1.1.1角的概念的推广
一、复习： 角的概念：（1）在初中我们把有公共顶点的顶点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。
(2)角可以看成是一条射线绕着它的所成的 。
二、自主学习：自学P 3 P 5，回答： 1。正角、负角、零角：
一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向： 规定：按
照 方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有 时为零角。
注意：（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的 和旋转的 ，旋
转生成的角，又常叫做 角。
（2）引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α—β可以化为。
2. 终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个
集合可记为S ＝ 。
终边相同的角有 个，相等的角终边一定 ，但终边相同的角不一定 。
3. 象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与角的始边与重
合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做 ，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属于任何象限。
三、典型例题：
1。自学P 4、P 5例1、例2、例4完成练习A 2。自学P 5例3完成下面填空：
终边落在x 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴上角的集合表示为
，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的
方向和 方向，习惯上
终边落在y 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在y 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在坐标轴上角的集合表示为
. 第一象限角的集合表示为
第二象限角的集合表示为
第三象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为 3。补充例题：
例5。已知α是第一象限的角，判断
练习：P 7练习B2、3、5 4。小结： 5。作业：
α
、2α分别是第几象限角？ 2
1. 在“①160°②480°③－960°④－1600°”这四个角中属于第二象限角的是（ ）
A. ①
B. ①②
C. ①②③
D. ①②③④
2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 终边相同的角都相等 C. 第一象限角都是锐角
B. 第一象限的角比第二象限的角小 D. 锐角都是第一象限角
3. 射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝（ ）
A.150°
B. －150°
C.390°
D. －390°
4. 如果α的终边上有一个点P （0，－3），那么α是（ ） A. 第三象限角 B. 第四象限角 C. 第三或四象限角 D. 不属于任何象限角 5. 与405°角终边相同的角（ ）
A. k ·360°－45° k ∈z C. k ·360°+45° k ∈z
B. k ·360°－405° k ∈z D. k ·180°+45° k ∈z
6. （2005年全国卷Ⅲ）已知α是第三象限角，则
A. 第一或第二象限
B. 第二或第三象限
α
所在象限是（ ） 2
C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限
7. 把－1050°表示成k ·360°+θ（k ∈z ）的形式，使最小的θ值是
8. （2005年上海抽查）已知角α终边与120°终边关于y
则α的集合S ＝
.
° 9. 已知β终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界）， 那么β∈
10。 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们是哪个象限角：
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
一、复习：（1）1度角是指把圆周 等份，其中每一份所对的圆心角的度数。这种用 来
度量角的制度叫角度制。 （2）设圆心角为n 的圆弧长为l ，圆的半径为r ，则l ；二、自主学习：自学课本P 7-P 9回答：
1。1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角。这种用来度量角的制度叫弧度制。
弧度记作
2。圆心角或弧长公式：在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad ，
则α= ；l = 。
3。角度与弧度的换算： 360°rad
1 rad＝＝αrad ＝
；1800 rad ； 1°＝ rad ≈； n °＝0
①－45° ②760° ③－480°
l
。 r
4. 完成下面的填空：
5。角的集合与实数集R 之间是对应关系。 6. 设扇形的圆心角是αrad ，弧长为l ，半径为r ， 则扇形面积公式S ＝
＝
三、典型例题：自学课本P 9-P 11例1-例5完成练习A 、B
四、小结： 五、作业：
1。120等于（ ）rad A. 2.
πππ2π B. C. D.
3342
5π
等于 （ ） 6
A 。30 B 。60 C 。120 D 。150 3. α＝－2rad ，则α终边在（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4. 一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ） A. 1
B.
1π5 C. 或π 266
D.
