试卷一
一、填空（每小题2分，共10分）
１．设
２. 掷一颗骰子，
是三个随机事件，则表示“出现奇数点”，
满足
，
至少发生两个可表示为______________________。 表示“点数不大于3”
，则
，则，则，
表示______________________。
___________。
___________。 ，
、
，
３．已知互斥的两个事件４．设
５．
设
则
为两个随机事件，
是三个随机事件，
至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）
1. 从装有2只红球，2
只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”
，则
(A ) 取到2只红球 (B ) 取到1只白球 (C ) 没有取到白球 (D ) 至少取到1只红球
2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ ）。
(A ) 随机事件 (B ) 必然事件 (C ) 不可能事件 (D ) 样本空间 3. 设A 、B
为随机事件，则（ ）。
(A ) A (B ) B (C ) AB (D ) φ 4. 设
和(A )
(C )
5. 设
(A )
(C )
6. 设
(A )
(C )
相互独立
(B )
(D )
为两随机事件，且
是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。 与
互斥
(B )
(D )
，则下列式子正确的是（ ）。
(B )
(D )
，则
，则
(B ) 0.6
(D ) 0.7
（ ）。
与
不互斥
（ ）。
7.
设是三个随机事件，
且有
（ ）。
(A ) 0.1 (C ) 0.8
8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（ ）。
(A ) p 2(1– p ) 3 (B ) 4 p (1– p ) 3
(C ) 5 p 2(1– p ) 3 (D ) 4 p 2(1– p ) 3
9. 设A 、B 为两随机事件，且
(A
)
，则下列式子正确的是（ ）。 (B
)
(C
) (D
)
10. 设事件A 与B 同时发生时，事件C 一定发生，则（ ）。
(A ) P (A B) = P (C ) (B ) P (A ) + P (B ) – P (C ) ≤ 1 (C ) P (A ) + P (B ) – P (C ) ≥ 1 (D ) P (A ) + P (B ) ≤ P (C )
三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。
求取到的两个球颜色不同的概率。
2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。
求能打开门的概率。
3. 一间宿舍住有6位同学，
求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。
4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，
求至少取到一个次品的概率。
5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一
道工序是否出次品与其它各道工序无关。 求该种零件的次品率。
6. 已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。
求该产品的一级品率。
7. 一箱产品共100件, 其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次
品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收， 求其中确实没有次品的概率。
8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与
0.9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验， 求其中最多有一件次品的概率。
四、证明题（共6分） 设
，
试卷一 参考答案
一、填空
1. 或
2. 出现的点数恰为5 3.
与
互斥
则
。证明
4. 0.6
故
5.
至少发生一个，即为
又由
故
得
二、单项选择
1． 2. A 3. A
利用集合的运算性质可得. 4．
与
互斥
故
5．
故
6．
相互独立
7.
且
则
8.
9. B
10. B
故 P (A ) + P (B ) – P (C ) ≤ 1 三、计算与应用题 1. 解：
设
表示“取到的两球颜色不同”
，则
而样本点总数
故
2. 解：
设
表示“能把门锁打开”
，则
，而
故
3. 解：
设
表示“有4个人的生日在同一月份”
，则
而样本点总数为
故
4. 解：
设
则
表示“至少取到一个次品”
，因其较复杂，考虑逆事件包含的样本点数为
。而样本点总数为
=“没有取到次品”
故
5. 解：
设
“任取一个零件为次品”
由题意要求则
于是
6. 解：
设
表示“产品是一极品”
，
，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格，
表示“产品是合格品”
显然于是
，则
即
该产品的一级品率为7. 解：
设
又设
“箱中有件次品”
，由题设，有
“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有
，
于是
8. 解：
依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为
设
则
四、证明题 证明
表示“有放回取5件，最多取到一件次品”
，
由概率的性质知
又
且
故
， 则
试卷二
一、填空（每小题2分，共10分） 1. 若随机变量
2. 设随机变量
3. 设随机变量
4. 设随机变量
5.
