立体几何
班级 姓名 学号 成绩
一、选择题:
1．下列命题中，正确的是
A ．经过不同的三点有且只有一个平面
B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D ．垂直于同一个平面的两个平面平行
2．给出四个命题：①线段AB 在平面α内，则直线AB 不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3．一个棱柱是正四棱柱的条件是
(A). 底面是正方形，有两个侧面是矩形 (B). 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 (C). 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 (D). 每个侧面都是全等矩形的四棱柱
4．正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为（
（A ）1∶2
（B ）2∶1
（C ）1∶2
（D ）2∶1
5、若平面α//β，直线a ⊂ α，直线b ⊂β，那么直线a ，b 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行 （C ）异面 （D ）不相交 6、已知直线 a //平面α, a //平面β, α β=b , 则 a 与b
（A ）相交 （B ）异面 （C ）平行 （D ）共面或异面 7、对于直线m 、 n 和平面 α、β、γ，有如下四个命题：
(1) 若m //α, m ⊥n , 则n ⊥α, (2) 若m ⊥α, m ⊥n , 则n //α(3) 若α⊥β, γ⊥β, 则α//γ, (4) 若m ⊥α, m ⊂β, 则α⊥β
其中正确的命题的个数是
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
8、点p 在平面ABC 上的射影为O ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，那么O 是△ABC 的 （A ） 内心 （B ） 外心 （C ） 垂心 （D ） 重心 9、如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在 平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ， 连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （A ）4个
（B ）6个
（C ）7个
（D ）8个
P
10、若圆柱和圆锥的底直径、高都与球的直径相等，则圆柱、球、圆锥的
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体积比是
A . 3:2:
3
B . 3:2:1
C . 24:32:8
D . 6:4:
3.
二、填空题：
11．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，
G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，
以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．
12．设|m |＝1，|n |＝2，2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，
b
＝7m ＋2n ， 则＝
13. 在空间直角坐标系O -xyz 中, 点P(2,3,4)在平面xOy 内的射影的坐标为 ; 点P(2,3,4)关于平面xOy 的对称点的坐标为 ;
14. 已知空间四边形OABC, 点M,N 分别是边OA,BC 的中点, 且OA=a ,OB=b ,OC=c , 用a , b , c 表示MN= .
三、解答题： 15．如图: 平行四边形 ABCD 和平行四边形 CDEF 有一条公共边CD , M 为FC 的中点 , 证明: AF // 平面MBD.
16、一球内切于圆锥，已知球和圆锥的底面半径分别为r ,R ，
17、如图，正三棱柱ABC--A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB = a .
（1） 求证：A 1D ⊥B 1C 1
（2） 判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论
C 1
1B 1
A
M
F
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C A
B
18、如图，在多面体A B C D 中E ，AE ⊥面ABC AC =AB =BC =BD =2，AE =1，F 为CD 中点． （1）求证：EF// 平面ABC ；（2）求证：EF ⊥平面BCD
19、如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 , 棱长为a ,点E ，F 分别是AA 1与CC 1 的中点， 求四棱锥A 1－EBFD 1 的体积。
，BD ∥AE ，且
D
E
F
A
B
C
C
1
20、如图，四棱锥P -ABCD 的底面为菱形 且∠ABC ＝120°，PA ⊥ 底面ABCD ，
AB ＝2，PA
，
（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求三棱锥P--BDC 的体积。
（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点E ，使PC ⊥平面EBD 成立．如果
存在，求出EC 的长；如果不存在，请说明理由。
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F
C
参考答案
一、CACC D CACDB 二、11． -
112
AB -
13AC +
34AD
12．0°
2
(b +c -a )
13. (2,3,0);(2,3,-4) 14. 1
三、15. 略证:连结AC 交BD 于O, 连结OM, 在三角形ACM 中
中位线OM ∥AF, 则AF ∥平面BMD.
16. 如图所示，根据平面几何知识有
r R =
h -r h +R
2
2
即 h =
4
2R r R -r
2
2
2
∴V 圆锥＝
2πR r 3(R -r )
2
2
17.(1) 略证:由A 1A ⊥BC,AD ⊥BC, 得BC ⊥平面A 1AD, 从而BC ⊥A 1D, 又BC ∥B 1C 1, 所以A 1D ⊥BC.
(2)平行. 略证:设A 1C 与C 1A 交于点O, 连接OD, 通过证OD 是△A 1CB 的中位线, 得出OD ∥A 1B, 从而A 1B ⊥平面A 1CD.
18. 取BC 的中点M ，连接AM 、FM ，根据已知结合平面几何知识易证.
19. V A -EBFD
1
1
=V A 1-EBD 1+V A 1-BD 1F =2V B -A 1D 1E =
a
3
6
20.(1) 略证:通平面PBD ⊥平面PAD (2) V =
13
S ∆BDC ⋅PA =
BD ⊥AC,BD ⊥PA, 得出BD ⊥平面PAC, 又BD 在平面PBD 内, 所以
13
⨯(
12
⨯2⨯2⨯
32
) ⨯3=1
(3)假设存在，设AC BD =O ，则EO ⊥PC ，ΔCOE ∽ΔCPA ,CE =
255
.
