西姆松(Simson)定理
西姆松定理说明
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）
西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
相关的结果有：
（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明
证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.
证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分别四点共圆，有
∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.
故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL
垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有
∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.
故L、M、N三点共线。
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位
于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几
何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即
三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角
形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心
到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重
心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1：
作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB，DC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC
∴ DA‖CH，DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点，O是BD的中点
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG/GM=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
欧拉线的证法2：
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 欧拉线的证法3
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC
向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，
向量OG*3=向量OH
所以O、G、H三点共线
九点共圆定理
九点共圆定理
三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点
连线的中点这9点共圆.
九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九
点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆. 九点圆具有许多有趣的性质,例如:
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.
4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切.
5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VG VO=2HO 九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。
事先定义的变量与垂心、外心一样：
d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长^_^）。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。
西姆松(Simson)定理
西姆松定理说明
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）
西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
相关的结果有：
（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明
证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.
证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分别四点共圆，有
∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.
故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL
垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有
∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.
故L、M、N三点共线。
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位
于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几
何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即
三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角
形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心
到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重
心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1：
作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB，DC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC
∴ DA‖CH，DC‖AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点，O是BD的中点
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM‖AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG/GM=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
欧拉线的证法2：
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 欧拉线的证法3
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC
向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，
向量OG*3=向量OH
所以O、G、H三点共线
九点共圆定理
九点共圆定理
三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点
连线的中点这9点共圆.
九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九
点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆. 九点圆具有许多有趣的性质,例如:
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.
4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切.
5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VG VO=2HO 九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。
事先定义的变量与垂心、外心一样：
d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长^_^）。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。