若随机变量
，则
的概率分布为
，且
, 则
，
，则
，则
__________。
__________。
__________。
__________。
则 __________。
二、单项选择(
每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2
分，共20分)
1. 设
与 分别是两个随机变量的分布函数，为使
量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。
(A )
(C )
(B ) (D )
是某一随机变
2. 设随机变量
(A )
的概率密度为
(B )
(D )
，则
（ ）。
(C )
3. 下列函数为随机变量分布密度的是(
) 。
(A ) (B )
(C )
4. 下列函数为随机变量分布密度的是( ) 。
(D )
(A ) (B )
(C )
5. 设随机变量
(A )
(C )
6. 设
的概率密度为
(D )
，
，则(B )
(D )
，则（ ）。
，则
(B )
(D
) （ ）。
(B )
(D )
的概率密度为（ ）。
服从二项分布(A )
(C )
7. 设
(A )
(C )
8
．设随机变量的分布密度为
(A ) 2 (C ) 1/2 9．对随机变量
来说，如果
(A ) 二项分布 (C ) 正态分布 10．设
, 则
(B ) 1 (D ) 4
，则可断定不服从（ ）。
(B ) 指数分布 (D ) 泊松分布
( ) 。
（ ）。
为服从正态分布
的随机变量，则
(A ) 9 (B ) 6 (C ) 4 (D ) -3
三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。
求
抽取次数
的概率分布。
2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。
求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？
（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？
3.
某种电子元件的寿命
是随机变量，其概率密度为
求（1
）常数；
（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。
4.
某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且
求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；
（2）
，使电池寿命在
内的概率不小于0.9。
。
5.
设随机变量
求
6.
若随机变量
求
7.
设随机变量
求
和
概率密度
。 。
服从泊松分布，即
。
，且知。
的概率密度为。
。
8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红
或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以求（1）
的概率分布；
表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
（2）
四、证明题（共6分）
设随机变量证明：
。
服从参数为2的指数分布。
在区间
上，服从均匀分布。
试卷二 参考答案
一、填空 1. 6
由概率分布的性质有
即
得
2.
，则
。
，
3. 0.5
4.
5. 0.25
由题设，可设
即
则
二、单项选择 1. (
)
由分布函数的性质，知
则
2. (
)
由概率密度的性质，有
3. (
)
，经验证只有
满足，
选
由概率密度的性质，有
4. (
)
由密度函数的性质，有
5. (
)
是单减函数，其反函数为
，求导数得
由公式，
6. (
)
由已知
7. (
)
的密度为
服从二项分布
，则
又由方差的性质知
,
于是
8. (A ) 由正态分布密度的定义, 有
9. (D )
∴如果10. (D )
∵ X 为服从正态分布N (-1, 2), EX = -1 ∴ E (2X - 1) = -3 三、计算与应用题 1. 解：
设
为抽取的次数
的可能取值为：
时, 只能选择泊松分布.
只有个旧球,
所以
由古典概型，有
2.
设 表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，
，于是
（1）的最可能值为 ，即概率达到最大的
（2
）
3. 解：
（1）由
可得
（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，
因此，若用
表示“线路正常工作”，则
而
故
4. 解：
（1）
（查正态分布表）
（2）由题意
即
5. 解
:
查表得
。
对应的函数
单调增加，其反函数为
，求导数得，
又由题设知
故由公式知：
6. 解
:
，则
而由题设知
即
可得
故
查泊松分布表得，
7. 解:
由数学期望的定义知
, 而
故
8. 解:
（1）
的可能取值为
且由题意, 可得
四、证明题 证明：
由已知
则
又由
得
连续，单调，存在反函数
且
当故
时，
则
即
试卷三
一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分） 1.
设二维随机变量
则
__________，
和
__________.
2. 设随机变量
则 __________.
3. 若随机变量
则
4. 已知
与
与
相互独立，且，，
服从__________分布.
则
5. 设随机变量
__________. 的数学期望为
__________.
、方差
，则由切比雪夫不等式有
二、单项选择
(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题
2分，共
20分
)
1. 若二维随机变量
（ ）. (A
) (C )
的联合概率密度为 ，则系数
(B
)
(D )
和
和
，则下列结论正确的是
2. 设两个相互独立的随机变量
（ ）.
