1. 方程cos x +sin y =e 能否在原点的某邻域内确定隐函数y =f (x ) 或x =g (y ) ？ 解：令F (x , y ) =cos x +sin y −e ，则有 Ⅰ） F (x , y ) 在原点的某邻域内连续； Ⅱ） F (0, 0) =0；
Ⅲ） F x (x , y ) =−sin x −ye ，F y (x , y ) =cos y −xe 均在上述邻域内连续； Ⅳ） F y (0, 0) =1≠0，F x (0, 0) =0
故由隐函数存在唯一性定理知，方程cos x +sin y =e 在原点的某邻域内可确定隐函数
xy
xy
xy
xy
xy
y =f (x ) .
2. 方程xy +z ln y +e 的函数?
解:令F (x ) =xy +z ln y +e
xz
xz
=1在点(0, 1, 1) 的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量
−1, 则
Ⅰ） F (x , y , z ) 在点(0, 1, 1) 的某邻域内连续； Ⅱ） F (0, 1, 1) =0；
xz
Ⅲ） F x (x , y , z ) =y +ze ，F y (x , y , z ) =x +连续；
z xz
, F z (x , y , z ) =ln y +xe 均在上述邻域内y
Ⅳ） F x (0, 1, 1) =2≠0，F y (0, 1, 1) =1≠0, F z (0, 1, 1) =0
故由隐函数存在唯一性定理知，在点(0, 1, 1) 的某邻域内原方程能确定出方程函数
x =f (y , z ) 和y =g (x , z ) .
2. 求由下列方程所确定的隐函数的导数:
dy ; dx y dy 22
(2)ln x +y =arctan , 求;
x dx
(1)x y +3x y −4=0, 求
2
4
3
(3)e
−xy
−2z +e z =0, 求
∂z ∂z , ; ∂x ∂y
22
x +a −y dy d 2y 22u
(4)a +a −y =ye , u =(a >0) , 求, 2;
a dx dx
(5)x +y +z −2x +2y −4z −5=0, 求
222
∂z ∂z
, ; ∂x ∂y
(6)z =f (x +y +z , xyz ) , 求
∂z ∂x ∂y , , . ∂x ∂y ∂z
2
解: (1)方程两边对x 求导, 则2xy +x
dy dy +12x 3y 3+9x 4y 2=0 dx dx
dy 2y +12x 2y 3
. 所以=−
dx x +9x 3y 2
dy dy
x −y
11=(2)方程两边对x 求导, 则⋅⋅2.
x x 2+y 22x 2+y 21+(y ) 2
x
2x +2y
所以
dy x +y =(x ≠y ) . dx x −y
−xy
(3) 设F (x , y , z ) =e
−2z +e z , 则F x =−ye −xy , F y =−xe −xy , F z =−2+e z .
F y F x xe −xy ye xy ∂z ∂z
所以. , =−==−=
F z e z −2F z e z −2∂y ∂x
x +a 2−y 2
(4)令F (x , y ) =a +
a 2−y 2−ye
a
, 则
y
F x =−e u ,
a F y =−(e u +ye u
−y a a −y
2
2
) +
−2y 2a −y
2
2
.
所以
F dy y =−x =−, 因此
22dx F y a −y
d 2y d dy
=() =−2
dx dx dx
2
a 2−y 2
dy y dy
−y dx a 2−y 2dx a 2−y 2
a 2y
. =2
22
(a −y )
(5)令F (x , y , z ) =x +y −2x +2y −4z −5, 则
2
F x =2x −2y , F y =2y +2, F z =2z −4.
所以
F y F ∂z 1−x ∂z y +1
. =−x =, =−=
∂x F z z −2∂y F z z −2
(6)把z 看成x , y 的函数, 两边对x 求偏导数, 则有
∂z ∂z ∂z
=f 1(1++f 2(yz +xy ) . ∂x ∂x ∂x
所以
f +yzf 2∂z
=1
∂x 1−f 1−xyf 2
把y 看成z , x 的函数, 两边对z 求偏导数, 即得1=f 1(1+所以
∂y ∂y ) +f 2(xy +xz ) . ∂x ∂z
∂y 1−f 1−xyf 2
. =
∂x f 1+xzf 2
2
2
2
2
dz d 2z 4. 设z =x +y , 其中y =f (x ) 为由方程x −xy +y =1所确定的隐函数, 求及.
