、
1、解：
C 3
6 x1
a.可行域为 OABC。
b.等值线为图中虚线所示。
c.由图可知，最优解为 B 点，最优解： x1
=
O
0.1
0.6
x1
x1
= 0.2
有唯一解 x2
= 0.6 函数值为 3.6
b 无可行解 c 无界解
d 无可行解
e 无穷多解
12
15
x2
=
，最优目标函数值：
20 x 92
f 有唯一解 3 函数值为3 8
x 3
12
3、解：
a 标准形式：
max f = 3x1
+ 2x2
+ 0s1
+ 0s2
+ 0s3
x + + =
30 91 2x s
x + 2 2 1
31
2 x+ s =
13
2
2 9
x +
+ s = 21
x x2
3
s s ≥ 0
b 标准形式：
1
, x2
, s1,
,
2
3
max f = − x x s s
41
− 63
− 01
− 02
3 x− x − s = 6 1
2 1 x + + = 1
2x s 10
2
2
7 x1
− 6x2
= 4
x1
, x2
,
c 标准形式：
s, s ≥ 0
1
2
= − +x'x'
' − max f 2 − 2 x s s
0 − 02
1 2
2
1
− x + x ' − '
+ = x s 3
5
5 70
1
2
2
1
2x'
− 5x'
+ 5x'
= 50 1 2
2
x'
+ x'
− ' − = 30 31 22
2x s x, '
x2 2
2
',x2
',, s ≥ 0
1 s1
2
4 、解：
z = x + x + +
标准形式： max 10 5 s s
1 2 0 0
x + 4 + x+ 1 s =
2
2 31
2
xs
=
x +
2
1
5
1
2
9 8
x, x, , s ≥ 0
s2
1
2
1
1
2
s= 2, s= 0
5 、解：
f = x + x + + + min 11 8 s s s
1 2 标准形式： 0 0 0
x + 2 − s = 20
x1
10
− =
x +
3 3x s 18
2 2
36 x +
2
11
1 2 3
4
1
− =
9x
2
2
1
s
3
x
1
2
3
s= 0, s= 0, s= 13 6 、解： b 1 ≤ c≤ 3
1
≥ 0 s s 1
, x, s, ,
2
3
c 2 ≤ c≤ 6
2
x= 6 x= 4 d
12
e
x∈ [ ]8 x = 16 − 2x
1
2
f 变化。原斜率从 −
3
7、解： 模型：
max z = 500x+ 400x
1
2
2 1
变为 − 1
2x≤ 300
1
1
2
3x≤ 540
x x ≤ 440 2+ 2 x x ≤ 300 1.2+ 1.5 , ≥ 0 x x2
21
21
2
1
a x= 150 x= 70 即目标函数最优值是 103000 b 2，4 有剩余，分别是 330，15。均为松弛变量 c 50， 0 ，200， 0 额外利润 250 d 在 [0,500]变化，最优解不变。 e 在 400 到正无穷变化，最优解不变。
f 不变
8 、解：
a
b
a 模型： min f = 8x+ 3x
50x+ 100x≤ 1200000
a
b
5x+ 4x≥ 60000
a
b
100x≥ 300000 , x ≥ 0 xb
基金 a,b 分别为 4000，10000。 回报率：60000
ba
b 模型变为： max z = 5x+ 4x
a
b
50x+ 100x≤ 1200000 100x≥ 300000 , x ≥ 0 xb
a
b
ba
1
2
推导出： x= 18000 x= 3000
故基金 a 投资 90 万，基金 b 投资 30 万。
第 3 章 线性规划问题的计算机求解
1、解：
a x= 150 x= 70
1
2
目标函数最优值 103000
b 1，3 使用完 2，4 没用完 0，330，0，15 c 50，0，200，0
含义： 1 车间每增加 1 工时，总利润增加 50 元
3 车间每增加 1 工时，总利润增加 200 元 2、4 车间每增加 1 工时，总利润不增加。 d 3 车间，因为增加的利润最大
e 在 400 到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变 f 不变 因为在 [0,500]的范围内
g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条
件 1 的右边值在 [200,440]变化，对偶价格仍为 50（同理解释其他约束条件） h 100×50=5000 对偶价格不变 i 能
j 不发生变化 允许增加的百分比与允许减少的百分比之和没有超出 100% k 发生变化 2、解：
a 4000 10000 62000
b 约束条件 1：总投资额增加 1 个单位，风险系数则降低 0.057
约束条件 2：年回报额增加 1 个单位，风险系数升高 2.167 c 约束条件 1 的松弛变量是 0，约束条件 2 的剩余变量是 0
约束条件 3 为大于等于，故其剩余变量为 700000 d 当 c不变时， c在 3.75 到正无穷的范围内变化，最优解不变
2
1
当 c不变时， c在负无穷到 6.4 的范围内变化，最优解不变
1
2
e 约束条件 1 的右边值在 [780000,1500000]变化，对偶价格仍为 0.057（其他 同理）
f 不能 ，理由见百分之一百法则二 3 、解：
a 18000 3000 102000 153000 b 总投资额的松弛变量为 0 基金 b 的投资额的剩余变量为 0 c 总投资额每增加 1 个单位，回报额增加 0.1
基金 b 的投资额每增加 1 个单位，回报额下降 0.06 d c不变时， c在负无穷到 10 的范围内变化，其最优解不变
1
2
c不变时， c在 2 到正无穷的范围内变化，其最优解不变
2
1
e 约束条件 1 的右边值在 300000 到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为 0.1
约束条件 2 的右边值在 0 到 1200000 的范围内变化，对偶价格仍为-0.06 600000 300000 = 100% 故对偶价格不变
900000 900000 f
4、解：
a 8.5
x= x= 1.5
1
2
x= 0
3x= 1 最优目标函数 18.5
4
b 约束条件 2 和 3 对偶价格为 2 和 3.5
c 选择约束条件 3，最优目标函数值 22
d 在负无穷到 5.5 的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化 e 在 0 到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化 5、解：
a 约束条件 2 的右边值增加 1 个单位，目标函数值将增加 3.622 b
x产品的利润提高到 0.703,才有可能大于零或生产
2
c 根据百分之一百法则判定，最优解不变
15 65
d + > 100 % 根据百分之一百法则二，我们不能判定
− 30 − 9.189
因为
111.25 15
其对偶价格是否有变化
第 4 章 线性规划在工商管理中的应用
1、解：为了用最少的原材料得到 10 台锅炉，需要混合使用 14 种下料方 428
639
850
547
969
1180
剩余
758
设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9， x10，x11，x12，x13，x14，则可列出下面的数学模型： min f＝x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s．t． 2x1＋x2＋x3＋x4 ≥ 80
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥ 350 x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋x12＋x13≥ 420
x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14 ≥ 10
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝40，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝116.667，x6＝0，x7＝0，x8＝0， x9＝0，x10＝0，x11＝140，x12＝0，x13＝0，x14＝3.333 最优值为 300。
2、解：从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次，设 xi 表示第 i 班次安排的临时 工的人数，则可列出下面的数学模型：
min f＝16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11） s．t． x1＋1 ≥ 9
x1＋x2＋1 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋2 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋x4＋2 ≥ 3
x2＋x3＋x4＋x5＋1 ≥ 3
x3＋x4＋x5＋x6＋2 x4＋x5＋x6＋x7＋1 x6＋x7＋x8＋x9＋2
≥ 3 ≥ 6 ≥ 12
x5＋x6＋x7＋x8＋2 ≥ 12
x7＋x8＋x9＋x10＋1 ≥ 7 x8＋x9＋x10＋x11＋1 ≥ 7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝8，x2＝0，x3＝1，x4＝1，x5＝0，x6＝4，x7＝0，x8＝6，x9＝0， x10＝0，x11＝0 最优值为 320。
a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1
个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新
安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
b、 这时付给临时工的工资总额为 80 元，一共需要安排 20 个临时工的班
次。
约束 对偶价格 松弛/剩余变量
------- ------------------ -------------
1 0 -4
2 0 0
3 2 0
4 9 0
5 0 -4
6 5 0
7 0 0
8 0 0
9 0 -4
10 0 0
11 0 0
根据剩余变量的数字分析可知，可以让 11 时安排的 8 个人工作 3 小时，13 时安排的 1 个人工作 3 小时，可使得总成本更小。
C、设在 11：00-12：00 这段时间内有 x个班是 4 小时， y个班是 3 小时；
1
1
设在 12：00-13：00 这段时间内有 x个班是 4 小时， y个班是 3 小时；其他时
2
2
段也类似。
则：由题意可得如下式子：
11
11
=
∑ x + ∑ y
i=1 1
1
min z 1612
i=1
S．T + y + ≥
1 9 x1
+ + + y + ≥ xyx2
1 9
+ + + + + y + ≥
1 +1 9
xyxyx3
≥ + + + + + + y +
1+1 3
xxyxyx4
+ + + + + + y + ≥
1 3
xxyxyx5
≥ + + + + + + y +
1+ 1 3
xxyxyx6
+ + + + + + y + ≥
1 6
xxyxyx7
≥ + + + + + + y +
1+1 12
xxyxyx8
≥ + + + + + + y +
1+1 12
xxyxyx9
+ + + + + + y + ≥
1 7
xxyxyx10
+ + + + + + y + ≥
1 7
xxyxyx11
x≥ 0, y≥ 0 i=1,2,…,11
11
1
2
1
1
2
2
3
1
2
2
3
3
4
2
3
3
4
4
5
3
4
4
5
5
6
4
5
5
6
6
7
5
6
6
7
7
8
6
7
7
8
8
9
7
8
8
9
9
10
8
9
9
10
10
11
i
i
稍微变形后，用管理运筹学软件求解可得：总成本最小为 264 元。
安排如下：y1=8（ 即在此时间段安排 8 个 3 小时的班），y3=1，y5=1，y7=4，x8=6 这样能比第一问节省：320-264=56 元。
3、解：设生产 A、B、C 三种产品的数量分别为 x1，x2，x3，则可列出下面的
数学模型：
max z＝10 x1＋12 x2＋14 x2 s．t． x1＋1.5x2＋4x3≤ 2000 2x1＋1.2x2＋x3 ≤ 1000
x1≤ 200 x2≤ 250 x3 ≤ 100 x1，x2，x3≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝200，x2＝250，x3＝100 最优值为 6400。
a、在资源数量及市场容量允许的条件下，生产 A 200 件，B 250 件，C 100
件，可使生产获利最多。
b、A、B、C 的市场容量的对偶价格分别为 10 元，12 元，14 元。材料、台
时的对偶价格均为 0。说明 A 的市场容量增加一件就可使总利润增加 10
元，B 的市场容量增加一件就可使总利润增加 12 元，C 的市场容量增加 一件就可使总利润增加 14 元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都
不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓 C 产品的市场，如果
要增加资源，则应在 975 到正无穷上增加材料数量，在 800 到正无穷上
增加机器台时数。
4、解：设白天调查的有孩子的家庭的户数为 x11，白天调查的无孩子的家庭的户
数为 x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为 x21，晚上调查的无孩子的家庭 的户数为 x22，则可建立下面的数学模型： min f＝25x11＋20x12＋30x21＋24x22 s．t． x11＋x12＋x21＋x22≥ 2000
x11＋x12 ＝ x21＋x22 x11＋x21≥ 700
x12＋x22≥ 450
x11, x12, x21, x22 ≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1000 最优值为 47500。
a、白天调查的有孩子的家庭的户数为 700 户，白天调查的无孩子的家庭的户
数为 300 户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为 0，晚上调查的无孩子的
家庭的户数为 1000 户，可使总调查费用最小。
b、白天调查的有孩子的家庭的费用在 20－26 元之间，总调查费用不会变化；
白天调查的无孩子的家庭的费用在 19－25 元之间，总调查费用不会变化； 晚上调查的有孩子的家庭的费用在 29－无穷之间，总调查费用不会变化；
晚上调查的无孩子的家庭的费用在－20－25 元之间，总调查费用不会变 化。
c、调查的总户数在 1400－无穷之间，总调查费用不会变化；
有孩子家庭的最少调查数在 0－1000 之间，总调查费用不会变化； 无孩子家庭的最少调查数在负无穷－1300 之间，总调查费用不会变化。
5、解：设第 i 个月签订的合同打算租用 j 个月的面积为 xij，则需要建立下面的 数学模型：
min f＝2800（x11＋x21＋x31＋x41）＋4500（x12＋x22＋x32）＋6000（x13＋x23）
＋7300 x14
s．t．x11＋x12＋x13＋x14≥ 15
x12＋x13＋x14＋x21＋x22＋x23 ≥ 10 x13＋x14＋x22＋x23＋x31＋x32≥ 20 x14＋x23＋x32＋x41≥ 12 xij ≥ 0，i，j＝1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝5，x12＝0，x13＝10，x14＝0，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝10， x32＝0，x41＝0
最优值为 102000。
即：在一月份租用 500 平方米一个月，租用 1000 平方米三个月；在三月 份租用 1000 平方米一个月，可使所付的租借费最小。
6、解：设 xij表示第 i 种类型的鸡需要第 j 种饲料的量，可建立下面的数学模型：
max z＝9（x11＋x12＋x13）＋7（x21＋x22＋x23）＋8（x31＋x32＋x33）－5.5
（x11＋x21＋x31）－4（x12＋x22＋x32）－5（x13＋x23＋x33）
s．t． x11≥ 0.5（x11＋x12＋x13）
x12≤ 0.2（x11＋x12＋x13） x21≥0.3（x21＋x22＋x23） x23 ≤ 0.3（x21＋x22＋x23）
x33≥ 0.5（x31＋x32＋x33）
x11＋x21＋x31 ≤ 30 x12＋x22＋x32≤ 30 x13＋x23＋x33≤30
xij ≥ 0，i，j＝1，2，3
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝30，x12＝10，x13＝10，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝0， x32＝20，x33＝20 最优值为 365。
即：生产雏鸡饲料 50 吨，不生产蛋鸡饲料，生产肉鸡饲料 40 吨。
7、
设 Xi——第 i 个月生产的产品 I 数量
Yi——第 i 个月生产的产品 II 数量
Zi，Wi 分别为第 i 个月末产品 I、II 库存数
S1i，S2i分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米）。则
可建立如下模型：
5
12
12
+ y + s x + y
+ ∑ z = ∑ + ∑ s
min (5x8 ) (4.5 7 ) ( 1.5 )
i
i=1
i
i=6
i i
i=1
1i 2i
s.t.