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立体几何
班级 姓名 学号 成绩
一、选择题:
1．下列命题中，正确的是
A ．经过不同的三点有且只有一个平面
B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D ．垂直于同一个平面的两个平面平行
2．给出四个命题：①线段AB 在平面α内，则直线AB 不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3．一个棱柱是正四棱柱的条件是
(A). 底面是正方形，有两个侧面是矩形 (B). 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 (C). 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 (D). 每个侧面都是全等矩形的四棱柱
4．正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为（
（A ）1∶2
（B ）2∶1
（C ）1∶2
（D ）2∶1
5、若平面α//β，直线a ⊂ α，直线b ⊂β，那么直线a ，b 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行 （C ）异面 （D ）不相交 6、已知直线 a //平面α, a //平面β, α β=b , 则 a 与b
（A ）相交 （B ）异面 （C ）平行 （D ）共面或异面 7、对于直线m 、 n 和平面 α、β、γ，有如下四个命题：
(1) 若m //α, m ⊥n , 则n ⊥α, (2) 若m ⊥α, m ⊥n , 则n //α(3) 若α⊥β, γ⊥β, 则α//γ, (4) 若m ⊥α, m ⊂β, 则α⊥β
其中正确的命题的个数是
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
8、点p 在平面ABC 上的射影为O ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，那么O 是△ABC 的 （A ） 内心 （B ） 外心 （C ） 垂心 （D ） 重心 9、如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在 平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ， 连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （A ）4个
（B ）6个
（C ）7个
（D ）8个
P
10、若圆柱和圆锥的底直径、高都与球的直径相等，则圆柱、球、圆锥的
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体积比是
A . 3:2:
3
B . 3:2:1
C . 24:32:8
D . 6:4:
3.
二、填空题：
11．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，
G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，
以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．
12．设|m |＝1，|n |＝2，2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，
b
＝7m ＋2n ， 则＝
13. 在空间直角坐标系O -xyz 中, 点P(2,3,4)在平面xOy 内的射影的坐标为 ; 点P(2,3,4)关于平面xOy 的对称点的坐标为 ;
14. 已知空间四边形OABC, 点M,N 分别是边OA,BC 的中点, 且OA=a ,OB=b ,OC=c , 用a , b , c 表示MN= .
三、解答题： 15．如图: 平行四边形 ABCD 和平行四边形 CDEF 有一条公共边CD , M 为FC 的中点 , 证明: AF // 平面MBD.
16、一球内切于圆锥，已知球和圆锥的底面半径分别为r ,R ，
17、如图，正三棱柱ABC--A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB = a .
（1） 求证：A 1D ⊥B 1C 1
（2） 判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论
C 1
1B 1
A
M
F
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C A
B
18、如图，在多面体A B C D 中E ，AE ⊥面ABC AC =AB =BC =BD =2，AE =1，F 为CD 中点． （1）求证：EF// 平面ABC ；（2）求证：EF ⊥平面BCD
19、如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 , 棱长为a ,点E ，F 分别是AA 1与CC 1 的中点， 求四棱锥A 1－EBFD 1 的体积。
，BD ∥AE ，且
D
E
F
A
B
C
C
1
20、如图，四棱锥P -ABCD 的底面为菱形 且∠ABC ＝120°，PA ⊥ 底面ABCD ，
AB ＝2，PA
，
（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求三棱锥P--BDC 的体积。
（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点E ，使PC ⊥平面EBD 成立．如果
存在，求出EC 的长；如果不存在，请说明理由。
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F
C
参考答案
一、CACC D CACDB 二、11． -
112
AB -
13AC +
34AD
12．0°
2
(b +c -a )
13. (2,3,0);(2,3,-4) 14. 1
三、15. 略证:连结AC 交BD 于O, 连结OM, 在三角形ACM 中
中位线OM ∥AF, 则AF ∥平面BMD.
16. 如图所示，根据平面几何知识有
r R =
h -r h +R
2
2
即 h =
4
2R r R -r
2
2
2
∴V 圆锥＝
2πR r 3(R -r )
2
2
17.(1) 略证:由A 1A ⊥BC,AD ⊥BC, 得BC ⊥平面A 1AD, 从而BC ⊥A 1D, 又BC ∥B 1C 1, 所以A 1D ⊥BC.
(2)平行. 略证:设A 1C 与C 1A 交于点O, 连接OD, 通过证OD 是△A 1CB 的中位线, 得出OD ∥A 1B, 从而A 1B ⊥平面A 1CD.
18. 取BC 的中点M ，连接AM 、FM ，根据已知结合平面几何知识易证.
19. V A -EBFD
1
1
=V A 1-EBD 1+V A 1-BD 1F =2V B -A 1D 1E =
a
3
6
20.(1) 略证:通平面PBD ⊥平面PAD (2) V =
13
S ∆BDC ⋅PA =
BD ⊥AC,BD ⊥PA, 得出BD ⊥平面PAC, 又BD 在平面PBD 内, 所以
13
⨯(
12
⨯2⨯2⨯
32
) ⨯3=1
(3)假设存在，设AC BD =O ，则EO ⊥PC ，ΔCOE ∽ΔCPA ,CE =
255
.
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