一、选择题（共17小题）
1、（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A、
C、 B、5cm D、7cm
3、（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A、5 B、25 C、10+5 D、35
4、（2005•山西）如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（ ）
A、40cm B、20cm C、20cm D、10cm
5、（2005•贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（ ）
A、6cm B、12cm C、13cm D、16cm
6、（2004•淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A、（3+2）cm B、cm C、cm D、cm
7、（2004•梅州）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（ ）
A、a B、（1+）a C、3a D、a
8、（2004•济宁）如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂
蚁爬行的最短距离是（ ）
A、 B、3 C、5 D、
9、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）
A、12cm B、10cm C、14cm D、无法确定
10、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）
A、10cm B、12cm C、19cm D、20cm
11、如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）
A、8 B、2 C、2 D、2+2
12、如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=
最近的路程长为（ ）
，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，
A、7 B、 C、 D、5
13、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）
D、 C、5
14、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面
A、4.8 B、
爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A、5cm B、cm C、4cm D、3cm
15、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（ ）
A、3 B、 C、 D、1
16、如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A、3米 B、4米 C、5米 D、6米
17、如图，在棱长为20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从A点出发向B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（ ）
A、40cm
二、填空题（共13小题） B、20cm C、20cm D、20cm
19、（2007•怀化）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是 _________ ．（结果保留根号）
21、（2007•梅州）如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 _________ ．
22、（2008•昆明）如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 _________ cm．（π取3）
23、（2008•青海）如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 _________ cm（结果用带根号和π的式子表示）．
24、（2009•青岛）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 _________ cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 _________ cm．
25、（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 _________ cm．
26、（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 _________ ．
27、（2005•青海）如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A点到C1点的最短距离为 _________ ．
28、（2003•泸州）如图，一只昆虫要从边长为acm的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是 _________ cm．
29、如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 _________ cm．（π取3）
30、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ．
答案与评分标准
一、选择题（共17小题）
1、（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A、 B、5cm
C、 D、7cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．
解答：解：侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm，
∵PC′=BC′，
∴PC′=×6=4cm，
在Rt△ACP中，
AP=AC′+CP，
∴AP=
故选B．
=5． 222
点评：此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
2、（2009•乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A、 B、2
C、3 D、3
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答：解：由题意知，底面圆的直径AB=4，
故底面周长等于4π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=，
解得n=120°，
所以展开图中∠APD=120°÷2=60°，
因为半径PA=PA′，故三角形PAA′为等腰三角形，又∵D为AA′的中点，
所以PD⊥AA′，在直角三角形PAD中，PA=6，PD=3，
根据勾股定理求得AD=3，
所以蚂蚁爬行的最短距离为3．
故选C．
点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
3、（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A、5 B、25
C、10+5 D、35
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答：解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB=故选B．
===25．
点评：本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
4、（2005•山西）如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（ ）
A、40cm B、20cm
C、20cm D、10cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
解答：解：
根据两点之间线段最短，把正方体展开，可知由A处向B处爬行，所走的最短路程是20cm．
故选C．
点评：熟练掌握两点之间线段最短这一性质．
5、（2005•贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（ ）
A、6cm B、12cm
C、13cm D、16cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短．
解答：解：将圆柱体展开，连接D、C，
圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，
根据两点之间线段最短， CD==4≈13cm．
而走B﹣D﹣C的距离更短，
∵BD=4，BC=，
∴BD+BC≈11.64≈12．
故选B．
点评：本题是一道趣味题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
6、（2004•淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A、（3+2）cm B、cm
C、cm D、cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 解答：解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4， 则所走的最短线段是=；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6， 所以走的最短线段是=；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3， 所以走的最短线段是=；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
所以选C．
点评：此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．
7、（2004•梅州）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（
A、a B、（1+）a
C、3a D、a
考点：平面展开-最短路径问题。
）
分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解答：解：将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=故选D．
=a．
点评：本题是一道趣味题，将正方体展开，运用勾股定理解答即可．
8、（2004•济宁）如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A、 B、3
C、5 D、
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：根据题意，先将正方体展开，再根据两点之间线段最短求解．
解答：解：将正方体展开，连接M、D1，
根据两点之间线段最短，
MD=MC+CD=1+2=3，
MD1=
==．
故选A．
