第17卷 第2期
机械科学与技术
V o l. 17 N o. 2机械系统动力学建模的联结方法
(Ⅱ) 联结方法与拉格朗日法
胡新春 严隽琪 张筑生 张 庆 王克胜1
(上海交通大学 上海 200030 1挪威科技大学 T ro ndheim N -7034)
胡新春
摘 要 引入了位移联结、速度联结和加速度联结, 从而使联结理论适用于非线性机械
系统的动力学建模。为机械系统动力学建模提供了一种新的方法, 也为联结理论在
其它领域的完善和发展提供了参考和借鉴。将联结方法与拉格朗日法进行了对比, 证明了联结方法的正确性, 也显示了联结方法的优越性。关键词 机械系统 动力学 建模方法 联结中图号 T H113
引 言
现代科学和技术的发展, 提出了许多复杂系统的动力学问题, 各种车辆、机构、机器人、航天器等的研制, 都需要在制造样机以前对系统进行动态性能分析, 否则将可能失败, 造成巨大浪费。为了对系统进行动态性能分析, 首先要建立系统的动力学方程。但是, 对于这类复杂系统, 系统单元之间的联系状况和约束方式变得极其复杂, 用常规的建模方式(如牛顿-欧拉法、拉格朗日法等) 比较复杂, 甚至无效。而且, 复杂系统中往往是学科交叉的系统, 如机电一体化系统, 这是科学发展的必然趋势。对于这种多学科交叉的系统, 如果用常规的方式, 一般需要同时采用几个领域中的建模方法, 这显然增加了建模的困难, 所以必须寻求一种合适、有效、通用的建模方法, 联结理论在这种形势下应运而生。联结理论将单元方程与单元间的联结分开来考虑, 从而使建模过程变得相对简单及易于计算机化, 因之该理论是比较有发展潜力的, 已能有效地解决线性机、电、液等系统的动力学建模问题。本文在联结理论的基础上, 引入了位移联结、速度联结和加速度联结, 从而将联结理论拓宽应用于非线性机械系统的动力学建模, 这是对联结理论的丰富和发展, 为联结理论在其它领域的完善和发展提供了参考和借鉴, 同时为机械系统动力学建模提供了一种新的方法。1 原始系统
按照联结理论, 在进行系统建模时, 首先应将系统划分为单元, 建立单元方程, 这样一组互不关联的单元即原始系统, 所以一组单元方程也就确定了原始系统的方程。由于在机械系统中对应于三个广义元件的理想元件分别为:惯性元件M (容性元件) 、阻尼元件R (阻性元件) 和弹性元件K
西安交通大学机械制造系统国家重点实验室开放基金资助项目
(感性元件) , 所以单元方程可以通过这三个理想元件来建立。尽管单元的划分不是绝对的, 可根据具体情况和需要灵活确定, 但在本文研究中, 约定组成同一单元的三个理想元件的状态变量之间应有一定的对应关系, 例如, 组成某一单元的弹性元件的位移量为x i , 则相应的阻尼元件速度应为 i , 惯性元件的加速度应为 x x i , 即一个单元应只有一个位移量(即一个自由度) 。假定原始系统中第i 个单元的位移变量为x i , 所受外力为f i , 则可以建立单元方程如下:
i +K i x i =f i M i x i +R i x (1) 如原始系统共有n 个单元, 则其动力学方程可用矩阵形式表示为
+Rx +K x =f Mx (2)
其中, M =diag [M 1, M 2, …, M n ];R =diag [R 1, R 2, …, R n ];K =diag [K 1, K 2
, …, K n ];x =[x 1, x 2, …, x n ]T ; f =[f 1, f 2, …, f n ]T
由此可见, 原始系统的特性可用一个三维数组Y 来表示, 如图1所示。值得注意的是, 数组Y 中未标注的元素均为零。
对于实际系统中不能用这三个理想元件来描述的物理部分则视作单元间的联结, 由下面将要引入的联结矩阵来表述。
图1 数组Y 的数据结构
2 联结系统
联结理论的基本思想, 就是把系统划分单元, 通过单元
·178·
机械科学与技术
(9) 可得
W w =(V T f ) T W q
第17卷
