统计概率高考试题(答案)

统计、概率练习试题

1、【2012高考山东】 (4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，

88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则

A，B两样本的下列数字特征对应相同的是

(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 【答案】D

2、【2012高考四川】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）

A、101 B、

808 C、1212 D、2012 【答案】B

3、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。 4、【2012高考陕西】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）

A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53 【答案】A.

5、【2012高考湖北】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表

则样本数据落在区间[10,40]的频率为

A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 2【答案】B

6、【2012高考广东】由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4，其平均数和中位数都是2，且

10、【2012高考安徽】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 （A）

【答案】B

【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为a1,b1,b2,c1,c2,c3，

15

（B）

25

（C）

35

（D）

45

从袋中任取两球共有

a1,b1;a1,b2;a1,c1;a1,c2;a1,c3;b1,b2;b1,c1;b1,c2;b1,c3b2,c1;b2,c2;b2,c3;c1,c2;c1,c3;c2,c3

615

25

15种；

满足两球颜色为一白一黑有6种，概率等于。

11、【2102高考北京】设不等式组

0x2,0y2

，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个

点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A）



4

（B）

2

2

（C）



6

（D）

44

【答案】D 【解析】题目中

0x20y2

表示的区域如图正方形所示，而动点D

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此

22P

1

22

2

2



44

，故选D。

12、【2012高考辽宁】在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为

:(A)

16

(B)

13

(C)

23

(D)

45

【答案】C

【解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为x(12x)cm2， 由x(12x)20，解得2x10。又0x12，所以该矩形面积小于32cm2的概率为故选C

13、【2012高考浙江】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，

则该两点间的距离为

25

23

，

2

的概率是___________。

【答案】

2

【解析】

，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为

C4C

1

2

5



410



25

.

14、【2012高考江苏】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，

3为公比的等比数列，

若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】

35

。

【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，

∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是

610=35

。

15、从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于

（A）



（B）



（C）



（D）



16、甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A．

17、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 11．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5)

18

1l [31.5，35.5)

12 [35.5，39.5)

7

[39.5

，

43.5)

2

[15.5，19.5)

4

[19.5，23.5)

9

[23.5

，

27.5)

12

B．

35

C．

23

D．

34

[27.5，31.5)

3

根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占 （A）

211

（B）

3

1

（C）

12

（D）

23

18、从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率

是

A．

110

B．

310

C．

35

D．

910

19、【2012高考山东】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡

片两张，标号分别为1，2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜

色不同且标号之和小于4的概率.

【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1

蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为P

310

.

(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P

815

.

20、【2012高考新课标】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式.

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 【答案】

21、【2012高考四川】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为

110

和p。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

4950

，求p的值；

（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。 命题立意：本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力. 【答案】 【解析】

22、【2012高考重庆】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率

31

为

12

，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球

的概率。

独立事件同时发生的概率计算公式知p(D)p(A1B1A2B2)p(A1B1A2B2A3) p(A1)p(B1)P(A2)P(B2)p(A1)p(B1)P(A2)P(B2)p(A3)()()()()

3

2

3

2

2

2

1

2

2

2

1

2

13



427

23、【2012高考天津】某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果；

（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。 【答案】

24、【2012高考陕西】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。 【答案】

25、【2012高考江西】如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。

（1） 求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； （2） 求这3点与原点O共面的概率。

1、【2012高考浙江】 设l是直线，a，β是两个不同的平面

A. 若l∥a，l∥β，则a∥β B. 若l∥a，l⊥β，则a⊥β C. 若a⊥β，l⊥a，则l⊥β D. 若a⊥β, l∥a，则l⊥β 【答案】B

【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵l∥a，l⊥β，则a⊥β．如选项A：l∥a，l∥β时，a⊥β或a∥β；选项C：若a⊥β，l⊥a，l∥β或l；选项D：若若a⊥β, l⊥a，l∥β或l⊥β．

2、【2012高考四川】下列命题正确的是（ ）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C

3、【2012高考新课标】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视

图，则此几何体的体积为（

）

(A)6 (B) 9 (C) (D)

【答案】B

【解析】选B由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为V

1312

6339,选B.

4、[2011·陕西卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则它的体积是(

)

图1－2

A．8－

2ππ

B．8－33

2π

C．8－2π D.

3

课标理数5.G2[2011·陕西卷] A 【解析】 分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图形，应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1，高为2的圆锥，则对应体积为：V12＝2×2×2－×12×2＝8－π.

33

5、【2012高考新课标】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α2，则此球的体积为

（A）π （B）4π （C）4π （D）6π 【答案】B

【解析】球半径r(2)

2

3，所以球的体积为

43

3

(3)43，选B.