点评：本题是一道趣味题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
9、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（
A、12cm B、10cm
C、14cm D、无法确定
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知．
解答：解：可以把A和B展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
）
矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6．
矩形的宽是圆柱的高8．
根据勾股定理得：
爬行的最短路程是矩形的对角线的长，即10．
故选B．
点评：要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面内，再计算．
10、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）
A、10cm B、12cm
C、19cm D、20cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．
解答：解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．
根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．
11、如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）
A、8 B、2
C、2 D、2+2
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：把此正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，然后利用勾股定理求点M和N点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形MNB1中，一条直角边长等于6，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．
解答：解：把正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，
∵M、N为C1D1和BB1的中点，
∴NB1=2，MC1=2，
在Rt△NMB1中，MN==2．
故选C．
点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
12、如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=
最近的路程长为（ ） ，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，
A、7 C、 B、 D、5
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答：解：
将圆柱体展开，连接A、C， ∵=•π•=4，BC=3，
=5． 根据两点之间线段最短，AC=
故选D．
点评：圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．
13、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）
A、4.8 B、
C、5 D、
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解答：解：有两种展开方法：
①将长方体展开成如图所示，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB==；
=5＜； ②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB=
故选C．
点评：本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
14、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A、5cm B、cm
C、4cm D、3cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
解答：解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
222（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB=（5+4）+3=90；
222（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB=（3+4）+5=74；
222（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB=（3+5）+4=80； 所以最短路径长为cm．
故选B．
点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
15、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（ ）
A、3 B、
C、 D、1
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 解答：解：如图将正方体展开，根据两点之间，线段最短， 得：最短路程是故选B．
=．
点评：要求不在同一平面内的两点之间的距离时，首先要把它们展开到一个平面内，然后根据两点之间，线段最短，即可求出最短距离．
16、如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A、3米 B、4米
C、5米 D、6米
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
解答：解：由题意得，
路径一：AB=路径二：AB=
路径三：AB===5； =； ；
∵＞5，
∴5为最短路径．
故选C．
点评：此题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．
17、如图，在棱长为20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从A点出发向B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（ ）
A、40cm B、20cm
C、20cm D、20cm
考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理。
分析：要求不在同一平面内的两个点间的距离．首先展开A和B所在的两个平面，组成一个矩形：矩形的长是40，宽是20．根据两点之间线段最短，知矩形的对角线即蚂蚁所走的最短路程．运用勾股定理得蚂蚁所走最短路程． 解答：解：依题意知：矩形的长是40，宽是20．
根据两点之间线段最短，知矩形的对角线即蚂蚁所走的最短路程． 运用勾股定理得：=20cm．
故选D．
点评：确定不在同一个平面内的两个点之间的最短距离时，一定要把两个点所在的平面展开到一个平面内，再分析计算．
二、填空题（共13小题）
18、（2007•呼伦贝尔）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是
m．（结果不取近似值）
考点：平面展开-最短路径问题。
专题：转化思想。
分析：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 解答：解：圆锥的底面周长是6π，则6π=，
∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6∠BAP=90度．
∴在圆锥侧面展开图中
BP=
故小猫经过的最短距离是m．
m．
点评：正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．
19、（2007•怀化）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是
到C点，则小虫爬行的最短路程是
，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行 ．（结果保留根号）
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解答：解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长，这个小虫正好走了矩形的对角线长，
∵AB=π•
∴AC==2，CB=2． ==2，
故答案为：2．
点评：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
20、（2007•金昌）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4．若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC
的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为
．
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答：解：由题意知，底面圆的直径AC=8，故底面周长等于8π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，8π=
解得n=180，所以展开图中∠AOB=90°，
根据勾股定理求得AB=， 所以蚂蚁爬行的最短距离为．
，
点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
21、（2007•梅州）如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是
．
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：把圆柱延AA1剪开，侧面展开图是一个矩形，则金属线的最短长度，就是展开图对角线的长度，根据勾股定理即可求解．
解答：解：根据图示，该金属线的长度=
故答案为．
点评：灵活运用圆柱的侧面展开图是矩形和两点之间线段最短，是解决本题的关键．
22、（2008•昆明）如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 20 cm．（π取3）
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解答：解：将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，
则AC=4π=12，
∴AB==20cm．
点评：本题是一道趣味题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
23、（2008•青海）如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是
式子表示）．
cm（结果用带根号和π的