(A ) (C )
分别服从正态分布
(B )
(D )
3. 设随机向量(X , Y) 的联合分布密度为
(A ) (
X , Y) 服从指数分布
(C )
X 与Y 相互独立
4. 设随机变量（
）.
(A
) (C
)
5. 设随机变量
, 则（ ）.
(B
) X 与Y 不独立
(
D ) cov(
X , Y)
≠0
相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有
与随机变量
(B
) (D )
相互独立且同分布, 且
, 则下列各式中成立的是（ ）.
(A )
(B )
6．设随机变量
(A )
(C )
(D )
的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.
(B )
(C )
7.
若随机变量关系数
是
的线性函数，
(D )
且随机变量
存在数学期望与方差，
则
与
的相
（ ）. (A ) (B )
(C )
(D )
与
是
个相互独立同分布的随机变量，
，
不相关的充要条件是（ ）.
8. 设
(A )
(B )
(C )
(D )
9. 设
是二维随机变量，则随机变量
则对于
(A )
(C )
10. 设
，有（ ）.
(B )
(D )
, 为独立同分布随机变量序列，且X i ( i = 1,2,„) 服从参数为λ的指数分布，正态分布
N ( 0, 1 )
的密度函数为, 则（ ）.
三、计算与应用题（每小题8分，共64分） 1. 将2个球随机地放入3
个盒子，设
求二维随机变量2.
设二维随机变量
表示第一个盒子内放入的球数，
表示有球的盒子个数.
的联合概率分布. 的联合概率密度为
（1）确定（2）求
3. 设
的联合密度为 的值；
.
（1
）求边缘密度（2
）判断4. 设
与
和是否相互独立.
；
的联合密度为
求5. 设
求（1
）（2）（3）6. 设
的概率密度.
，
的联合概率密度；
； .
的联合概率密度为
，且
与
相互独立.
求
及.
7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.
求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.
8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.
问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.
四、证明题（共6分）
设随机变量
试卷三 参考解答
一、填空 1.
由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得
的数学期望存在，证明随机变量
与任一常数的协方差是零.
2.
3.
相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且
，
，
∴
4.
5.
二、单项选择 1. (B )
由
即
∴选择(B ) .
2. (B )
由题设可知，故将
标准化得
∴选择(B ) . 3. (C )
∴选择(C ) . 4. (C )
∵随机变量
相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布, 则
∴选择(C ) . 5. (A )
∴选择(A ) . 6. (A )
∵由期望的性质知
∴选择(A ) . 7. (D )
∴选择(D ) . 8. (B )
与
即
则
∴选择(B ) . 9. (C )
不相关的充要条件是
∴选择(C ) . 10. (A )
X i ( i = 1,2,„) 服从参数为λ的指数分布，则
故
∴选择(A ) . 三、计算与应用题 1. 解
显然
的可能取值为
；
的可能取值为
注意到将
个球随机的放入
个盒子共有种放法, 则有
即
2. 解
（1）由概率密度的性质有
可得
（2
）设
，则
3. 解
（1）
即
即
（2
）当
时
，
故随机变量4. 解
先求
当
与
不相互独立.
的分布函数
时，
显然，随机变量
，
的取值不会为负，因此
当
时，
故
的概率密度为
5. 解
（1）
与
相互独立
的联合密度为
（2）
（3）
6. 解
于是
由对称性
故
7. 解
设
.
表示第次炮击命中目标的炮弹数，
，
由题设，有
则次炮击命中目标的炮弹数
，
因
相互独立，同分布，则由中心极限定理知
近似服从正态分布
于是
8. 解
设应检查
个产品，其中次品数为
，则由题设，
这里，可以认为较大，则由棣莫弗—拉普拉斯定理知，
近似服从正态分布依题意，有
即
亦即
查表得
故至少应检查个产品，才能达到题设要求.