6、【2012高考全国】已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中 ，AB

2，CC1E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为

（A）2 （B

） （C

（D）1 【答案】D

【解析】连结AC,BD交于点O，连结OE，因为O,E是中点，所以OE//AC1,且OE

12

AC1，所以AC1//BDE，即直线AC1 与平面BED的距离等于点C到平面BED的

距离，过C做CFOE于F,则CF即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以AC22,OC

2,CE

2,OE2,所以利用等积法得CF1，选

D.

【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.

7、在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC,M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正弦值是______________

8、如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧 棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是

9、如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，

那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ C ）

F

A

A．60° B． 90° C．45° D．30

10、[2011·四川卷] 如图1－5，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连结AP交棱CC1于点D.

(1)求证：PB1∥平面BDA1；

(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．

图1－5

大纲文数19.G12[2011·四川卷] 【解答】 解法一： (1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD. ∵C1D∥AA1，A1C1＝C1P， ∴AD＝PD，

又AO＝B1O，∴OD∥PB1

.

图1－6

又OD⊂平面BDA1，PB1⊄平面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1.

(2)过A作AE⊥DA1于点E，连结BE. ∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A， ∴BA⊥平面AA1C1C. 由三垂线定理可知BE⊥DA1.

∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．

在Rt△A1C1D中，A1D12＋12＝ 22

11又S△AA1D×1×1＝××AE，

2222∴AE＝5

在Rt△BAE中，BEAE2

∴cos∠BEA＝

BE3

2

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.

3解法二：

1＋

2

22＝3 55

图1－7

如图1－7，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－xyz，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．

11(1)在△PAA1中有C1DAA1，即D0，1，.

221→→→

∴A1B＝(1,0,1)，A1D＝0，1，，B1P＝(－1,2,0)．

2设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)， →A1B＝a＋c＝0，n1·

则→1

nA1·1D＝b＋＝0.2

1. 令c＝－1，则n1＝1，1

2

1→

∵n1·B1P＝1×(－1)×2＋(－1)×0＝0，

2∴PB1∥平面BDA1，

1(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1＝1，

2，－1. 又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量， n1·n212

∴cos〈n1，n2〉＝＝.

|n1|·|n2|33

1×2

2

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.

3

11、[2011·天津卷] 如图1－7，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明PB∥平面ACM； (2)证明AD⊥平面PAC；

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

图1－7

课标文数17.G12[2011·天津卷]

图1－8

【解答】 (1)证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.

(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.

1

(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝＝

21.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在11Rt△DAO中，AD＝1，AODO＝从而ANDO＝在Rt△ANM中，tan∠MAN

2224＝

MN1445

，即直线AM与平面ABCD. AN554

统计、概率练习试题

1、【2012高考山东】 (4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，

88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则

A，B两样本的下列数字特征对应相同的是

(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 【答案】D

2、【2012高考四川】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）

A、101 B、

808 C、1212 D、2012 【答案】B

3、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。 4、【2012高考陕西】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）

A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53 【答案】A.

5、【2012高考湖北】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表

则样本数据落在区间[10,40]的频率为

A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 2【答案】B

6、【2012高考广东】由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4，其平均数和中位数都是2，且

10、【2012高考安徽】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 （A）

【答案】B

【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为a1,b1,b2,c1,c2,c3，

15

（B）

25

（C）

35

（D）

45

从袋中任取两球共有

a1,b1;a1,b2;a1,c1;a1,c2;a1,c3;b1,b2;b1,c1;b1,c2;b1,c3b2,c1;b2,c2;b2,c3;c1,c2;c1,c3;c2,c3

615

25

15种；

满足两球颜色为一白一黑有6种，概率等于。

11、【2102高考北京】设不等式组

0x2,0y2

，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个

点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A）



4

（B）

2

2

（C）



6

（D）

44

【答案】D 【解析】题目中

0x20y2

表示的区域如图正方形所示，而动点D

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此

22P

1

22

2

2



44

，故选D。

12、【2012高考辽宁】在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为

:(A)

16

(B)

13

(C)

23

(D)

45

【答案】C

【解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为x(12x)cm2， 由x(12x)20，解得2x10。又0x12，所以该矩形面积小于32cm2的概率为故选C

13、【2012高考浙江】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，

则该两点间的距离为

25

23

，

2

的概率是___________。

【答案】

2

【解析】

，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为

C4C

1

2

5



410



25

.

14、【2012高考江苏】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，

3为公比的等比数列，

若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】

35

。

【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，

∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是

610=35

。

15、从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于

（A）



（B）



（C）



（D）



16、甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A．

17、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 11．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5)

18

1l [31.5，35.5)

12 [35.5，39.5)

7

[39.5

，

43.5)

2

[15.5，19.5)

4

[19.5，23.5)

9

[23.5

，

27.5)

12

B．

35

C．

23

D．

34

[27.5，31.5)

3

根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占 （A）

211

（B）

3

1

（C）

12

（D）

23

18、从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率

是

A．

110

B．

310

C．

35

D．

910

19、【2012高考山东】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡

片两张，标号分别为1，2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜

色不同且标号之和小于4的概率.