X1-10000=Z1 X2+Z1-10000=Z2
X3+Z2-10000=Z3 X4+Z3-10000=Z4 X5+Z4-30000=Z5 X6+Z5-30000=Z6 X7+Z6-30000=Z7 X8+Z7-30000=Z8 X9+Z8-30000=Z9
X10+Z9-100000=Z10 X11+Z10-100000=Z11
X12+Z11-100000=Z12
Y1-50000=W1 Y2+W1-50000=W2 Y3+W2-15000=W3 Y4+W3-15000=W4 Y5+W4-15000=W5 Y6+W5-15000=W6 Y7+W6-15000=W7 Y8+W7-15000=W8
Y9+W8-15000=W9 Y10+W9-50000=W10 Y11+W10-50000=W11
Y12+W11-50000=W12
S1i≤15000 1≤i≤12 Xi+Yi≤120000 1≤i≤12
0.2Zi+0.4Wi=S1i+S2i 1≤i≤12 Xi≥0, Yi≥0, Zi≥0, Wi≥0, S1i≥0, S2i≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为： 最优值= 4910500
X1=10000, X2=10000, X3=10000, X4=10000, X5=30000, X6=30000, X7=30000, X8=45000, X9=105000, X10=70000, X11=70000, X12=70000; Y1= 50000, Y2=50000, Y3=15000, Y4=15000, Y5=15000,
Y6=15000, Y7=15000, Y8=15000, Y9=15000, Y10=50000, Y11=50000, Y12=50000; Z8=15000, Z9=90000, Z10 =60000, Z1=30000; S18=3000, S19=15000, S110=12000, S111=6000; S28=3000;
其余变量都等于 0
8、解：设第 i 个车间生产第 j 种型号产品的数量为 xij，可建立下面的数学模型： max z＝25（x11＋x21＋x31＋x41＋x51）＋20（x12＋x32＋x42＋x52）＋17（x13
＋x23＋x43＋x53）＋11（x14＋x24＋x44）
s．t． x11＋x21＋x31＋x41＋x51 ≤ 1400
x12＋x32＋x42＋x52≥ 300 x12＋x32＋x42＋x52 ≤ 800 x13＋x23＋x43＋x53≤ 8000 x14＋x24＋x44≥ 700
5x11＋7x12＋6x13+5x14 ≤ 18000
6x21＋3x23＋3x24≤ 15000 4x31＋3x32 ≤ 14000
3x41＋2x42＋4x43＋2x44≤ 12000 2x51＋4x52＋5x53≤ 10000
xij ≥ 0，i＝1，2，3，4，5 j＝1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝0，x12＝0，x13＝1000，x14＝2400，x21＝0，x23＝5000，x24＝0， x31＝1400，x32＝800，x41＝0，x42＝0，x43＝0，x44＝6000，x51＝0，
x52＝0，x53＝2000 最优值为 279400
9、解：设第一个月正常生产 x1，加班生产 x2，库存 x3；第二个月正常生产 x4，
加班生产 x5，库存 x6；第三个月正常生产 x7，加班生产 x8，库存 x9；第 四个月正常生产 x10，加班生产 x11，可建立下面的数学模型：
min f ＝ 200（x1＋x4＋x7＋x10）＋300（x2＋x5＋x8＋x11）＋60（x3＋x6
＋x9）
s．t．
x1≤4000 x4≤4000 x7≤4000 x10≤4000 x3≤1000 x6≤1000 x9≤1000 x2≤1000 x5≤1000 x8≤1000 x11≤1000
x1+ x2- x3=4500 x3+ x4+ x5- x6=3000 x6+ x7+ x8- x9=5500 x9+ x10+ x11=4500
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0
计算结果是：
minf= 3710000 元
x1＝4000 吨，x2=500 吨，x3＝0 吨，x4=4000 吨， x5＝0 吨 x6＝1000 吨， x7＝4000 吨， x8＝500 吨， x9＝0 吨， x10＝4000 吨，x11＝500 吨。
，
第 5 章
单纯形法
1、解：表中 a、c、e、f 是可行解，a、b、f 是基本解，a、f 是基本可行解。
2、解：a、该线性规划的标准型为： max 5 x1＋9 x2
s．t．0.5 x1＋x2＋s1＝8
x1＋x2－s2＝10
0.25 x1＋0.5 x2－s3＝6
x1，x2，s1，s2，s3≥0.
b、有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量
取零。
c、（4，6，0，0，－2） d、（0，10，－2，0，－1）
e、不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。
3 0 0 0 0 0 0
6 30* 25 0 0 0
b、线性规划模型为：
max 6 x1＋30 x2＋25 x3 s．t．3 x1＋x2＋s1 = 40
2 x1＋x3＋s2= 50 2 x1＋x2－x3＋s3＝20
x1，x2，x3，s1，s2，s3≥0
c、初始解的基为（s1，s2，s3），初始解为（0，0，0，40，50，20），
对应的目标函数值为 0。
d、第一次迭代时，入基变量是 x2，出基变量为 s3。
4、解：最优解为（2.25，0），最优值为 9。
X2
1
5、解：a、最优解为（2，5，4），最优值为 84。
b、最优解为（0，0，4），最优值为－4。
6、解：a、有无界解
b、最优解为（0.714，2.143，0），最优值为－2.144。
7、解：a、无可行解
b、最优解为（4，4），最优值为 28。 c、有无界解
d、最优解为（4，0，0），最优值为 8。
第 6 章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
1
a． c1≤24 b． c2≥6 c． cs2≤8
2
a. c1≥-0.5 b. -2≤c3≤0 c. cs2≤0.5
3
a. b1≥150
b. 0≤b2≤83.333 c. 0≤b3≤150
4
a. b1≥-4 b. 0≤b2≤300 c. b3≥4
5 a. b. c. d. e.
利润变动范围 c1≤3，故当 c1=2 时最优解不变 根据材料的对偶价格为 1 判断，此做法不利 0≤b2≤45
最优解不变，故不需要修改生产计划
此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为-12 小于零，对原生 产计划没有影响。
6
均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对 应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可
知此线性规划有无穷多组解。 7
a. min f= 10y1+20y2.
s.t. y1+y2≥2,
y1+5y2≥1, y1+y2≥1, y1, y2≥0.
b. max z= 100 y1+200 y2. s.t. 1/2 y1+4 y2≤4,
2 y1+6 y2≤4,
2 y1+3 y2≤2,
y1, y2≥0.
8.
a. min f= -10 y1+50 y2+20 y3-20 y4. s.t. -2 y1+3 y2+ y3- y2≥1,
≥2, 3 y1+ y2
- y1+ y2+ y3- y2 =5, y1, y2, y2≥0, y3 没有非负限制。
b. max z= 6 y1-3 y2+2 y3-2 y4.
s.t. y1- y2- y3+ y4≤1, 2 y1+ y2+ y3- y4=3, -3 y1+2 y2- y3+ y4≤2, y1, y2, y4≥0, y3没有非负限制
9. 对偶单纯形为 max z=4 y1-8 y2+2 y3 s.t y1- y2≤1,
- y1- y2+ y3≤2, y1-2 y2- y3≤3, y1, y2, y3≥0
目标函数最优值为: 10 最优解: x1=6, x2=2, x3=0
第 7 章 运输问题
1.
最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- ----- 1 0 250 0 50 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为: 19800
此问题的另外的解如下：
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- 1 0 250 50 0 2 400 0 0 0 3 0 0 300 200 此运输问题的成本或收益为: 19800
（2）如果 2 分厂产量提高到 600，则为产销不平衡问题
最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- 1 0 250 0 0 2 400 0 0 200 3 0 0 350 0
----- -----
此运输问题的成本或收益为: 19050
注释：总供应量多出总需求量 200
第 1 个产地剩余 50 第 3 个产地剩余 150
（3）销地甲的需求提高后，也变为产销不平衡问题
最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- ----- 1 50 250 0 0 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为: 19600
注释：总需求量多出总供应量 150
第 1 个销地未被满足，缺少 100 第 4 个销地未被满足，缺少 50
最优解如下
********************************************
起
至 销点
发点 1 2 3 4 5 6 8
-------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 1 0 0 100 0 0 200 0 0 2 0 0 0 0 350 0 0 150
3 0 50 0 100 0 0 0
4 0 100 0 0 0 0 0 0 5 150 0 50 0 0 0 0 0 此运输问题的成本或收益为: 1.050013E+07
7 250
最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 2 0 0
2 1 1 0
3 0 0 3
4 0 4 0
5 0 0 2
6 0 0 0
7 0 0 0
此运输问题的成本或收益为: 8465
此问题的另外的解如下：
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 2 0 0
2 1 2 0
3 0 0 3
4 0 3 0 1 0 0 0 2 3 0 0 0 1
5 0 0 0 2
6 0 0 2 0
7 0 0 3 0
此运输问题的成本或收益为: 8465
最优解如下
********************************************
起
至 销点
发点 1 2 3 4 5 6 -------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 1 1100 0 300 200 0 0 2 0 1100 0 0 600 0 3 0 0 1100 0 0 0 4 0 0 0 1100 0 0 5 0 0 0 0 1000 100 6 0 0 0 0 0 1100 此运输问题的成本或收益为: 130000
5．
建立的运输模型如下
min f = 500x1+300 x2+550 x3+650 x4. s.t. 54 x1+49 x2+52 x3+64 x4≤1100, 57 x1+73 x2+69 x3+65 x4≤1000,
最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 4 5
-------- ----- ----- ----- ----- ----- 1 250 300 550 0 0 2 250 0 0 650 100
此运输问题的成本或收益为: 113300 6.