四、证明题 证
由协方差的定义及数学期望的性质，得
试卷一
一、填空（每小题2分，共10分）
１．设
２. 掷一颗骰子，
是三个随机事件，则表示“出现奇数点”，
满足
，
至少发生两个可表示为______________________。 表示“点数不大于3”
，则
，则，则，
表示______________________。
___________。
___________。 ，
、
，
３．已知互斥的两个事件４．设
５．
设
则
为两个随机事件，
是三个随机事件，
至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）
1. 从装有2只红球，2
只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”
，则
(A ) 取到2只红球 (B ) 取到1只白球 (C ) 没有取到白球 (D ) 至少取到1只红球
2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ ）。
(A ) 随机事件 (B ) 必然事件 (C ) 不可能事件 (D ) 样本空间 3. 设A 、B
为随机事件，则（ ）。
(A ) A (B ) B (C ) AB (D ) φ 4. 设
和(A )
(C )
5. 设
(A )
(C )
6. 设
(A )
(C )
相互独立
(B )
(D )
为两随机事件，且
是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）。 与
互斥
(B )
(D )
，则下列式子正确的是（ ）。
(B )
(D )
，则
，则
(B ) 0.6
(D ) 0.7
（ ）。
与
不互斥
（ ）。
7.
设是三个随机事件，
且有
（ ）。
(A ) 0.1 (C ) 0.8
8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（ ）。
(A ) p 2(1– p ) 3 (B ) 4 p (1– p ) 3
(C ) 5 p 2(1– p ) 3 (D ) 4 p 2(1– p ) 3
9. 设A 、B 为两随机事件，且
(A
)
，则下列式子正确的是（ ）。 (B
)
(C
) (D
)
10. 设事件A 与B 同时发生时，事件C 一定发生，则（ ）。
(A ) P (A B) = P (C ) (B ) P (A ) + P (B ) – P (C ) ≤ 1 (C ) P (A ) + P (B ) – P (C ) ≥ 1 (D ) P (A ) + P (B ) ≤ P (C )
三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。
求取到的两个球颜色不同的概率。
2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。
求能打开门的概率。
3. 一间宿舍住有6位同学，
求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。
4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，
求至少取到一个次品的概率。
5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一
道工序是否出次品与其它各道工序无关。 求该种零件的次品率。
6. 已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。
求该产品的一级品率。
7. 一箱产品共100件, 其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次
品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收， 求其中确实没有次品的概率。
8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与
0.9。现从该厂的产品中有放回地取5件来检验， 求其中最多有一件次品的概率。
四、证明题（共6分） 设
，
试卷一 参考答案
一、填空
1. 或
2. 出现的点数恰为5 3.
与
互斥
则
。证明
4. 0.6
故
5.
至少发生一个，即为
又由
故
得
二、单项选择
1． 2. A 3. A
利用集合的运算性质可得. 4．
与
互斥
故
5．
故
6．
相互独立
7.
且
则
8.
9. B
10. B
故 P (A ) + P (B ) – P (C ) ≤ 1 三、计算与应用题 1. 解：
设
表示“取到的两球颜色不同”
，则
而样本点总数
故
2. 解：
设
表示“能把门锁打开”
，则
，而
故
3. 解：
设
表示“有4个人的生日在同一月份”
，则
而样本点总数为
故
4. 解：
设
则
表示“至少取到一个次品”
，因其较复杂，考虑逆事件包含的样本点数为
。而样本点总数为
=“没有取到次品”
故
5. 解：
设
“任取一个零件为次品”
由题意要求则
于是
6. 解：
设
表示“产品是一极品”
，
，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格，
表示“产品是合格品”
显然于是
，则
即
该产品的一级品率为7. 解：
设
又设
“箱中有件次品”
，由题设，有
“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有
，
于是
8. 解：
依题意，该厂产品的合格率为，于是，次品率为
设
则
四、证明题 证明
表示“有放回取5件，最多取到一件次品”
，
由概率的性质知
又
且
故
， 则
试卷二
一、填空（每小题2分，共10分） 1. 若随机变量
2. 设随机变量
3. 设随机变量
4. 设随机变量
5.