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，得到一个矩形，然后利用勾股定理求两点间的线段即可．
解答：解：如图所示，把圆柱得侧面展开，得到如图所示的图形，
其中AC=πR=7π，BC=20，
在Rt△ABC中，AB=故答案为：．
=．
点评：本题的关键是理解要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，底面周长和高以及所走的路线构成一个直角三角形，然后再求线段的长．
24、（2009•青岛）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 10 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所
用细线最短需要
或 cm．
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度．
解答：解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB==10cm；
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，
相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6， 根据勾股定理可知所用细线最短需要==2cm．
点评：本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
25、（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 13 cm．
考点：平面展开-最短路径问题。
专题：几何图形问题。
分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 解答：解：
∵PA=2×（4+2）=12，QA=5
∴PQ=13．
故答案为：13．
点评：本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形．
26、（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 4 ．
考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理。
分析：把正方体展开，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即可求解．
解答：解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．
点评：根据两点之间线段最短求解．
27、（2005•青海）如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A点到C1点的最短距离为
．
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：求正方体表面上从A点到C1点的最短距离应转化为平面的两点之间的距离的问题，把正方体的面展开，A点到C1点的最短距离就是把A1ABB1和BB1C1C展到一个面上时两点之间的距离．
解答：解：把A1ABB1和BB1C1C展到一个面上AC=4，CC1=2， ∴根据勾股定理得
∴正方体表面上从A点到C1点的最短距离为． ．
点评：求在物体表面，从一点到另一点的最短距离，一般要转化为平面图形两点之间的距离问题．
28、（2003•泸州）如图，一只昆虫要从边长为acm的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是
a cm．
考点：平面展开-最短路径问题。
专题：数形结合。
分析：把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得． 解答：解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
2222展开后由勾股定理得：AB=a+（a+a）=5a，故AB=acm， 故答案为a．
点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
29、如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 15 cm．（π取3）
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．
解答：解：圆柱展开图为长方形，
则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，
蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，
由勾股定理得AB====15cm．
故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）
点评：解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．
30、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．
解答：解：将点A和点B所在的两个面展开，
则矩形的长和宽分别为6和8，
故矩形对角线长AB==10，
即蚂蚁所行的最短路线长是10．
点评：本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．
一、选择题（共17小题）
1、（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A、
C、 B、5cm D、7cm
3、（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A、5 B、25 C、10+5 D、35
4、（2005•山西）如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（ ）
A、40cm B、20cm C、20cm D、10cm
5、（2005•贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（ ）
A、6cm B、12cm C、13cm D、16cm
6、（2004•淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A、（3+2）cm B、cm C、cm D、cm
7、（2004•梅州）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（ ）
A、a B、（1+）a C、3a D、a
8、（2004•济宁）如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂
蚁爬行的最短距离是（ ）
A、 B、3 C、5 D、
9、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）
A、12cm B、10cm C、14cm D、无法确定
10、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）
A、10cm B、12cm C、19cm D、20cm
11、如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）
A、8 B、2 C、2 D、2+2
12、如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=
最近的路程长为（ ）
，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，
A、7 B、 C、 D、5
13、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）
D、 C、5
14、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面
A、4.8 B、
爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A、5cm B、cm C、4cm D、3cm
15、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（ ）
A、3 B、 C、 D、1
16、如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A、3米 B、4米 C、5米 D、6米
17、如图，在棱长为20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从A点出发向B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（ ）
A、40cm
二、填空题（共13小题） B、20cm C、20cm D、20cm
19、（2007•怀化）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是 _________ ．（结果保留根号）
21、（2007•梅州）如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 _________ ．
22、（2008•昆明）如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 _________ cm．（π取3）
23、（2008•青海）如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 _________ cm（结果用带根号和π的式子表示）．
24、（2009•青岛）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 _________ cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 _________ cm．
25、（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 _________ cm．
26、（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 _________ ．
27、（2005•青海）如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A点到C1点的最短距离为 _________ ．
28、（2003•泸州）如图，一只昆虫要从边长为acm的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是 _________ cm．
29、如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 _________ cm．（π取3）
30、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ．
答案与评分标准
一、选择题（共17小题）
1、（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A、 B、5cm