间的联结将原始系统的方程变换为实际系统的运动方程。由上节可知, 原始系统的方程是容易建立起来的, 关键问题是如何建立单元间的联结及将它与原始系统方程结合起来, 以推导联结系统的方程。联结理论借助了图论工具来表述单元间的联结, 从理论上来说, 这种方式适用于所有线性系统, 而且用线图方式可以提供系统各单元之间联结关系最直观的理解。然而, 当组成系统的单元很多时, 用图的方式描述系统的结构过于复杂。况且用线图方式很难描述系统单元间的非线性联结关系, 所以必须对这种方法进行发展。为此, 本文引入三个联结矩阵:位移联结D 、速度联结V 和加速度联结A , 通过它们即可表述单元间的非线性联结关系, 将原始系统的运动方程变换为联结系统的运动方程。下面将定义这三个联结矩阵, 并详细讨论联结系统运动方程生成的联结变换过程。2. 1 联结矩阵
设原始系统的位移变量(即绝对坐标) 用列阵x 表示为
x =[x 1, x 2, …, x n ]T (3) 其中n 表示原始系统中单元的数目(我们已经约定一个单元只有一个自由度) 。联结系统的位移变量(即广义坐标) 用列阵表示为
q =
[q 1, q 2, …, q m ]
T
(11)
则与联结系统的虚位移变量列阵W q 对应的广义力列阵g 为
g =V T f
2. 3 联结系统的方程
将式(2) , (5) , (6) , (7) , (12) 综合起来, 即可得到联结系统的运动方程:
+V T RVq +V T K D =g (13) V T MVq +V T MV Aq 在线性情况下,
+V T K Vq =g V T MVq +V T RVq (14)
由此可见, 在线性情况下, 本文结果与文献[1]中的Ro th 变换图是一致的。
3 联结方法与拉格朗日法
本节将说明机械系统动力学建模中联结方法与拉格朗日法的等价关系, 同时指出联结方法建模的优越性。3. 1 拉格朗日方程对于一个机械系统, 拉格朗日方程的形式可表示如下:
[3]
(12)
(4)
其中m 表示系统的自由度数。
考虑到实际系统中单元之间的联结关系, 可以建立原始系统位移变量与联结系统的位移变量之间的函数关系, 并用列阵表示为
x =D (q ) (5)
D 表述了原始系统与联结系统之间位移变量的联结变换关系, 我们将它定义为位移联结。对式(5) 求导得
x =( x / q ) q =V (q ) q (6)
其中矩阵V 确定了原始系统与联结系统之间位移变量一阶导数(即速度) 的变换关系, 所以我们将它定义为速度联结。对式(6) 求导, 即可得原始系统与联结系统之间加速度变量的联结变换关系如下:
=Aq +Vq x =V q +Vq
被称之为加速度联结。式中, A =V
在线性的情况下, 式(6) 、(7) 分别变为
x = = x x =其中V 为常数矩阵。
2. 2 力的变换
设作用于原始系统的外力用列阵f 表示, 则对应于f 的虚功可表示为
W w =f T W x
(9)
其中W x 为原始系统的虚位移变量列阵, 它与联结系统的
虚位移变量列阵W q 之间的关系为W x =( x / q ) W q =V W q (10) 其V 所结矩阵, (代
入
(8) (7)
-++=g j j =1, 2, …, m d t q j q j q j q j
(15) 式中, q j 是系统的广义坐标(即联结系统的位移变量); T 是系统的动能函数; G 是瑞利耗散函数; P 是势能函数; g j 是与广义坐标q j 对应的广义力。
3. 2 能量函数T 、G 、P
从能量的观点来看, 系统中能量的储存与耗散仅与原始系统中的单元有关, 而与单元间联结无关, 所以我们可以通过原始系统来计算系统的能量函数T 、G 、P 。它们用矩阵形式表述如下:
/2T = x T Mx
/2G = x T Rx P =x T K x /2
其中, M , R , K 及x 的含义同前所述。
3. 3 联结系统方程
根据式(16) 可得到如下一些表达式:
T / q j =( x / q j ) Mx T d T x d x =Mx +d t q j q j d t q j
/ j ) T Mx T / q j =( x q
j =( j ) T Rx G / q x / q
T
(16)
(17)
T
Mx
(18) (19) (20)
P / q j =( x / q j ) K x (21)
在上述表达式的计算中, 我们利用了矩阵M 、R 及K 的对称性。
将式( x q j 其中,
第2期胡新春等:机械系统动力学建模的联结方法
·179·
将式(22) 对所有广义变量q j (j =1, 2, …, m ) 形成的方程用矩阵形式表达为
x T x T x T
