不良导体热导率的测定

不良导体热导率的测定

彭志伟（第一作者），贾林江（第二作者）

摘要：在稳态法测量不良导体热导率的实验中，传统的通过作图求斜率测定散热速率的方法存在很大的主观性，对实验结果产生的误差是不可控制的，本文通过对散热规律的研究，利用Matlab 多项式拟合，给出了一种测定散热速率的方法，并分析了其合理性，很大程度上降低了实验误差。

关键字：不良导体；散热速率；稳态法；数据拟合

1 问题的提出

在用稳态法测量热导率的实验中，对散热速率的测量是通过让黄铜盘自然冷却，每隔30s 测量一次温度，最后在坐标纸上描出冷却曲线，作出曲线在最接近θ2的切线，用其斜率来求得冷却速率。通过对比不同学生所作冷却曲线发现，曲线的光滑程度，所作切线与原曲线的相切程度相差很远，给实验结果带来很大误差。如果能改进这种数据处理方法，对实验结果的准确度有很大提高，同时加深了学生对实验原理的理解。

2 实验原理及过程 2.1实验原理及改进 2.1.1基本原理

本实验利用热源在待测样品内部形成不随时间改变的稳定温度分布，然后进行测量，即稳态法。1882年Fourier 给出了热传导的基本公式——Fourier 导热方程。方程指出，在物体内部，取两个垂直于热传导方向、彼此相距为h 、温度分别为θ1、，若平面面积为S ，则在δt 时间内通过面积S 的热量δQ θ2（设θ1>θ2）满足下述方程：

θ-θδQ

=kS 12 （2.1.1） δt h

式中，δQ /δt 为热流强度，k 称为该物质的热导率（又称导热系数），单位为

W/(m ⋅k ) 。

本实验装置如图1所示。在支架D 上依次放上圆铜盘P 、待测样品B 和厚底紫铜圆盘A 。在A 的上方用红外灯L 加热，使样品上、下表面分别维持在稳 定的温度θ1、θ2，θ1、θ2分别与插入在A 、P 侧面深孔中的热电偶E 来测量。E 的冷端浸入盛于杜瓦瓶H 内的冰水混合物中。数字式电压表F 用来测量温差电动势。由式（2.1.1）知，单位时间通过待测样品B 任一圆截面的热流量为

2

θ1-θ2δQ k πd B

（2.1.2） =

δt 4h B

式中，d B 为圆盘样品的直径，h B 为样品厚度。当传热达到稳定状态时，通过B 盘上表面的热流量与由黄铜盘P 向周围环境散热的速率相等。因此，通过求黄铜盘P 在稳定温度θ2时的散热速率来求热流量δQ /δt 。因此，在读到稳定的θ1、θ2后，将B 移去，使A 直接与P 接触。当P 的温度上升到高于稳定时读数θ2若干度后，再将A 移开，让P 自然冷却。测量其温度随时间的变化，求得则稳态黄铜盘散热速率表达式修正如下：

2

/4+πd P h P δQ δθπd P

（2.1.3） =m P c 2

δt δt πd P /2+πd P h P

δθ

δt

θ=θ2

，

将式（2.1.3）代入（2.1.2），得，

k =m P c

δθd P +4h P h B 2

（2.1.4） 2

δt d p +2h P θ1-θ2πd B

2.1.2 热电偶测温原理

本实验采用铜-康铜热电偶测温度。基本原理是：由两种不同导体或半导体组成的闭合回路。如果他们的节点处于不同的温度θ0和θ，则回路中就会有热电动势ε(θ, θ0) 。通常取θ0=0℃，称为冷端；θ置于被测介质中，就可以用ε来确定介质的温度。可以证明：在热电偶回路中接入的中间导体两端温度想同，热电偶总回路的ε就不会变化。温差电动势用数字电压表测量。对铜-

康铜热电偶而

言，ε=α(T -T 0) ，其中α=4.2mv/100℃。故实验中选取能读到0.01mv 的电压挡。 2.1.3冷却速率

δθ

|的测量 δt θ=θ

2

引理1（Newton's law of cooling） 一个系统的温度如果高于环境温度，它就要散失热量。当系统与环境温差不超过25℃时[1]，散热速率与温差成正比：