π5π
或
33
5. 扇形圆心角为A.1：3
π
，半径为R ，则扇形内切圆面积与扇形面积之比（ ） 3
B.2：3
C.4：3
D.4：9
6。240 —
5ππ0
度；225rad; 度。 38
7. 一个扇形弧长为5cm ，面积为5cm 2, 则这个扇形圆心角的弧度数8. 在1小时15分时，时针和分针所成最小正角是弧度。
1。1任意角的概念及弧度制习题课 一、复习：
1。正角、负角、零角的概念 2。与α终边相同的角如何表示？ 3。象限角是如何定义的？ 4。用弧度表示
终边落在 x 轴上的角的集合表示为 终边落在y 轴上的角的集合表示为 终边落在坐标轴上的角的集合表示为 5。用弧度表示
终边落在第一象限的角的集合表示为 终边落在第二象限的角的集合表示为终边落在第三象限的角的集合表示为 终边落在第四象限的角的集合表示为 6。360；1rad ≈；πn °＝1rad ＝；αrad ＝0
7。设扇形的圆心角是αrad ，弧长为l ，半径为r ，
则l = ；扇形面积公式S ＝
＝
二、典型例题：
例1。 已知α＝1680°
（1）把α改写成k ·360°+β（k ∈z ，0°≤β＜360°）的形式。
（2）把α改写成β+2kπ(k∈z ，0≤β＜2π) 的形式。
（3）求θ，使θ与α终边相同且－360°＜θ＜360°并判断θ属第几象限。
例2 .若集合A ＝⎨α2k π+
⎧⎩
π
4
〈α〈2k π+
⎫3π
, k ∈Z ⎬， 2⎭
B ＝⎨α2k π-
⎧
⎩
4π⎫〈α〈2k π, k ∈Z ⎬ 3⎭
求A ∩B ；A ∪B
例3如图扇形AOB 的面积为4cm 2, 周长为10cm ，求AB 弧的长及扇形中心角α
三、练习：P 12习题1-1A 、B 补充：
1. 已知下列各角①787°②-957°③-289°④1711°，其中在第一象限的角是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ②④
A
2. 已知集合M ＝｛第一象限角｝，N ＝｛锐角｝，P ＝｛小于90°的角｝，则下列关系式
中正确的是（ ）
A. M＝N ＝P
⊂ B. M P ≠
C. M∩P=N
D. N∪P ⊆P
3. 下列各组两个角中，终边不相同的一组角是（ ）
A. －43°与677°
B.900°与－1260°
C.150°与630° D. －120°与
960°
4. 设集合M ＝⎨α=
⎧⎩⎫⎧⎫k ππ
, k ∈Z ⎬⋃⎨αα=k π+, k ∈Z ⎬， 24⎭⎩⎭
N ＝⎨β
⎧⎩
β=
⎫k π
, k ∈Z ⎬，则集合M 与N 关系是（ ） 4⎭
⊂B.M N ≠
C.M ＝N
D.M ∩N ＝φ
⊃ A.M N ≠
5. 下列诸命题中，假命题是（ ）
A. “度”与“弧度”是度量角两种不同的度量单位 B. 一度的角是周角的
11
，一弧度的角是周角的 3602π
C. 根据弧度定义，180°一定等于π弧度
D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 6. 三角形三个内角之比为2：5：8则各角的弧度数分别为7。终边在直线y=x 上的角表示为
8。将下列各角化成2k π+α（k ∈z ，0≤α＜2π）的形式，并确定其所在象限
四、小结： 五、作业：
1. 若α、β终边相同，则α－β的终边在（ ）
A.x 轴正半轴
B.y 轴正半轴
C.x 轴负半轴
D.y 轴负半轴
①
19π
6
②-
31π 6
2. 已知α是第四象限角，则
A. 第一象限角
α
是（ ） 2
C. 第一或第二象限角
D. 第二或第四象
B. 第二象限角
限角 3. .若－
ππ
＜α＜β＜，则α－β的范围是（ ） 22
π
A. －π＜α－β＜0 B. －＜α－β＜0
2
ππC. －＜α－β＜π D. －π＜α－β＜
22
4. 终边在直线y=x上的角的集合为（ ）
A. ⎨αα=k π+
⎧⎩
π
⎫, k ∈Z ⎬ 4⎭
B. ⎨α=k π+
⎧⎩⎫3π
, k ∈Z ⎬ 4⎭
C. ⎨α=2k π+
⎧⎩
π
⎫
, k ∈Z ⎬ 4⎭
D. ⎨αα=2k π+
⎧⎩⎫3π
, k ∈Z ⎬ 4⎭
5. 集合M ＝⎨αα=
⎧⎩⎫k ππ
-, k ∈Z ⎬，N ＝{α-π〈α〈π}，则M ∩N 等于（ ） 25⎭
7π4π
, ｝ 105
A. ｛－
π3π
510,
｝
B. ｛-C. ｛-
π3π4π
510,
, 5
, -
7π｝ 10
D.
｛
3π7π, -｝ 1010
6. 一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ）
A.1
B.
1
2
C.