Mx +Rx +K x =g (23) q q q 将式(5) 、(6) 、(7) 及(23) 综合起来, 即得 +V T RVq +V T K D =g V T MVq +V T MAq
其中, 我们利用了等式 x / q =V 。
(24)
M etho d for Dy na mic Ana ly sis of M echanical System s
Using V elo city T ransfor matio ns. T ransactio ns o f the A SM E, 1986, 108:176～1823 Rosenberg R M. Analytical Dynamics of Discre te Sys-tems. N or k Yo rk :Pleum Pr ess, 19774 W ang K S, Hu X C and Yan J Q. A System Approach to M o deling of Complex M echa nica l sy stems . Interna-tio nal Confer ence on M anufacturing Science , Shanghai, China , 1996
可以发现, 式(13) 与式(24) 是相同的, 说明了机械系统动力学建模中联结方法与拉格朗日法的等价关系, 同时也证明了联结方法的可靠性。而且, 与拉格朗日法相比, 联结方法将单元特性与单元间的联结分开来考虑, 避免了拉格朗日法建模过程中出现的大量微分运算, 使建模过程变得相对简单和易于计算机化。所以, 从某种意义上来说, 联结方法可看作是对拉格朗日法的进一步发展。
4 结束语
本文基于联结理论的基本思想, 引入了位移联结、速度联结和加速度联结, 从而使联结理论适用于非线性机械系统的动力学建模, 这是对联结理论的丰富和发展, 为联结理论在其它领域的完善和发展提供了参考和借鉴, 同时也为机械系统动力学建模提供了一种新的方法。本文也将联结方法与拉格朗日法进行了对比, 说明了二者之间的等价关系, 同时也显示了联结方法的优越性。本文侧重于从原理上发展联结方法, 有关其应用, 将另文发表。
参 考 文 献
1 Bj Υrke Υ.
Th e Theo ry of Co nnectio ns —T ow ar d a
M anufa cturing Sy stems Th eo r y . Scientific Sy stems
The Connection Approach to Dynamics Modeling of Mechanical Systems (Ⅱ) The Connection Approach and the Lagrange Method
Hu Xinchun 1 Yan Junqi Z hang Zhusheng
Zhang Qing Wang Kesheng
(1Shanghai J ia oto ng Univ ersity , Sha ng hai 200030) The displacement co nnection , the v elo city con-Abstract
nec tion and the a ccelera tio n connectio n ar e introduced to expand th e th eor y o f connec tion (T C ) into dy namics
modeling of no nlinear mechanical systems. T his paper presents a new fo rmulatio n fo r dy namics mo deling of mechanical sy stems, a nd this achiev ement can be used as a r eference to ex pand the T C into o ther fields . This pape r a lso compar es the co nnectio n approach with the Lag rang e m etho d to demonstra te the v alidity and ad-v a ntag e of th e co nnectio n appr oach.
