d++d ⎪ x 1 + − x x 20

⎪ + d = 2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪

⎪⎩x x x d d, , ,3 i,− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4 用管理运筹学软件先求下述问题:

3

3

1

2

3

4+

1

2

i

min d −

⎧x≤ 10 ⎪ ≤ ⎪x 20

15 x

13

1

x + 5x

2

= 400

⎪ ≤ ⎪

x ⎪20+10 ⎨ x x

1

2

1

2

3

3

− d++d

1

1

x d

2

2

−=

⎪0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x −=0 0.3 − 0.3 + 0.7

2 3 − d++d ⎪ x 1 + − x x 20

⎪ + d = 2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪

⎪⎩x x x d d, , ,3 i,− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4

3

3

1

2

3

4+

1

2

i

得: d−=0 ,将其作为约束条件求解下述问题:

1

min d −

2

⎧ ≤ x 10

20 ⎪⎪x2

1

≤ ⎪ ≤ ⎪x 15

x x + 5x

3

−=

1

1

400 0 = 0

3 − d++d 20+10 ⎪ x x x d ⎨0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x

1

2

1

2

3

2

2

1

2

3

3

3

−=

⎪ 0.3− 0.3+ 0.7− d++d 20 ⎪ + −

x x x + d = 2.5 + 0.5 + 0.3

2 3 − d4

⎪ 1 ⎪d −= 0 ⎪ 1

x x x d d, , ,, − ≥ 0, i = 1, 2,3, 4

4

+

1 2 3 i i

得最优值 d−=0 ,将其作为约束条件计算下述问题:

2

min d+

3

⎧x1≤ 10 ⎪ ≤ ⎪ 20 xx3 15 x + 5x −=400 2

⎪ ≤ ⎪

x

⎪20+10 3 − d1

++d1

1

2

⎪ x x x d −=0 0.7 − 0.3 − 0.3

⎨−⎪1 2 3 2

2

x

x x−+ +d −

= 0 ⎪ 0.31

− 0.32

+ 0.73

− d3

++d3 20

⎪ + −

x x x + d = 2.5 + 0.5 + 0.3

⎪ 1 2 3 − d4

4

⎪d −= 0

1

⎪⎪0

d2−

=

⎪x x x d d i

− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4

⎩ , , ,i

+,

1 2 3

得最优值 d3

+=0 ,将其作为约束条件计算下述问题:

min d+

4

⎧ ≤ x1

10

⎪⎪20 x2

≤ ⎪ ≤ ⎪x 3

x 15

x + 5x

−=

400 201

+102

3 − d1

++d1

⎪ x x x d −=

0 ⎪0.71

− 0.32

− 0.33

−2

++d2

⎪−

= x x x 0

⎨ 0.31

− 0.32

+ 0.73

− d3

++d3

⎪ +

x

x x + d =

20

⎪2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪d −=0 ⎪ 1 0 ⎪d −=

1

2

3

4

2

⎪⎪d3

+

=

⎪x x x d d −

, , ,+

得: ⎩ 1 2 ,3

i

i

≥ 0, i = 1, 2,3, 4

x = 9.474, x = 20, x = 2.105, d= 0, d −=0, d= 8.387, d −=0, d= 0, d −=7.368,

+

+

+

1

+

2 3 1 1 2 2 3 3

d= 14.316, d −=0,

4

4

所以食品厂商为了依次达到 4 个活动目标,需在电视上发布广告 9.474 次,报纸

上发布广告 20 次,广播中发布广告 2.105 次。(管理运筹学 2.0 可一次求解上述

问题)

3、解:(a)设该化工厂生产 x升粘合剂 A 和 x升粘合剂 B。则根据工厂要求,

1

2

建立以下目标规划模型:

+

min

( + d ) + ( + d ) + ( ) P d1 2 2 3 4 3 5

1

−= +5

80 ⎪3 x 12 x− d++d

⎪ + x − d+ d −=

2 2 2

100 ⎪ x

12 ⎪3 100 x + =

1

2

1

1+

1

+d−

⎨ −⎪d3

−1

3+

+ d

2

+

-

d

1

-

d1

d2 -

d

3

200 100

图 1 图解法求解

300

图解法求解如图 1:目标 1, 3 达不到,所以有满意解为 A 点 (150,120)。

4、解:设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品 A x件,生产产品 B x件。

1

2

+

+

min (

1

P d1 ⎧1+1

+ + d ) P d

( ) 2

2

3 −=

(a)目标规划模型为:

60 ⎪6 x 6 x− d++d

1

5 ⎪1

⎪ + x − d+ d −=

2

180 ⎨3 x 6 2 2

2

1

1+

1

x x d

⎪4+ 3−++d ⎪x x x d d ⎩ , , ,+,

1

2

3

3

i

−=

1300

1 2 3

i−

≥ 0, i = 1, 2,3

用图解法求解: 如图所示,所示解为区域 ABCD,有无穷多解。

(b)由上图可知,如果不考虑目标 1 和目标 2,仅仅把它们加工时间的最大限

度分别为 60 和 180 小时作为约束条件,而以利润最大化为目标,那么最优解为 C 点(360,0),即生产产品 A360 件,最大利润为 1420 元。结果与(a)是不相

同的,原因是追求利润最大化而不仅仅是要求利润不少于 1300 元。

(c)如果设目标 3 的优先权为 P1,目标 1 和目标 2 的优先权为 P2,则由上图可 知,满意解的区域依然是 ABCD,有无穷多解,与(a)的解是相同的,原因是

(a)和(c)所设定的目标只是优先级别不同,但都能够依次达到。

5.在环境污染日益得到重视的今天,越来越多的企业开始注重工业废水污

水排污。某纸张制造厂生产一般类型纸张的利润为 300 元/吨,每吨纸产生的工

业废水的处理费用为 30 元;生产某种特种纸张的利润为 500 元/吨,每吨特种

纸产生的工业废水的处理费用为 40 元。

该纸张制造厂近期目标如下:

目标 1:纸张利润不少于 15 万;

目标 2:工业废水的处理费用不超过 1 万元。

a.设目标 1 的优先权为 P,目标 2 的优先权为 P,P>P,建立目标规划模型

1

2

1

2

并用图解法求解。

b.若目标 2 的优先权为 P,目标 1 的优先权为 P,建立目标规划模型并求解。 所得的解是否与 a 中的解相同?

c. 若目标 2 的罚数权重为 5,目标 1 的罚数权重为 2,建立加权目标规划模 型求解。

1

2

5、解:设该纸张制造厂需要生产一般类型纸张 x吨,生产特种纸张 x吨。

1

2

(a)、目标规划模型为:

+

min

( )

P d1 P d2

⎧ x = 150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d , ,, − ≥ 0, i = 1, 2

( )

1

2

1

2

1

1+

1

2+

+

1 2 i i

+

+

= 0, x = 300, d −=0, d −=0, d= 0, d= 200

2 1 2 1 2

图解法略,求解得 x (b)、目标规划模型为:

1

+

( ) P d1

⎧ x −=150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d

⎩ , ,+, i− ≥ 0, i = 1,

1 2

2 = 250, d −=250, d −=0, d= 0, d= 0

= 0, x

2 1 2 1 2

图解法略,求解得 x

min P d( )

1

2

2

1

2

1

1+

1

2

i

+

+

1

+

由此可见,所得结果与(a)中的解是不相同的。 (c)、加权目标规划模型为: min P d(5 ++ d −

2 )

⎧ x −=150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d ⎩ , ,+, i− ≥ 0, i = 1, 2 1 2

= 0, x = 300, d −=250, d −=0, d= 0, d= 12000

1

2

1

1+

1

2

i

+

+

1 2 1

求解得 x

1

2 1 2 1 2


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