dx dx 2
解: 由方程x −xy +y =1, 得
2
2
dy 2x −y
. =
dx x −2y
dy 2(x 2−y 2) dz
, 因=2x +2y =
dx dx x −2y
2
故
d z d dz
=() =2
dx dx dx
2(2x −2y
dy dy
x −2y ) −2(x 2−y 2)(1−2)
(x −2y ) 2
=
4x −2y 6x
. +
x −2y (x −2y ) 3
2
2
2
3
3
3
5. 设u =x +y +z , 其中z =f (x , y ) 是由方程x +y +z =3xyz 所确定的隐函数, 求u x 及u xx .
解:因由x +y +z =3xyz 所确定的隐函数为z =f (x , y ) ,
3
3
3
x 2−yz ax 2−yz 2
所以z x =. 故u x =2x +2zz x =2(x + 22
xy −z xy −z u xx
(z x x 2+2zx −2yzz x )(xy −z 2) (zx 2−yz 2)(y −2zz x ) ∂
=u x =2[1+−] ∂x (xy −z 2) 2(xy −z 2) 2
2xz (y 3−3xyz +x 3+z 3) ==0. 23
(xy −z )
6. 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数: (1)x +y +z =e
−(x +y +z )
, 求z 对于x , y 的一阶与二阶偏导数;
∂z ∂z ∂2z
(2)F (x , x +y , x +y +z ) =0, 求, 和2.
∂x ∂y ∂x
解: (1)令F (x , y , z ) =x +y +z −e
−(x +y +z )
, 则F x =1+e
−(x +y +z )
=F y =F z
∂2z ∂2z ∂2z ∂z ∂z
故=2=0 ==−1, 2=
∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x
(2) 把z 看成x , y 的函数, 两边对x 求偏导数, 得F 1+F 2+F 3(1+故
∂z
) =0. ∂x
F +F 2+F 3 ∂z
=−1
∂x F 3
原方程两边关于y 求偏导数, 得F 2+F 3(1+
∂z
) =0 ∂y
故
F +F 3 ∂z
. =−2
∂y F 3
∂2z ∂∂z
=() =−2
∂x ∂x ∂x
F 11+F 12+F 21+F 22+F 31+F 32+(F 13+F 23+F 33) ⋅(1+
F 3
∂z
)
+(F 1+F 2+F 3)[F 33+F 32+F 33(1+
−3
3
∂z −2
)]F 3 ∂x
=−F 3[F 3(F 11+2F 12+F 22) −2(F 1+F 2) F 3(F 13+F 23) +(F 1+F 2) 2F 33]
7. 证明：设方程F (x , y ) =0所确定的隐函数y =f (x ) 具有二阶导数，则当F y ≠0时，有
F xx
3
F y y ′′=F xy
F x F xy F yy F y
F x F y . 0
F x −2
(F y ≠0) , 故y ′′=−[(F xx +F xy y ′) F y −F x (F yx +F yy y ′)]F y F y
2
−3
证:由题设条件可得y ′=−
2
=(2F x F y F xy −F y F xx −F x F yy ) F y (F y ≠0) .
F xx
322
所以F y y ′′=2F x F y F xy −F y F xx −F x F yy =F xy
F x
F xy F yy F y
F x
F y (F y ≠0) . 0
8. 设f 是一元函数, 试问应对f 提出什么条件, 方程2f (xy ) =f (x ) +f (y ) 在点(1, 1) 的邻域内就能确定出唯一的y 为x 的函数? 解: 设F (x , y ) =f (x ) +f (y ) −2f (xy ) , 则
F x =f ′(x ) −2y f ′(xy ) , F y =f ′(y ) −2x f ′(xy ) .
且F (1, 1) =f (1) +f (1) −2f (1) =0, F y (1, 1) =f ′(1) −2f ′(1) =−f ′(1) . 因此只需f ′(x ) 在x =1的某邻域内连续, 则F , F x , F y 在(1, 1) 的某邻域内连续,
所以当f ′(x ) 在x =1的某邻域内连续, 且f ′(1) ≠0时, 方程2f (xy ) =f (x ) +f (y ) 就能唯一确定y 为x 的函数.