Keywords M echanical system Dy na mics M odeling
method Co nnection
Theo ries for M achine Eng ineering. Sto ckho lm, Swe-:A Geo-den , 1990; Ma nufacturing Sy stems T heor y
metric Appr oach o f Co nnectio n. Tapir Publishers, Tr ondheim , 1995
2 Kim S S a nd V anderplo eg M J . A Gene ral and Efficient
第17卷 第2期
机械科学与技术
V o l. 17 N o. 2机械系统动力学建模的联结方法
(Ⅱ) 联结方法与拉格朗日法
胡新春 严隽琪 张筑生 张 庆 王克胜1
(上海交通大学 上海 200030 1挪威科技大学 T ro ndheim N -7034)
胡新春
摘 要 引入了位移联结、速度联结和加速度联结, 从而使联结理论适用于非线性机械
系统的动力学建模。为机械系统动力学建模提供了一种新的方法, 也为联结理论在
其它领域的完善和发展提供了参考和借鉴。将联结方法与拉格朗日法进行了对比, 证明了联结方法的正确性, 也显示了联结方法的优越性。关键词 机械系统 动力学 建模方法 联结中图号 T H113
引 言
现代科学和技术的发展, 提出了许多复杂系统的动力学问题, 各种车辆、机构、机器人、航天器等的研制, 都需要在制造样机以前对系统进行动态性能分析, 否则将可能失败, 造成巨大浪费。为了对系统进行动态性能分析, 首先要建立系统的动力学方程。但是, 对于这类复杂系统, 系统单元之间的联系状况和约束方式变得极其复杂, 用常规的建模方式(如牛顿-欧拉法、拉格朗日法等) 比较复杂, 甚至无效。而且, 复杂系统中往往是学科交叉的系统, 如机电一体化系统, 这是科学发展的必然趋势。对于这种多学科交叉的系统, 如果用常规的方式, 一般需要同时采用几个领域中的建模方法, 这显然增加了建模的困难, 所以必须寻求一种合适、有效、通用的建模方法, 联结理论在这种形势下应运而生。联结理论将单元方程与单元间的联结分开来考虑, 从而使建模过程变得相对简单及易于计算机化, 因之该理论是比较有发展潜力的, 已能有效地解决线性机、电、液等系统的动力学建模问题。本文在联结理论的基础上, 引入了位移联结、速度联结和加速度联结, 从而将联结理论拓宽应用于非线性机械系统的动力学建模, 这是对联结理论的丰富和发展, 为联结理论在其它领域的完善和发展提供了参考和借鉴, 同时为机械系统动力学建模提供了一种新的方法。1 原始系统
按照联结理论, 在进行系统建模时, 首先应将系统划分为单元, 建立单元方程, 这样一组互不关联的单元即原始系统, 所以一组单元方程也就确定了原始系统的方程。由于在机械系统中对应于三个广义元件的理想元件分别为:惯性元件M (容性元件) 、阻尼元件R (阻性元件) 和弹性元件K
西安交通大学机械制造系统国家重点实验室开放基金资助项目
(感性元件) , 所以单元方程可以通过这三个理想元件来建立。尽管单元的划分不是绝对的, 可根据具体情况和需要灵活确定, 但在本文研究中, 约定组成同一单元的三个理想元件的状态变量之间应有一定的对应关系, 例如, 组成某一单元的弹性元件的位移量为x i , 则相应的阻尼元件速度应为 i , 惯性元件的加速度应为 x x i , 即一个单元应只有一个位移量(即一个自由度) 。假定原始系统中第i 个单元的位移变量为x i , 所受外力为f i , 则可以建立单元方程如下:
i +K i x i =f i M i x i +R i x (1) 如原始系统共有n 个单元, 则其动力学方程可用矩阵形式表示为
+Rx +K x =f Mx (2)
其中, M =diag [M 1, M 2, …, M n ];R =diag [R 1, R 2, …, R n ];K =diag [K 1, K 2
, …, K n ];x =[x 1, x 2, …, x n ]T ; f =[f 1, f 2, …, f n ]T
由此可见, 原始系统的特性可用一个三维数组Y 来表示, 如图1所示。值得注意的是, 数组Y 中未标注的元素均为零。
对于实际系统中不能用这三个理想元件来描述的物理部分则视作单元间的联结, 由下面将要引入的联结矩阵来表述。
图1 数组Y 的数据结构
2 联结系统
联结理论的基本思想, 就是把系统划分单元, 通过单元
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机械科学与技术
(9) 可得
W w =(V T f ) T W q
第17卷