【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1

蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为P

310

.

(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P

815

.

20、【2012高考新课标】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式.

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 【答案】

21、【2012高考四川】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为

110

和p。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

4950

，求p的值；

（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。 命题立意：本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力. 【答案】 【解析】

22、【2012高考重庆】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率

31

为

12

，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球

的概率。

独立事件同时发生的概率计算公式知p(D)p(A1B1A2B2)p(A1B1A2B2A3) p(A1)p(B1)P(A2)P(B2)p(A1)p(B1)P(A2)P(B2)p(A3)()()()()

3

2

3

2

2

2

1

2

2

2

1

2

13



427

23、【2012高考天津】某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果；

（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。 【答案】

24、【2012高考陕西】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。 【答案】

25、【2012高考江西】如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。

（1） 求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； （2） 求这3点与原点O共面的概率。

1、【2012高考浙江】 设l是直线，a，β是两个不同的平面

A. 若l∥a，l∥β，则a∥β B. 若l∥a，l⊥β，则a⊥β C. 若a⊥β，l⊥a，则l⊥β D. 若a⊥β, l∥a，则l⊥β 【答案】B

【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵l∥a，l⊥β，则a⊥β．如选项A：l∥a，l∥β时，a⊥β或a∥β；选项C：若a⊥β，l⊥a，l∥β或l；选项D：若若a⊥β, l⊥a，l∥β或l⊥β．

2、【2012高考四川】下列命题正确的是（ ）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C

3、【2012高考新课标】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视

图，则此几何体的体积为（

）

(A)6 (B) 9 (C) (D)

【答案】B

【解析】选B由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为V

1312

6339,选B.

4、[2011·陕西卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则它的体积是(

)

图1－2

A．8－

2ππ

B．8－33

2π

C．8－2π D.

3

课标理数5.G2[2011·陕西卷] A 【解析】 分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图形，应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1，高为2的圆锥，则对应体积为：V12＝2×2×2－×12×2＝8－π.

33

5、【2012高考新课标】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α2，则此球的体积为

（A）π （B）4π （C）4π （D）6π 【答案】B

【解析】球半径r(2)

2

3，所以球的体积为

43

3

(3)43，选B.

6、【2012高考全国】已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中 ，AB

2，CC1E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为

（A）2 （B

） （C

（D）1 【答案】D

【解析】连结AC,BD交于点O，连结OE，因为O,E是中点，所以OE//AC1,且OE

12

AC1，所以AC1//BDE，即直线AC1 与平面BED的距离等于点C到平面BED的

距离，过C做CFOE于F,则CF即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以AC22,OC

2,CE

2,OE2,所以利用等积法得CF1，选

D.

【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.

7、在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC,M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正弦值是______________

8、如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧 棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是

9、如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，

那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ C ）

F

A

A．60° B． 90° C．45° D．30

10、[2011·四川卷] 如图1－5，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连结AP交棱CC1于点D.

(1)求证：PB1∥平面BDA1；

(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．

图1－5

大纲文数19.G12[2011·四川卷] 【解答】 解法一： (1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD. ∵C1D∥AA1，A1C1＝C1P， ∴AD＝PD，

又AO＝B1O，∴OD∥PB1

.

图1－6

又OD⊂平面BDA1，PB1⊄平面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1.

(2)过A作AE⊥DA1于点E，连结BE. ∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A， ∴BA⊥平面AA1C1C. 由三垂线定理可知BE⊥DA1.

∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．

在Rt△A1C1D中，A1D12＋12＝ 22

11又S△AA1D×1×1＝××AE，

2222∴AE＝5

在Rt△BAE中，BEAE2

∴cos∠BEA＝

BE3

2

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.

3解法二：

1＋

2

22＝3 55

图1－7

如图1－7，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－xyz，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．

11(1)在△PAA1中有C1DAA1，即D0，1，.

221→→→

∴A1B＝(1,0,1)，A1D＝0，1，，B1P＝(－1,2,0)．

2设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)， →A1B＝a＋c＝0，n1·

则→1

nA1·1D＝b＋＝0.2

1. 令c＝－1，则n1＝1，1

2

1→

∵n1·B1P＝1×(－1)×2＋(－1)×0＝0，

2∴PB1∥平面BDA1，

1(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1＝1，

2，－1. 又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量， n1·n212

∴cos〈n1，n2〉＝＝.

|n1|·|n2|33

1×2

2

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.

3

11、[2011·天津卷] 如图1－7，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明PB∥平面ACM； (2)证明AD⊥平面PAC；

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

图1－7

课标文数17.G12[2011·天津卷]

图1－8

【解答】 (1)证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.

(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.

1

(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝＝

21.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在11Rt△DAO中，AD＝1，AODO＝从而ANDO＝在Rt△ANM中，tan∠MAN

2224＝

MN1445

，即直线AM与平面ABCD. AN554