1. 方程cos x +sin y =e 能否在原点的某邻域内确定隐函数y =f (x ) 或x =g (y ) ？ 解：令F (x , y ) =cos x +sin y −e ，则有 Ⅰ） F (x , y ) 在原点的某邻域内连续； Ⅱ） F (0, 0) =0；
Ⅲ） F x (x , y ) =−sin x −ye ，F y (x , y ) =cos y −xe 均在上述邻域内连续； Ⅳ） F y (0, 0) =1≠0，F x (0, 0) =0
故由隐函数存在唯一性定理知，方程cos x +sin y =e 在原点的某邻域内可确定隐函数
xy
xy
xy
xy
xy
y =f (x ) .
2. 方程xy +z ln y +e 的函数?
解:令F (x ) =xy +z ln y +e
xz
xz
=1在点(0, 1, 1) 的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量
−1, 则
Ⅰ） F (x , y , z ) 在点(0, 1, 1) 的某邻域内连续； Ⅱ） F (0, 1, 1) =0；
xz
Ⅲ） F x (x , y , z ) =y +ze ，F y (x , y , z ) =x +连续；
z xz
, F z (x , y , z ) =ln y +xe 均在上述邻域内y
Ⅳ） F x (0, 1, 1) =2≠0，F y (0, 1, 1) =1≠0, F z (0, 1, 1) =0
故由隐函数存在唯一性定理知，在点(0, 1, 1) 的某邻域内原方程能确定出方程函数
x =f (y , z ) 和y =g (x , z ) .
2. 求由下列方程所确定的隐函数的导数:
dy ; dx y dy 22
(2)ln x +y =arctan , 求;
x dx
(1)x y +3x y −4=0, 求
2
4
3
(3)e
−xy
−2z +e z =0, 求
∂z ∂z , ; ∂x ∂y
22
x +a −y dy d 2y 22u
(4)a +a −y =ye , u =(a >0) , 求, 2;
a dx dx
(5)x +y +z −2x +2y −4z −5=0, 求
222
∂z ∂z
, ; ∂x ∂y
(6)z =f (x +y +z , xyz ) , 求
∂z ∂x ∂y , , . ∂x ∂y ∂z
2
解: (1)方程两边对x 求导, 则2xy +x
dy dy +12x 3y 3+9x 4y 2=0 dx dx
dy 2y +12x 2y 3
. 所以=−
dx x +9x 3y 2
dy dy
x −y
11=(2)方程两边对x 求导, 则⋅⋅2.
x x 2+y 22x 2+y 21+(y ) 2
x
2x +2y
所以
dy x +y =(x ≠y ) . dx x −y
−xy
(3) 设F (x , y , z ) =e
−2z +e z , 则F x =−ye −xy , F y =−xe −xy , F z =−2+e z .
F y F x xe −xy ye xy ∂z ∂z
所以. , =−==−=
F z e z −2F z e z −2∂y ∂x
x +a 2−y 2
(4)令F (x , y ) =a +
a 2−y 2−ye
a
, 则
y
F x =−e u ,
a F y =−(e u +ye u
−y a a −y
2
2
) +
−2y 2a −y
2
2
.
所以
F dy y =−x =−, 因此
22dx F y a −y
d 2y d dy
=() =−2
dx dx dx
2
a 2−y 2
dy y dy
−y dx a 2−y 2dx a 2−y 2
a 2y
. =2
22
(a −y )
(5)令F (x , y , z ) =x +y −2x +2y −4z −5, 则
2
F x =2x −2y , F y =2y +2, F z =2z −4.
所以
F y F ∂z 1−x ∂z y +1
. =−x =, =−=
∂x F z z −2∂y F z z −2
(6)把z 看成x , y 的函数, 两边对x 求偏导数, 则有
∂z ∂z ∂z
=f 1(1++f 2(yz +xy ) . ∂x ∂x ∂x
所以
f +yzf 2∂z
=1
∂x 1−f 1−xyf 2
把y 看成z , x 的函数, 两边对z 求偏导数, 即得1=f 1(1+所以
∂y ∂y ) +f 2(xy +xz ) . ∂x ∂z
∂y 1−f 1−xyf 2
. =
∂x f 1+xzf 2
2
2
2
2
dz d 2z 4. 设z =x +y , 其中y =f (x ) 为由方程x −xy +y =1所确定的隐函数, 求及.