间的联结将原始系统的方程变换为实际系统的运动方程。由上节可知, 原始系统的方程是容易建立起来的, 关键问题是如何建立单元间的联结及将它与原始系统方程结合起来, 以推导联结系统的方程。联结理论借助了图论工具来表述单元间的联结, 从理论上来说, 这种方式适用于所有线性系统, 而且用线图方式可以提供系统各单元之间联结关系最直观的理解。然而, 当组成系统的单元很多时, 用图的方式描述系统的结构过于复杂。况且用线图方式很难描述系统单元间的非线性联结关系, 所以必须对这种方法进行发展。为此, 本文引入三个联结矩阵:位移联结D 、速度联结V 和加速度联结A , 通过它们即可表述单元间的非线性联结关系, 将原始系统的运动方程变换为联结系统的运动方程。下面将定义这三个联结矩阵, 并详细讨论联结系统运动方程生成的联结变换过程。2. 1 联结矩阵
设原始系统的位移变量(即绝对坐标) 用列阵x 表示为
x =[x 1, x 2, …, x n ]T (3) 其中n 表示原始系统中单元的数目(我们已经约定一个单元只有一个自由度) 。联结系统的位移变量(即广义坐标) 用列阵表示为
q =
[q 1, q 2, …, q m ]
T
(11)
则与联结系统的虚位移变量列阵W q 对应的广义力列阵g 为
g =V T f
2. 3 联结系统的方程
将式(2) , (5) , (6) , (7) , (12) 综合起来, 即可得到联结系统的运动方程:
+V T RVq +V T K D =g (13) V T MVq +V T MV Aq 在线性情况下,
+V T K Vq =g V T MVq +V T RVq (14)
由此可见, 在线性情况下, 本文结果与文献[1]中的Ro th 变换图是一致的。
3 联结方法与拉格朗日法
本节将说明机械系统动力学建模中联结方法与拉格朗日法的等价关系, 同时指出联结方法建模的优越性。3. 1 拉格朗日方程对于一个机械系统, 拉格朗日方程的形式可表示如下:
[3]
(12)
(4)
其中m 表示系统的自由度数。
考虑到实际系统中单元之间的联结关系, 可以建立原始系统位移变量与联结系统的位移变量之间的函数关系, 并用列阵表示为
x =D (q ) (5)
D 表述了原始系统与联结系统之间位移变量的联结变换关系, 我们将它定义为位移联结。对式(5) 求导得
x =( x / q ) q =V (q ) q (6)
其中矩阵V 确定了原始系统与联结系统之间位移变量一阶导数(即速度) 的变换关系, 所以我们将它定义为速度联结。对式(6) 求导, 即可得原始系统与联结系统之间加速度变量的联结变换关系如下:
=Aq +Vq x =V q +Vq
被称之为加速度联结。式中, A =V
在线性的情况下, 式(6) 、(7) 分别变为
x = = x x =其中V 为常数矩阵。
2. 2 力的变换
设作用于原始系统的外力用列阵f 表示, 则对应于f 的虚功可表示为
W w =f T W x
(9)
其中W x 为原始系统的虚位移变量列阵, 它与联结系统的
虚位移变量列阵W q 之间的关系为W x =( x / q ) W q =V W q (10) 其V 所结矩阵, (代
入
(8) (7)
-++=g j j =1, 2, …, m d t q j q j q j q j
(15) 式中, q j 是系统的广义坐标(即联结系统的位移变量); T 是系统的动能函数; G 是瑞利耗散函数; P 是势能函数; g j 是与广义坐标q j 对应的广义力。
3. 2 能量函数T 、G 、P
从能量的观点来看, 系统中能量的储存与耗散仅与原始系统中的单元有关, 而与单元间联结无关, 所以我们可以通过原始系统来计算系统的能量函数T 、G 、P 。它们用矩阵形式表述如下:
/2T = x T Mx
/2G = x T Rx P =x T K x /2
其中, M , R , K 及x 的含义同前所述。
3. 3 联结系统方程
根据式(16) 可得到如下一些表达式:
T / q j =( x / q j ) Mx T d T x d x =Mx +d t q j q j d t q j
/ j ) T Mx T / q j =( x q
j =( j ) T Rx G / q x / q
T
(16)
(17)
T
Mx
(18) (19) (20)
P / q j =( x / q j ) K x (21)
在上述表达式的计算中, 我们利用了矩阵M 、R 及K 的对称性。
将式( x q j 其中,
第2期胡新春等:机械系统动力学建模的联结方法
·179·
将式(22) 对所有广义变量q j (j =1, 2, …, m ) 形成的方程用矩阵形式表达为
x T x T x T
Mx +Rx +K x =g (23) q q q 将式(5) 、(6) 、(7) 及(23) 综合起来, 即得 +V T RVq +V T K D =g V T MVq +V T MAq