销量 20 10 0 10 0 20 5 0
b. 最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 -------- ----- ----- -----
1 0 0 15 2 20 5 0 3 0 5 5 此运输问题的成本或收益为: 145
c. 该运输问题只有一个最优解，因为其检验数均不为零
d. 最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 -------- ----- ----- -----
1 0 0 15 2 25 0 0 此运输问题的成本或收益为: 135
1．
第 8 章 整数规划
求解下列整数规划问题 max z=5x +8x2
1
a. s.t.
x +x
1 1 1
2 2
≤ 6, ≤ 45, ≥ 0,且为整数
2
5x +9x
2
x ,x
目标函数最优解为 :
1
x *=0,x *=5,z*=40。
b. max z=3x +2x
1
2
s.t.
2x +3x
1 1
2 2
≤ 14, ≤ 9,
为整数。
2
2x +x
x1,x2 0, x1且 目标函数最优解为 :
1
x *=3,x *=2.6667,z*=14.3334。
c. max z=7x +9x +3x
1
2
3
s.t.
-x +3x +x
1
2
3
≤ 7,
0-1变量。
7x +x +x ≤ 38,
1 2 3
且 为整数， 为x
x ,x ,x ≥ 0, x
1
2
3
1
3
目标函数最优解为 :
1
x *=5,x *=3,x *=0,z*=623
2。
2．解：设 xi为装到船上的第 i 种货物的件数，i=1,2,3,4,5。则该船装载的货 物取得最大价值目标函数的数学模型可写为：
max z=5x +10x +15x +18x +25x2 3 4 5 s.t.
20x +5x +10x +12x +25x ≤ 400000,
1
1 1 1
1 2 4
2
3
3 4
4 5
5
x +2x +3x +4x +5x ≤ 50000, x +4x
2
3
≤ 10000
≤ 750,
4
5
0.1x +0.2x +0.4x +0.1x +0.2x
x
i
≥ 0,且为整数，i=1 2 3 4 5
目标函数最优解为 :
1
x *=0,x *=0,x *=0,x *=2500,x *=2500,z*=107500 .3
2
4 5
3．解：设 xi为第 i 项工程，i=1,2,3,4,5,且 xi为 0-1 变量，并规定，
i ⎧
1, 当第 项工程被选定时， x= ⎨ i
⎩ ，当第 项工程没被选定时。
根据给定条件，使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为：
i
max z 20x+ 40x+ 20x+15x+ 30x s.t.
5x +4x +3x +7x +8x
1
2
3
4
5
≤ 25， ≤ 25，
1 1 1
2 2
2
3 3
3
4 4 4
5 5
5
x +7x +9x +4x +6x
8x +10x +2x +x +10x ≤ 25， 为 变量，i=1 2 3 4 5 x 0-1
i
目标函数最优解为 :
1
x *=1,x *=1,x *=1,x *=1,x *=0,z*=953
2
4 5
4．解：这是一个混合整数规划问题
设 x1、x2、x3分别为利用 A、B、C 设备生产的产品的件数，生产准备费
只有在利用该设备时才投入，为了说明固定费用的性质，设
⎧1，当利用第 种设备生产时，即i x >0,
i
y = ⎨ i
0 i x =0。 ⎩ ，当不利用第 种设备生产时，即
故其目标函数为：
i
min z 100y +300y +200y +7x +2x +5x
3 12 1 2 3
为了避免没有投入生产准备费就使用该设备生产，必须加以下的约束条件， M 为充分大的数。
x ≤ y M，
1 2 3
1 2 3
x ≤ y M， x ≤ y M ，
设 M=1000000
a. 该目标函数的数学模型为：
min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1
2 3 1 2 3
s.t.
x +x +x =2000，
1 2 3
0.5x +1.8x +1.0x
≤ 2000，
1
2
3
x ≤ 800，
1
x
≤ 1200， 2
x
≤ 1400， 3
x ≤ y M，
1 1 x ≤ y M， 2 2 x
≤ y M ，
3
3
x1
， ，x2
x3
≥ 0，且为整数， ， ， 为y1
y2
y3
0-1变量。 目标函数最优解x *=370,x *=231,x *=1399,y =1,y =1,y =1,z*=10647 为 : 1
3
b.该目标函数的数学模型为：
min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1
2 3 1 2 3
s.t.
x +x +x =2000，
1 2 3
0.5x +1.8x +1.0x ≤ 2500， 1
2
3
x ≤ 800，
1
x ≤ 1200，
2
x ≤ 1400，
3
x ≤ y M，
1 1 x ≤ y M， 2 2 x ≤ y M ，
3
3
x1
， ，x2
x3
≥ 0，且为整数， ， ， 为y1
y2
y3
0-1变量。
目标函数最优解为 : x *=0,x *=625,x *=1375,y =0,y =1,y =1,z*=8625 1
3
23 1 2
23
1 2
c.该目标函数的数学模型为：
min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1
2 3 1 2 3
s.t.
x +x +x =2000，
1 2 3
0.5x +1.8x +1.0x ≤ 2800， 1
2
3
x ≤ 800，
1
x ≤ 1200，
2
x ≤ 1400，
3
x ≤ y M，
1 1 x ≤ y M， 2 2 x ≤ y M ，
3
3
x1
， ，x2
x3
≥ 0，且为整数， ， ， 为y1
y2
y3
0-1变量。 目标函数最优解x *=0,x *=1000,x *=1000,y =0,y =1,y =1,z*=7500
23 1 为 :1
3
d.该目标函数的数学模型为：
min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1
2 3 1 2 3
s.t.
x +x +x =2000，
1 2 3
x ≤ 800， 1
x ≤ 1200，
2
x ≤ 1400，
3
x ≤ y M，
1 1 x ≤ y M，
2
2
x ≤ y M ，
3 3
，且为整数， ， ， 为 变量。
x ， ，x x ≥ 0 y y 1
2
3
1
2y0-1
3
目标函数最优解x *=0,x *=1200,x *=800,y =0,y =1,y =1,z*=6900
23 1 为 :1
3
5．解：设 xij 为从 Di 地运往 Ri 地的运输量，i=1，2，3，4，j=1，2，3 分别代表从北京、上海、广州、武汉运往华北、华中、华南的货物件数，并规定，
⎧1 i
yi
= ⎨ ，当 地被选设库房，
0 i
该目标函数的数学模型为：⎩ ，当 地没被选设库房。
2
2
min z 45000y+ 50000y+ 70000y+ 40000y+ 200x+ 400x+ 500x
1
2
3
4
11
12
13
+300x21+ 250x +400x +600x +350x +300x +350x +150x +350x2223
43
31 32 33 41 42
s.t.
x +x +x +x =500，
11 12 13 11
21 22 23 12
31 32 33 13
2122 3132
41 42 43
1 23 33
x +x +x +x =800， x +x +x +x =700， x +x +x ≤ 1000y ， x +x +x x +x +x y
2 1 3
2 4 4
3
4
≤ 1000y，
2
≤ 1000y，
3
4
x +x +x4142 43 ≤ 1000y，
≤ y ，
y +y +y +y ≤ 2， y +y ≤ 1，
，且为整数， 为 分量，i=1 2 3 4
x ≥ 0 y 0-1
ij
i
目标函数最优解为
x *=500,x *=0,x *=500,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,
11 41
42 12
13 43
21 1
2 22
3
23 4
31
32
33
x *=0,x *=800,x *=200,y =1,y =0,y =0,y =1,z*=625000
:
也就是说在北京和武汉建库房，北京向华北和华南各发货 500 件，武汉向华 中发货 800 件，向华南发货 200 件就能满足要求，即这就是最优解。
，当指派第 人去完成第 项工作时，
i i j j
6．解：引入 0-1 变量 xij，并令 x= ⎨⎧1
⎩ ，当不指派第 人去完成第 项工作时。
a.为使总消耗时间最少的目标函数的数学模型为：
ij
min z 20x+19x+ 20x+ 28x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +26x
11
12
13
14
21
22
23
2431
+16x +15x +18x +17x +20x +24x +19xs.t.
x +x +x +x =1，
11 21 31
12 22 32
13 23 33
14 24 34
3233 34 41 42 43 44
x +x +x +x =1， x +x +x +x =1， x +x +x =1， +x
41 11 12
42 21 22
43 31 32
44 41 42
x +x +x +x =1，
x +x +x +x =1，
x +x +x +x =1，
13 14
23 24
33 34
43 44
x +x +x +x =1，
，，，。 为 变量，
x 0-1 i=1 2 3 4 j=1 2 3 4
ij
目标函数最优解为 :
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,
11 34
12 41
13 42
14 43
21 44
22
23
24
31
32
33
x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,z*=71
或
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,
11 34
12 41
13 42
14 43
21 44
22
23
24
31
32
33
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,z*=71
即安排甲做 B 项工作，乙做 A 项工作，丙 C 项工作，丁 D 项工作，或者是
安排甲做 B 项工作，乙做 D 项工作，丙 C 项工作，丁 A 项工作，最少时间为 71
分钟。
b.为使总收益最大的目标函数的数学模型为： 将 a 中的目标函数改为求最大值即可。 目标函数最优解为 :
x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,
11 34
12 41
13 42
14 43
21 44
22
23
24
31
32
33
x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,z*=102
即安排甲做 D 项工作，乙做 C 项工作，丙 A 项工作，丁 B 项工作，最大收 益为 102。
c.由于工作多人少，我们假设有一个工人戊，他做各项工作的所需的时间均 为 0，该问题就变为安排 5 个人去做 5 项不同的工作的问题了，其目标函数的数
学模型为：
min z 20x+19x+ 20x+ 28x+17x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +20x+26x +16x +15x +18x +15x +17x +20x +24x +19x +16x32 33
11
12
13
14
15
21
22
23
31
2425
34 35 41 42 43
44 45
s.t.
x +x +x +x +x =1，
11 21
12 22
13 23
14 24
15 25
x +x +x +x +x =1， +x +x +x +x =1 ， x
31 41 51 11 12 13 14 15
32 42 52 21 22 23 24 25
33 43 53 31 32 33 34 35
34 44 54 41 42 43 44 45
35 45 55 51 52 53 54 55
x +x +x +x +x =1，
x +x +x +x +x =1， x +x +x +x +x =1，
x +x +x +x +x =1， x +x +x +x +x =1， x +x +x +x +x =1， x +x +x +x x
ij
+x =1，
0-1 i=1 2 3 4 5 j=1 2 3 4 5 为 变量，
目标函数最优解为:
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,
11 32
12 33
13 34
14 35
15 41
21 42
22 43
23 44
24 45
25
31
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,z*=68
即安排甲做 B 项工作，乙做 A 项工作，丙做 C 项工作，丁做 E 项工作，最 少时间为 68 分钟。
d.该问题为人多任务少的问题，其目标函数的数学模型为：
min z 20x+19x+ 20x+ 28x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +26x +16x31 +15x +18x +17x +20x +24x +19x +16x +17x +20x +21x
11
12
13
14
21
22
23
24
32
3334
41 42 43 44
51 52 53 54
s.t.