若随机变量
，则
的概率分布为
，且
, 则
，
，则
，则
__________。
__________。
__________。
__________。
则 __________。
二、单项选择(
每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2
分，共20分)
1. 设
与 分别是两个随机变量的分布函数，为使
量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。
(A )
(C )
(B ) (D )
是某一随机变
2. 设随机变量
(A )
的概率密度为
(B )
(D )
，则
（ ）。
(C )
3. 下列函数为随机变量分布密度的是(
) 。
(A ) (B )
(C )
4. 下列函数为随机变量分布密度的是( ) 。
(D )
(A ) (B )
(C )
5. 设随机变量
(A )
(C )
6. 设
的概率密度为
(D )
，
，则(B )
(D )
，则（ ）。
，则
(B )
(D
) （ ）。
(B )
(D )
的概率密度为（ ）。
服从二项分布(A )
(C )
7. 设
(A )
(C )
8
．设随机变量的分布密度为
(A ) 2 (C ) 1/2 9．对随机变量
来说，如果
(A ) 二项分布 (C ) 正态分布 10．设
, 则
(B ) 1 (D ) 4
，则可断定不服从（ ）。
(B ) 指数分布 (D ) 泊松分布
( ) 。
（ ）。
为服从正态分布
的随机变量，则
(A ) 9 (B ) 6 (C ) 4 (D ) -3
三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。
求
抽取次数
的概率分布。
2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。
求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？
（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？
3.
某种电子元件的寿命
是随机变量，其概率密度为
求（1
）常数；
（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。
4.
某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且
求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；
（2）
，使电池寿命在
内的概率不小于0.9。
。
5.
设随机变量
求
6.
若随机变量
求
7.
设随机变量
求
和
概率密度
。 。
服从泊松分布，即
。
，且知。
的概率密度为。
。
8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红
或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以求（1）
的概率分布；
表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
（2）
四、证明题（共6分）
设随机变量证明：
。
服从参数为2的指数分布。
在区间
上，服从均匀分布。
试卷二 参考答案
一、填空 1. 6
由概率分布的性质有
即
得
2.
，则
。
，
3. 0.5
4.
5. 0.25
由题设，可设
即
则
二、单项选择 1. (
)
由分布函数的性质，知
则
2. (
)
由概率密度的性质，有
3. (
)
，经验证只有
满足，
选
由概率密度的性质，有
4. (
)
由密度函数的性质，有
5. (
)
是单减函数，其反函数为
，求导数得
由公式，
6. (
)
由已知
7. (
)
的密度为
服从二项分布
，则
又由方差的性质知
,
于是
8. (A ) 由正态分布密度的定义, 有
9. (D )
∴如果10. (D )
∵ X 为服从正态分布N (-1, 2), EX = -1 ∴ E (2X - 1) = -3 三、计算与应用题 1. 解：
设
为抽取的次数
的可能取值为：
时, 只能选择泊松分布.
只有个旧球,
所以
由古典概型，有
2.
设 表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，
，于是
（1）的最可能值为 ，即概率达到最大的
（2
）
3. 解：
（1）由
可得
（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，
因此，若用
表示“线路正常工作”，则
而
故
4. 解：
（1）
（查正态分布表）
（2）由题意
即
5. 解
:
查表得
。
对应的函数
单调增加，其反函数为
，求导数得，
又由题设知
故由公式知：
6. 解
:
，则
而由题设知
即
可得
故
查泊松分布表得，
7. 解:
由数学期望的定义知
, 而
故
8. 解:
（1）
的可能取值为
且由题意, 可得
四、证明题 证明：
由已知
则
又由
得
连续，单调，存在反函数
且
当故
时，
则
即
试卷三
一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分） 1.
设二维随机变量
则
__________，
和
__________.
2. 设随机变量
则 __________.
3. 若随机变量
则
4. 已知
与
与
相互独立，且，，
服从__________分布.
则
5. 设随机变量
__________. 的数学期望为
__________.
、方差
，则由切比雪夫不等式有
二、单项选择
(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题
2分，共
20分
)
1. 若二维随机变量
（ ）. (A
) (C )
的联合概率密度为 ，则系数
(B
)
(D )
和
和
，则下列结论正确的是
2. 设两个相互独立的随机变量
（ ）.