C、 D、7cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．
解答：解：侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm，
∵PC′=BC′，
∴PC′=×6=4cm，
在Rt△ACP中，
AP=AC′+CP，
∴AP=
故选B．
=5． 222
点评：此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
2、（2009•乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A、 B、2
C、3 D、3
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答：解：由题意知，底面圆的直径AB=4，
故底面周长等于4π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=，
解得n=120°，
所以展开图中∠APD=120°÷2=60°，
因为半径PA=PA′，故三角形PAA′为等腰三角形，又∵D为AA′的中点，
所以PD⊥AA′，在直角三角形PAD中，PA=6，PD=3，
根据勾股定理求得AD=3，
所以蚂蚁爬行的最短距离为3．
故选C．
点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
3、（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A、5 B、25
C、10+5 D、35
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答：解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB=故选B．
===25．
点评：本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
4、（2005•山西）如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（ ）
A、40cm B、20cm
C、20cm D、10cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
解答：解：
根据两点之间线段最短，把正方体展开，可知由A处向B处爬行，所走的最短路程是20cm．
故选C．
点评：熟练掌握两点之间线段最短这一性质．
5、（2005•贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（ ）
A、6cm B、12cm
C、13cm D、16cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短．
解答：解：将圆柱体展开，连接D、C，
圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，
根据两点之间线段最短， CD==4≈13cm．
而走B﹣D﹣C的距离更短，
∵BD=4，BC=，
∴BD+BC≈11.64≈12．
故选B．
点评：本题是一道趣味题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
6、（2004•淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A、（3+2）cm B、cm
C、cm D、cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 解答：解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4， 则所走的最短线段是=；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6， 所以走的最短线段是=；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3， 所以走的最短线段是=；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
所以选C．
点评：此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．
7、（2004•梅州）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（
A、a B、（1+）a
C、3a D、a
考点：平面展开-最短路径问题。
）
分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解答：解：将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=故选D．
=a．
点评：本题是一道趣味题，将正方体展开，运用勾股定理解答即可．
8、（2004•济宁）如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A、 B、3
C、5 D、
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：根据题意，先将正方体展开，再根据两点之间线段最短求解．
解答：解：将正方体展开，连接M、D1，
根据两点之间线段最短，
MD=MC+CD=1+2=3，
MD1=
==．
故选A．
点评：本题是一道趣味题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
9、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（
A、12cm B、10cm
C、14cm D、无法确定
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知．
解答：解：可以把A和B展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
）
矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6．
矩形的宽是圆柱的高8．
根据勾股定理得：
爬行的最短路程是矩形的对角线的长，即10．
故选B．
点评：要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面内，再计算．
10、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）
A、10cm B、12cm
C、19cm D、20cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．
解答：解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．
根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．
11、如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）
A、8 B、2
C、2 D、2+2
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：把此正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，然后利用勾股定理求点M和N点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形MNB1中，一条直角边长等于6，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．
解答：解：把正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，
∵M、N为C1D1和BB1的中点，
∴NB1=2，MC1=2，
在Rt△NMB1中，MN==2．
故选C．
点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
12、如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=
最近的路程长为（ ） ，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，
A、7 C、 B、 D、5
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答：解：
将圆柱体展开，连接A、C， ∵=•π•=4，BC=3，
=5． 根据两点之间线段最短，AC=
故选D．
点评：圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．
13、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）
A、4.8 B、
C、5 D、
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解答：解：有两种展开方法：
①将长方体展开成如图所示，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB==；
=5＜； ②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB=
故选C．
点评：本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
14、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A、5cm B、cm
C、4cm D、3cm
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
解答：解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
222（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB=（5+4）+3=90；
222（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB=（3+4）+5=74；
222（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB=（3+5）+4=80； 所以最短路径长为cm．
故选B．
点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
15、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（ ）
A、3 B、
C、 D、1
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 解答：解：如图将正方体展开，根据两点之间，线段最短， 得：最短路程是故选B．
=．
点评：要求不在同一平面内的两点之间的距离时，首先要把它们展开到一个平面内，然后根据两点之间，线段最短，即可求出最短距离．
16、如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A、3米 B、4米