δq

=-K (T -T s ) （2.1.5） δt

式中，K 为散热常数（K >0）, T s 为环境温度，设T >T S 在稳态情况下，有

dq

=-K (T -T s ) (2.1.6) dt

又，dq =c ⋅m P ⋅dT （2.1.7） 由（2.1.6）和（2.1.7）知，

dT K K =-T +T s dt c ⋅m P c ⋅m P

记

dT K

=-λT +λT s （2.1.8） =λ，则上式可化为dt c ⋅m P

式（2.1.8）为一阶线性常系数微分方程。则，

T =e ⎰

-λdt

(⎰λT s e ⎰dt +C ) ，其中C 为积分常数，代入初值条件T (0)=T 0，有

λdt

T =T s +(T 0-T S ) e -λt （2.1.9）

对式（2.1.9），当t →∞时，T →T s 。其物理意义是，足够长时间后系统的温度将与环境一样，这与物理规律相符合。

x 2x 3e ς4

引理2 e ≈1+x ++，其误差R

264!

x

在本实验中，用-λt 代替x ，根据引理2可以得到其估计式，其误差极小。因此，我们对式（2.1.9）做三阶多项式拟合，进而求得斜率，得到该处理方法的合理性在数据处理时有进一步说明。 2.2 实验仪器

电子天平、数字三用表、冰、保温杯、停表、稳态法实验装置等。

δθ

|θ=θδt 。

2

2.3 实验步骤

1. 连接电路，在保温杯内放入适量冰水混合物。

2. 先将电源电压升至220V ，加热5min 后降至110V 。每隔2~5min读温度示值，在10min 内，样品上下表面温度不变时，记录此时的温度, 即稳态的示数。 3. 移去样品，直接加热P 。待温度高出10℃左右时，移去A 。让P 自然冷却，每隔30s 记录一次温度。 3 数据记录及处理 3.1 原始数据列表

稳定时示数： θ1：2.94 mv θ2：1.38 mv

表1尺寸及质量

单位： 长度：mm ；质量：g

表2 铜盘P 自然冷却

（续表） 单位： 时间：30s; θ2：mv

3.2 数据处理及分析 3.2.1数据处理

根据式（2.1.9）及引理2，对冷却曲线做三阶多项式函数拟合，设

T =p (1)x 3+p (2)x 2+p (3)x +p (4) 则

dT δθ

|θ=θ=

dt δt

2

=[3p (1)x 2+2p (2)x +p (3)]x =240 （3.1.1）

t =240s

用Matlab 做数据拟合，程序代码如下，拟合曲线与原测量数据点如图2。

>> clear all >> x=[30:30:540]; >> format long;

>> y=[1.75,1.66,1.59,1.54,1.48,1.46,1.41,1.38,1.34,1.31,1.27,1.24,1.22,1.19,1.17,1.15,1.13,1.12]; >> p=polyfit(x,y,3); >> scatter(x,y,'b'); >> hold on;

>> y1=p(1)*(x.^3)+p(2)*(x.^2)+p(3)*x+p(4); >> plot(x,y1,'r') >> hold off >> p p =

-0.[**************] 0.[**************] -0.[**************] 1.[**************]

由数据拟合结果知：

p (1)=-2.404789⨯10-9

p (2)=3.677904⨯10-6 p (3)=-2.573859⨯

10-3

图2

代入（3.1.1）知

δθ

|θ=θ=-1.22401387⨯10-3，已知c =393.6J/(kg⋅k) δt

2

由式（2.1.4）知

k =901.63⨯393.6⨯1.22401387⨯10-3⨯

130.00+4⨯7.818.432

⨯⨯

130.00+2⨯7.812.94-1.38π⨯128.332

=0.1005w/(m ⋅k ) 3.2.2 不确定度分析

电子天平误差限∆1=0.005；游标卡尺误差限∆2=0.02； 数字电压表误差限：∆3=0.005。

u (m ) =

=2.8868⨯

10-3；u 2==1.1547⨯10-2； 对u (k ) 做如下估计：

u (k ) =

w/(m ⋅k )

d P +4h P

.

d P +2h P

=0

其中，a =

所以，k 的最终形式：k ±u (k ) =(0.1005±0.0001) w/(m ⋅k ) 4 结果讨论与误差分析 4.1 误差分析

本实验存在的误差来源较多。人为作图造成的误差很大，本文解决了这个问题。还有一些误差分析如下：

1. 实验过程中环境温度难以保证恒定，对稳态的判定存在偏差，导致不能达到绝对稳态而产生误差。

2. 样品上下接触面以及热电偶与金属板之间的空气间隙引起误差。 3. 实验过程中，下铜板的散热主要有两种：辐射散热和对流散热，总的散热速率应为两部分散热速率之和[2]。而本实验只考虑了对流散热。 4. 实验时间过长，电偶极（实验中为保温杯）中的冰块融化，温度发生明显变化。 4.2结果讨论 4.2.1结果合理性论证