π5或π 66
D. π5π或
33
;
7. 扇形的圆心角为72°，半径为5cm ，圆心角rad; 它的弧长为面积为
。
8. 与－496°终边相同的角是最大负角是
。
9. （2005吉林调研）如图动点P 、Q 从点A （4，0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转
ππ
弧度。点Q 按顺时针方向每秒钟转弧度，则P 、Q 第一次相遇时P 、Q 36
。
，
点各自走过的弧度 为
1.1.1角的概念的推广
一、复习： 角的概念：（1）在初中我们把有公共顶点的顶点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。
(2)角可以看成是一条射线绕着它的所成的 。
二、自主学习：自学P 3 P 5，回答： 1。正角、负角、零角：
一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向： 规定：按
照 方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有 时为零角。
注意：（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的 和旋转的 ，旋
转生成的角，又常叫做 角。
（2）引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α—β可以化为。
2. 终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个
集合可记为S ＝ 。
终边相同的角有 个，相等的角终边一定 ，但终边相同的角不一定 。
3. 象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与角的始边与重
合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做 ，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属于任何象限。
三、典型例题：
1。自学P 4、P 5例1、例2、例4完成练习A 2。自学P 5例3完成下面填空：
终边落在x 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴上角的集合表示为
，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的
方向和 方向，习惯上
终边落在y 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在y 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在坐标轴上角的集合表示为
. 第一象限角的集合表示为
第二象限角的集合表示为
第三象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为 3。补充例题：
例5。已知α是第一象限的角，判断
练习：P 7练习B2、3、5 4。小结： 5。作业：
α
、2α分别是第几象限角？ 2
1. 在“①160°②480°③－960°④－1600°”这四个角中属于第二象限角的是（ ）
A. ①
B. ①②
C. ①②③
D. ①②③④
2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 终边相同的角都相等 C. 第一象限角都是锐角
B. 第一象限的角比第二象限的角小 D. 锐角都是第一象限角
3. 射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝（ ）
A.150°
B. －150°
C.390°
D. －390°
4. 如果α的终边上有一个点P （0，－3），那么α是（ ） A. 第三象限角 B. 第四象限角 C. 第三或四象限角 D. 不属于任何象限角 5. 与405°角终边相同的角（ ）
A. k ·360°－45° k ∈z C. k ·360°+45° k ∈z
B. k ·360°－405° k ∈z D. k ·180°+45° k ∈z
6. （2005年全国卷Ⅲ）已知α是第三象限角，则
A. 第一或第二象限
B. 第二或第三象限
α
所在象限是（ ） 2
C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限
7. 把－1050°表示成k ·360°+θ（k ∈z ）的形式，使最小的θ值是
8. （2005年上海抽查）已知角α终边与120°终边关于y
则α的集合S ＝
.
° 9. 已知β终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界）， 那么β∈
10。 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们是哪个象限角：
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
一、复习：（1）1度角是指把圆周 等份，其中每一份所对的圆心角的度数。这种用 来
度量角的制度叫角度制。 （2）设圆心角为n 的圆弧长为l ，圆的半径为r ，则l ；二、自主学习：自学课本P 7-P 9回答：
1。1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角。这种用来度量角的制度叫弧度制。
弧度记作
2。圆心角或弧长公式：在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad ，
则α= ；l = 。
3。角度与弧度的换算： 360°rad
1 rad＝＝αrad ＝
；1800 rad ； 1°＝ rad ≈； n °＝0
①－45° ②760° ③－480°
l
。 r
4. 完成下面的填空：
5。角的集合与实数集R 之间是对应关系。 6. 设扇形的圆心角是αrad ，弧长为l ，半径为r ， 则扇形面积公式S ＝
＝
三、典型例题：自学课本P 9-P 11例1-例5完成练习A 、B
四、小结： 五、作业：
1。120等于（ ）rad A. 2.
πππ2π B. C. D.
3342
5π
等于 （ ） 6
A 。30 B 。60 C 。120 D 。150 3. α＝－2rad ，则α终边在（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4. 一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ） A. 1
B.
1π5 C. 或π 266
D.