dx dx 2
解: 由方程x −xy +y =1, 得
2
2
dy 2x −y
. =
dx x −2y
dy 2(x 2−y 2) dz
, 因=2x +2y =
dx dx x −2y
2
故
d z d dz
=() =2
dx dx dx
2(2x −2y
dy dy
x −2y ) −2(x 2−y 2)(1−2)
(x −2y ) 2
=
4x −2y 6x
. +
x −2y (x −2y ) 3
2
2
2
3
3
3
5. 设u =x +y +z , 其中z =f (x , y ) 是由方程x +y +z =3xyz 所确定的隐函数, 求u x 及u xx .
解:因由x +y +z =3xyz 所确定的隐函数为z =f (x , y ) ,
3
3
3
x 2−yz ax 2−yz 2
所以z x =. 故u x =2x +2zz x =2(x + 22
xy −z xy −z u xx
(z x x 2+2zx −2yzz x )(xy −z 2) (zx 2−yz 2)(y −2zz x ) ∂
=u x =2[1+−] ∂x (xy −z 2) 2(xy −z 2) 2
2xz (y 3−3xyz +x 3+z 3) ==0. 23
(xy −z )
6. 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数: (1)x +y +z =e
−(x +y +z )
, 求z 对于x , y 的一阶与二阶偏导数;
∂z ∂z ∂2z
(2)F (x , x +y , x +y +z ) =0, 求, 和2.
∂x ∂y ∂x
解: (1)令F (x , y , z ) =x +y +z −e
−(x +y +z )
, 则F x =1+e
−(x +y +z )
=F y =F z
∂2z ∂2z ∂2z ∂z ∂z
故=2=0 ==−1, 2=
∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x
(2) 把z 看成x , y 的函数, 两边对x 求偏导数, 得F 1+F 2+F 3(1+故
∂z
) =0. ∂x
F +F 2+F 3 ∂z
=−1
∂x F 3
原方程两边关于y 求偏导数, 得F 2+F 3(1+
∂z
) =0 ∂y
故
F +F 3 ∂z
. =−2
∂y F 3
∂2z ∂∂z
=() =−2
∂x ∂x ∂x
F 11+F 12+F 21+F 22+F 31+F 32+(F 13+F 23+F 33) ⋅(1+
F 3
∂z
)
+(F 1+F 2+F 3)[F 33+F 32+F 33(1+
−3
3
∂z −2
)]F 3 ∂x
=−F 3[F 3(F 11+2F 12+F 22) −2(F 1+F 2) F 3(F 13+F 23) +(F 1+F 2) 2F 33]
7. 证明：设方程F (x , y ) =0所确定的隐函数y =f (x ) 具有二阶导数，则当F y ≠0时，有
F xx
3
F y y ′′=F xy
F x F xy F yy F y
F x F y . 0
F x −2
(F y ≠0) , 故y ′′=−[(F xx +F xy y ′) F y −F x (F yx +F yy y ′)]F y F y
2
−3
证:由题设条件可得y ′=−
2
=(2F x F y F xy −F y F xx −F x F yy ) F y (F y ≠0) .
F xx
322
所以F y y ′′=2F x F y F xy −F y F xx −F x F yy =F xy
F x
F xy F yy F y
F x
F y (F y ≠0) . 0
8. 设f 是一元函数, 试问应对f 提出什么条件, 方程2f (xy ) =f (x ) +f (y ) 在点(1, 1) 的邻域内就能确定出唯一的y 为x 的函数? 解: 设F (x , y ) =f (x ) +f (y ) −2f (xy ) , 则
F x =f ′(x ) −2y f ′(xy ) , F y =f ′(y ) −2x f ′(xy ) .
且F (1, 1) =f (1) +f (1) −2f (1) =0, F y (1, 1) =f ′(1) −2f ′(1) =−f ′(1) . 因此只需f ′(x ) 在x =1的某邻域内连续, 则F , F x , F y 在(1, 1) 的某邻域内连续,
所以当f ′(x ) 在x =1的某邻域内连续, 且f ′(1) ≠0时, 方程2f (xy ) =f (x ) +f (y ) 就能唯一确定y 为x 的函数.