本实验中，要求环境温度保持稳定，电偶极的冷端温度保持在0℃。如果随着实验时间电偶极冷端温度明显变化，温差电动势ε与待测温度θ之比不再是一个常数，对结果会产生很大影响。另外在实验中发现，不同人对稳态的判断有一些差异，对温度的测量存在误差，这些都对实验结果带来较大的影响。 实验结果得到的热导率k =0.1005 w/(m ⋅k ) ，相比于理论值偏小。在误差分析中已经谈到，各个接触面存在空气间隙，这导致结果偏小。同时只考虑了对流散热，得到的散热速率也偏小。这与实验结果相符合。 4.2.2 结果对比

我用传统的作图法求斜率的方法测得的热导率是0.0089 w/(m ⋅k ) ，其偏小量更大，相比之下可知本实验的处理方法有其明显的优越性。 4.3感想与建议

我们课题组通过对稳态法测定不良导体实验的研究，综合应用数学，物理，计算机软件等工具，对实验的数据处理做了一些优化。在研究过程中，学到了很多实验的方法，数据分析的技巧，锻炼了自己的动手能力，收获颇丰。 另外，下面是一些对实验改进的建议。首先，可以考虑通过多次实验来修正

空气间隙带来的影响，每次将铜盘转一个固定角度与之贴合。此外，尽量保证风扇的转速均匀以及环境温度的稳定。

参考文献

[1] 詹世昌. 牛顿冷却定律适用范围的探讨[A]. 大学物理，2000，5，36-37 [2] 杨世铭、陶文铨. 传热学（第4版）. 北京：高等教育出版社，2006

[3] 李朝荣、徐平等. 基础物理实验（修订版）. 北京：北京航空航天大学出版社，2010 [4] 王高雄、周之铭等. 常微分方程（第三版）. 北京：高等教育出版社，2006 [5] MATLAB 基础及其应用教程. 北京：北京大学出版社，2007

不良导体热导率的测定

彭志伟（第一作者），贾林江（第二作者）

摘要：在稳态法测量不良导体热导率的实验中，传统的通过作图求斜率测定散热速率的方法存在很大的主观性，对实验结果产生的误差是不可控制的，本文通过对散热规律的研究，利用Matlab 多项式拟合，给出了一种测定散热速率的方法，并分析了其合理性，很大程度上降低了实验误差。

关键字：不良导体；散热速率；稳态法；数据拟合

1 问题的提出

在用稳态法测量热导率的实验中，对散热速率的测量是通过让黄铜盘自然冷却，每隔30s 测量一次温度，最后在坐标纸上描出冷却曲线，作出曲线在最接近θ2的切线，用其斜率来求得冷却速率。通过对比不同学生所作冷却曲线发现，曲线的光滑程度，所作切线与原曲线的相切程度相差很远，给实验结果带来很大误差。如果能改进这种数据处理方法，对实验结果的准确度有很大提高，同时加深了学生对实验原理的理解。

2 实验原理及过程 2.1实验原理及改进 2.1.1基本原理

本实验利用热源在待测样品内部形成不随时间改变的稳定温度分布，然后进行测量，即稳态法。1882年Fourier 给出了热传导的基本公式——Fourier 导热方程。方程指出，在物体内部，取两个垂直于热传导方向、彼此相距为h 、温度分别为θ1、，若平面面积为S ，则在δt 时间内通过面积S 的热量δQ θ2（设θ1>θ2）满足下述方程：

θ-θδQ

=kS 12 （2.1.1） δt h

式中，δQ /δt 为热流强度，k 称为该物质的热导率（又称导热系数），单位为

W/(m ⋅k ) 。

本实验装置如图1所示。在支架D 上依次放上圆铜盘P 、待测样品B 和厚底紫铜圆盘A 。在A 的上方用红外灯L 加热，使样品上、下表面分别维持在稳 定的温度θ1、θ2，θ1、θ2分别与插入在A 、P 侧面深孔中的热电偶E 来测量。E 的冷端浸入盛于杜瓦瓶H 内的冰水混合物中。数字式电压表F 用来测量温差电动势。由式（2.1.1）知，单位时间通过待测样品B 任一圆截面的热流量为