≤ ，
x +x 1 +x +x12 13 14
11
x +x +x +x ≤ 1，
21 31 41 51 11 12 13 14
22 32 42 52 21 22 23 24
23 33 43 53 31 32 33 34
24
x +x +x +x
34 44
≤ 1， ≤ 1，
54 41 42 43 44
51 52 53 54
x +x +x +x ≤ 1，
x +x +x +x
x +x +x +x +x =1，
x +x +x +x +x =1， x +x +x +x +x =1， x +x +x +x +x =1， x
0-1 i=1 2 3 4 j=1 2 3 4 5 i为 变量， j
目标函数最优解为:
x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,
11
12 41
13 42
14 43
21 44
22 51
23 52
24 53
31 54
32
33
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,z*=69
34
或
x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,
11 34
12 41
13 42
14 43
21 44
22 51
23 52
24 53
31 54
32
33
x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,z*=69
或
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,
11 34
12 41
13 42
14 43
21 44
22 51
23 52
24 53
31 54
32
33
x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,z*=69
即安排乙做 D 项工作，丙做 C 项工作，丁做 A 项工作，戊做 B 项工作；或
安排乙做 A 项工作，丙做 C 项工作，丁做 D 项工作，戊做 B 项工作；或安排甲
做 B 项工作，丙做 C 项工作，丁做 D 项工作，戊做 A 项工作，最少时间为 69 分钟。
7.解：设飞机停留一小时的损失为 a 元，则停留两小时损失为 4a 元，停留 3
小时损失为 9 元，依次类推，对 A、B、C 三个城市建立的指派问题的效率矩阵 分别如下表所示：
城市 A
解得最优解为：
城市 B
解得最优解为：
或为：
城市 C
解得最优解为：
或为：
或为:
第 9 章 目标规划
1.某工厂试对产品 A、B 进行生产。市场需求并不是很稳定，因此对每种产
品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润。这两种产品都经过甲、乙两 台设备加工。已知产品 A 和 B 分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备 的可用加工时间以及预期利润如下表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期 利润不少于 5 千元，其次是要求销售良好时，预期利润尽量达到 1 万元。试建立
多目标规划模型并求解。
(百元／件)
1、解：设工厂生产 A 产品 x件，生产 B 产品 x件。按照生产要求，建立如下目
1
2
标规划模型：
−
min
( ) ( ) P d1 P d2 ⎧ x x ≤ 45 4+ 3
⎪ x x ≤ 30 ⎪2+ 5
−
⎪ x x = 50 ⎨5+ 5− d++d
⎪ x x − d+ d −=100
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1+
+
−
⎪8+ 62
1
2
2
+
1
2
i
⎩⎪x x d d, ,i,−
2
由管理运筹学软件先求解得： x
1
≥ 0, i = 1,
= 11.25, x = 0, d −=0, d −=10, d= 6.25, d= 0
+
+
2 1 2 1 2
由图解法或进一步计算可知，本题在求解结果未要求整数解的情况下，满意解有 无穷多个，为线段α (135 /14,15 / 7) (1 α )(45 / 4,0), α ∈[0,1] 上的任一点。
2、解：设食品厂商在电视上发布广告 x次，在报纸上发布广告 x次，在广播中
1
2
发布广告 x次。
3
目标规划模型为：
−
+
min ( )
11
+
( )−+( )
2
3
P d1 P d2 P d3 ⎧x≤
10 ⎪ ≤ 20 ⎪ xx 15
x + 5x
3
+ P d
( )
+
4 4
−
= 400
2
⎪ ≤ ⎪
x ⎪20+10 ⎨ x x
1
2
1
2
3
3
− d++d
1
1
x d
2
2
−=
⎪0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x −=0 0.3 − 0.3 + 0.7
2 3 − d++d ⎪ x 1 + − x x 20
⎪ + d = 2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪
⎪⎩x x x d d, , ,3 i,− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4 用管理运筹学软件先求下述问题：
3
3
1
2
3
4+
1
2
i
min d −
⎧x≤ 10 ⎪ ≤ ⎪x 20
15 x
13
1
−
x + 5x
2
= 400
⎪ ≤ ⎪
x ⎪20+10 ⎨ x x
1
2
1
2
3
3
− d++d
1
1
x d
2
2
−=
⎪0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x −=0 0.3 − 0.3 + 0.7
2 3 − d++d ⎪ x 1 + − x x 20
⎪ + d = 2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪
⎪⎩x x x d d, , ,3 i,− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4
3
3
1
2
3
4+
1
2
i
得： d−=0 ，将其作为约束条件求解下述问题：
1
min d −
2
⎧ ≤ x 10
20 ⎪⎪x2
1
≤ ⎪ ≤ ⎪x 15
x x + 5x
3
⎪
−=
1
1
400 0 = 0
3 − d++d 20+10 ⎪ x x x d ⎨0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x
1
2
1
2
3
2
2
1
2
3
3
3
−=
−
⎪ 0.3− 0.3+ 0.7− d++d 20 ⎪ + −
x x x + d = 2.5 + 0.5 + 0.3
2 3 − d4
⎪ 1 ⎪d −= 0 ⎪ 1
x x x d d, , ,, − ≥ 0, i = 1, 2,3, 4
4
+
⎩
1 2 3 i i
得最优值 d−=0 ，将其作为约束条件计算下述问题：
2
min d+
3
⎧x1≤ 10 ⎪ ≤ ⎪ 20 xx3 15 x + 5x −=400 2
⎪ ≤ ⎪
x
⎪20+10 3 − d1
++d1
1
2
⎪ x x x d −=0 0.7 − 0.3 − 0.3
⎨−⎪1 2 3 2
2
x
x x−+ +d −
= 0 ⎪ 0.31
− 0.32
+ 0.73
− d3
++d3 20
⎪ + −
x x x + d = 2.5 + 0.5 + 0.3
⎪ 1 2 3 − d4
4
⎪d −= 0
1
⎪⎪0
d2−
=
⎪x x x d d i
− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4
⎩ , , ,i
+,
1 2 3
得最优值 d3
+=0 ，将其作为约束条件计算下述问题：
min d+
4
⎧ ≤ x1
10
⎪⎪20 x2
≤ ⎪ ≤ ⎪x 3
⎪
x 15
x + 5x
−=
400 201
+102
3 − d1
++d1
⎪ x x x d −=
0 ⎪0.71
− 0.32
− 0.33
−2
++d2
−
⎪−
= x x x 0
⎨ 0.31
− 0.32
+ 0.73
− d3
++d3
⎪ +
−
x
x x + d =
20
⎪2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪d −=0 ⎪ 1 0 ⎪d −=
1
2
3
4
2
⎪⎪d3
+
=
⎪x x x d d −
, , ,+
得： ⎩ 1 2 ,3
i
i
≥ 0, i = 1, 2,3, 4
x = 9.474, x = 20, x = 2.105, d= 0, d −=0, d= 8.387, d −=0, d= 0, d −=7.368,
+
+
+
1
+
2 3 1 1 2 2 3 3
d= 14.316, d −=0,
4
4
所以食品厂商为了依次达到 4 个活动目标，需在电视上发布广告 9.474 次，报纸
上发布广告 20 次，广播中发布广告 2.105 次。（管理运筹学 2.0 可一次求解上述
问题）
3、解：（a）设该化工厂生产 x升粘合剂 A 和 x升粘合剂 B。则根据工厂要求，
1
2
建立以下目标规划模型：
−
+
−
−
−
min
( + d ) + ( + d ) + ( ) P d1 2 2 3 4 3 5
1
−= +5
80 ⎪3 x 12 x− d++d
⎪ + x − d+ d −=
2 2 2
100 ⎪ x
12 ⎪3 100 x + =
1
2
1
1+
1
+d−
⎨ −⎪d3
−1
3+
+ d
2
+
-
d
1
-
d1
d2 -
d
3
200 100
图 1 图解法求解
300
图解法求解如图 1：目标 1， 3 达不到，所以有满意解为 A 点 （150，120）。
4、解：设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品 A x件，生产产品 B x件。
1
2
+
+
min (
1
P d1 ⎧1+1
−
+ + d ) P d
( ) 2
2
3 −=
（a）目标规划模型为：
60 ⎪6 x 6 x− d++d
1
5 ⎪1
⎪ + x − d+ d −=
2
180 ⎨3 x 6 2 2
2
1
1+
1
⎪
x x d
⎪4+ 3−++d ⎪x x x d d ⎩ , , ,+,
1
2
3
3
i
−=
1300
1 2 3
i−
≥ 0, i = 1, 2,3
用图解法求解： 如图所示，所示解为区域 ABCD，有无穷多解。
（b）由上图可知，如果不考虑目标 1 和目标 2，仅仅把它们加工时间的最大限
度分别为 60 和 180 小时作为约束条件，而以利润最大化为目标，那么最优解为 C 点（360，0），即生产产品 A360 件，最大利润为 1420 元。结果与（a）是不相
同的，原因是追求利润最大化而不仅仅是要求利润不少于 1300 元。
（c）如果设目标 3 的优先权为 P1，目标 1 和目标 2 的优先权为 P2，则由上图可 知，满意解的区域依然是 ABCD，有无穷多解，与（a）的解是相同的，原因是
（a）和（c）所设定的目标只是优先级别不同，但都能够依次达到。
5．在环境污染日益得到重视的今天，越来越多的企业开始注重工业废水污
水排污。某纸张制造厂生产一般类型纸张的利润为 300 元／吨，每吨纸产生的工
业废水的处理费用为 30 元；生产某种特种纸张的利润为 500 元／吨，每吨特种
纸产生的工业废水的处理费用为 40 元。
该纸张制造厂近期目标如下：
目标 1：纸张利润不少于 15 万；
目标 2：工业废水的处理费用不超过 1 万元。
a.设目标 1 的优先权为 P，目标 2 的优先权为 P，P>P，建立目标规划模型
1
2
1
2
并用图解法求解。
b.若目标 2 的优先权为 P，目标 1 的优先权为 P，建立目标规划模型并求解。 所得的解是否与 a 中的解相同？
c. 若目标 2 的罚数权重为 5，目标 1 的罚数权重为 2，建立加权目标规划模 型求解。
1
2
5、解：设该纸张制造厂需要生产一般类型纸张 x吨，生产特种纸张 x吨。
1
2
（a）、目标规划模型为：
−
+
min
( )
P d1 P d2
−
⎧ x = 150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d , ,, − ≥ 0, i = 1, 2
( )
1
2
1
2
1
1+
1
2+
+
⎩
1 2 i i
+
+
= 0, x = 300, d −=0, d −=0, d= 0, d= 200
2 1 2 1 2
图解法略，求解得 x (b)、目标规划模型为：
1
+
( ) P d1
⎧ x −=150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d
⎩ , ,+, i− ≥ 0, i = 1,
1 2
2 = 250, d −=250, d −=0, d= 0, d= 0
= 0, x
2 1 2 1 2
图解法略，求解得 x
min P d( )
1
2
2
1
2
1
1+
1
2
i
+
+
1
+
−
由此可见，所得结果与(a)中的解是不相同的。 (c)、加权目标规划模型为： min P d(5 ++ d −
2 )
⎧ x −=150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d ⎩ , ,+, i− ≥ 0, i = 1, 2 1 2
= 0, x = 300, d −=250, d −=0, d= 0, d= 12000
1
2
1
1+
1
2
i
+
+
1 2 1
求解得 x
1
2 1 2 1 2
、
1、解：
C 3
6 x1
a.可行域为 OABC。
b.等值线为图中虚线所示。
c.由图可知，最优解为 B 点，最优解： x1
=
O
0.1
0.6
x1
x1
= 0.2
有唯一解 x2
= 0.6 函数值为 3.6
b 无可行解 c 无界解
d 无可行解
e 无穷多解
12
15
x2
=
，最优目标函数值：
20 x 92
f 有唯一解 3 函数值为3 8
x 3
12
3、解：
a 标准形式：
max f = 3x1
+ 2x2
+ 0s1
+ 0s2
+ 0s3
x + + =
30 91 2x s
x + 2 2 1
31
2 x+ s =
13
2
2 9
x +
+ s = 21
x x2
3
s s ≥ 0
b 标准形式：
1
, x2
, s1,
,
2
3
max f = − x x s s
41
− 63
− 01
− 02
3 x− x − s = 6 1
2 1 x + + = 1
2x s 10
2
2
7 x1
− 6x2
= 4
x1
, x2
,
c 标准形式：
s, s ≥ 0
1
2
= − +x'x'
' − max f 2 − 2 x s s
0 − 02
1 2
2
1
− x + x ' − '
+ = x s 3
5
5 70
1
2
2
1
2x'
− 5x'
+ 5x'
= 50 1 2
2
x'
+ x'
− ' − = 30 31 22
2x s x, '
x2 2
2
',x2
',, s ≥ 0
1 s1
2
4 、解：
z = x + x + +
标准形式： max 10 5 s s
1 2 0 0
x + 4 + x+ 1 s =
2
2 31
2
xs
=
x +
2
1
5
1
2
9 8
x, x, , s ≥ 0
s2
1
2
1
1
2
s= 2, s= 0
5 、解：
f = x + x + + + min 11 8 s s s
1 2 标准形式： 0 0 0
x + 2 − s = 20
x1
10
− =
x +
3 3x s 18
2 2
36 x +
2
11
1 2 3
4
1
− =
9x
2
2
1
s
3
x
1
2
3
s= 0, s= 0, s= 13 6 、解： b 1 ≤ c≤ 3
