第三章直线与方程知识点及典型例题

第三章 直线与方程知识点及典型例题

1. 直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们

规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

2. 直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。即k=tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

当0,90时，k0； 当90,180时，

k 例1.如右图，直线l1的倾斜角=30°，直线l1⊥l2，求直线l1和l2

例2：直线xy50的倾斜角是( )

A.120° B.150° C.60° 

②过两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) ：k

注意下面四点： y2y1(x1x2) x2x1

(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例3.设直线 l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，

当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m的值

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。

3. 直线方程

①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：yy1

yxx1（x1x2,y1y2）直线两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)

2y1x2x1

④截矩式：x

ay

b1其中直线l与x轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b),

即l与x轴、y轴的截距分别为a、b。

注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：x

ay

b1或y=kx.

⑤ 一般式：Ax+By+C=0（A，B不全为0）

注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：

平行于x轴的直线：yb（b为常数）； 平行于y轴的直线：xa（a为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是1

2，经过点A(8，—2)；.

(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是3

2,3；.

(4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)；例4：直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）

A．C=0，B>0 B．C=0，B>0，A>0 C．C=0，AB0

例5：直线l的方程为Ax—By—C=0，若A、B、C满足AB.>0且BC

A．第一 B．第二 C．第三 D．第四

4. 两直线平行与垂直 当l1:yk1xb1，l2:yk2xb2时，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

5. 已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)

若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组A1xB1yC10

AB的一组解。

2x2yC20

若方程组无解l1//l2 ； 若方程组有无数解l1与l2重合

6.

）

7.

两条直线垂直的判定条件：112212。经典例题；

例1.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2①相交②平行

例2. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，求a值

例3.求两条垂直直线l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y—2=0的交点坐标

例4. 已知直线l的方程为y

平行于l的直线方程。

8. 两点间距离公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，

22则|AB|=(x2x1)(y2y1) 1x1，(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且2

9. 点到直线距离公式：一点P(xo，yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离d|AxoByoC|

AB22

10. 两平行直线距离公式 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，

则l1与l2的距离为dC1C2

AB22

例：求平行线l1：3x+ 4y —12=0与l2： ax+8y+11=0之间的距离。

例：已知平行线l1：3x+2y —6=0与l2： 6x+4y—3=0，求与它们距离相等的平行线方程。

11. 直线系方程

已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零) 若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：

l：A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2) =0或者 (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0都可以 例：直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0所经过的定点为 。(m∈R) 例：求满足下列条件的直线方程

(1) 经过点P(2，3)及两条直线l1： x+3y—4=0和l2：5x+2y+1=0的交点Q；

(2) 经过两条直线l1： 2x+y—8=0和l2：x—2y+1=0的交点且与直线4x—3y—7=0平行；

(3) 经过两条直线l1： 2x—3y+10=0和l2：3x+4y—2=0的交点且与直线3x—2y+4=0垂直； 解：

12. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。

13. 对称点与对称直线的求法

例：点P(—1，—2)关于直线l： x+y—2=0的对称点的坐标为 。 x1x2yy2，1) 22

第三章 直线与方程知识点及典型例题

1. 直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们

规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

2. 直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。即k=tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

当0,90时，k0； 当90,180时，

k 例1.如右图，直线l1的倾斜角=30°，直线l1⊥l2，求直线l1和l2

例2：直线xy50的倾斜角是( )

A.120° B.150° C.60° 

②过两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) ：k

注意下面四点： y2y1(x1x2) x2x1

(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例3.设直线 l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，

当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m的值

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。

3. 直线方程

①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：yy1

yxx1（x1x2,y1y2）直线两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)

2y1x2x1

④截矩式：x

ay

b1其中直线l与x轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b),

即l与x轴、y轴的截距分别为a、b。

注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：x

ay

b1或y=kx.

⑤ 一般式：Ax+By+C=0（A，B不全为0）

注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：

平行于x轴的直线：yb（b为常数）； 平行于y轴的直线：xa（a为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是1

2，经过点A(8，—2)；.

(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是3

2,3；.

(4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)；例4：直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）

A．C=0，B>0 B．C=0，B>0，A>0 C．C=0，AB0

例5：直线l的方程为Ax—By—C=0，若A、B、C满足AB.>0且BC

A．第一 B．第二 C．第三 D．第四

4. 两直线平行与垂直 当l1:yk1xb1，l2:yk2xb2时，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

5. 已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)

若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组A1xB1yC10

AB的一组解。

2x2yC20

若方程组无解l1//l2 ； 若方程组有无数解l1与l2重合

6.

）

7.

两条直线垂直的判定条件：112212。经典例题；

例1.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2①相交②平行

例2. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，求a值

例3.求两条垂直直线l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y—2=0的交点坐标

例4. 已知直线l的方程为y

平行于l的直线方程。

8. 两点间距离公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，

22则|AB|=(x2x1)(y2y1) 1x1，(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且2

9. 点到直线距离公式：一点P(xo，yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离d|AxoByoC|

AB22

10. 两平行直线距离公式 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，

则l1与l2的距离为dC1C2

AB22

例：求平行线l1：3x+ 4y —12=0与l2： ax+8y+11=0之间的距离。

例：已知平行线l1：3x+2y —6=0与l2： 6x+4y—3=0，求与它们距离相等的平行线方程。

11. 直线系方程

已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零) 若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：

l：A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2) =0或者 (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0都可以 例：直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0所经过的定点为 。(m∈R) 例：求满足下列条件的直线方程

(1) 经过点P(2，3)及两条直线l1： x+3y—4=0和l2：5x+2y+1=0的交点Q；

(2) 经过两条直线l1： 2x+y—8=0和l2：x—2y+1=0的交点且与直线4x—3y—7=0平行；

(3) 经过两条直线l1： 2x—3y+10=0和l2：3x+4y—2=0的交点且与直线3x—2y+4=0垂直； 解：

12. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。

13. 对称点与对称直线的求法

例：点P(—1，—2)关于直线l： x+y—2=0的对称点的坐标为 。 x1x2yy2，1) 22