π5π
或
33
5. 扇形圆心角为A.1：3
π
，半径为R ，则扇形内切圆面积与扇形面积之比（ ） 3
B.2：3
C.4：3
D.4：9
6。240 —
5ππ0
度；225rad; 度。 38
7. 一个扇形弧长为5cm ，面积为5cm 2, 则这个扇形圆心角的弧度数8. 在1小时15分时，时针和分针所成最小正角是弧度。
1。1任意角的概念及弧度制习题课 一、复习：
1。正角、负角、零角的概念 2。与α终边相同的角如何表示？ 3。象限角是如何定义的？ 4。用弧度表示
终边落在 x 轴上的角的集合表示为 终边落在y 轴上的角的集合表示为 终边落在坐标轴上的角的集合表示为 5。用弧度表示
终边落在第一象限的角的集合表示为 终边落在第二象限的角的集合表示为终边落在第三象限的角的集合表示为 终边落在第四象限的角的集合表示为 6。360；1rad ≈；πn °＝1rad ＝；αrad ＝0
7。设扇形的圆心角是αrad ，弧长为l ，半径为r ，
则l = ；扇形面积公式S ＝
＝
二、典型例题：
例1。 已知α＝1680°
（1）把α改写成k ·360°+β（k ∈z ，0°≤β＜360°）的形式。
（2）把α改写成β+2kπ(k∈z ，0≤β＜2π) 的形式。
（3）求θ，使θ与α终边相同且－360°＜θ＜360°并判断θ属第几象限。
例2 .若集合A ＝⎨α2k π+
⎧⎩
π
4
〈α〈2k π+
⎫3π
, k ∈Z ⎬， 2⎭
B ＝⎨α2k π-
⎧
⎩
4π⎫〈α〈2k π, k ∈Z ⎬ 3⎭
求A ∩B ；A ∪B
例3如图扇形AOB 的面积为4cm 2, 周长为10cm ，求AB 弧的长及扇形中心角α
三、练习：P 12习题1-1A 、B 补充：
1. 已知下列各角①787°②-957°③-289°④1711°，其中在第一象限的角是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ②④
A
2. 已知集合M ＝｛第一象限角｝，N ＝｛锐角｝，P ＝｛小于90°的角｝，则下列关系式
中正确的是（ ）
A. M＝N ＝P
⊂ B. M P ≠
C. M∩P=N
D. N∪P ⊆P
3. 下列各组两个角中，终边不相同的一组角是（ ）
A. －43°与677°
B.900°与－1260°
C.150°与630° D. －120°与
960°
4. 设集合M ＝⎨α=
⎧⎩⎫⎧⎫k ππ
, k ∈Z ⎬⋃⎨αα=k π+, k ∈Z ⎬， 24⎭⎩⎭
N ＝⎨β
⎧⎩
β=
⎫k π
, k ∈Z ⎬，则集合M 与N 关系是（ ） 4⎭
⊂B.M N ≠
C.M ＝N
D.M ∩N ＝φ
⊃ A.M N ≠
5. 下列诸命题中，假命题是（ ）
A. “度”与“弧度”是度量角两种不同的度量单位 B. 一度的角是周角的
11
，一弧度的角是周角的 3602π
C. 根据弧度定义，180°一定等于π弧度
D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 6. 三角形三个内角之比为2：5：8则各角的弧度数分别为7。终边在直线y=x 上的角表示为
8。将下列各角化成2k π+α（k ∈z ，0≤α＜2π）的形式，并确定其所在象限
四、小结： 五、作业：
1. 若α、β终边相同，则α－β的终边在（ ）
A.x 轴正半轴
B.y 轴正半轴
C.x 轴负半轴
D.y 轴负半轴
①
19π
6
②-
31π 6
2. 已知α是第四象限角，则
A. 第一象限角
α
是（ ） 2
C. 第一或第二象限角
D. 第二或第四象
B. 第二象限角
限角 3. .若－
ππ
＜α＜β＜，则α－β的范围是（ ） 22
π
A. －π＜α－β＜0 B. －＜α－β＜0
2
ππC. －＜α－β＜π D. －π＜α－β＜
22
4. 终边在直线y=x上的角的集合为（ ）
A. ⎨αα=k π+
⎧⎩
π
⎫, k ∈Z ⎬ 4⎭
B. ⎨α=k π+
⎧⎩⎫3π
, k ∈Z ⎬ 4⎭
C. ⎨α=2k π+
⎧⎩
π
⎫
, k ∈Z ⎬ 4⎭
D. ⎨αα=2k π+
⎧⎩⎫3π
, k ∈Z ⎬ 4⎭
5. 集合M ＝⎨αα=
⎧⎩⎫k ππ
-, k ∈Z ⎬，N ＝{α-π〈α〈π}，则M ∩N 等于（ ） 25⎭
7π4π
, ｝ 105
A. ｛－
π3π
510,
｝
B. ｛-C. ｛-
π3π4π
510,
, 5
, -
7π｝ 10
D.
｛
3π7π, -｝ 1010
6. 一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ）
A.1
B.
1
2
C.
π5或π 66
D. π5π或
33
;
7. 扇形的圆心角为72°，半径为5cm ，圆心角rad; 它的弧长为面积为
。
8. 与－496°终边相同的角是最大负角是
。
9. （2005吉林调研）如图动点P 、Q 从点A （4，0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转
ππ
弧度。点Q 按顺时针方向每秒钟转弧度，则P 、Q 第一次相遇时P 、Q 36
。
，
点各自走过的弧度 为