1
≥ 0 s s 1
, x, s, ,
2
3
c 2 ≤ c≤ 6
2
x= 6 x= 4 d
12
e
x∈ [ ]8 x = 16 − 2x
1
2
f 变化。原斜率从 −
3
7、解： 模型：
max z = 500x+ 400x
1
2
2 1
变为 − 1
2x≤ 300
1
1
2
3x≤ 540
x x ≤ 440 2+ 2 x x ≤ 300 1.2+ 1.5 , ≥ 0 x x2
21
21
2
1
a x= 150 x= 70 即目标函数最优值是 103000 b 2，4 有剩余，分别是 330，15。均为松弛变量 c 50， 0 ，200， 0 额外利润 250 d 在 [0,500]变化，最优解不变。 e 在 400 到正无穷变化，最优解不变。
f 不变
8 、解：
a
b
a 模型： min f = 8x+ 3x
50x+ 100x≤ 1200000
a
b
5x+ 4x≥ 60000
a
b
100x≥ 300000 , x ≥ 0 xb
基金 a,b 分别为 4000，10000。 回报率：60000
ba
b 模型变为： max z = 5x+ 4x
a
b
50x+ 100x≤ 1200000 100x≥ 300000 , x ≥ 0 xb
a
b
ba
1
2
推导出： x= 18000 x= 3000
故基金 a 投资 90 万，基金 b 投资 30 万。
第 3 章 线性规划问题的计算机求解
1、解：
a x= 150 x= 70
1
2
目标函数最优值 103000
b 1，3 使用完 2，4 没用完 0，330，0，15 c 50，0，200，0
含义： 1 车间每增加 1 工时，总利润增加 50 元
3 车间每增加 1 工时，总利润增加 200 元 2、4 车间每增加 1 工时，总利润不增加。 d 3 车间，因为增加的利润最大
e 在 400 到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变 f 不变 因为在 [0,500]的范围内
g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条
件 1 的右边值在 [200,440]变化，对偶价格仍为 50（同理解释其他约束条件） h 100×50=5000 对偶价格不变 i 能
j 不发生变化 允许增加的百分比与允许减少的百分比之和没有超出 100% k 发生变化 2、解：
a 4000 10000 62000
b 约束条件 1：总投资额增加 1 个单位，风险系数则降低 0.057
约束条件 2：年回报额增加 1 个单位，风险系数升高 2.167 c 约束条件 1 的松弛变量是 0，约束条件 2 的剩余变量是 0
约束条件 3 为大于等于，故其剩余变量为 700000 d 当 c不变时， c在 3.75 到正无穷的范围内变化，最优解不变
2
1
当 c不变时， c在负无穷到 6.4 的范围内变化，最优解不变
1
2
e 约束条件 1 的右边值在 [780000,1500000]变化，对偶价格仍为 0.057（其他 同理）
f 不能 ，理由见百分之一百法则二 3 、解：
a 18000 3000 102000 153000 b 总投资额的松弛变量为 0 基金 b 的投资额的剩余变量为 0 c 总投资额每增加 1 个单位，回报额增加 0.1
基金 b 的投资额每增加 1 个单位，回报额下降 0.06 d c不变时， c在负无穷到 10 的范围内变化，其最优解不变
1
2
c不变时， c在 2 到正无穷的范围内变化，其最优解不变
2
1
e 约束条件 1 的右边值在 300000 到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为 0.1
约束条件 2 的右边值在 0 到 1200000 的范围内变化，对偶价格仍为-0.06 600000 300000 = 100% 故对偶价格不变
900000 900000 f
4、解：
a 8.5
x= x= 1.5
1
2
x= 0
3x= 1 最优目标函数 18.5
4
b 约束条件 2 和 3 对偶价格为 2 和 3.5
c 选择约束条件 3，最优目标函数值 22
d 在负无穷到 5.5 的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化 e 在 0 到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化 5、解：
a 约束条件 2 的右边值增加 1 个单位，目标函数值将增加 3.622 b
x产品的利润提高到 0.703,才有可能大于零或生产
2
c 根据百分之一百法则判定，最优解不变
15 65
d + > 100 % 根据百分之一百法则二，我们不能判定
− 30 − 9.189
因为
111.25 15
其对偶价格是否有变化
第 4 章 线性规划在工商管理中的应用
1、解：为了用最少的原材料得到 10 台锅炉，需要混合使用 14 种下料方 428
639
850
547
969
1180
剩余
758
设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9， x10，x11，x12，x13，x14，则可列出下面的数学模型： min f＝x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s．t． 2x1＋x2＋x3＋x4 ≥ 80
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥ 350 x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋x12＋x13≥ 420
x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14 ≥ 10
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝40，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝116.667，x6＝0，x7＝0，x8＝0， x9＝0，x10＝0，x11＝140，x12＝0，x13＝0，x14＝3.333 最优值为 300。
2、解：从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次，设 xi 表示第 i 班次安排的临时 工的人数，则可列出下面的数学模型：
min f＝16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11） s．t． x1＋1 ≥ 9
x1＋x2＋1 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋2 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋x4＋2 ≥ 3
x2＋x3＋x4＋x5＋1 ≥ 3
x3＋x4＋x5＋x6＋2 x4＋x5＋x6＋x7＋1 x6＋x7＋x8＋x9＋2
≥ 3 ≥ 6 ≥ 12
x5＋x6＋x7＋x8＋2 ≥ 12
x7＋x8＋x9＋x10＋1 ≥ 7 x8＋x9＋x10＋x11＋1 ≥ 7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝8，x2＝0，x3＝1，x4＝1，x5＝0，x6＝4，x7＝0，x8＝6，x9＝0， x10＝0，x11＝0 最优值为 320。
a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1
个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新
安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
b、 这时付给临时工的工资总额为 80 元，一共需要安排 20 个临时工的班
次。
约束 对偶价格 松弛/剩余变量
------- ------------------ -------------
1 0 -4
2 0 0
3 2 0
4 9 0
5 0 -4
6 5 0
7 0 0
8 0 0
9 0 -4
10 0 0
11 0 0
根据剩余变量的数字分析可知，可以让 11 时安排的 8 个人工作 3 小时，13 时安排的 1 个人工作 3 小时，可使得总成本更小。
C、设在 11：00-12：00 这段时间内有 x个班是 4 小时， y个班是 3 小时；
1
1
设在 12：00-13：00 这段时间内有 x个班是 4 小时， y个班是 3 小时；其他时
2
2
段也类似。
则：由题意可得如下式子：
11
11
=
∑ x + ∑ y
i=1 1
1
min z 1612
i=1
S．T + y + ≥
1 9 x1
+ + + y + ≥ xyx2
1 9
+ + + + + y + ≥
1 +1 9
xyxyx3
≥ + + + + + + y +
1+1 3
xxyxyx4
+ + + + + + y + ≥
1 3
xxyxyx5
≥ + + + + + + y +
1+ 1 3
xxyxyx6
+ + + + + + y + ≥
1 6
xxyxyx7
≥ + + + + + + y +
1+1 12
xxyxyx8
≥ + + + + + + y +
1+1 12
xxyxyx9
+ + + + + + y + ≥
1 7
xxyxyx10
+ + + + + + y + ≥
1 7
xxyxyx11
x≥ 0, y≥ 0 i=1,2,…,11
11
1
2
1
1
2
2
3
1
2
2
3
3
4
2
3
3
4
4
5
3
4
4
5
5
6
4
5
5
6
6
7
5
6
6
7
7
8
6
7
7
8
8
9
7
8
8
9
9
10
8
9
9
10
10
11
i
i
稍微变形后，用管理运筹学软件求解可得：总成本最小为 264 元。
安排如下：y1=8（ 即在此时间段安排 8 个 3 小时的班），y3=1，y5=1，y7=4，x8=6 这样能比第一问节省：320-264=56 元。
3、解：设生产 A、B、C 三种产品的数量分别为 x1，x2，x3，则可列出下面的
数学模型：
max z＝10 x1＋12 x2＋14 x2 s．t． x1＋1.5x2＋4x3≤ 2000 2x1＋1.2x2＋x3 ≤ 1000
x1≤ 200 x2≤ 250 x3 ≤ 100 x1，x2，x3≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x1＝200，x2＝250，x3＝100 最优值为 6400。
a、在资源数量及市场容量允许的条件下，生产 A 200 件，B 250 件，C 100
件，可使生产获利最多。
b、A、B、C 的市场容量的对偶价格分别为 10 元，12 元，14 元。材料、台
时的对偶价格均为 0。说明 A 的市场容量增加一件就可使总利润增加 10
元，B 的市场容量增加一件就可使总利润增加 12 元，C 的市场容量增加 一件就可使总利润增加 14 元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都
不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓 C 产品的市场，如果
要增加资源，则应在 975 到正无穷上增加材料数量，在 800 到正无穷上
增加机器台时数。
4、解：设白天调查的有孩子的家庭的户数为 x11，白天调查的无孩子的家庭的户
数为 x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为 x21，晚上调查的无孩子的家庭 的户数为 x22，则可建立下面的数学模型： min f＝25x11＋20x12＋30x21＋24x22 s．t． x11＋x12＋x21＋x22≥ 2000
x11＋x12 ＝ x21＋x22 x11＋x21≥ 700
x12＋x22≥ 450
x11, x12, x21, x22 ≥ 0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1000 最优值为 47500。
a、白天调查的有孩子的家庭的户数为 700 户，白天调查的无孩子的家庭的户
数为 300 户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为 0，晚上调查的无孩子的
家庭的户数为 1000 户，可使总调查费用最小。
b、白天调查的有孩子的家庭的费用在 20－26 元之间，总调查费用不会变化；
白天调查的无孩子的家庭的费用在 19－25 元之间，总调查费用不会变化； 晚上调查的有孩子的家庭的费用在 29－无穷之间，总调查费用不会变化；
晚上调查的无孩子的家庭的费用在－20－25 元之间，总调查费用不会变 化。
c、调查的总户数在 1400－无穷之间，总调查费用不会变化；
有孩子家庭的最少调查数在 0－1000 之间，总调查费用不会变化； 无孩子家庭的最少调查数在负无穷－1300 之间，总调查费用不会变化。
5、解：设第 i 个月签订的合同打算租用 j 个月的面积为 xij，则需要建立下面的 数学模型：
min f＝2800（x11＋x21＋x31＋x41）＋4500（x12＋x22＋x32）＋6000（x13＋x23）
＋7300 x14
s．t．x11＋x12＋x13＋x14≥ 15
x12＋x13＋x14＋x21＋x22＋x23 ≥ 10 x13＋x14＋x22＋x23＋x31＋x32≥ 20 x14＋x23＋x32＋x41≥ 12 xij ≥ 0，i，j＝1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝5，x12＝0，x13＝10，x14＝0，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝10， x32＝0，x41＝0
最优值为 102000。
即：在一月份租用 500 平方米一个月，租用 1000 平方米三个月；在三月 份租用 1000 平方米一个月，可使所付的租借费最小。
6、解：设 xij表示第 i 种类型的鸡需要第 j 种饲料的量，可建立下面的数学模型：
max z＝9（x11＋x12＋x13）＋7（x21＋x22＋x23）＋8（x31＋x32＋x33）－5.5
（x11＋x21＋x31）－4（x12＋x22＋x32）－5（x13＋x23＋x33）
s．t． x11≥ 0.5（x11＋x12＋x13）
x12≤ 0.2（x11＋x12＋x13） x21≥0.3（x21＋x22＋x23） x23 ≤ 0.3（x21＋x22＋x23）
x33≥ 0.5（x31＋x32＋x33）
x11＋x21＋x31 ≤ 30 x12＋x22＋x32≤ 30 x13＋x23＋x33≤30
xij ≥ 0，i，j＝1，2，3
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝30，x12＝10，x13＝10，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝0， x32＝20，x33＝20 最优值为 365。
即：生产雏鸡饲料 50 吨，不生产蛋鸡饲料，生产肉鸡饲料 40 吨。
7、
设 Xi——第 i 个月生产的产品 I 数量
Yi——第 i 个月生产的产品 II 数量
Zi，Wi 分别为第 i 个月末产品 I、II 库存数
S1i，S2i分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米）。则
可建立如下模型：
5
12
12
+ y + s x + y
+ ∑ z = ∑ + ∑ s
min (5x8 ) (4.5 7 ) ( 1.5 )
i
i=1
i
i=6
i i
i=1
1i 2i
s.t.