(A ) (C )
分别服从正态分布
(B )
(D )
3. 设随机向量(X , Y) 的联合分布密度为
(A ) (
X , Y) 服从指数分布
(C )
X 与Y 相互独立
4. 设随机变量（
）.
(A
) (C
)
5. 设随机变量
, 则（ ）.
(B
) X 与Y 不独立
(
D ) cov(
X , Y)
≠0
相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有
与随机变量
(B
) (D )
相互独立且同分布, 且
, 则下列各式中成立的是（ ）.
(A )
(B )
6．设随机变量
(A )
(C )
(D )
的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（ ）.
(B )
(C )
7.
若随机变量关系数
是
的线性函数，
(D )
且随机变量
存在数学期望与方差，
则
与
的相
（ ）. (A ) (B )
(C )
(D )
与
是
个相互独立同分布的随机变量，
，
不相关的充要条件是（ ）.
8. 设
(A )
(B )
(C )
(D )
9. 设
是二维随机变量，则随机变量
则对于
(A )
(C )
10. 设
，有（ ）.
(B )
(D )
, 为独立同分布随机变量序列，且X i ( i = 1,2,„) 服从参数为λ的指数分布，正态分布
N ( 0, 1 )
的密度函数为, 则（ ）.
三、计算与应用题（每小题8分，共64分） 1. 将2个球随机地放入3
个盒子，设
求二维随机变量2.
设二维随机变量
表示第一个盒子内放入的球数，
表示有球的盒子个数.
的联合概率分布. 的联合概率密度为
（1）确定（2）求
3. 设
的联合密度为 的值；
.
（1
）求边缘密度（2
）判断4. 设
与
和是否相互独立.
；
的联合密度为
求5. 设
求（1
）（2）（3）6. 设
的概率密度.
，
的联合概率密度；
； .
的联合概率密度为
，且
与
相互独立.
求
及.
7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.
求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.
8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.
问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.
四、证明题（共6分）
设随机变量
试卷三 参考解答
一、填空 1.
由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得
的数学期望存在，证明随机变量
与任一常数的协方差是零.
2.
3.
相互独立的正态变量之和仍服从正态分布且
，
，
∴
4.
5.
二、单项选择 1. (B )
由
即
∴选择(B ) .
2. (B )
由题设可知，故将
标准化得
∴选择(B ) . 3. (C )
∴选择(C ) . 4. (C )
∵随机变量
相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布, 则
∴选择(C ) . 5. (A )
∴选择(A ) . 6. (A )
∵由期望的性质知
∴选择(A ) . 7. (D )
∴选择(D ) . 8. (B )
与
即
则
∴选择(B ) . 9. (C )
不相关的充要条件是
∴选择(C ) . 10. (A )
X i ( i = 1,2,„) 服从参数为λ的指数分布，则
故
∴选择(A ) . 三、计算与应用题 1. 解
显然
的可能取值为
；
的可能取值为
注意到将
个球随机的放入
个盒子共有种放法, 则有
即
2. 解
（1）由概率密度的性质有
可得
（2
）设
，则
3. 解
（1）
即
即
（2
）当
时
，
故随机变量4. 解
先求
当
与
不相互独立.
的分布函数
时，
显然，随机变量
，
的取值不会为负，因此
当
时，
故
的概率密度为
5. 解
（1）
与
相互独立
的联合密度为
（2）
（3）
6. 解
于是
由对称性
故
7. 解
设
.
表示第次炮击命中目标的炮弹数，
，
由题设，有
则次炮击命中目标的炮弹数
，
因
相互独立，同分布，则由中心极限定理知
近似服从正态分布
于是
8. 解
设应检查
个产品，其中次品数为
，则由题设，
这里，可以认为较大，则由棣莫弗—拉普拉斯定理知，
近似服从正态分布依题意，有
即
亦即
查表得
故至少应检查个产品，才能达到题设要求.
四、证明题 证
由协方差的定义及数学期望的性质，得