2

θ1-θ2δQ k πd B

（2.1.2） =

δt 4h B

式中，d B 为圆盘样品的直径，h B 为样品厚度。当传热达到稳定状态时，通过B 盘上表面的热流量与由黄铜盘P 向周围环境散热的速率相等。因此，通过求黄铜盘P 在稳定温度θ2时的散热速率来求热流量δQ /δt 。因此，在读到稳定的θ1、θ2后，将B 移去，使A 直接与P 接触。当P 的温度上升到高于稳定时读数θ2若干度后，再将A 移开，让P 自然冷却。测量其温度随时间的变化，求得则稳态黄铜盘散热速率表达式修正如下：

2

/4+πd P h P δQ δθπd P

（2.1.3） =m P c 2

δt δt πd P /2+πd P h P

δθ

δt

θ=θ2

，

将式（2.1.3）代入（2.1.2），得，

k =m P c

δθd P +4h P h B 2

（2.1.4） 2

δt d p +2h P θ1-θ2πd B

2.1.2 热电偶测温原理

本实验采用铜-康铜热电偶测温度。基本原理是：由两种不同导体或半导体组成的闭合回路。如果他们的节点处于不同的温度θ0和θ，则回路中就会有热电动势ε(θ, θ0) 。通常取θ0=0℃，称为冷端；θ置于被测介质中，就可以用ε来确定介质的温度。可以证明：在热电偶回路中接入的中间导体两端温度想同，热电偶总回路的ε就不会变化。温差电动势用数字电压表测量。对铜-

康铜热电偶而

言，ε=α(T -T 0) ，其中α=4.2mv/100℃。故实验中选取能读到0.01mv 的电压挡。 2.1.3冷却速率

δθ

|的测量 δt θ=θ

2

引理1（Newton's law of cooling） 一个系统的温度如果高于环境温度，它就要散失热量。当系统与环境温差不超过25℃时[1]，散热速率与温差成正比：

δq

=-K (T -T s ) （2.1.5） δt

式中，K 为散热常数（K >0）, T s 为环境温度，设T >T S 在稳态情况下，有

dq

=-K (T -T s ) (2.1.6) dt

又，dq =c ⋅m P ⋅dT （2.1.7） 由（2.1.6）和（2.1.7）知，

dT K K =-T +T s dt c ⋅m P c ⋅m P

记

dT K

=-λT +λT s （2.1.8） =λ，则上式可化为dt c ⋅m P

式（2.1.8）为一阶线性常系数微分方程。则，

T =e ⎰

-λdt

(⎰λT s e ⎰dt +C ) ，其中C 为积分常数，代入初值条件T (0)=T 0，有

λdt

T =T s +(T 0-T S ) e -λt （2.1.9）

对式（2.1.9），当t →∞时，T →T s 。其物理意义是，足够长时间后系统的温度将与环境一样，这与物理规律相符合。

x 2x 3e ς4

引理2 e ≈1+x ++，其误差R

264!

x

在本实验中，用-λt 代替x ，根据引理2可以得到其估计式，其误差极小。因此，我们对式（2.1.9）做三阶多项式拟合，进而求得斜率，得到该处理方法的合理性在数据处理时有进一步说明。 2.2 实验仪器

电子天平、数字三用表、冰、保温杯、停表、稳态法实验装置等。

δθ

|θ=θδt 。

2

2.3 实验步骤

1. 连接电路，在保温杯内放入适量冰水混合物。

2. 先将电源电压升至220V ，加热5min 后降至110V 。每隔2~5min读温度示值，在10min 内，样品上下表面温度不变时，记录此时的温度, 即稳态的示数。 3. 移去样品，直接加热P 。待温度高出10℃左右时，移去A 。让P 自然冷却，每隔30s 记录一次温度。 3 数据记录及处理 3.1 原始数据列表

稳定时示数： θ1：2.94 mv θ2：1.38 mv

表1尺寸及质量

单位： 长度：mm ；质量：g

表2 铜盘P 自然冷却

（续表） 单位： 时间：30s; θ2：mv

3.2 数据处理及分析 3.2.1数据处理

根据式（2.1.9）及引理2，对冷却曲线做三阶多项式函数拟合，设

T =p (1)x 3+p (2)x 2+p (3)x +p (4) 则

dT δθ

|θ=θ=

dt δt

2

=[3p (1)x 2+2p (2)x +p (3)]x =240 （3.1.1）

t =240s

用Matlab 做数据拟合，程序代码如下，拟合曲线与原测量数据点如图2。

>> clear all >> x=[30:30:540]; >> format long;