X1-10000=Z1 X2+Z1-10000=Z2
X3+Z2-10000=Z3 X4+Z3-10000=Z4 X5+Z4-30000=Z5 X6+Z5-30000=Z6 X7+Z6-30000=Z7 X8+Z7-30000=Z8 X9+Z8-30000=Z9
X10+Z9-100000=Z10 X11+Z10-100000=Z11
X12+Z11-100000=Z12
Y1-50000=W1 Y2+W1-50000=W2 Y3+W2-15000=W3 Y4+W3-15000=W4 Y5+W4-15000=W5 Y6+W5-15000=W6 Y7+W6-15000=W7 Y8+W7-15000=W8
Y9+W8-15000=W9 Y10+W9-50000=W10 Y11+W10-50000=W11
Y12+W11-50000=W12
S1i≤15000 1≤i≤12 Xi+Yi≤120000 1≤i≤12
0.2Zi+0.4Wi=S1i+S2i 1≤i≤12 Xi≥0, Yi≥0, Zi≥0, Wi≥0, S1i≥0, S2i≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为： 最优值= 4910500
X1=10000, X2=10000, X3=10000, X4=10000, X5=30000, X6=30000, X7=30000, X8=45000, X9=105000, X10=70000, X11=70000, X12=70000; Y1= 50000, Y2=50000, Y3=15000, Y4=15000, Y5=15000,
Y6=15000, Y7=15000, Y8=15000, Y9=15000, Y10=50000, Y11=50000, Y12=50000; Z8=15000, Z9=90000, Z10 =60000, Z1=30000; S18=3000, S19=15000, S110=12000, S111=6000; S28=3000;
其余变量都等于 0
8、解：设第 i 个车间生产第 j 种型号产品的数量为 xij，可建立下面的数学模型： max z＝25（x11＋x21＋x31＋x41＋x51）＋20（x12＋x32＋x42＋x52）＋17（x13
＋x23＋x43＋x53）＋11（x14＋x24＋x44）
s．t． x11＋x21＋x31＋x41＋x51 ≤ 1400
x12＋x32＋x42＋x52≥ 300 x12＋x32＋x42＋x52 ≤ 800 x13＋x23＋x43＋x53≤ 8000 x14＋x24＋x44≥ 700
5x11＋7x12＋6x13+5x14 ≤ 18000
6x21＋3x23＋3x24≤ 15000 4x31＋3x32 ≤ 14000
3x41＋2x42＋4x43＋2x44≤ 12000 2x51＋4x52＋5x53≤ 10000
xij ≥ 0，i＝1，2，3，4，5 j＝1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
x11＝0，x12＝0，x13＝1000，x14＝2400，x21＝0，x23＝5000，x24＝0， x31＝1400，x32＝800，x41＝0，x42＝0，x43＝0，x44＝6000，x51＝0，
x52＝0，x53＝2000 最优值为 279400
9、解：设第一个月正常生产 x1，加班生产 x2，库存 x3；第二个月正常生产 x4，
加班生产 x5，库存 x6；第三个月正常生产 x7，加班生产 x8，库存 x9；第 四个月正常生产 x10，加班生产 x11，可建立下面的数学模型：
min f ＝ 200（x1＋x4＋x7＋x10）＋300（x2＋x5＋x8＋x11）＋60（x3＋x6
＋x9）
s．t．
x1≤4000 x4≤4000 x7≤4000 x10≤4000 x3≤1000 x6≤1000 x9≤1000 x2≤1000 x5≤1000 x8≤1000 x11≤1000
x1+ x2- x3=4500 x3+ x4+ x5- x6=3000 x6+ x7+ x8- x9=5500 x9+ x10+ x11=4500
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0
计算结果是：
minf= 3710000 元
x1＝4000 吨，x2=500 吨，x3＝0 吨，x4=4000 吨， x5＝0 吨 x6＝1000 吨， x7＝4000 吨， x8＝500 吨， x9＝0 吨， x10＝4000 吨，x11＝500 吨。
，
第 5 章
单纯形法
1、解：表中 a、c、e、f 是可行解，a、b、f 是基本解，a、f 是基本可行解。
2、解：a、该线性规划的标准型为： max 5 x1＋9 x2
s．t．0.5 x1＋x2＋s1＝8
x1＋x2－s2＝10
0.25 x1＋0.5 x2－s3＝6
x1，x2，s1，s2，s3≥0.
b、有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量
取零。
c、（4，6，0，0，－2） d、（0，10，－2，0，－1）
e、不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。
3 0 0 0 0 0 0
6 30* 25 0 0 0
b、线性规划模型为：
max 6 x1＋30 x2＋25 x3 s．t．3 x1＋x2＋s1 = 40
2 x1＋x3＋s2= 50 2 x1＋x2－x3＋s3＝20
x1，x2，x3，s1，s2，s3≥0
c、初始解的基为（s1，s2，s3），初始解为（0，0，0，40，50，20），
对应的目标函数值为 0。
d、第一次迭代时，入基变量是 x2，出基变量为 s3。
4、解：最优解为（2.25，0），最优值为 9。
X2
1
5、解：a、最优解为（2，5，4），最优值为 84。
b、最优解为（0，0，4），最优值为－4。
6、解：a、有无界解
b、最优解为（0.714，2.143，0），最优值为－2.144。
7、解：a、无可行解
b、最优解为（4，4），最优值为 28。 c、有无界解
d、最优解为（4，0，0），最优值为 8。
第 6 章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
1
a． c1≤24 b． c2≥6 c． cs2≤8
2
a. c1≥-0.5 b. -2≤c3≤0 c. cs2≤0.5
3
a. b1≥150
b. 0≤b2≤83.333 c. 0≤b3≤150
4
a. b1≥-4 b. 0≤b2≤300 c. b3≥4
5 a. b. c. d. e.
利润变动范围 c1≤3，故当 c1=2 时最优解不变 根据材料的对偶价格为 1 判断，此做法不利 0≤b2≤45
最优解不变，故不需要修改生产计划
此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为-12 小于零，对原生 产计划没有影响。
6
均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对 应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可
知此线性规划有无穷多组解。 7
a. min f= 10y1+20y2.
s.t. y1+y2≥2,
y1+5y2≥1, y1+y2≥1, y1, y2≥0.
b. max z= 100 y1+200 y2. s.t. 1/2 y1+4 y2≤4,
2 y1+6 y2≤4,
2 y1+3 y2≤2,
y1, y2≥0.
8.
a. min f= -10 y1+50 y2+20 y3-20 y4. s.t. -2 y1+3 y2+ y3- y2≥1,
≥2, 3 y1+ y2
- y1+ y2+ y3- y2 =5, y1, y2, y2≥0, y3 没有非负限制。
b. max z= 6 y1-3 y2+2 y3-2 y4.
s.t. y1- y2- y3+ y4≤1, 2 y1+ y2+ y3- y4=3, -3 y1+2 y2- y3+ y4≤2, y1, y2, y4≥0, y3没有非负限制
9. 对偶单纯形为 max z=4 y1-8 y2+2 y3 s.t y1- y2≤1,
- y1- y2+ y3≤2, y1-2 y2- y3≤3, y1, y2, y3≥0
目标函数最优值为: 10 最优解: x1=6, x2=2, x3=0
第 7 章 运输问题
1.
最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- ----- 1 0 250 0 50 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为: 19800
此问题的另外的解如下：
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- 1 0 250 50 0 2 400 0 0 0 3 0 0 300 200 此运输问题的成本或收益为: 19800
（2）如果 2 分厂产量提高到 600，则为产销不平衡问题
最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- 1 0 250 0 0 2 400 0 0 200 3 0 0 350 0
----- -----
此运输问题的成本或收益为: 19050
注释：总供应量多出总需求量 200
第 1 个产地剩余 50 第 3 个产地剩余 150
（3）销地甲的需求提高后，也变为产销不平衡问题
最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- ----- 1 50 250 0 0 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为: 19600
注释：总需求量多出总供应量 150
第 1 个销地未被满足，缺少 100 第 4 个销地未被满足，缺少 50
最优解如下
********************************************
起
至 销点
发点 1 2 3 4 5 6 8
-------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 1 0 0 100 0 0 200 0 0 2 0 0 0 0 350 0 0 150
3 0 50 0 100 0 0 0
4 0 100 0 0 0 0 0 0 5 150 0 50 0 0 0 0 0 此运输问题的成本或收益为: 1.050013E+07
7 250
最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 2 0 0
2 1 1 0
3 0 0 3
4 0 4 0
5 0 0 2
6 0 0 0
7 0 0 0
此运输问题的成本或收益为: 8465
此问题的另外的解如下：
起 至 销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 2 0 0
2 1 2 0
3 0 0 3
4 0 3 0 1 0 0 0 2 3 0 0 0 1
5 0 0 0 2
6 0 0 2 0
7 0 0 3 0
此运输问题的成本或收益为: 8465
最优解如下
********************************************
起
至 销点
发点 1 2 3 4 5 6 -------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 1 1100 0 300 200 0 0 2 0 1100 0 0 600 0 3 0 0 1100 0 0 0 4 0 0 0 1100 0 0 5 0 0 0 0 1000 100 6 0 0 0 0 0 1100 此运输问题的成本或收益为: 130000
5．
建立的运输模型如下
min f = 500x1+300 x2+550 x3+650 x4. s.t. 54 x1+49 x2+52 x3+64 x4≤1100, 57 x1+73 x2+69 x3+65 x4≤1000,
最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 4 5
-------- ----- ----- ----- ----- ----- 1 250 300 550 0 0 2 250 0 0 650 100
此运输问题的成本或收益为: 113300 6.
