13．5因 式 分 解
一、【知识要点】
1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算. 2．提公因式法：
（1）多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. （2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 3．公式法： （1）常用公式
①平方差：a 2-b 2=(a +b )(a -b ) ②完全平方：a 2±2ab +b 2=(a ±b ) 2 （2）常见的两个二项式幂的变号规律：
①(a -b ) 2n =(b -a ) 2n ②(a -b ) 2n -1=-(b -a ) 2n -1．（n 为正整数） 二、【课前热身】 1．计算下列各式：
（1）(m +4)(m -4) = （2）(y -3) 2（3）3x (x -1) = （4）m (a +b +c ) = 2．根据上题填空：
（1）3x 2-3x （2）m 2-16（3）m a +m b +m c = （4）y 2-6y +9三、【典型例题】 例1 把下列各式分解因式
（1）4q (1-p ) +2(p -1) （2）3m (x -y ) -n (y -x )
（3）m (5ax +ay -1) -m (3ax -ay -1) （4）
例2 把下列各式分解因式
22
（1）25-16x （2）9a -
32
12
a (x -2a ) -
22
14
a (2a -x )
3
14
b 2
（3）9(m +n ) -(m -n ) （4）2x -8x 例3 把下列各式分解因式
（1）(m +n ) -6(m +n ) +9= （2）3ax +6axy +3ay =
2
2
2
223
- 1 -
（3）-x -4y +4xy （4）例4 计算 (1) (2) 1-
⎝⎛
1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
… 1-1-1-1- 2⎪ 2⎪ 2⎪2⎪ 2⎪
2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝99⎭⎝100⎭1⨯2⨯3+3⨯6⨯9+5⨯10⨯15+7⨯14⨯211⨯3⨯5+3⨯9⨯15+5⨯15⨯25+7⨯21⨯35
2
2
m n 9
22
+
2m n 3
3
4
+n =
四、【随堂测验】 对下列各式进行因式：
1．15x 2n +3-25x n +1+5x n -1（n >1且是整数）=
2．(a -2b )(2a -3b ) -2a (2b -a )(3b -2a ) =
3．(a -b ) 2-4m 2(b -a ) 2= 4．x 2n +1-xy 2n 39⨯37-13⨯346．(c -b +d -a
2
2
2
2
)
2
-4(ab -cd )=
2
7. 1998⨯5.2+1998⨯7.4-199.8⨯26= 五、【课后练习】
一、因式分解:
1. 1+x +x (1+x ) +x (1+x ) + +x (1+x )
22222
a b (a -b ) +x (a +b ) +2x (a -b ) +(a -b ) 4．3．
22004
2．a (16x -y +1) +b (y -1-16x )
22
2
12
ab (b -a ) +2ab (b -a )
22
三、分解因式 （1）
- 2 -
12
x +2xy +2y （2）a -2a b +b
2242n 2n
（3）(x 2-x ) 2+3．解下列方程:
（1）(x -4)-(4-x )(8-x )=12
（2）(14x +7)(25x -38)+7(1+2x )(35-25x )=0 4．计算
（1）4.45⨯13.7+445⨯0.889-44.5⨯0.26
（2）(-2) n +2(-2) n -1 （3）
（4）(8a 4b 3c )÷(2a 2b 3)⋅ -
⎝⎛
2
32⎫
a bc ⎪ 3⎭
2
12
(x -x ) +
2
116
（4）3(x -2y ) 2-3x +6y
1234567890
1234567891-1234567890⨯1234567892
2
（5）［x （3－4x ）＋2x （x －１）］÷（－2x ）
- 3 -
2
- 4 -
13．5因 式 分 解
一、【知识要点】
1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算. 2．提公因式法：
（1）多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. （2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 3．公式法： （1）常用公式
①平方差：a 2-b 2=(a +b )(a -b ) ②完全平方：a 2±2ab +b 2=(a ±b ) 2 （2）常见的两个二项式幂的变号规律：
①(a -b ) 2n =(b -a ) 2n ②(a -b ) 2n -1=-(b -a ) 2n -1．（n 为正整数） 二、【课前热身】 1．计算下列各式：
（1）(m +4)(m -4) = （2）(y -3) 2（3）3x (x -1) = （4）m (a +b +c ) = 2．根据上题填空：
（1）3x 2-3x （2）m 2-16（3）m a +m b +m c = （4）y 2-6y +9三、【典型例题】 例1 把下列各式分解因式
（1）4q (1-p ) +2(p -1) （2）3m (x -y ) -n (y -x )
（3）m (5ax +ay -1) -m (3ax -ay -1) （4）
例2 把下列各式分解因式
22
（1）25-16x （2）9a -
32
12
a (x -2a ) -
22
14
a (2a -x )
3
14
b 2
（3）9(m +n ) -(m -n ) （4）2x -8x 例3 把下列各式分解因式
（1）(m +n ) -6(m +n ) +9= （2）3ax +6axy +3ay =
2
2
2
223
- 1 -
（3）-x -4y +4xy （4）例4 计算 (1) (2) 1-
⎝⎛
1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
… 1-1-1-1- 2⎪ 2⎪ 2⎪2⎪ 2⎪
2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝99⎭⎝100⎭1⨯2⨯3+3⨯6⨯9+5⨯10⨯15+7⨯14⨯211⨯3⨯5+3⨯9⨯15+5⨯15⨯25+7⨯21⨯35
2
2
m n 9
22
+
2m n 3
3
4
+n =
四、【随堂测验】 对下列各式进行因式：
1．15x 2n +3-25x n +1+5x n -1（n >1且是整数）=
2．(a -2b )(2a -3b ) -2a (2b -a )(3b -2a ) =
3．(a -b ) 2-4m 2(b -a ) 2= 4．x 2n +1-xy 2n 39⨯37-13⨯346．(c -b +d -a
2
2
2
2
)
2
-4(ab -cd )=
2
7. 1998⨯5.2+1998⨯7.4-199.8⨯26= 五、【课后练习】
一、因式分解:
1. 1+x +x (1+x ) +x (1+x ) + +x (1+x )
22222
a b (a -b ) +x (a +b ) +2x (a -b ) +(a -b ) 4．3．
22004
2．a (16x -y +1) +b (y -1-16x )
22
2
12
ab (b -a ) +2ab (b -a )
22
三、分解因式 （1）
- 2 -
12
x +2xy +2y （2）a -2a b +b
2242n 2n
（3）(x 2-x ) 2+3．解下列方程:
（1）(x -4)-(4-x )(8-x )=12
（2）(14x +7)(25x -38)+7(1+2x )(35-25x )=0 4．计算
（1）4.45⨯13.7+445⨯0.889-44.5⨯0.26
（2）(-2) n +2(-2) n -1 （3）
（4）(8a 4b 3c )÷(2a 2b 3)⋅ -
⎝⎛
2
32⎫
a bc ⎪ 3⎭
2
12
(x -x ) +
2
116
（4）3(x -2y ) 2-3x +6y
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1234567891-1234567890⨯1234567892
2
（5）［x （3－4x ）＋2x （x －１）］÷（－2x ）
- 3 -
2
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