>> y=[1.75,1.66,1.59,1.54,1.48,1.46,1.41,1.38,1.34,1.31,1.27,1.24,1.22,1.19,1.17,1.15,1.13,1.12]; >> p=polyfit(x,y,3); >> scatter(x,y,'b'); >> hold on;

>> y1=p(1)*(x.^3)+p(2)*(x.^2)+p(3)*x+p(4); >> plot(x,y1,'r') >> hold off >> p p =

-0.[**************] 0.[**************] -0.[**************] 1.[**************]

由数据拟合结果知：

p (1)=-2.404789⨯10-9

p (2)=3.677904⨯10-6 p (3)=-2.573859⨯

10-3

图2

代入（3.1.1）知

δθ

|θ=θ=-1.22401387⨯10-3，已知c =393.6J/(kg⋅k) δt

2

由式（2.1.4）知

k =901.63⨯393.6⨯1.22401387⨯10-3⨯

130.00+4⨯7.818.432

⨯⨯

130.00+2⨯7.812.94-1.38π⨯128.332

=0.1005w/(m ⋅k ) 3.2.2 不确定度分析

电子天平误差限∆1=0.005；游标卡尺误差限∆2=0.02； 数字电压表误差限：∆3=0.005。

u (m ) =

=2.8868⨯

10-3；u 2==1.1547⨯10-2； 对u (k ) 做如下估计：

u (k ) =

w/(m ⋅k )

d P +4h P

.

d P +2h P

=0

其中，a =

所以，k 的最终形式：k ±u (k ) =(0.1005±0.0001) w/(m ⋅k ) 4 结果讨论与误差分析 4.1 误差分析

本实验存在的误差来源较多。人为作图造成的误差很大，本文解决了这个问题。还有一些误差分析如下：

1. 实验过程中环境温度难以保证恒定，对稳态的判定存在偏差，导致不能达到绝对稳态而产生误差。

2. 样品上下接触面以及热电偶与金属板之间的空气间隙引起误差。 3. 实验过程中，下铜板的散热主要有两种：辐射散热和对流散热，总的散热速率应为两部分散热速率之和[2]。而本实验只考虑了对流散热。 4. 实验时间过长，电偶极（实验中为保温杯）中的冰块融化，温度发生明显变化。 4.2结果讨论 4.2.1结果合理性论证

本实验中，要求环境温度保持稳定，电偶极的冷端温度保持在0℃。如果随着实验时间电偶极冷端温度明显变化，温差电动势ε与待测温度θ之比不再是一个常数，对结果会产生很大影响。另外在实验中发现，不同人对稳态的判断有一些差异，对温度的测量存在误差，这些都对实验结果带来较大的影响。 实验结果得到的热导率k =0.1005 w/(m ⋅k ) ，相比于理论值偏小。在误差分析中已经谈到，各个接触面存在空气间隙，这导致结果偏小。同时只考虑了对流散热，得到的散热速率也偏小。这与实验结果相符合。 4.2.2 结果对比

我用传统的作图法求斜率的方法测得的热导率是0.0089 w/(m ⋅k ) ，其偏小量更大，相比之下可知本实验的处理方法有其明显的优越性。 4.3感想与建议

我们课题组通过对稳态法测定不良导体实验的研究，综合应用数学，物理，计算机软件等工具，对实验的数据处理做了一些优化。在研究过程中，学到了很多实验的方法，数据分析的技巧，锻炼了自己的动手能力，收获颇丰。 另外，下面是一些对实验改进的建议。首先，可以考虑通过多次实验来修正

空气间隙带来的影响，每次将铜盘转一个固定角度与之贴合。此外，尽量保证风扇的转速均匀以及环境温度的稳定。

参考文献

[1] 詹世昌. 牛顿冷却定律适用范围的探讨[A]. 大学物理，2000，5，36-37 [2] 杨世铭、陶文铨. 传热学（第4版）. 北京：高等教育出版社，2006

[3] 李朝荣、徐平等. 基础物理实验（修订版）. 北京：北京航空航天大学出版社，2010 [4] 王高雄、周之铭等. 常微分方程（第三版）. 北京：高等教育出版社，2006 [5] MATLAB 基础及其应用教程. 北京：北京大学出版社，2007