C、5米 D、6米
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
解答：解：由题意得，
路径一：AB=路径二：AB=
路径三：AB===5； =； ；
∵＞5，
∴5为最短路径．
故选C．
点评：此题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．
17、如图，在棱长为20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从A点出发向B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（ ）
A、40cm B、20cm
C、20cm D、20cm
考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理。
分析：要求不在同一平面内的两个点间的距离．首先展开A和B所在的两个平面，组成一个矩形：矩形的长是40，宽是20．根据两点之间线段最短，知矩形的对角线即蚂蚁所走的最短路程．运用勾股定理得蚂蚁所走最短路程． 解答：解：依题意知：矩形的长是40，宽是20．
根据两点之间线段最短，知矩形的对角线即蚂蚁所走的最短路程． 运用勾股定理得：=20cm．
故选D．
点评：确定不在同一个平面内的两个点之间的最短距离时，一定要把两个点所在的平面展开到一个平面内，再分析计算．
二、填空题（共13小题）
18、（2007•呼伦贝尔）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是
m．（结果不取近似值）
考点：平面展开-最短路径问题。
专题：转化思想。
分析：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 解答：解：圆锥的底面周长是6π，则6π=，
∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6∠BAP=90度．
∴在圆锥侧面展开图中
BP=
故小猫经过的最短距离是m．
m．
点评：正确判断小猫经过的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．
19、（2007•怀化）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是
到C点，则小虫爬行的最短路程是
，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行 ．（结果保留根号）
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解答：解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长，这个小虫正好走了矩形的对角线长，
∵AB=π•
∴AC==2，CB=2． ==2，
故答案为：2．
点评：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
20、（2007•金昌）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4．若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC
的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为
．
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答：解：由题意知，底面圆的直径AC=8，故底面周长等于8π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，8π=
解得n=180，所以展开图中∠AOB=90°，
根据勾股定理求得AB=， 所以蚂蚁爬行的最短距离为．
，
点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
21、（2007•梅州）如图，有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至A1（A，A1在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是
．
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：把圆柱延AA1剪开，侧面展开图是一个矩形，则金属线的最短长度，就是展开图对角线的长度，根据勾股定理即可求解．
解答：解：根据图示，该金属线的长度=
故答案为．
点评：灵活运用圆柱的侧面展开图是矩形和两点之间线段最短，是解决本题的关键．
22、（2008•昆明）如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 20 cm．（π取3）
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
解答：解：将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，
则AC=4π=12，
∴AB==20cm．
点评：本题是一道趣味题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
23、（2008•青海）如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是
式子表示）．
cm（结果用带根号和π的
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，得到一个矩形，然后利用勾股定理求两点间的线段即可．
解答：解：如图所示，把圆柱得侧面展开，得到如图所示的图形，
其中AC=πR=7π，BC=20，
在Rt△ABC中，AB=故答案为：．
=．
点评：本题的关键是理解要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，底面周长和高以及所走的路线构成一个直角三角形，然后再求线段的长．
24、（2009•青岛）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 10 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所
用细线最短需要
或 cm．
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度．
解答：解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB==10cm；
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，
相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6， 根据勾股定理可知所用细线最短需要==2cm．
点评：本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
25、（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 13 cm．
考点：平面展开-最短路径问题。
专题：几何图形问题。
分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 解答：解：
∵PA=2×（4+2）=12，QA=5
∴PQ=13．
故答案为：13．
点评：本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形．
26、（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 4 ．
考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理。
分析：把正方体展开，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即可求解．
解答：解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．
点评：根据两点之间线段最短求解．
27、（2005•青海）如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A点到C1点的最短距离为
．
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：求正方体表面上从A点到C1点的最短距离应转化为平面的两点之间的距离的问题，把正方体的面展开，A点到C1点的最短距离就是把A1ABB1和BB1C1C展到一个面上时两点之间的距离．
解答：解：把A1ABB1和BB1C1C展到一个面上AC=4，CC1=2， ∴根据勾股定理得
∴正方体表面上从A点到C1点的最短距离为． ．
点评：求在物体表面，从一点到另一点的最短距离，一般要转化为平面图形两点之间的距离问题．
28、（2003•泸州）如图，一只昆虫要从边长为acm的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是
a cm．
考点：平面展开-最短路径问题。
专题：数形结合。
分析：把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得． 解答：解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
2222展开后由勾股定理得：AB=a+（a+a）=5a，故AB=acm， 故答案为a．
点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
29、如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 15 cm．（π取3）
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．
解答：解：圆柱展开图为长方形，
则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，
蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，
由勾股定理得AB====15cm．
故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）
点评：解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．
30、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．
考点：平面展开-最短路径问题。
分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．
解答：解：将点A和点B所在的两个面展开，
则矩形的长和宽分别为6和8，
故矩形对角线长AB==10，
即蚂蚁所行的最短路线长是10．
点评：本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．