销量 20 10 0 10 0 20 5 0
b. 最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 -------- ----- ----- -----
1 0 0 15 2 20 5 0 3 0 5 5 此运输问题的成本或收益为: 145
c. 该运输问题只有一个最优解，因为其检验数均不为零
d. 最优解如下
********************************************
起 至 销点
发点 1 2 3 -------- ----- ----- -----
1 0 0 15 2 25 0 0 此运输问题的成本或收益为: 135
1．
第 8 章 整数规划
求解下列整数规划问题 max z=5x +8x2
1
a. s.t.
x +x
1 1 1
2 2
≤ 6, ≤ 45, ≥ 0,且为整数
2
5x +9x
2
x ,x
目标函数最优解为 :
1
x *=0,x *=5,z*=40。
b. max z=3x +2x
1
2
s.t.
2x +3x
1 1
2 2
≤ 14, ≤ 9,
为整数。
2
2x +x
x1,x2 0, x1且 目标函数最优解为 :
1
x *=3,x *=2.6667,z*=14.3334。
c. max z=7x +9x +3x
1
2
3
s.t.
-x +3x +x
1
2
3
≤ 7,
0-1变量。
7x +x +x ≤ 38,
1 2 3
且 为整数， 为x
x ,x ,x ≥ 0, x
1
2
3
1
3
目标函数最优解为 :
1
x *=5,x *=3,x *=0,z*=623
2。
2．解：设 xi为装到船上的第 i 种货物的件数，i=1,2,3,4,5。则该船装载的货 物取得最大价值目标函数的数学模型可写为：
max z=5x +10x +15x +18x +25x2 3 4 5 s.t.
20x +5x +10x +12x +25x ≤ 400000,
1
1 1 1
1 2 4
2
3
3 4
4 5
5
x +2x +3x +4x +5x ≤ 50000, x +4x
2
3
≤ 10000
≤ 750,
4
5
0.1x +0.2x +0.4x +0.1x +0.2x
x
i
≥ 0,且为整数，i=1 2 3 4 5
目标函数最优解为 :
1
x *=0,x *=0,x *=0,x *=2500,x *=2500,z*=107500 .3
2
4 5
3．解：设 xi为第 i 项工程，i=1,2,3,4,5,且 xi为 0-1 变量，并规定，
i ⎧
1, 当第 项工程被选定时， x= ⎨ i
⎩ ，当第 项工程没被选定时。
根据给定条件，使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为：
i
max z 20x+ 40x+ 20x+15x+ 30x s.t.
5x +4x +3x +7x +8x
1
2
3
4
5
≤ 25， ≤ 25，
1 1 1
2 2
2
3 3
3
4 4 4
5 5
5
x +7x +9x +4x +6x
8x +10x +2x +x +10x ≤ 25， 为 变量，i=1 2 3 4 5 x 0-1
i
目标函数最优解为 :
1
x *=1,x *=1,x *=1,x *=1,x *=0,z*=953
2
4 5
4．解：这是一个混合整数规划问题
设 x1、x2、x3分别为利用 A、B、C 设备生产的产品的件数，生产准备费
只有在利用该设备时才投入，为了说明固定费用的性质，设
⎧1，当利用第 种设备生产时，即i x >0,
i
y = ⎨ i
0 i x =0。 ⎩ ，当不利用第 种设备生产时，即
故其目标函数为：
i
min z 100y +300y +200y +7x +2x +5x
3 12 1 2 3
为了避免没有投入生产准备费就使用该设备生产，必须加以下的约束条件， M 为充分大的数。
x ≤ y M，
1 2 3
1 2 3
x ≤ y M， x ≤ y M ，
设 M=1000000
a. 该目标函数的数学模型为：
min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1
2 3 1 2 3
s.t.
x +x +x =2000，
1 2 3
0.5x +1.8x +1.0x
≤ 2000，
1
2
3
x ≤ 800，
1
x
≤ 1200， 2
x
≤ 1400， 3
x ≤ y M，
1 1 x ≤ y M， 2 2 x
≤ y M ，
3
3
x1
， ，x2
x3
≥ 0，且为整数， ， ， 为y1
y2
y3
0-1变量。 目标函数最优解x *=370,x *=231,x *=1399,y =1,y =1,y =1,z*=10647 为 : 1
3
b.该目标函数的数学模型为：
min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1
2 3 1 2 3
s.t.
x +x +x =2000，
1 2 3
0.5x +1.8x +1.0x ≤ 2500， 1
2
3
x ≤ 800，
1
x ≤ 1200，
2
x ≤ 1400，
3
x ≤ y M，
1 1 x ≤ y M， 2 2 x ≤ y M ，
3
3
x1
， ，x2
x3
≥ 0，且为整数， ， ， 为y1
y2
y3
0-1变量。
目标函数最优解为 : x *=0,x *=625,x *=1375,y =0,y =1,y =1,z*=8625 1
3
23 1 2
23
1 2
c.该目标函数的数学模型为：
min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1
2 3 1 2 3
s.t.
x +x +x =2000，
1 2 3
0.5x +1.8x +1.0x ≤ 2800， 1
2
3
x ≤ 800，
1
x ≤ 1200，
2
x ≤ 1400，
3
x ≤ y M，
1 1 x ≤ y M， 2 2 x ≤ y M ，
3
3
x1
， ，x2
x3
≥ 0，且为整数， ， ， 为y1
y2
y3
0-1变量。 目标函数最优解x *=0,x *=1000,x *=1000,y =0,y =1,y =1,z*=7500
23 1 为 :1
3
d.该目标函数的数学模型为：
min z=100y +300y +200y +7x +2x +5x1
2 3 1 2 3
s.t.
x +x +x =2000，
1 2 3
x ≤ 800， 1
x ≤ 1200，
2
x ≤ 1400，
3
x ≤ y M，
1 1 x ≤ y M，
2
2
x ≤ y M ，
3 3
，且为整数， ， ， 为 变量。
x ， ，x x ≥ 0 y y 1
2
3
1
2y0-1
3
目标函数最优解x *=0,x *=1200,x *=800,y =0,y =1,y =1,z*=6900
23 1 为 :1
3
5．解：设 xij 为从 Di 地运往 Ri 地的运输量，i=1，2，3，4，j=1，2，3 分别代表从北京、上海、广州、武汉运往华北、华中、华南的货物件数，并规定，
⎧1 i
yi
= ⎨ ，当 地被选设库房，
0 i
该目标函数的数学模型为：⎩ ，当 地没被选设库房。
2
2
min z 45000y+ 50000y+ 70000y+ 40000y+ 200x+ 400x+ 500x
1
2
3
4
11
12
13
+300x21+ 250x +400x +600x +350x +300x +350x +150x +350x2223
43
31 32 33 41 42
s.t.
x +x +x +x =500，
11 12 13 11
21 22 23 12
31 32 33 13
2122 3132
41 42 43
1 23 33
x +x +x +x =800， x +x +x +x =700， x +x +x ≤ 1000y ， x +x +x x +x +x y
2 1 3
2 4 4
3
4
≤ 1000y，
2
≤ 1000y，
3
4
x +x +x4142 43 ≤ 1000y，
≤ y ，
y +y +y +y ≤ 2， y +y ≤ 1，
，且为整数， 为 分量，i=1 2 3 4
x ≥ 0 y 0-1
ij
i
目标函数最优解为
x *=500,x *=0,x *=500,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,
11 41
42 12
13 43
21 1
2 22
3
23 4
31
32
33
x *=0,x *=800,x *=200,y =1,y =0,y =0,y =1,z*=625000
:
也就是说在北京和武汉建库房，北京向华北和华南各发货 500 件，武汉向华 中发货 800 件，向华南发货 200 件就能满足要求，即这就是最优解。
，当指派第 人去完成第 项工作时，
i i j j
6．解：引入 0-1 变量 xij，并令 x= ⎨⎧1
⎩ ，当不指派第 人去完成第 项工作时。
a.为使总消耗时间最少的目标函数的数学模型为：
ij
min z 20x+19x+ 20x+ 28x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +26x
11
12
13
14
21
22
23
2431
+16x +15x +18x +17x +20x +24x +19xs.t.
x +x +x +x =1，
11 21 31
12 22 32
13 23 33
14 24 34
3233 34 41 42 43 44
x +x +x +x =1， x +x +x +x =1， x +x +x =1， +x
41 11 12
42 21 22
43 31 32
44 41 42
x +x +x +x =1，
x +x +x +x =1，
x +x +x +x =1，
13 14
23 24
33 34
43 44
x +x +x +x =1，
，，，。 为 变量，
x 0-1 i=1 2 3 4 j=1 2 3 4
ij
目标函数最优解为 :
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,
11 34
12 41
13 42
14 43
21 44
22
23
24
31
32
33
x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,z*=71
或
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,
11 34
12 41
13 42
14 43
21 44
22
23
24
31
32
33
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,z*=71
即安排甲做 B 项工作，乙做 A 项工作，丙 C 项工作，丁 D 项工作，或者是
安排甲做 B 项工作，乙做 D 项工作，丙 C 项工作，丁 A 项工作，最少时间为 71
分钟。
b.为使总收益最大的目标函数的数学模型为： 将 a 中的目标函数改为求最大值即可。 目标函数最优解为 :
x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,
11 34
12 41
13 42
14 43
21 44
22
23
24
31
32
33
x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,z*=102
即安排甲做 D 项工作，乙做 C 项工作，丙 A 项工作，丁 B 项工作，最大收 益为 102。
c.由于工作多人少，我们假设有一个工人戊，他做各项工作的所需的时间均 为 0，该问题就变为安排 5 个人去做 5 项不同的工作的问题了，其目标函数的数
学模型为：
min z 20x+19x+ 20x+ 28x+17x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +20x+26x +16x +15x +18x +15x +17x +20x +24x +19x +16x32 33
11
12
13
14
15
21
22
23
31
2425
34 35 41 42 43
44 45
s.t.
x +x +x +x +x =1，
11 21
12 22
13 23
14 24
15 25
x +x +x +x +x =1， +x +x +x +x =1 ， x
31 41 51 11 12 13 14 15
32 42 52 21 22 23 24 25
33 43 53 31 32 33 34 35
34 44 54 41 42 43 44 45
35 45 55 51 52 53 54 55
x +x +x +x +x =1，
x +x +x +x +x =1， x +x +x +x +x =1，
x +x +x +x +x =1， x +x +x +x +x =1， x +x +x +x +x =1， x +x +x +x x
ij
+x =1，
0-1 i=1 2 3 4 5 j=1 2 3 4 5 为 变量，
目标函数最优解为:
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,
11 32
12 33
13 34
14 35
15 41
21 42
22 43
23 44
24 45
25
31
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,z*=68
即安排甲做 B 项工作，乙做 A 项工作，丙做 C 项工作，丁做 E 项工作，最 少时间为 68 分钟。
d.该问题为人多任务少的问题，其目标函数的数学模型为：
min z 20x+19x+ 20x+ 28x+18x+ 24x+ 27x+ 20x +26x +16x31 +15x +18x +17x +20x +24x +19x +16x +17x +20x +21x
11
12
13
14
21
22
23
24
32
3334
41 42 43 44
51 52 53 54
s.t.