其中, 我们利用了等式 x / q =V 。
(24)
M etho d for Dy na mic Ana ly sis of M echanical System s
Using V elo city T ransfor matio ns. T ransactio ns o f the A SM E, 1986, 108:176～1823 Rosenberg R M. Analytical Dynamics of Discre te Sys-tems. N or k Yo rk :Pleum Pr ess, 19774 W ang K S, Hu X C and Yan J Q. A System Approach to M o deling of Complex M echa nica l sy stems . Interna-tio nal Confer ence on M anufacturing Science , Shanghai, China , 1996
可以发现, 式(13) 与式(24) 是相同的, 说明了机械系统动力学建模中联结方法与拉格朗日法的等价关系, 同时也证明了联结方法的可靠性。而且, 与拉格朗日法相比, 联结方法将单元特性与单元间的联结分开来考虑, 避免了拉格朗日法建模过程中出现的大量微分运算, 使建模过程变得相对简单和易于计算机化。所以, 从某种意义上来说, 联结方法可看作是对拉格朗日法的进一步发展。
4 结束语
本文基于联结理论的基本思想, 引入了位移联结、速度联结和加速度联结, 从而使联结理论适用于非线性机械系统的动力学建模, 这是对联结理论的丰富和发展, 为联结理论在其它领域的完善和发展提供了参考和借鉴, 同时也为机械系统动力学建模提供了一种新的方法。本文也将联结方法与拉格朗日法进行了对比, 说明了二者之间的等价关系, 同时也显示了联结方法的优越性。本文侧重于从原理上发展联结方法, 有关其应用, 将另文发表。
参 考 文 献
1 Bj Υrke Υ.
Th e Theo ry of Co nnectio ns —T ow ar d a
M anufa cturing Sy stems Th eo r y . Scientific Sy stems
The Connection Approach to Dynamics Modeling of Mechanical Systems (Ⅱ) The Connection Approach and the Lagrange Method
Hu Xinchun 1 Yan Junqi Z hang Zhusheng
Zhang Qing Wang Kesheng
(1Shanghai J ia oto ng Univ ersity , Sha ng hai 200030) The displacement co nnection , the v elo city con-Abstract
nec tion and the a ccelera tio n connectio n ar e introduced to expand th e th eor y o f connec tion (T C ) into dy namics
modeling of no nlinear mechanical systems. T his paper presents a new fo rmulatio n fo r dy namics mo deling of mechanical sy stems, a nd this achiev ement can be used as a r eference to ex pand the T C into o ther fields . This pape r a lso compar es the co nnectio n approach with the Lag rang e m etho d to demonstra te the v alidity and ad-v a ntag e of th e co nnectio n appr oach.
Keywords M echanical system Dy na mics M odeling
method Co nnection
Theo ries for M achine Eng ineering. Sto ckho lm, Swe-:A Geo-den , 1990; Ma nufacturing Sy stems T heor y
metric Appr oach o f Co nnectio n. Tapir Publishers, Tr ondheim , 1995
2 Kim S S a nd V anderplo eg M J . A Gene ral and Efficient