≤ ，
x +x 1 +x +x12 13 14
11
x +x +x +x ≤ 1，
21 31 41 51 11 12 13 14
22 32 42 52 21 22 23 24
23 33 43 53 31 32 33 34
24
x +x +x +x
34 44
≤ 1， ≤ 1，
54 41 42 43 44
51 52 53 54
x +x +x +x ≤ 1，
x +x +x +x
x +x +x +x +x =1，
x +x +x +x +x =1， x +x +x +x +x =1， x +x +x +x +x =1， x
0-1 i=1 2 3 4 j=1 2 3 4 5 i为 变量， j
目标函数最优解为:
x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=1,
11
12 41
13 42
14 43
21 44
22 51
23 52
24 53
31 54
32
33
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,z*=69
34
或
x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,
11 34
12 41
13 42
14 43
21 44
22 51
23 52
24 53
31 54
32
33
x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,z*=69
或
x *=0,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,
11 34
12 41
13 42
14 43
21 44
22 51
23 52
24 53
31 54
32
33
x *=0,x *=0,x *=0,x *=0,x *=1,x *=1,x *=0,x *=0,x *=0,z*=69
即安排乙做 D 项工作，丙做 C 项工作，丁做 A 项工作，戊做 B 项工作；或
安排乙做 A 项工作，丙做 C 项工作，丁做 D 项工作，戊做 B 项工作；或安排甲
做 B 项工作，丙做 C 项工作，丁做 D 项工作，戊做 A 项工作，最少时间为 69 分钟。
7.解：设飞机停留一小时的损失为 a 元，则停留两小时损失为 4a 元，停留 3
小时损失为 9 元，依次类推，对 A、B、C 三个城市建立的指派问题的效率矩阵 分别如下表所示：
城市 A
解得最优解为：
城市 B
解得最优解为：
或为：
城市 C
解得最优解为：
或为：
或为:
第 9 章 目标规划
1.某工厂试对产品 A、B 进行生产。市场需求并不是很稳定，因此对每种产
品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润。这两种产品都经过甲、乙两 台设备加工。已知产品 A 和 B 分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备 的可用加工时间以及预期利润如下表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期 利润不少于 5 千元，其次是要求销售良好时，预期利润尽量达到 1 万元。试建立
多目标规划模型并求解。
(百元／件)
1、解：设工厂生产 A 产品 x件，生产 B 产品 x件。按照生产要求，建立如下目
1
2
标规划模型：
−
min
( ) ( ) P d1 P d2 ⎧ x x ≤ 45 4+ 3
⎪ x x ≤ 30 ⎪2+ 5
−
⎪ x x = 50 ⎨5+ 5− d++d
⎪ x x − d+ d −=100
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1+
+
−
⎪8+ 62
1
2
2
+
1
2
i
⎩⎪x x d d, ,i,−
2
由管理运筹学软件先求解得： x
1
≥ 0, i = 1,
= 11.25, x = 0, d −=0, d −=10, d= 6.25, d= 0
+
+
2 1 2 1 2
由图解法或进一步计算可知，本题在求解结果未要求整数解的情况下，满意解有 无穷多个，为线段α (135 /14,15 / 7) (1 α )(45 / 4,0), α ∈[0,1] 上的任一点。
2、解：设食品厂商在电视上发布广告 x次，在报纸上发布广告 x次，在广播中
1
2
发布广告 x次。
3
目标规划模型为：
−
+
min ( )
11
+
( )−+( )
2
3
P d1 P d2 P d3 ⎧x≤
10 ⎪ ≤ 20 ⎪ xx 15
x + 5x
3
+ P d
( )
+
4 4
−
= 400
2
⎪ ≤ ⎪
x ⎪20+10 ⎨ x x
1
2
1
2
3
3
− d++d
1
1
x d
2
2
−=
⎪0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x −=0 0.3 − 0.3 + 0.7
2 3 − d++d ⎪ x 1 + − x x 20
⎪ + d = 2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪
⎪⎩x x x d d, , ,3 i,− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4 用管理运筹学软件先求下述问题：
3
3
1
2
3
4+
1
2
i
min d −
⎧x≤ 10 ⎪ ≤ ⎪x 20
15 x
13
1
−
x + 5x
2
= 400
⎪ ≤ ⎪
x ⎪20+10 ⎨ x x
1
2
1
2
3
3
− d++d
1
1
x d
2
2
−=
⎪0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x −=0 0.3 − 0.3 + 0.7
2 3 − d++d ⎪ x 1 + − x x 20
⎪ + d = 2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪
⎪⎩x x x d d, , ,3 i,− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4
3
3
1
2
3
4+
1
2
i
得： d−=0 ，将其作为约束条件求解下述问题：
1
min d −
2
⎧ ≤ x 10
20 ⎪⎪x2
1
≤ ⎪ ≤ ⎪x 15
x x + 5x
3
⎪
−=
1
1
400 0 = 0
3 − d++d 20+10 ⎪ x x x d ⎨0.7− 0.3− 0.3−++d ⎪− x x x
1
2
1
2
3
2
2
1
2
3
3
3
−=
−
⎪ 0.3− 0.3+ 0.7− d++d 20 ⎪ + −
x x x + d = 2.5 + 0.5 + 0.3
2 3 − d4
⎪ 1 ⎪d −= 0 ⎪ 1
x x x d d, , ,, − ≥ 0, i = 1, 2,3, 4
4
+
⎩
1 2 3 i i
得最优值 d−=0 ，将其作为约束条件计算下述问题：
2
min d+
3
⎧x1≤ 10 ⎪ ≤ ⎪ 20 xx3 15 x + 5x −=400 2
⎪ ≤ ⎪
x
⎪20+10 3 − d1
++d1
1
2
⎪ x x x d −=0 0.7 − 0.3 − 0.3
⎨−⎪1 2 3 2
2
x
x x−+ +d −
= 0 ⎪ 0.31
− 0.32
+ 0.73
− d3
++d3 20
⎪ + −
x x x + d = 2.5 + 0.5 + 0.3
⎪ 1 2 3 − d4
4
⎪d −= 0
1
⎪⎪0
d2−
=
⎪x x x d d i
− ≥ 0, i = 1, 2,3, 4
⎩ , , ,i
+,
1 2 3
得最优值 d3
+=0 ，将其作为约束条件计算下述问题：
min d+
4
⎧ ≤ x1
10
⎪⎪20 x2
≤ ⎪ ≤ ⎪x 3
⎪
x 15
x + 5x
−=
400 201
+102
3 − d1
++d1
⎪ x x x d −=
0 ⎪0.71
− 0.32
− 0.33
−2
++d2
−
⎪−
= x x x 0
⎨ 0.31
− 0.32
+ 0.73
− d3
++d3
⎪ +
−
x
x x + d =
20
⎪2.5+ 0.5+ 0.3− d4 ⎪d −=0 ⎪ 1 0 ⎪d −=
1
2
3
4
2
⎪⎪d3
+
=
⎪x x x d d −
, , ,+
得： ⎩ 1 2 ,3
i
i
≥ 0, i = 1, 2,3, 4
x = 9.474, x = 20, x = 2.105, d= 0, d −=0, d= 8.387, d −=0, d= 0, d −=7.368,
+
+
+
1
+
2 3 1 1 2 2 3 3
d= 14.316, d −=0,
4
4
所以食品厂商为了依次达到 4 个活动目标，需在电视上发布广告 9.474 次，报纸
上发布广告 20 次，广播中发布广告 2.105 次。（管理运筹学 2.0 可一次求解上述
问题）
3、解：（a）设该化工厂生产 x升粘合剂 A 和 x升粘合剂 B。则根据工厂要求，
1
2
建立以下目标规划模型：
−
+
−
−
−
min
( + d ) + ( + d ) + ( ) P d1 2 2 3 4 3 5
1
−= +5
80 ⎪3 x 12 x− d++d
⎪ + x − d+ d −=
2 2 2
100 ⎪ x
12 ⎪3 100 x + =
1
2
1
1+
1
+d−
⎨ −⎪d3
−1
3+
+ d
2
+
-
d
1
-
d1
d2 -
d
3
200 100
图 1 图解法求解
300
图解法求解如图 1：目标 1， 3 达不到，所以有满意解为 A 点 （150，120）。
4、解：设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品 A x件，生产产品 B x件。
1
2
+
+
min (
1
P d1 ⎧1+1
−
+ + d ) P d
( ) 2
2
3 −=
（a）目标规划模型为：
60 ⎪6 x 6 x− d++d
1
5 ⎪1
⎪ + x − d+ d −=
2
180 ⎨3 x 6 2 2
2
1
1+
1
⎪
x x d
⎪4+ 3−++d ⎪x x x d d ⎩ , , ,+,
1
2
3
3
i
−=
1300
1 2 3
i−
≥ 0, i = 1, 2,3
用图解法求解： 如图所示，所示解为区域 ABCD，有无穷多解。
（b）由上图可知，如果不考虑目标 1 和目标 2，仅仅把它们加工时间的最大限
度分别为 60 和 180 小时作为约束条件，而以利润最大化为目标，那么最优解为 C 点（360，0），即生产产品 A360 件，最大利润为 1420 元。结果与（a）是不相
同的，原因是追求利润最大化而不仅仅是要求利润不少于 1300 元。
（c）如果设目标 3 的优先权为 P1，目标 1 和目标 2 的优先权为 P2，则由上图可 知，满意解的区域依然是 ABCD，有无穷多解，与（a）的解是相同的，原因是
（a）和（c）所设定的目标只是优先级别不同，但都能够依次达到。
5．在环境污染日益得到重视的今天，越来越多的企业开始注重工业废水污
水排污。某纸张制造厂生产一般类型纸张的利润为 300 元／吨，每吨纸产生的工
业废水的处理费用为 30 元；生产某种特种纸张的利润为 500 元／吨，每吨特种
纸产生的工业废水的处理费用为 40 元。
该纸张制造厂近期目标如下：
目标 1：纸张利润不少于 15 万；
目标 2：工业废水的处理费用不超过 1 万元。
a.设目标 1 的优先权为 P，目标 2 的优先权为 P，P>P，建立目标规划模型
1
2
1
2
并用图解法求解。
b.若目标 2 的优先权为 P，目标 1 的优先权为 P，建立目标规划模型并求解。 所得的解是否与 a 中的解相同？
c. 若目标 2 的罚数权重为 5，目标 1 的罚数权重为 2，建立加权目标规划模 型求解。
1
2
5、解：设该纸张制造厂需要生产一般类型纸张 x吨，生产特种纸张 x吨。
1
2
（a）、目标规划模型为：
−
+
min
( )
P d1 P d2
−
⎧ x = 150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d , ,, − ≥ 0, i = 1, 2
( )
1
2
1
2
1
1+
1
2+
+
⎩
1 2 i i
+
+
= 0, x = 300, d −=0, d −=0, d= 0, d= 200
2 1 2 1 2
图解法略，求解得 x (b)、目标规划模型为：
1
+
( ) P d1
⎧ x −=150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d
⎩ , ,+, i− ≥ 0, i = 1,
1 2
2 = 250, d −=250, d −=0, d= 0, d= 0
= 0, x
2 1 2 1 2
图解法略，求解得 x
min P d( )
1
2
2
1
2
1
1+
1
2
i
+
+
1
+
−
由此可见，所得结果与(a)中的解是不相同的。 (c)、加权目标规划模型为： min P d(5 ++ d −
2 )
⎧ x −=150000 x 300+ 500− d++d ⎪ x x − d+ d −=10000 ⎨30+ 402 2 ⎪x x d d ⎩ , ,+, i− ≥ 0, i = 1, 2 1 2
= 0, x = 300, d −=250, d −=0, d= 0, d= 12000
1
2
1
1+
1
2
i
+
+
1 2 1
求解得 x
1
2 1 2 1 2